Matematica

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente conoscenze di alcune importanti tematiche avanzate riguardanti il metodo degli elementi finiti, costruendo una forte base teorica e anche un senso critico applicativo. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere, analizzare e confrontare i vari metodi proposti, nonché implementarli e utilizzarli al calcolatore. Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri. Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino. Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza avanzata dei metodi numerici per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali, con particolare enfasi sul metodo degli elementi finiti. Verranno approfonditi sia aspetti teorici, come la stabilità e la convergenza, sia aspetti modellistici legati a problemi parabolici non stazionari e formulazioni miste, fondamentali in numerose applicazioni scientifiche e ingegneristiche. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di utilizzare consapevolmente i metodi numerici studiati per risolvere problemi complessi derivanti da modelli reali, implementandoli in un ambiente di calcolo (come MATLAB). Sarà inoltre in grado di confrontare criticamente diversi approcci numerici. Autonomia di giudizioIl corso stimola lo sviluppo di capacità autonome di analisi e valutazione dei metodi numerici per PDE, favorendo un approccio critico alla selezione e interpretazione delle soluzioni numeriche. Gli studenti saranno in grado di analizzare i punti di forza e di debolezza dei metodi e di scegliere quelli più idonei. Abilità comunicativeGli studenti acquisiranno la capacità di comunicare in modo chiaro ed efficace risultati teorici e computazionali, sia attraverso presentazioni orali che in forma scritta. Saranno incoraggiati a utilizzare una terminologia precisa, sia in ambito matematico che computazionale, anche in contesti interdisciplinari. Capacità di apprendimentoAl termine del corso, gli studenti avranno sviluppato le competenze necessarie per proseguire lo studio in modo autonomo, affrontando nuove metodologie numeriche per le PDE, inclusi temi di ricerca avanzata e di interesse applicativo.

Breve ripasso dei concetti e delle nozioni fondamentali del metodo agli elementi finiti, nonché dei risultati principali nel caso di problemi ellittici stazionari. Il problema modello del calore non-stazionario, discretizzazione in spazio con elementi finiti, discretizazzione in tempo (con differenze finite), analisi teorica del metodo, implementazione al calcolatore. Analisi a posteriori del errore per il problema della diffusione stazionario, analisi teorica, implementazione al calcolatore, algoritmo adattivo. Problemi in forma mista. Il problema di Stokes come esempio modello, discretizzazione e problematiche, teoria generale dei metodi misti, alcuni elementi specifici per Stokes e loro analisi, generalizzazioni, implementazione al calcolatore. Il problema della diffusione in forma mista, discretizzazione, analisi teorica, alcuni elementi specifici, generalizzazioni, implementazione. Il problema di Navier-Stokes e sua discretizzazione con elementi finiti. Possibili ulteriori argomenti, come problemi nell'ambito dell'elettromagnetismo, potranno essere trattati a fine corso.

L' esame di compone di un singolo orale, diviso in due parti. In una prima parte si discuterà un progetto di laboratorio matlab, che lo studente deve portare all'esame scegliendolo tra quelli proposti dal docente alla fine del corso. Gli studenti dovranno dividersi in gruppi da 1-3 persone per lo svolgimento del progetto (è dunque consentito sia lavorare individualmente che in squadra, la discussione essendo comunque individuale). La seconda parte di tratta di un esame orale su tutte le tematiche svolte nel corso, per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e operativa delle definizioni, dei risultati e delle loro dimostrazioni. Il peso relativo delle due parti, progetto e parte teorica, è circa del 40% e 60%, rispettivamente. Non sono previste prove in itinere.

D. Braess, “Finite Elements: theory, fast solvers, and applications in solid mechanics”, Cambridge University Press (alternativa: P.Ciarlet “The finite element method for elliptic problems” oppure S.Brenner e R.Scott, “The mathematical theory of finite element methods”) D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, “Mixed finite element methods and applications”, Springer V. Thomee, “Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems”, Springer

Il corso si propone di introdurre lo studente ai concetti e ai metodi fondamentali della Geometria Algebrica classica, fornendo gli strumenti per comprendere il profondo legame tra le proprietà geometriche delle varietà e le proprietà algebriche degli anelli associati.Più in dettaglio gli obiettivi sono: (1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti al termine del corso avranno acquisito: la struttura delle varietà affini e proiettive; la corrispondenza algebra-geometria basta sul Nullstellensatz di Hilbert; il concetto di trasformazione birazionale; la nozione di dimensione per una varietà algebrica.(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di tradurre problemi geometrici nel linguaggio degli ideali e viceversa; fare uno studio delle proprietà locali di una varietà e l'analisi delle singolarità.(3) Autonomia di giudizio: L'insegnamento mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente e produrre giudizi autonomi sulla base degli strumenti appressi.(4) Abilità comunicative: Gli strumenti appresi consentiranno agli sudenti di formulare argomenti chiari e rigorosi per descrivere, sia oralmente che per iscritto, proprietà di varietà algebriche.(5) Capacità di apprendimento: L'insegnamento fornirà gli strumenti teorici e metodologici per affrontare in autonomia lo studio di sviluppi avanzati della Geometria Algebrica.

Curve algebriche piane: curve affini e curve proiettive, curve razionali, punti singolari, classificazione delle coniche proiettive. Varietà affini: sottosinsiemi chiusi di uno spazio affine, topologia di Zariski, irriducibilità, Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert), funzioni polinomiali e anello delle coordinate, mappe polinomiali, varietà affini, isomorfismi tra varietà affini, funzioni e mappe razionali. Varietà proiettive: sottoinsiemi chiusi di uno spazio proiettivo, topologia di Zariski, versione proiettiva del Nullstellensatz, varietà proiettive, funzioni razionali e regolari, mappe rezionali e morfismi, mappe birazionali, varietà razionali. Varietà quasiproiettive: prodotto di varietà, mappe finite, Teorema di Normalizzazione di Noether. Singolarità e dimensione: anello locale in un punto, spazio tangente, punti singolari, dimensione, varietà non singolari. Struttura delle mappe birazionali: blowup e sottovarietà eccezionali, varietà normali e normalizzazione. Varietà complesse e introduzione al principio GAGA: Varietà algebriche sul campo complesso e topologia euclidea. Confronto tra topologia di Zariski e topologia classica. Cenni alle varietà analitiche, Teorema di Chow e corrispondenza tra varietà algebriche proiettive e varietà complesse compatte.

L'esame consiste di una prova orale.Non sono previste prove in itinere o parziali.La prova orale si divide in due parti:-nella prima vengono proposti quesiti di carattere teorico (definizioni, enunciati e dimostrazioni dei risultati discussi a lezione),-nella seconda vengono proposti quesiti di applicazione della teoria (risoluzione di esercizi simili a quelli proposti durante le lezioni, costruzione di esempi o controesempi).Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del punteggio finale valutato in trentesimi. Nella prima parte verranno valutate la conoscenza e la comprensione dei concetti presentati nel corso e dei risultati teorici dimostrati in aula, la capacità di organizzare un' esposizione efficace, rigorosa e coerente. Nella seconda parte verranno valutate la padronanza e l'autonomia nell'affrontare lo svolgimento degli esercizi, l'esattezza delle risposte e la proprietà del linguaggio matematico utilizzato.L'esame è superato se si ottiene una valutazione di almeno 18/30. Sono previsti 6 appelli d'esame (gennaio, febbraio, aprile, giugno, luglio e settembre).

Testi consigliati: Miles Reid, "Undergraduate Algebraic Geometry",London Mathematical Society Student texts 12 Igor R. Shafarievich, "Basic Algebraic Geometry 1. Varieties in Projective Space",Springer Joe Harris, "Algebraic Geometry. A first course",Graduate Texts in Matematics. Springer

L'obiettivo del corso è di affrontare alcuni argomenti classici nella topologia algebrica e computazionale dei complessi simpliciali, introducendo teorie di omologia, coomologia con alcune applicazioni recenti. Obiettivi formativi (secondo i Descrittori di Dublino) Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza solida e teoricamente fondata degli strumenti fondamentali della topologia algebrica classica e computazionale, in particolare dell’omologia e della coomologia dei complessi simpliciali, nonché delle principali applicazioni a problemi recenti in matematica e in ambiti interdisciplinari. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di applicare in modo autonomo i metodi omologici e coomologici allo studio di spazi topologici discreti e a modelli computazionali, con attenzione sia agli aspetti teorici sia agli algoritmi effettivi, anche mediante l’uso di software matematici. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente problemi topologici e strutture combinatorie, valutando l’efficacia delle tecniche computazionali e dei modelli teorici impiegati, e saprà confrontare approcci differenti alla risoluzione di problemi. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di esporre in modo rigoroso e chiaro concetti e risultati della topologia algebrica e computazionale, sia in contesti formali sia in discussioni seminariali, con un uso corretto del linguaggio matematico astratto e computazionale. Capacità di apprendimentoLo studente svilupperà le competenze necessarie per approfondire autonomamente ulteriori sviluppi teorici e applicativi della topologia algebrica e della topologia computazionale, anche in vista di attività di ricerca o applicazioni interdisciplinari.

Richiami di teoria delle categorie e funtori. Richiami di teoria dei moduli su un PID e teorema di struttura per i moduli finitamente generati. Algebra omologica: successioni esatte e complessi di catene; omologia, omotopia di morfismi e omologia ridotta.Complessi simpliciali, realizzazione geometrica e omologia simpliciale, assoluta e relativa; suddivisione baricentrica, approssimazione simpliciale e funtorialità; caratteristica di Eulero-Poincaré. Omologia singolare, invarianza omotopica e omologia relativa. Teoremi di Mayer-Vietoris e di escissione, con applicazioni al calcolo dell’omologia di sfere e superfici. Attaccamento di celle e CW-complessi. Omologia degli spazi proiettivi reali e complessi. Confronto tra omologia simpliciale e singolare e assiomi di Eilenberg-Steenrod. Omologia computazionale: forme normali ed algoritmi di calcolo. Omologia con coefficienti. Prodotti di poliedri e omologia. Coomologia di poliedri. Omologia di mappe. L'anello in coomologia, il prodotto cap. Superfici e classificazione. Dualità di Poincaré.Gruppo fondamentale di poliedri.Gruppo fondamentale e omologia. Applicazioni: omologia computazionale, omologia persistente, analisi di dati e sistemi dinamici.

Esame orale, di norma alla lavagna, su un argomento concordato prima con i docenti. L'argomento può essere un approfondimento o rielaborazione di un tema affrontato nel corso, sia teorico che applicativo, o una applicazione. Viene valutata la conoscenza dell'argomento, la capacità di sintesi e la chiarezza espositiva, la lucidità del percorso, la capacità di rispondere a domande di chiarimento o di fornire semplici esempi e controesempi, e di sostenere una breve discussione sul tema presentato. In occasione di ogni appello d'esame, il calendario dettagliato degli esami individuali, comprensivi delle esposizioni teoriche, verrà anch'esso concordato anticipatamente col docente. Sintetizzando: la data e il contenuto dell'esposizione vanno concordati prima con il docente. Il voto è in trentesimi, ed esprime una valutazione complessiva di tutto cioè che concorre al raggiungimento degli obiettivi formativi sopra descritti. Cioè, è frutto di una valutazione complessiva delle varie caratteristiche della prova. Per esempio: chiarezza, rigore, autonomia di giudizio, capacità di scegliere esempi e di illustrare l'argomento in modo efficace.

Per la prima parte di topologia algebrica, il corso seguirà le dispense, caricate sulla pagina e-learning "Appunti di Topologia Algebrica".Ulteriori testi di appoggio sono i seguenti:Rotman J.J. "Advanced Modern Algebra", Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010.(per la primissima parte di requisiti algebrici)Rotman J.J. "Algebraic Topology. An Introduction" Graduate Texts inMathematics, Springer-Verlag, 1998.Munkres, J.R., "Elements of algebraic topology", Addison-Wesely Pub. 1984(per la successiva parte di studio delle teorie omologiche simpliciali e singolari) Per la seconda parte di topologia computazionale, il corso si appoggerà sul seguente testo:Ferrario, Piccinini, "Simplicial structures in topology". CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011. xvi+243 pp. ISBN: 978-1-4419-7235-4e ad appunti condivisi sulla pagina elearning.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di introdurre e studiare i metodi per l'approssimazione di dati sia dal punto di vista teorico che algoritmico. I risultati di apprendimento attesi comprendono: Conoscenze Conoscenza e comprensione dei metodi della teoria dell'approssimazione che comprendono sia enunciati fondamentali che teoremi e relative dimostrazioni. Conoscenza e comprensione di problematiche che intervengono in tale ambito e il saper individuare la metodologia più adatta in relazione alle situazioni affrontate. Capacità Capacità di tradurre la teoria studiata in esempi concreti tramite la costruzione di algoritmi e relativa implementazione. Capacità di scegliere il metodo numerico più adeguato in relazione al problema. Capacità di analizzare in modo critico i risultati degli esempi ed esercizi proposti e saper riconoscere e analizzare le problematiche che si presentano alla luce della teoria studiata. Capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche.

Interpolazione polinomiale e approssimazione ai minimi quadrati in dimensione uno. Spazio di spline e relative basi. Base delle B-spline, Interpolazione mediante spline. Curve B-spline. Approssimazione multivariata Il problema dell’interpolazione di dati sparsi Basi radiali Interpolazione con basi radiali Basi radiali definite positive Interpolazione di dati sparsi con precisione polinomiale Basi radiali condizionatamente definite positive Stima dell’errore di interpolazione Stabilità e condizionamento dell’interpolazione con basi radiali Algoritmi Fitting di dati con basi radiali con basi radiali

L'esame è orale e consiste in Una presentazione da parte dello studente di un progetto assegnato durante il corso per verificare l' acquisizione delle abilità attese. Il progetto può essere sviluppato anche con un lavoro di gruppo. Domande individuali relative alla teoria presentata nel corso per verificare la conoscenza delle tematiche proposte, la capacità di riesaminare criticamente le definizioni, gli enunciati, dimostrazioni e le problematiche numeriche presentate durante il corso. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale. Voto in trentesimi 18-30/30 Criteri di valutazioneVengono valutati la correttezza delle risposte, la completezza e la capacità di argomentare con chiarezza, precisione e senso critico sia il progetto che gli argomenti del programma. Rubrica di valutazioneLa rubrica di valutazione è consultabile qui

Gregory E. Fasshauer: Meshfree Approximation Methods with Matlab, World Scientific Holger Wendland: Scattered data approximation, Cambridge Press Larry Schumaker: Spline fuctions, basic theory, Cambridge PressL. Piegl- I. Tiller: The NURBS book, Springer Pagina e-learning del corso Registrazione delle lezioni

ll corso ha l’obiettivo di fornire conoscenze e competenze nell’ambito della teoria dei sistemi dinamici, della teoria dell’informazione e della complessità algoritmica, nonché la capacità di applicarle in contesti teorici e applicativi. Gli obiettivi formativi sono articolati secondo i cinque Descrittori di Dublino: 1. Conoscenza e capacità di comprensioneIl corso fornisce allo studente le conoscenze di nozioni di base della moderna teoria dei sistemi dinamici, della teoria dell’informazione e della complessità algoritmica; le competenze utili a comprendere i metodi dimostrativi connessi alla teoria ed a condurre in modo autonomo l’approfondimento di alcune delle tematiche sopra citate;. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente fornisce le conoscenza e capacità necessarie all’applicazione delle nozioni acquisite allo studio di sistemi dinamici elementari, alla risoluzione di esercizi di diversi gradi di difficoltà, all’analisi anche computazionale di sequenze simboliche di diversa natura, con particolare attenzione alle applicazioni in campo biologico e letterario. 3. Autonomia di giudizioIl corso favorisce:• la capacità di valutare criticamente le tecniche e i risultati matematici presentati;• l’autonomia nello studio e nell’approfondimento di tematiche avanzate;• la riflessione sui limiti e sulle potenzialità delle metodologie impiegate. 4. Abilità comunicativeAl termine del corso, lo studente saprà:• esporre concetti teorici in modo chiaro e rigoroso;• descrivere strategie risolutive e metodi matematici;• utilizzare un linguaggio scientifico appropriato in contesti sia specialistici sia divulgativi. 5. Capacità di apprendimentoIl corso sviluppa:• le competenze necessarie per proseguire gli studi in ambito matematico o interdisciplinare;• la capacità di aggiornamento autonomo;• l’attitudine al problem solving anche in contesti non standard.

Il corso è suddiviso in tre parti: Esempi di sistemi dinamici a tempo discreto. Cenni di dinamica topologica. Dinamica simbolica. Ricorrenza, misure invarianti ed ergodiche. Teoremi ergodici. Mescolamento. Entropia di Kolmogorov-Sinai. Entropia di Shannon. Entropia relativa, mutua informazione. Equipartizione asintotica. Tasso di entropia per processi stocastici stazionari. Codici: disuguaglianza di Kraft, codici ottimali, stima dell’efficienza di un codice. Compressori universali. Algoritmo LZ78. Macchine di Turing. Calcolatori universali. Complessità algoritmica di Kolmogorov. Probabilità universale. Problema dell’arresto. Numero di Chaitin. Teorema di Brudno.

Non sono previste prove parziali.L'esame finale consiste in una prova orale, della durata indicativa di 45 minuti in cui lo studente verrà valutato sia sull'apprendimento delle nozioni da un punto di vista matematico (definizioni, enunciati, dimostrazioni) che sulla loro utilità (esempi presentati durante il corso), nonché sulla capacità di maneggiarle in autonomia. In via facoltativa lo studente può integrare il colloquio con la presentazione di un progetto di stampo applicativo o di un approfondimento teorico su argomenti di interesse. La scelta dell'argomento della parte facoltativa va concordata in anticipo col docente. La valutazione dell'eventuale progetto/approfondimento peserà per 1/2 sul giudizio finale.

Non c’è un unico testo che copra tutti gli argomenti del corso, di conseguenza verranno dati di volta in volta dal docente riferimenti opportuni. Verranno inoltre fornite note del docente per alcune parti del corso. Gran parte degli argomenti trattati si possono trovare nei testi seguenti: M.Brin & G. Stuck, "Introduction to Dynamical Systems", Cambridge University Press. 2002 (1 copia disponibile al prestito in biblioteca; (e-book disponibile sul sito della biblioteca) P.Walters, “An Introduction to Ergodic Theory”, GTM 89, Springer-Verlag (2 copie disponibili al prestito in biblioteca; (e-book non disponibile in biblioteca) T. M. Cover & J. A. Thomas, “Elements of Information Theory”, 2nd ed., Wiley-Interscience (2 copie disponibili al prestito in biblioteca; (e-book disponibile sul sito della biblioteca) M.Li, P.Vitányi, “An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications”, second edition, GTCS, Springer-Verlag, 1997; (e-book disponibile sul sito della biblioteca)

Lo scopo di questo corso è presentare alcuni risultati elementari di Teoria dei Numeri, Topologia, Geometria e Combinatoria. La parola “elementare” va interpretata nel senso che tali argomenti non richiedono particolari conoscenze preliminari. La presentazione dei risultati avverrà in modo progressivo, sottolineando come l’introduzione degli argomenti e dei problemi preliminari possa essere facilmente compresa anche da studenti delle scuole superiori. Successivamente, gli stessi problemi verranno sviluppati fino a raggiungere aspetti molto profondi e moderni della matematica. Questa progressività ha inoltre lo scopo di mostrare esempi di argomenti che possono essere presentati e compresi in un contesto scolastico, senza tuttavia trascurare un adeguato approfondimento puramente matematico per una trattazione più completa e rigorosa. Conoscenza e capacità di comprensione Gli studenti acquisiranno conoscenze relative ai concetti e ai risultati fondamentali della teoria dei numeri, della topologia, della geometria e della combinatoria. Comprenderanno come problemi apparentemente semplici possano condurre a risultati matematici profondi e come tali argomenti possano essere introdotti in modo progressivo. Capacità di applicare conoscenza e comprensione Gli studenti saranno in grado di applicare strumenti matematici elementari ma rigorosi a problemi appartenenti a diverse aree della matematica. Svilupperanno la capacità di riconoscere strutture e connessioni tra nozioni elementari e risultati più avanzati, utilizzando tali strumenti anche nella preparazione e presentazione del seminario finale. Autonomia di giudizio Attraverso l’analisi dei problemi e del loro sviluppo, gli studenti acquisiranno la capacità di valutare criticamente argomentazioni matematiche e di individuare i metodi più appropriati per affrontare problemi complessi. Saranno inoltre in grado di valutare chiarezza, efficacia e profondità di differenti approcci e modalità di presentazione matematica. Abilità comunicative La prova d’esame, basata sulla presentazione di un seminario, contribuirà a rafforzare la capacità degli studenti di esporre con chiarezza idee matematiche, sia oralmente sia per iscritto, utilizzando una terminologia appropriata e una struttura logica rigorosa. Gli studenti svilupperanno inoltre la capacità di comunicare concetti complessi in modo accessibile ed efficace. Capacità di apprendimento Attraverso lo studio di problemi che evolvono da un livello elementare a uno avanzato, gli studenti svilupperanno maggiore autonomia nello studio e nella comprensione della matematica. Acquisiranno la capacità di approfondire argomenti in modo indipendente e di consultare criticamente la letteratura matematica a diversi livelli.

Numeri primi: densità dei numeri primi, postulato di Bertrand, problema di Basel, formula di Willans, teorema di Dirichlet.Elementi di teoria di Ramsey e applicazioni alla combinatoria, alla geometria e all’analisi.Applicazioni della topologia.Risultati geometrici utili nello studio di problemi aritmetici, con particolare attenzione alle somme di quadrati.Problemi ed esempi di probabilità.Elementi della teoria di enumerazione di Pólya.Formula di Eulero e sue applicazioni.

L’esame consiste nella presentazione orale di un seminario della durata di 45–60 minuti su un argomento scelto dallo studente e approvato dal docente. L’argomento deve essere coerente con i temi trattati durante il corso e sviluppato con una gradualità analoga a quella adottata nelle lezioni. La prova orale è finalizzata a verificare:la comprensione dei contenuti matematici trattati;la capacità di applicare strumenti e metodi matematici in modo rigoroso;la capacità di organizzare ed esporre un argomento matematico in modo chiaro e logicamente strutturato;la capacità di collegare aspetti elementari e sviluppi più avanzati della teoria. La valutazione terrà conto:della correttezza matematica dei contenuti presentati;del livello di comprensione e approfondimento dell’argomento;della chiarezza espositiva e dell’efficacia della presentazione;dell’uso appropriato del linguaggio matematico. Il voto finale è espresso in trentesimi, con una valutazione minima di 18/30. Non sono previste prove in itinere.

Dispense del corso fornite durante il corso.P.Cameron, Combinatorics, topics, techniques, algorithms, Cambridge university press,G. Travaglini, Numbers and Figures, American Mathematical Society (2023).M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).

Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti i fondamenti dell'Analisi Funzionale. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per affrontare problemi in diversi ambiti della matematica. Particolare enfasi verrà posta sulla risoluzione di problemi da parte degli studenti. *Obiettivi formativi**1. Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza chiara e sistematica dei principali concetti dell’analisi funzionale, in particolare riguardo all'analisi su spazi localmente compatti di Hausdorff, spazi di funzioni continue e Lp, topologia deboli e debole (debole stella), compattezza nelle topologie deboli e teoremi di rappresentazione di Riesz.2. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di esercizi e problemi, in contesti di difficoltà variabile, mostrando padronanza delle tecniche di problem solving e comprensione delle strutture matematiche di base.3. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di comprendere e valutare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni, riconoscendo gli strumenti concettuali più adatti per l’analisi e la risoluzione dei problemi proposti.4. Abilità comunicativeLo studente saprà esporre i concetti fondamentali del corso con chiarezza e rigore, utilizzando correttamente il linguaggio matematico.5. Capacità di apprendimentoLo studente svilupperà le competenze necessarie per proseguire in autonomia lo studio dell’analisi, con capacità di consultazione di testi scientifici, risorse online e risorse didattiche adeguate.

Spazi metrici, spazi vettoriali normati, compattezza della bolla chiusa e dimensione. Spazi di funzioni continue, e compattezza tramite il Teorema di Ascoli-Arzelà. Funzionali lineari e topologia debole su uno spazio normato. Funzionali subadditivi positivamente omogenei. Forma generale del Teorema di Hahn-Banach. Convessità e separazione mediante iperpiani. Topologia debole* (debole stella). Biduale ed embedding di James. Il Teorema di Banach-Alaoglu: compattezza debole* della palla chiusa nel duale. Cenni alla riflessività degli spazi di Banach e uniforme convessità.

L'esame sarà scritto, con orale facoltativo. La parte scritta consisterà nella risoluzione di esercizi/problemi, con lo scopo di testare la comprensione degli studenti sul programma del corso e le loro abilità di problem-solving. L'orale è facoltativo (a richiesta dello studente o del docente), e consisterà in un colloquio sullo scritto e nella risoluzione di ulteriori esercizi/problemi. Senza l'esame orale non è possibile verbalizzare un voto maggiore o uguale al 28. Durante il periodo delle lezioni, saranno assegnati 3 esami parziali come compito a casa. Gli studenti che consegnano questi easmi avranno l'opzione di saltare la parte scritta dell'esame finale, ma in questo caso l'orale è obbligatorio.

Referenze bibliografiche H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011 G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999. W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987 T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Graduate Studies in Mathematics, volume 191. AMS, Providence, RI, 2018 Ulteriore materiale Sulla pagina E-Learning del corso verranno distribuiti i seguenti documenti: Alcune note del corso, o collegamenti a materiale online Esercizi e problemi.

Il corso si propone di fornire un’introduzione all’analisi su spazi metrici, con particolare enfasi sugli aspetti geometrici e sullo sviluppo di un calcolo differenziale al primo ordine in contesti metrici generali. I risultati di apprendimento attesi, descritti secondo i Descrittori di Dublino, sono Conoscenza e capacità di comprensioneAl termine del corso, lo studente avrà acquisito una comprensione approfondita delle definizioni fondamentali, dei principali risultati teorici e di alcune strategie dimostrative relative all’analisi su spazi metrici. Conoscerà classi significative di spazi (metrici di lunghezza, intrinseci, di misura) e i contesti matematici in cui essi emergono. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente sarà in grado di applicare metodi dell’analisi e della geometria a spazi metrici non standard, identificandone proprietà geometriche e analitiche rilevanti. Saprà introdurre e utilizzare strumenti di calcolo differenziale di primo ordine in tali ambienti. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente le ipotesi dei risultati studiati, valutare l’applicabilità degli strumenti teorici in contesti differenti e riconoscere collegamenti concettuali tra vari argomenti del corso. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di esporre con chiarezza e rigore contenuti teorici, esempi ed elaborazioni proprie, utilizzando in modo appropriato il linguaggio matematico e argomentativo sia in forma scritta che orale. Capacità di apprendimentoLo studente acquisirà autonomia nello studio di testi avanzati, nonché gli strumenti concettuali necessari per affrontare ulteriori approfondimenti nell’ambito dell’analisi geometrica e discipline affini, anche in vista di attività di ricerca.

Parte I. Spazi metrici (intrinseci) e curvatura. Spazi metrici: definizione, esempi, topologia; misura e dimensione di Hausdorff. Spazi di lunghezza, metriche intrinseche, geodetiche, lunghezza e velocità; costruzioni e esempi. Spazi di curvatura limitata: alcune definizioni equivalenti di curvatura limitata (dall'alto o dal basso) per uno spazio metrico; angoli; costruzioni e esempi. Convergenza di spazi metrici: convergenza uniforme; definizioni e proprietà della distanza di Gromov-Hausdorff. Panoramica sulle proprietà degli spazi metrici a curvatura positiva: crescita dei volumi, dimensione di Hausdorff; globalizzazione; esempi (coni, superfici convesse,...); cenni a risultati di compattezza. Parte II. Analisi e calcolo differenziale su spazi metrici di misura Spazi metrici di misura; proprietà del raddoppio; lemmi di ricoprimento: teorema di Vitali, teorema di Lebesgue. Funzione massimale di Hardy-Littlewood: risultati di limitatezza. Richiami su spazi di Sobolev in R^n; immersioni di Sobolev; disuguaglianze di Poincaré. Spazi di Sobolev su spazi metrici: approccio via la funzione massimale; funzioni lipschitziane: teoremi di estensione e di densità. Gradiente superiore, moduli di una famiglia di curve, capacità; spazi di Sobolev newtoniani su spazi metrici: definizioni e proprietà. Cenni a equazioni differenziali su spazi metrici: disuguaglianze di Poincaré su spazi metrici; funzioni armoniche e problemi di Dirichlet.

L’esame consiste in una prova orale conclusiva con voto in trentesimi. Non sono previste prove in itinere. L'esame orale sarà principalmente un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, teso a verificare il livello delle conoscenze, l’autonomia di analisi e giudizio e le capacità espositive acquisite dallo studente. Qualche facile esercizio o esempio non trattato a lezione potrà essere discusso. Il corso è diviso in due parti principali (si veda la voce "programma esteso" per maggiori dettagli).Per l'esame è possibile concentrarsi maggiormente su una delle due parti (a scelta) da conoscere in dettaglio, e dell'altra parte conoscere più a grandi linee i concetti, gli oggetti e le definizioni, ma non necessariamente gli enunciati rigorosi dei risultati e le dimostrazioni. E' anche possibile scegliere un breve argomento di approfondimento, concordato con, ed eventualmente (ma non necessariamente) proposto dal, docente con cui cominciare l'esame.

I principali testi di riferimento sono i seguenti. Per la prima parte del corso: D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 Per la seconda parte del corso: J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2001 A. Björn, J. Björn, Nonlinear potential theory on metric spaces. EMS Tracts in Mathematics, 17. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011. xii+403 pp. Saranno messe a disposizione degli studenti delle note redatte dal docente che contengono i concetti, i risultati, le dimostrazioni e buona parte degli esempi trattati a lezione.

L'obiettivo del corso è di studiare grafi particolari chiamati alberi e i gruppi che agiscono su di essi, con attenzione alla teoria sviluppata da Hyman Bass e Jean-Pierre Serre negli anni '70. Questa teoria è fondamentale nella teoria geometrica dei gruppi, che mira a recuperare proprietà dei gruppi attraverso la loro azione su spazi topologici. Il corso coprirà anche applicazioni come le terminazioni di gruppi, la caratterizzazione dei sottogruppi di gruppi liberi tramite grafi di Stallings, e la frontiera di un albero. In particolare, gli obiettivi formativi descritti nei termini dei Descrittori di Dublino, saranno: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Lo studente acquisirà una conoscenza chiara e sistematica dei principali concetti della teoria di Bass-Serre sugli alberi. Conoscerà il linguaggio, le definizioni e gli enunciati dei risultati fondamentali della teoria di Bass-Serre (come grafi, alberi e costruzioni di prodotti di gruppi) e comprendere i concetti di della teoria geometrica dei gruppi e le loro applicazioni, con un occhio alla continuazione dello studio. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le principali tecniche dimostrative della teoria di Bass-Serre per analizzare azioni di gruppi che agiscano su alberi e potrà utilizzare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi avanzati (problem solving). Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente apprenderà a valutare criticamente le diverse tecniche dimostrative e le loro applicazioni e svilupperà un approccio critico e autonomo nello studio della teoria geometrica dei gruppi. Abilità comunicative (communication skills): Lo studente saprà comunicare in modo chiaro ed efficace i concetti e le tecniche della teoria di Bass-Serre, utilizzando correttamente il linguaggio matematico per poter presentare e discutere i risultati teorici e le applicazioni in un contesto accademico. Capacità di apprendere (learning skills): Lo studente svilupperà la capacità di aggiornarsi autonomamente sui temi e sviluppi nella teoria geometrica dei gruppi, di interpretare criticamente la letteratura scientifica e di integrare nuove conoscenze nella propria pratica professionale o di ricerca. Il corso può essere tenuto in inglese o italiano. Per fini didattici e trasversali sarebbe preferibile la lingua inglese, ma comunque la lingua verrà discussa e decisa di persona nelle prime lezioni del corso.

Grafi, cammini, connettività, alberi Azioni di gruppi su grafi, grafi di Cayley, grafi quoziente Gruppi liberi, lemma del diamante e del ping-pong Prodotti liberi e amalgamati, estensioni HNN e loro realizzazione tramite azioni su alberi Grafi di gruppi, gruppo fondamentale di un grafo di gruppi Teorema di caratterizzazione per gruppi che agiscono su alberi (teorema fondamentale della teoria di Bass-Serre) Teorema di Kurosh per sottogruppi di prodotti liberi Possibili argomenti più avanzati a fine corso (terminazioni di gruppi, grafi di Stallings, frontiera di un albero, ecc.)

La prova finale d'esame consiste in un colloquio orale svolto in due parti: (1) La prima parte è una presentazione di 20 minuti su un'applicazione, approfondimento o un tema relazionato della teoria di Bass-Serre concordato con il docente. La presentazione contribuisce 20% del voto finale. (2) La seconda parte è discussione orale tramite domande su argomenti svolti a lezione contenuti del corso da cui si valuta le competenze acquisite dallo studente nello spiegare e applicare la teoria di Bass-Serre. La discussione su argomenti svolti contribuisce 80% del voto finale.

O. Bogopolski, Introduction to Group Theory, EMS Textbooks in Mathematics, 2008. J. Meier, Groups, Graphs and Trees, London Mathematical Society, Student Texts, 73, CUP, 2008. J-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin, 1980. W. Dicks, M. Dunwoody. Groups acting on graphs. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17. Cambridge University Press, Cambridge, 1989 G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1993

Il corso si propone di fornire gli strumenti matematici e di presentare l'apparato concettuale che servono a comprendere la formulazione del campo gravitazionale di Einstein. Gli stessi strumenti matematici verranno utilizzati nella seconda parte del corso per discutere alcuni aspetti geometrici della teoria dei sistemi integrabili. I risultati di apprendimento attesi includono: La padronanza del calcolo tensoriale. La conoscenza dei concetti di base della teoria della relatività generale. La conoscenza dei concetti di base della teoria dei sistemi integrabili di tipo idrodinamico. Il corso mira a fornire agli studenti l'autonomia sufficiente per poter comprendere testi scientifici avanzati sulla relatività generale e sulla teoria moderna dei sistemi integrabili. Al termine del corso gli studenti saranno in grado di preparare un seminario su alcuni argomenti più avanzati non trattati nel corso.

Metriche riemanniane e pseudo-riemanniane. Lo spazio-tempo di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz. Breve richiamo di teoria delle superfici. Prima e seconda forma fondamentale. Teorema egregio di Gauss. Equazioni di Gauss Peterson Mainardi Codazzi. Varietà riemanniane e pseudo-riemanniane. Tensori: teoria algebrica. Operazioni algebriche sui tensori. Derivata di Lie di un tensore. Tensori su varietà riemanniane e pseudo-riemanniane. Processo di alzare e abbassare gli indici. Derivata covariante. Connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo e curvatura. Geodetiche e deviazione geodetica. Elementi di relatività generale: Principio di equivalenza. Spazio tempo curvo. Equazioni di Einstein. Sistemi di tipo idrodinamico. Invarianti di Riemann. Condizioni di integrabilità e metodo dell'odografo generalizzato. Parentesi di Poisson geometrico differenziali. Strutture bihamiltoniane e fasci di metriche piatte. Un esempio importante: lo spazio delle orbite di un gruppo di Coxeter e le soluzioni polinomiali delle equazioni di WDVV.

L'esame consiste in una prova orale, nella quale si richiede la conoscenza degli argomenti svolti a lezione e la capacità di illustrarne il contenuto mediante esempi significativi. Oltre alla conoscenza dei contenuti teorici del corso verrà valutata la capacità di presentarli in modo ben strutturato e chiaro. Uno degli argomenti della parte finale del corso (relatività generale o sistemi integrabili) potrà essere sostituito da una relazione scritta ed un seminario su un argomento concordato con il docente tra una lista di argomenti di approfondimento di relatività generale e sistemi integrabili. La durata complessiva dell'esame orale è di circa 90 minuti incluso l'eventuale seminario (di circa 45 minuti). Non vi saranno prove parziali durante lo svolgimento del corso.

Capitoli scelti da: B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Geometria contemporanea, voliume 1", Editori riuniti. R. d'Inverno, "Introduzione alla Relatività di Einstein", CLUEB. N.M.J. Woodhouse, "General Relativity", Springer Undergraduate Mathematics Series.

Il corso fornisce un'introduzione all'analisi di Fourier e alle sue applicazioni alla teoria del segnale. Al termine del corso lo studente sarà in grado di comprendere gli aspetti fondamentali della teoria del segnale, con particolare riferimento alle applicazioni musicali. Non sono richieste conoscenze specifiche di teoria musicale. Più specificamente, i risultati di apprendimento attesi comprendono: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari proprie dell'Analisi di Fourier, con particolare riferimento alla convergenza in media, puntuale e uniforme delle serie e degli integrali di Fourier; la conoscenza e la comprensione della Trasformata di Fourier discreta, dell'algoritmo della trasformata di Fourier veloce e dei risultati fondamentali riguardanti la diffusione di onde sonore. la capacità di applicare il bagaglio di conoscenze sopra descritte alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi aventi diversi gradi di difficoltà (a partire da semplici esercizi di applicazione delle definizioni e dei risultati illustrati nel corso fino a esercizi che richiedono la capacità di sviluppare in modo originale concetti appresi nel corso). Descrizione secondo i 5 Descrittori di Dublino🔹 1. Conoscenza e capacità di comprensione Lo studente acquisirà una comprensione approfondita dei fondamenti teorici dell’analisi di Fourier, con particolare attenzione alla convergenza (puntuale, uniforme, in media) di serie e integrali di Fourier, alla trasformata discreta di Fourier (DFT) e all’algoritmo FFT. Saranno inoltre trattati elementi di propagazione delle onde sonore e modellizzazione dei segnali, con riferimenti alle applicazioni in ambito musicale e fisico. Tali contenuti saranno presentati con rigore matematico, e collocati in un contesto più ampio di analisi armonica.🔹 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate Lo studente sarà in grado di applicare i concetti e i risultati teorici appresi all’analisi e alla sintesi di segnali, alla risoluzione di problemi complessi, e alla costruzione di modelli matematici anche in contesti interdisciplinari (fisica, elaborazione del suono, ingegneria). Sarà in grado di sviluppare e implementare algoritmi di trasformata di Fourier in casi pratici, con attenzione sia agli aspetti computazionali che concettuali.🔹 3. Autonomia di giudizio Lo studente svilupperà capacità critiche nel valutare la validità e i limiti delle tecniche dell’analisi armonica, distinguendo tra modelli ideali e scenari reali. Sarà in grado di selezionare strumenti teorici adeguati a problemi specifici, anche in contesti non standard, e riflettere sull’adeguatezza delle ipotesi matematiche utilizzate.🔹 4. Abilità comunicative Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, rigoroso ed efficace i concetti matematici dell’analisi armonica, sia a interlocutori specialisti sia a interlocutori di ambiti affini (ad esempio in ambito musicale, fisico o ingegneristico). Sarà in grado di redigere relazioni tecniche e di presentare argomenti teorici e applicativi, anche con l’ausilio di strumenti digitali.🔹 5. Capacità di apprendere Il corso fornirà le competenze necessarie per proseguire autonomamente l’approfondimento dell’analisi armonica e delle sue applicazioni, ad esempio verso lo studio della trasformata di Fourier generalizzata, delle distribuzioni temperate, dell’analisi spettrale e dell’elaborazione digitale dei segnali. Lo studente sarà in grado di affrontare testi specialistici e articoli di ricerca, e di utilizzare la conoscenza acquisita come base per studi futuri o attività di ricerca.

Sistemi ortonormali e criterio di Vitali-Dalzell Proprietà elementari delle serie di Fourier in una variabile. Convergenza in media e puntuale (il test di Dini e il Teorema di Jordan). Medie di Cesaro e loro convergenza puntuale. Applicazione alla corda vibrante Analisi di Fourier nel disco unitario del piano e applicazioni alle onde stazionarie del tamburo La trasformata di Fourier in una variabile. Lo spazio di Schwarz. Formula di inversione e formula di Plancherel. Trasformata di Fourier in più variabili. L'equazione delle onde e la propagazione del suono. Risoluzione dei problemi di Cauchy relativi. Medie sferiche. Le trasformate di Fourier discreta e veloce. Teorema di Paley-Wiener, formula di sommazione di Poisson e teorema del campionamento. La trasformata di Gabor e gli spettrogrammi Applicazioni alla musica e alla digitalizzazione del suono.

E' prevista una prova in itinere, che sarà valutata con gli stessi criteri, descritti qui sotto, delle prove scritte.Prova scritta, contenente domande di carattere teorico (dimostrazioni di parte dei risultati discussi a lezione) e problemi di applicazione della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le esercitazioni. Una valutazione sufficiente dell'elaborato presuppone che sia la valutazione delle conoscenze teoriche richieste, sia quella delle abilità necessarie allo svolgimento degli esercizi di applicazione della teoria risultino sufficienti. Le votazioni delle due parti dello scritto concorreranno in ugual misura alla votazione finale. La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.

Sono disponibili sulla piattaforma e-learning le dispense del corso redatte dal docente che contengono tutto il materiale che sarà illustrato a lezione nonché numerosi problemi, alcuni dei quali tratti da temi d'esame degli anni precedenti. Approfondimenti di aspetti della teoria si possono trovare nei testi seguenti: Stein-Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton University Press Steiglitz, A Digital Signal Processing Primer, Princeton University Press D. Benson, Music: a Mathematical Offering, disponibile gratuitamente all'indirizzo https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf

Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino: Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una solida comprensione teorica dei concetti fondamentali della teoria delle funzioni a variazione limitata e delle funzioni assolutamente continue in una dimensione, delle distribuzioni (nel senso di Schwartz) e degli spazi di Sobolev. Tali conoscenze si estendono a esempi significativi e contesti applicativi, anche trasversali rispetto ad altre aree della matematica. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, inclusi contesti legati all’analisi numerica, alla fisica matematica e alla probabilità. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare. Autonomia di giudizioAttraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità critiche nell’analisi di problemi avanzati, sapendo valutare la rilevanza e i limiti degli strumenti dell’analisi moderna in diversi contesti applicativi. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente contenuti matematici di livello avanzato, sia in forma scritta che orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti. Capacità di apprendimentoIl corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale, nella preparazione della tesi magistrale e nell’eventuale proseguimento degli studi in ambito di ricerca.

Funzioni a variazione limitata. Funzioni assolutamente continue.Funzioni a variazione limitata e loro caratterizzazione. Il teorema di ricoprimento di Vitali. Derivabilità quasi ovunque delle funzioni monotone. Le funzioni assolutamente continue. Caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue come integrali di funzioni sommabili. Elementi di teoria delle distribuzioni.Definizioni e esempi. Le derivate di una distribuzione. Convergenza di distribuzioni. Operazioni con le distribuzioni. Spazi di Sobolev. Motivazioni, definizioni e proprietà. Teorema di Morrey. Disuguaglianza di Sobolev. Immersioni di Sobolev. Operatori di prolungamento. Operatori di traccia. Problemi ellittici del secondo ordine. Lemma di Lax-Milgram. Problemi ellittici del secondo ordine: formulazione variazionale, esistenza di soluzioni. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Problemi ellittici con condizioni al bordo di Neumann.

L'esame consiste in una prova scritta e in una sua discussione orale. La prova scritta verifica il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (enunciati, dimostrazioni, definizioni, esempi/controesempi discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale. La prova orale si terrà qualche giorno dopo la prova scritta; essa consisterà in una breve discussione e correzione della prova scritta e verificherà la padronanza degli argomenti riportati nell’elaborato.

Dispense disponibili sulla pagina e-learning del corso. A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013. H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010. L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society, 1998. G. Leoni. A First Course in Sobolev Spaces. Second Edition, American Mathematical Society, 2017.

Al termine dell’insegnamento gli studenti avranno conseguito i seguenti risultati di apprendimento. Conoscenza e capacità di comprensione. Gli studenti acquisiranno conoscenze relative ad alcune fasi fondamentali dello sviluppo storico della matematica, con particolare attenzione all’evoluzione dei concetti, dei metodi, dei problemi e delle forme di dimostrazione. Gli studenti familiarizzeranno con episodi significativi della storia della matematica, dalla matematica antica ad alcuni sviluppi moderni e contemporanei, e comprenderanno come le teorie matematiche siano influenzate da problemi interni alla disciplina, innovazioni concettuali, trasformazioni notazionali e contesti culturali.Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Gli studenti saranno in grado di applicare strumenti storici e matematici all’analisi di testi, problemi e argomentazioni matematiche appartenenti a periodi diversi. Saranno in grado di confrontare diverse formulazioni di una stessa idea matematica, riconoscere cambiamenti di terminologia e notazione, e ricostruire il contenuto matematico di fonti storiche utilizzando, quando necessario, un linguaggio contemporaneo appropriato.Autonomia di giudizio. Gli studenti svilupperanno la capacità di valutare criticamente ricostruzioni e narrazioni storiche riguardanti la matematica, distinguendo tra interpretazioni retrospettive e significati storicamente situati. Saranno incoraggiati a riflettere sul ruolo di esempi, problemi, tecniche, dimostrazioni e cambiamenti concettuali nello sviluppo della conoscenza matematica, nonché sul rapporto tra rigore matematico e contesto storico.Abilità comunicative. Gli studenti acquisiranno la capacità di presentare in modo chiaro e rigoroso argomenti storici e matematici relativi allo sviluppo della matematica. Impareranno a discutere testi matematici e ricostruzioni storiche utilizzando una terminologia appropriata, sia oralmente sia per iscritto, e a spiegare il significato matematico di esempi storici a un pubblico dotato di formazione matematica.Capacità di apprendimento. Gli studenti svilupperanno strumenti metodologici e autonomia di studio necessari per proseguire l’approfondimento della storia della matematica e di ambiti affini. Impareranno a utilizzare manuali, studi storici e fonti primarie selezionate per approfondire la comprensione dei concetti matematici e del loro sviluppo storico.

Il corso introdurrà gli studenti ai temi e gli episodi centrali nella storia della Matematica e del pensiero matematico.Possibili argomenti includono: Il problema dello spazio in Matematica da Euclide a Riemann e EinsteinDeterminismo e indeterminismo. Aspetti matematicie ed epistemologiciIl problema dei fondamenti in Matematica. Da Cantor a Gödel e oltre La scelta precisa dell'argomento può variare di anno in anno e verrà indicata dal docente all'inizio del corso.

L’esame è individuale e consiste in una prova orale, volta ad accertare la conoscenza e la comprensione degli argomenti presentati nel corso, nonché la capacità di discutere criticamente argomenti matematici e storici. La prova orale verterà sui temi trattati a lezione e sul materiale didattico fornito dal docente. Agli studenti sarà richiesto di presentare sviluppi storici, spiegare il contenuto matematico di esempi selezionati, confrontare formulazioni o approcci differenti e discutere il ruolo di problemi, metodi e cambiamenti concettuali nell’evoluzione della matematica. La valutazione terrà conto in particolare dei seguenti elementi: conoscenza dei principali sviluppi storici discussi nel corso;comprensione del contenuto matematico degli esempi e dei testi considerati;capacità di collegare contesto storico e significato matematico;capacità di discutere criticamente interpretazioni storiche;chiarezza, coerenza e rigore dell’esposizione;uso appropriato della terminologia matematica e storica. Il voto finale sarà espresso in trentesimi. Criteri indicativi di graduazione del voto: 18-19: conoscenza limitata degli argomenti trattati nel corso; comprensione parziale del contenuto matematico e storico; esposizione spesso incerta o non pienamente accurata. 20-23: conoscenza sufficiente di una parte significativa del programma; capacità di descrivere i principali sviluppi storici ed esempi, con alcune limitazioni nell’analisi critica e nell’uso della terminologia. 24-27: buona conoscenza degli argomenti trattati nel corso; buona comprensione del contenuto matematico e del contesto storico; esposizione chiara e capacità di stabilire collegamenti pertinenti tra temi diversi. 28-30 e lode: conoscenza completa e approfondita degli argomenti trattati nel corso; forte capacità di discutere in modo critico e autonomo argomenti storici e matematici; esposizione chiara, rigorosa e ben strutturata; ottima padronanza della terminologia rilevante e capacità di collegare i temi del corso a prospettive matematiche e storiche più ampie.

Testo principale di natura generale consigliato: J. Dieudonné, Mathematics.,the Music of Reason. Springer Altri testi:A.Dahan Dalmedico et al, Chaos et Determinisme, Editions de SeuilC.Bartocci, P.Odifreddi, Matematica, Problemi e Teoremi, UTETV. J. Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Addison-Wesley.J. Stillwell, Mathematics and Its History, Springer.I. Grattan-Guinness, The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences, Norton.Materiale supplementare verrà indicato o fornito dal docente.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti l'acquisizione degli strumenti per la trasmissione di informazione su canali con rumore, al fine di analizzare procedure di scambio ottimali nella rilevazione e correzione di errori. Tempo permettendo verranno impartiti alcuni rudimenti su linguaggi di programmazione simbolica come Magma e Gap. Tali strumenti servono ad enfatizzare gli aspetti sperimentali della scoperta matematica. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi all teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)Gli studenti acquisiranno una conoscenza di base dei principi fondamentali della teoria dei codici correttori, inclusi concetti quali codifica, decodifica, distanza di Hamming, codici lineari, codici ciclici e proprietà di correzione d’errore. Tali conoscenze si baseranno su manuali di testo e materiali didattici aggiornati e saranno il fondamento per studi più approfonditi. Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)Gli studenti saranno in grado di applicare i concetti appresi per analizzare e progettare semplici sistemi di codifica e decodifica in contesti reali o simulati, riconoscendo le caratteristiche dei codici correttori e la loro applicabilità in ambito delle comunicazioni digitali e informatiche. Autonomia di giudizio (Making judgements)Il corso promuoverà lo sviluppo della capacità di valutare in modo critico l’efficacia e l’efficienza dei diversi codici correttori, di selezionare metodi opportuni per specifici problemi, e di interpretare i risultati ottenuti attraverso metodi teorici e computazionali. Abilità comunicative (Communication skills)Gli studenti impareranno a comunicare in modo chiaro e preciso i concetti della teoria dei codici, utilizzando la terminologia tecnica appropriata, sia in forma scritta che orale, anche in contesti collaborativi e interdisciplinari. Capacità di apprendimento (Learning skills)Il corso stimolerà l’autonomia nello studio, fornendo gli strumenti per approfondire in modo autonomo argomenti correlati, affrontare esercizi complessi e prepararsi ad esami o corsi successivi nel campo della matematica applicata o dell’informatica teorica.

Trasmissioni con rumore, alfabeto, parole di lunghezza fissata, codici a blocchi; canale simmetrico m-ario con probabilità p, codici di ripetizione, codice binario di Hamming (7,4,3); distanza di Hamming, lunghezza, dimensione e distanza minima di un codice, sphere packing bound, Gilbert-Varshamov bound, codici perfetti, cenni ai codici di Golay e di Hamming; Codici lineari, peso minimo, estensione di codici; Matrice generatrice di un codice, forma sistematica e standard, codici duali, matrici di controllo, distanza minima di un codice lineare; Cenni all'aritmetica dei campi finiti; Esistenza di codici autoduali, spazi simplettici e ortogonali; Decodifica di codici lineari, coset leaders, sindromi; Spazi proiettivi, decomposizione in spazi affini, codici di Hamming, codici 1-perfetti, unicità monomiale, traslati di codici lineari; Duali di codici di Hamming, codici a peso costante, teorema di Bonisoli; Gruppo degli automorfismi dei codici di Hamming; Struttura campi finiti, elementi primitivi; Polinomi ciclotomici su campi finiti; Fattorizzazione di x^n-1, polinomi minimi, struttura automorfismi campo finito, cenni teoria di Galois; classi ciclotomiche, gradi fattori irriducibili x^n-1, formula d’inversione di Moebius; Definizione di codici ciclici, Teorema di Prange; Duale codice ciclico, polinomi generatori; Generazione di codici ciclici, codici di Golay come codici ciclici, BCH bound; Teorema di MacWilliams sull’estensione di mappe lineari preservanti pesi a trasformazioni globali monomiali; Polinomi enumeratori, teorema di MacWilliams, esempi C=0, C=Rep e loro duali, caratteri di un gruppo; Esempi di anelli con caratteri non degeneri, leggi di ortogonalita'; Teorema di Lloyd sui codici perfetti; Introduzione alla teoria degli invarianti dei gruppi finiti, Teoremi di Noether e di Molien, serie di Hilbert-Poincaré, gruppi generati da pseudo-riflessioni, anelli di Cohen-Macaulay, Teorema di Chevalley-Shephard-Todd.

L'esame consiste in un'interrogazione orale in cui vengono accertate sia l'acquisizione dei contenuti teorici impartiti nel corso sia le capacita' di analisi e risoluzione di problemi. Le attuali disposizioni rettorali richiedono che la prova orale dell’esame si svolga in presenza a meno che lo studente non rientri in particolari e categorie riportate nel decreto rettorale. In tal caso la prova orale potrà essere sostenuta da remoto mediante piattaforma WebEx con accesso reso disponibile sulla pagina e-learning dell’insegnamento.

Testo di Riferimento: Hall, Notes on Coding Theory, 2005 Appunti videoscritti delle singole lezioni reperibili su questa piattaforma. Appunti scritti in LaTeX in formato pdf reperibili su questa piattaforma. Altri Testi: Huffman and Pless, Fundamentals of error-correcting codes, 2010 MacWilliams and Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, 1977 Smith, Polynomial invariants of finite groups, 1995

Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino: Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una solida comprensione teorica riguardanti le definizioni e gli enunciati fondamentali del controllo ottimo sia con la tecnica variazionale che con la programmazione dinamica. Questi strumenti poi verranno applicati alla teoria dei giochi differenziali. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare modelli economici e non. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, in particolare a contesti legati all’analisi economica. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare. Autonomia di giudizioAttraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità logiche e critiche nell’analisi di problemi in diversi contesti applicativi, in particolare di tipo economico. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente i contenuti matematici del corso in forma scritta e orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti. Capacità di apprendimentoIl corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale e nella preparazione della tesi magistrale.

1. INTRODUZIONE AL CONTROLLO OTTIMO a. Alcuni problemi introduttivi In barca con Pontryagin, un modello di consumo ottimo, ”the lady in the lake”. b. Formulazione di un problema di controllo ottimo Definizioni di controlli, dinamica, traiettorie, insieme di controllo, target set. Funzioni assolutamente continue. Soluzione di una equazione differenziale ordinaria con funzioni misurabili: definizione e teorema di esistenza e unicità. Controlli ammissibili. Importanza del caso della dinamica lineare. Insieme dei punti raggiungibili. 2. Il CONTROLLO OTTIMO CON METODO VARIAZIONALEa. Il problema più semplice di controllo ottimo Il teorema di Pontryagin (DIM nel caso di insieme di controllo U=R, DIM anche del lemma tecnico): definizione di Hamiltoniana e conseguenze del principio del Massimo. Controllo estremale, moltiplicatore associato. Controllo normale e abnormale: un esempio di controllo ottimo abnormale. Proprietà dell’Hamiltoniana lungo il cammino ottimo (DIM). Problemi autonomi: proprietà dell’Hamiltoniana lungo il cammino ottimo. Condizioni sufficienti di ottimalità: la condizione di Mangasarian (DIM). Funzioni concave, sopragradiente, sopragradiente di funzioni differenziabili, cenni al Teorema di Rockafellar: la condizione sufficiente di Arrow (DIM). Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati. Sui problemi di minimo. A two sector model with investment and consumption goods.b. Il problema più semplice di calcolo delle variazioni Il teorema di Eulero (DIM come caso particolare del teorema di Pontryagin). Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati. Condizioni sufficienti per il problema più semplice usando concavità/convessità. Curva di lunghezza minima.c. Controlli singolari e bang-bang Definizioni di controlli bang-bang, istanti di commutazione e controlli singolari. La costruzione di una strada di montagna a costo minimo.d. Problema più generali di controllo ottimo Problemi di Mayer, di Bolza e Lagrange: loro equivalenza (DIM). Problemi a tempo finale fisso: condizione necessaria e condizione sufficiente per il problema di Bolza, problemi autonomi. Problemi a tempo finale libero: nozione di tempo di uscita, condizione necessaria per il problema di Bolza, problemi autonomi.Problemi di time optimal: condizione necessaria. In barca con Pontryagin. Problemi di time optimal singolari: the Dubins car.Problemi ad orizzonte infinito: controesempio di Halkin; condizione sufficiente (DIM). Hamiltoniana corrente e moltiplicatore corrente e loro condizioni necessarie (DIM) e sufficienti. Modelli di crescita economica: preferenze, funzioni di utilità: un modello di consumo ottimo con utilità logaritmica.e. Problemi di esistenza e controllabilità Esempi di classe di controlli vuota o di classe di controlli non vuota e senza controllo ottimo (controesempio di Bolza). Disuguaglianza di Gronwall (DIM). Teorema di esistenza del controllo ottimo per i problemi di Bolza: il caso con insieme di controllo chiuso e il caso con insieme controllo compatto. 3. CONTROLLO OTTIMO CON IL METODO DELLA PROGRAMMAZIONE DINAMICAa. La funzione valore e le sue proprietà per il problema più semplice di controllo ottimo. Definizione della funzione valore. Il principio di ottimalità di Bellman (DIM). Le proprietà della funzione valore: la condizione (necessaria) finale sulla funzione valore (DIM), l’equazione di Bellmann-Hamilton-Jacobi (BHJ) per funzioni valori differenziabili (DIM). L’Hamiltoniana della Programmazione Dinamica. Condizioni sufficienti di ottimalità (DIM). L’equazione di BHJ lungo la traiettoria ottima. Sui problemi di minimo. Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita. Problemi Affini-Quadratici e Lineari-Quadratici-omogenei: loro funzione valore. Equazioni differenziali di Ricatti. La funzione valore del problema a tempo finale fisso e valore finale libero (sotto opportune ipotesi), è Lipschitz (DIM per problemi autonomi). Cenni al teorema di Rademacher: la funzione valore ammette derivate q.o. Definizione di soluzione viscosa per l’equazione di BHJ; la funzione valore come unica soluzione viscosa per l’equazione di BHJ; un esempio di problema di controllo ottimo la cui funzione valore è soluzione viscosa per l’equazione di BHJ. b. Problemi più generali di controllo otttimo. Condizioni necessarie e sufficienti per problemi di controllo ottimo più generali. Modello di produzione e gestione del magazzino. Problemi autonomi, ad orizzonte illimitato: la sua funzione valore corrente e la relativa equazione di BHJ (DIM). Un modello di consumo ottimo con utilità HARA. Cenni al modello stocastico di Merton.c. Legami tra i metodi variazionali e la Programmazione Dinamica. Interpretazione del moltiplicatore come prezzo ombra (DIM). 4. GIOCHI DIFFERENZIALIa. Nozioni introduttive Formulazione di un gioco differenziale a 2 giocatori. Giochi simmetrici, giochi completamente cooperativi, giochi a somma zero. Concetti di soluzioni: equilibrio di Nash, equilibrio di Stackelberg. Tipi di strategie: a ciclo aperto e feedback. b. Soluzioni di equilibrio di Nash *Strategie open loop. Uso dell’approccio variazionale: condizioni necessarie e sufficienti per avere un equilibrio di Nash open-loop. Il modello lavoratori-capitalisti di Lancaster. **Strategie feedback. Perché la tecnica variazione non è particolarmente utile (DIM). Definizione di funzione valore su un equilibrio di Nash feedback. Condizioni necessarie e sufficienti con l’uso della programmazione dinamica per un equilibrio di Nash feedback. Le funzioni valore per problemi giochi differenziali Affini-Quadratici a due giocatori. La funzioni valore corrente per giochi a orizzonte infinito e scontati. Un problema di produzione per due aziende in competizione.c. Soluzioni di equilibrio di Stackelberg Giocatore leader e giocatore gregario, insieme di miglior risposta. Ricerca di soluzioni open-loop con l’approccio variazionale. Padre e figlio al lago.d. Giochi a somma zero Equilibrio di Nash come punto di sella. Insieme dei controlli e insieme delle strategia non anticipative: esempio della strategia non anticipativa costante. Definizione di funzione valore inferiore V⁻ , funzione valore superiore V+ e loro relazione; un esempio di gioco con V⁺ > V⁻*.* Definizione di funzione valore V. Hamiltoniana inferiore della Programmazione Dinamica H⁻PD (superiore H⁺PD): H⁻PD≤H+PD (DIM); un esempio di gioco con H⁻PD*<H⁺PD. Condizione di Isaacs (o di minimax) e definizione di Hamiltoniana della Programmazione Dinamica HPD. Risultati con funzioni valore regolari. Equazione di Isaacs inferiore e superiore: V⁺ (V⁻) è soluzione dell’equazione di Isaacs superiore (inferiore). Una dimostrazione geometrica che V soddisfa l’equazione di Isaacs (DIM). Equazioni di Isaacs per V e condizioni sufficienti con la PD per un equilibrio di Nash con strategia feedback. Condizioni necessarie e sufficienti con approccio variazionale con strategia open-loop Risultati per funzioni valore in generale. V⁻ (V⁺) è Lipschitz (sotto opportune ipotesi). V⁻ (V⁺) è l’unica soluzione viscosa dell’equazione di Isaacs inferiore (superiore). La condizione di Issacs implica V⁺=V⁻=V. War of attrition and attack*e. Giochi di cattura ed evasione Formulazione di un gioco di cattura-evasione, target set, exit time. La funzione valore e l’equazione di Isaacs per problemi autonomi (DIM). Lady in the lake.

L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale facoltativa. PROVA SCRITTA (3 ore, a cui è necessario iscriversi) consiste in una prova sui seguenti argomenti: definizioni, teoremi, dimostrazioni (le dimostrazioni sono indicate con DIM) come da programma dettagliato; modelli economici e non, come da programma dettagliato; esercizi di controllo ottimo con metodo variazionale e con la programmazione dinamica.Gli esercizi dell’esame scritto verranno scelti rigorosamente dalla lista [C3] presente sulla pagina del corso (escludendo gli esercizi del punto 1.8): si consiglia di verificare periodicamente la lista. PROVA ORALE (in data da concordare, ma entro un anno dalla prova scritta) è un approfondimento dell’elaborato scritto. E' facoltà dello studente rifiutare il voto finale e ripetere la prova d'esame, per non più di 2 volte.

[C1] A. Calogero “Notes on optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete. [C2] A. Calogero “A very short tour on differential games”, disponibile gratuitamente in rete. [C3] A. Calogero “Exercises of dynamic optimization”, disponibile gratuitamente in rete. Ulteriore materiale didattico:[BO] T. Başar, G.O. Olsder “Dynamic noncooperative game theory”, SIAM Classic in Applied Mathematics, 1998 [B] A. Bressan “Noncooperative differential games. A Tutorial”, Milan Journal of Nathematics, vol 79, pag 357-427, 2011. [E] L.C. Evans “An introduction to mathematical optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete. [FR] W.H. Fleming, R.W. Rishel "Deterministic and stochastic optimal control", Springer-Verlag, 1975 [KS] M.I. Kamien, N.L. Schwartz “Dynamic optimization” Elsevier, second edition, 2006 [SS] A. Seierstad, K Sydsæter “Optimal control theory with economics applications” Elsevier Science, 1987

Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino: Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una solida comprensione teorica dei concetti fondamentali dell'ottimizzazione e dell'analisi convessa in ambito finito-dimensionale. In particolare, al completamento dell’insegnamento, conoscerà le estensioni del teorema di Weierstrass, il principio variazionale di Ekeland, i teoremi dell'alternativa, le proprietà di regolarità delle funzioni convesse, il teorema di Fritz John per problemi di programmazione non lineare, il significato economico dei moltiplicatori, la dualità lagrangiana, e nozioni e tecniche di ottimizzazione per funzioni a valori vettoriali.Tali conoscenze si estendono a esempi significativi e contesti applicativi, anche a discipline trasversali rispetto ad altre aree della matematica. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, in particolare a contesti legati all’analisi economica. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare. Autonomia di giudizioAttraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità logiche e critiche nell’analisi di problemi in diversi contesti applicativi, in particolare di tipo economico. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente i contenuti matematici del corso in forma scritta e orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti. Capacità di apprendimentoIl corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale e nella preparazione della tesi magistrale.

Introduzione all'ottimizzazione statica. Richiami di calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Ottimizzazione globale. Teorema di Weierstrass e sue estensioni. Ottimizzazione locale. Principio variazionale di Ekeland. Teoremi dell'alternativa. Convessità di insiemi. Funzioni convesse. Proprietà di regolarità. Minimizzazione di funzioni convesse. Programmazione non lineare. Teorema di Fritz John. Lagrangiana e lagrangiana debole associate. Qualificazione dei vincoli. Moltiplicatore e funzione valore. Teoria della dualità lagrangiana. Introduzione all'ottimizzazione vettoriale. Spazi vettoriali parzialmente ordinati. Nozioni di soluzione per un problema di ottimizzazione vettoriale. Scalarizzazione e condizioni di ottimalità.

Modalità d’esame: non sono previste prove in itinere. nella prova finale, sia in quella scritta che in quella orale, vengono valutati: la conoscenza delle metodologie, il rigore di ragionamento,la capacità di illustrare con la terminologia adeguata i risultati presentati la valutazione delle prove (scritta, orale) terrà conto prevalentemente della conoscenza degli argomenti richiesti e del rigore di ragionamento. Scritto e/o orale Prova scritta: consiste in domande aperte, in particolare: a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi o nella verifica di semplici risultati teoricib) quesiti di tipo teorico, in cui si chiede allo studente una dimostrazione tra quelle proposte, oppure di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio. Prova orale: la prova orale verte su teoremi e dimostrazioni, di cui viene fornito a fine corso un elenco dettagliato, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale tutti gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 18. Gli studenti che hanno riportato una votazione non inferiore a 18 e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare il voto.In ciascuna prova vengono valutati la correttezza del ragionamento, la chiarezza e il rigore dell'esposizione. Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta, può rifiutare il voto (dello scritto, o dell'eventuale orale) per non più di due volte.

Referenze:O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010 (disponibile in formato elettronico)S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer 2005 Ulteriori referenze:M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, John Wiley & Sons, 1993L. Berkovitz, Convexity and Optimization in Rⁿ, John Wiley & Sons, 2002J. Jahn, Vector Optimization, Springer, 2011

**Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)Lo studente acquisirà la conoscenza dei concetti fondamentali, sviluppati con rigore logico-deduttivo. **Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding) Lo studente sarà in grado di applicare in modo autonomo e flessibile le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi, problemi matematici e situazioni applicative, anche in contesti diversi da quello puramente teorico, sviluppando tecniche e strategie risolutive appropriate. **Autonomia di giudizio (Making judgements) Lo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente i concetti appresi e di valutare in modo autonomo la correttezza e la coerenza logica di definizioni, teoremi, dimostrazioni e procedimenti risolutivi. Verrà incentivata l’elaborazione personale dei contenuti e il riconoscimento dei collegamenti tra diversi ambiti. **Abilità comunicative (Communication skills) Lo studente acquisirà la capacità di esporre in maniera chiara, rigorosa ed efficace i contenuti teorici, utilizzando correttamente il linguaggio matematico e logico-formale, sia in forma scritta che orale. Sarà anche in grado di presentare la soluzione di problemi ed esercizi in modo articolato e giustificato, dimostrando padronanza del lessico specialistico. **Capacità di apprendere (Learning skills) Il corso fornirà allo studente gli strumenti concettuali e metodologici necessari per affrontare con successo problemi di tipo applicativo. Verrà stimolata la capacità di studio autonomo e di gruppo e l’acquisizione di un metodo di apprendimento fondato sulla comprensione profonda, sull’argomentazione logica e sulla pratica ragionata.

Modellizzazione mediante equazioni alle derivate parziali. Metodo delle caratteristiche. Leggi di conservazione iperboliche. Metodi numerici di approssimazione per leggi di conservazione.

Esame scritto. All'esame viene richiesto di rispondere ad alcune domande relative al materiale svolto. Le risposte devono essere precise, esaurienti e coerenti con le domande.Il docente si riserva la facoltà di richiedere una prova orale integrativa qualora la valutazione dello scritto non consenta una chiara definizione del voto finale.

A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000. L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society. M. Garavello, K. Han, B. Piccoli. Models for vehicular traffic on networks, AIMS, 2016. R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.

Il corso è rivolto alla presentazione dei fondamenti matematici e fisici della teoria classica dei campi, ed in particolare tratta la meccanica dei fluidi. Si presentano le idee, i principi fondamentali e le equazioni base della teoria e si trattano in dettaglio alcuni modelli specifici. Un capitolo importante è rivolto allo studio della teoria delle onde: onde lineari e non lineari, dispersive e non dispersive, ed aspetti di sistemi integrabili infinito-dimensionali di equazioni solitoniche. I principali risultati di apprendimento attesi sono: 1): Conoscenza e comprensione:la conoscenza e la comprensione delle definizioni della teoria dei sistemi continui e della dinamica dei fluidi, delle loro motivazioni fisiche, dei teoremi fondamentali e delle principali tecniche di dimostrazione degli stessi. 2) Applicazione della conoscenza e capacità di comprensione:Il riconoscimento e la comprensione delle differenti approssimazioni modellistiche (quali le equazioni costitutive, i processi di linearizzazione e espansione asintotica etc.) utilizzati durante il corso. 3) Autonomia di giudizio:La capacità di applicare il bagaglio concettuale acquisito all’analisi delle diverse applicazioni, e la capacità di scegliere gli opportuni strumenti. 4) Abilità comunicative:la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche anche in relazione ad altri ambiti disciplinari. 5) Capacità di apprendere:La capacità di integrare le conoscenze acquisite durante il corso con una elaborazione personale ulteriore, attraverso l’analisi di temi complementari a quelli presentati durante le lezioni

Il corso inizia con lo studio della deformazione e del moto di un corpo continuo attraverso l'introduzione delle nozioni di gradiente di deformazione e di gradiente di velocità. Questa parte del corso introduce ed utilizza metodi di “geometria differenziale nello spazio euclideo tridimensionale”. I teoremi di trasporto di quantità scalari e vettoriali vengono discussi e dimostrati, come parte saliente della cinematica dei corpi continui. Quindi si passa allo dinamica con lo studio delle azioni che si esercitano sui fluidi. Il centro del discorso è la teoria di Cauchy degli sforzi. Si trattano le equazioni di conservazione della massa, e di bilancio della quantità di moto, del momento angolare e dell'energia. Si discutono brevemente le nozioni di energia interna e di entropia. Si passa alla caratterizzazione delle proprietà meccaniche (e termiche) dei fluidi mediante le equazioni costitutive e le equazioni di stato. Si considerano i modelli dei fludi comprimibili ed incomprimibili ed eventualmente viscosi. Poi si studiano più approfonditamente le equazioni del moto, partendo dal modello di Eulero. Si parte dallo studio di soluzioni statiche, per poi aprire un’ampia “pagina” dedicata alle equazioni di Eulero per i cosiddetti fluidi ideali, ed alle sue conseguenze ed applicazioni, come l’equazione di Bernoulli, le leggi di Helmholtz sull’evoluzione della vorticità e la conservazione della circolazione. Si tratta poi la teoria dell'ala di Kutta-Joukowski. Il corso prosegue con lo studio delle proprietà salienti dei fluidi viscosi, descritti dall’equazione di Navier Stokes. Vengono introdotti e discussi i seguenti concetti: Il trasporto di quantità di moto tramite “azioni di taglio” e la non-conservazione dell’energia “meccanica” in Navier-Stokes. L'autosimilarità e il numero di Reynolds. Lo strato limite e le equazioni di Prandtl. Si passa poi ad una parte più applicativa, dedicata alla teoria delle "water waves", che viene sviluppata secondo i seguenti punti (tempo permettendo): Onde di gravità in un fluido incomprimibile (onde di superficie). Onde di gravità in fluidi stratificati (onde interne negli oceani). Onde di gravità in presenza di tensione superficiale. Dinamica dei gas ed equazioni quasi-lineari: teoria delle caratteristiche e onde di shock. Onde di gravità di piccola ampiezza in acqua infinitamente profonda e l'equazione di Schrödinger non lineare. Equazioni dispersive in acqua "poco profonda" (shallow water): l'equazione di Korteweg - de Vries. I solitoni e le onde cnoidali. La formulazioni Hamiltoniana di KdV e le costanti del moto.

La prima parte dell'esame consiste nella discussione di un breve elaborato scritto preparato autonomamente dallo studente su un argomento scelto tra quelli di una lista fornita entro il termine del corso dal docente. Tale lista comprenderà anche temi complementari a quelli presentati a lezione. La scelta dell'elaborato va comunicata al docente almeno 10 giorni prima della data della discussione, e una copia dell'elaborato va inviata al docente almeno 2 giorni prima di tale data per una valutazione preliminare dello stesso. Questa parte è rivolta principalmente alla verifica dei punti 3 e 4 dei "risultati di apprendimento attesi" descritti più sopra. Vengono valutati, anche in relazione alla complessità dell'elaborato scelto, la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi e la padronanza dell'argomento. Nella seconda parte (finalizzata alla verifica dei punti 1 e 2 tra i "risultati di apprendimento attesi") verrà richiesta l'esposizione di alcuni argomenti del programma (scelti dal docente). Il peso relativo delle due parti dell'esame è paritetico ai fini della valutazione.

Testi di riferimento A.J. Chorin, J.E. Marsden: A mathematical introduction to fluid mechanics, Springer 2000. S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: from Modeling to theory. Springer, 2008. G. Falkovich, Fluid Mechanics (a short course for physicists). Cambridge University Press, 2011. Appunti di alcune lezioni sono pubblicati sulla pagina e-learning del corso.

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire alcuni concetti e alcune tecniche di Teoria dei numeri, fondamentali per introdurre lo studente alla comprensione del funzionamento dei principali sistemi crittografici a chiave pubblica, che fanno uso dell'aritmetica modulo n, campin finiti, e vari strumenti di teoria dei numeri. I risultati di apprendimento attesi comprendono: la conoscenza di classici test di primalità di tipo probabilistico; la conoscenza del logaritmo discreto e al problema della fattorizzazione di un numero intero; la capacità di analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni e di risolvere alcuni facili problemi facendo uso delle tecniche presentate; la capacità di approfondire, anche in maniera autonoma, alcuni dei risultati presentati durante il corso. Obiettivi formativi e risultati di apprendimento attesi, espressi secondo i cinque Descrittori di Dublino: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):Lo studente acquisirà conoscenze avanzate di Teoria dei numeri con particolare riferimento all’aritmetica modulare, ai campi finiti, ai test di primalità (probabilistici e deterministici), e ai fondamenti matematici di alcuni principali sistemi crittografici a chiave pubblica. Tali conoscenze saranno fondate su una solida preparazione matematica di base e intermeda e consentiranno di comprendere il ruolo delle strutture algebriche e aritmetiche in contesti applicativi. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):Lo studente sarà in grado di applicare le tecniche apprese per analizzare criticamente i principali algoritmi crittografici basati su problemi di teoria dei numeri (come la fattorizzazione e il logaritmo discreto), e per risolvere problemi teorici ed esercizi, anche con elementi computazionali, connessi ai contenuti trattati. Autonomia di giudizio (making judgements):Lo studente svilupperà la capacità di valutare criticamente l’efficacia e la sicurezza di vari protocolli crittografici, e di interpretare autonomamente risultati teorici e dimostrazioni, individuando ipotesi rilevanti e metodi di generalizzazione. Abilità comunicative (communication skills):Lo studente acquisirà la capacità di esporre con rigore e chiarezza i concetti teorici e le tecniche apprese, sia in forma scritta sia orale, utilizzando una terminologia matematica appropriata e adeguata al contesto scientifico e applicativo. Capacità di apprendimento (learning skills):Lo studente sarà in grado di approfondire autonomamente argomenti affini o complementari, consultando la letteratura matematica specialistica e comprendendo articoli e testi avanzati di teoria dei numeri e crittografia matematica..

Richiami di vari argomenti sui numeri interi e l'aritmetica modulare, con attenzione ad aspetti di complessita` computazionale. Introduzione ai sistemi crittografici a chiave segreta e a chiave pubblica. Firme digitali. Numeri primi: cenni al Teorema di Dirichlet sui primi in progressione aritmetica, e al teorema dei numeri primi. I campi finiti e la legge di reciprocita` quadratica. Analisi dettagliata del crittosistema RSA: rischi e accortezze. Il logaritmo discreto in un campo finito, e sue applicazioni (incuso il crittosistema di Diffie-Hellmann). Primalità: test di primalità probabilistici (Fermat, Jacobi, Miller-Rabin), e test deterministici in certi casi. Metodi di fattorizzazione: metodo rho, metodo delle factor bases. A seconda del tempo e dell'interesse, cenni a qualche altro argomento di interesse o conseguenze crittografiche, quali: caratteri e serie di Dirichlet; stime di somme di caratteri; la funzione zeta di Riemann; fondamenti sulle curve ellittiche; il test di primalita` (deterministico) AKS.

Esame scritto e orale La prova scritta richiedera` la risoluzione di alcuni esercizi, principalmente di carattere pratico. Nella prova orale si dovra` mostrare la conoscenza e la padronanza degli argomenti trattati durante il corso (inclusi enunciati e dimostrazioni dei teoremi). Lo studente è ammesso a sostenere la prova orale (obbligatoria) se raggiunge la votazione di 18/30 nello scritto Lo svolgimento dello scritto e la prova orale concorrono alla valutazione finale del corso.

Sono fornite delle note del corso, tratte in parte dal seguente testo, che si invita a consultare per approfondimenti: N. Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, volume 114 of Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, second edition, 1994. Si vedano le note per eventuali altre letture suggerite.

Gli obiettivi principali del corso sono: Fornire conoscenze della SVD, gli algoritmi per il suo calcolo e le sue multiple applicazioni. Fornire conoscenze dei metodi numerici per la risoluzione di probleimi matriciale (tra cui: sistemi lineari & calcolo autovalori) Fornire conoscenze della costruzione e analisi di algoritmi iterativi di Krylov Fornire conoscenze della costruzione e analisi di algoritmi randomizzati Capacita di implementare in modo efficiente i diversi algoritmi. Capacita di interpretare e analizzare i risoltati numerici

0- Introduction. Recap on Linear Algebra concepts and basic matrix decompositions.1- SVD and its properties. Applications of SVD. Truncated SVD. Randomized SVD2- Stability. Perturbation Theory. Backward Stability & error analysis3- Direct methods for eigenvalue problems. Recap of direct methods for Linear Systems & LS 4- Iterative Methods. Krylov subspace methods (for linear systems and eigenvalue problems) 6- Randomised algorithms (for linear systems & least squares). Sketching. Randomized SVD 7- Further Applications in Data Mining, Pattern recognition and Machine Learning (this will be study mostly through projects)

L'esame consiste di due parti: --lo sviluppo e la esposizione di un piccolo progetto a scelta e--una piccola prova finale (orale o scritta) individuale. Ogni parte verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale (sempre che entrambi voti siano maggiore o uguale a 18). Per sostenere la prova finale individuale e necessario ottenere un punteggio maggiore o uguale a 18 sull'progetto. Il voto finale, espresso in trentesimi con eventuale lode, e' dato dalla media delle due prove (sempre che entrambi voti siano maggiore o uguale a 18). Il progetto e la sua esposizione si valuta la conoscenza degli algoritmi sviluppati durante il corso richiedendo la scrittura di alcuni programmi in MATLAB per la risoluzione di problemi matriciali. Viene valutato in termini di completezza, rigore, accuratezza, nonche chiarezza espositiva e capacita di analisi. Il colloquio orale individuale e' teso ad approfondire il livello delle conoscenze acquisite; l’autonomia di analisi e giudizio; le capacità espositive dello studente. In particolare nella suddetta prova orale/scritta si richiede la capacità di esporre gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte. Il progetto potrà essere scelto da un elenco, che verrà messo a disposizione verso la fine del corso e ha validità fino al primo appello della successiva edizione del corso. Solitamente si lavorera su un argomento applicato o su un paper di ricerca. È permesso svolgere il progetto in collaborazione con al più due altre persone (cioe, gruppi di un massimo di tre persone). La esposizione sara individuale.Una traccia del progetto va consegnata insieme ai nominativi del gruppo, tre-quattro giorni lavorativi prima della data concordata per la esposizione del progetto e la prova finale. Si raccomanda di scriverlo autonomamente. Parte dell'esame verterà sul contenuto dell'a esposizione del progetto, che permettera valutare la applicazione delle conoscenze acquisite. A parte del esame gli studenti potranno avere dei punti extra participando alle diverse attivita di lezione: Gli studenti che parteciperanno nella "didattica invertita" (flipped classroom) avranno anche il voto extra della loro esposizione.Gli studenti che parteciperanno alla risoluzione in classe degli esercizi avranno anche un voto extra per la loro partecipazione- esposizione.

Verrano distribuite slides e note del corso e alcune note/dispense per diversi argomentiNon si segue un libro unico. Si fornirano anche i programmi. Bibliografia : -Lars Elden, Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition, SIAM (2019)-N. J. Higham, : Accuracy and Stability of Algorithms, SIAM (2002)-Horn and Johnson: Matrix Analysis (2012)-D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computation, Wiley, (2002)-D. S. Watkins, The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods, SIAM (2007)-J. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra (1997)-Per-Gunnar Martinsson &J. Tropp, Randomized Numerical Linear Algebra: Foundations & Algorithms (2021)-G. Strang, Linear Algebra and Learning from Data, SIAM, (2019)-G. Strang, Linear Algebra for Everyone, Cambridge (2020)-Golub-Van Loan : Matrix Computations (2012)-Trefethen-Bau: Numerical Linear Algebra (1997) (also 2022)

Il corso si propone di fornire le conoscenze di base del Machine Learning, con particolare attenzione alla comprensione dei principi teorici fondamentali che ne guidano il funzionamento.Accanto agli aspetti teorici, verrà dato ampio spazio alla dimensione pratica: gli studenti acquisiranno competenze operative di programmazione in Python e saranno in grado di sviluppare, implementare e gestire modelli di Machine Learning tramite l’utilizzo della libreria Keras.L’obiettivo finale è permettere agli studenti di comprendere cosa c’è dietro i modelli di Machine Learning e di essere in grado di applicarli in contesti concreti, almeno per i casi di base. Descrizione secondo i 5 Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso, lo studente comprenderà i principali concetti del Machine Learning, come backpropagation, training, overfitting, bias, variance e underfitting, e sarà in grado di utilizzarli correttamente in un contesto tecnico. Saprà interpretare questi termini sia dal punto di vista pratico sia attraverso una solida base matematica: ad esempio, riconoscerà la backpropagation come un'applicazione efficiente della regola della catena e il training come un processo basato su algoritmi di ottimizzazione specifici. Conoscenza e capacità di comprensione applicate Durante il corso verranno fornite le basi teoriche del Machine Learning, ma verrà dato ampio spazio anche all’aspetto pratico. In particolare, lo studente acquisirà una buona familiarità con la creazione, l’addestramento e la gestione di modelli di Machine Learning utilizzando Keras, una libreria Python largamente impiegata nello sviluppo di applicazioni di intelligenza artificiale e deep learning. Autonomia di giudizio Lo studente svilupperà capacità critiche nel valutare la validità e i limiti delle tecniche di Machine Learning. Di fronte a un problema specifico, sarà in grado di individuare il modello più appropriato e avrà le competenze necessarie per valutarne le prestazioni, identificarne eventuali punti deboli e proporre possibili miglioramenti. Abilità comunicative Lo studente acquisirà dimestichezza con la terminologia specifica del Machine Learning e comprenderà il legame tra questi termini e i concetti matematici sottostanti.Questa consapevolezza gli permetterà di comunicare in modo efficace con interlocutori esperti, contribuendo attivamente al dialogo grazie alla capacità di collegare la formalizzazione matematica con le applicazioni pratiche. Capacità di apprendere Lo studente, avendo acquisito le conoscenze di base relative ai modelli di Machine Learning, sarà in grado di affrontare autonomamente lo studio di modelli più complessi, come le reti neurali convoluzionali o le reti ricorrenti. Inoltre, grazie alla familiarità maturata con la libreria Keras, potrà facilmente estendere le proprie competenze all’utilizzo di altre librerie ampiamente impiegate in ambito professionale, come PyTorch o TensorFlow, sviluppando una crescente autonomia nell’apprendimento di nuovi strumenti e tecnologie.

Nella parte teorica verranno affrontate questi punti: problemi affrontati dal Machine Learing matematica nel Machine Learning training, i.e., problema di ottimizzazione backpropagation definizione della funzione di ottimo Nella parte pratica verranno affrontati questi punti introduzione a python introduzione a keras Neural Network problemi di regressione problemi di classificazione (supervisionata e non supervisionata) gestioine del training set (sua divisione, riduzione dei dati) overfitting, underfitting, bias, variance

Sviluppo di un progetto originale a partire da una semplice idea o dall’analisi di un caso esistente che verrà discusso tramite un colloquio orale.A tal proposito dovrà essere redatta una relazione e delle slides a supporto del colloquio orale.

Il corso si baserà: sul libro "Deep Learning with Python" 2nd Edition di F.Chollet sull'articolo "Deep Learning: An Introduction for Applied Mathematicians" di C. F. Higham e D. J. Higham In itinere verranno redatte delle note del corso.

In coerenza con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, in questo insegnamento vengono fornite agli studenti le conoscenze riguardanti la teoria matematica rigorosa del Metodo degli Elementi Finiti per l'approssimazione delle equazioni differenziali ellittiche del secondo ordine. Verranno inoltre sviluppate le competenze per affrontare, in corsi successivi più avanzati o con uno studio autonomo, lo studio del metodo degli elementi finiti per equazioni alle derivate parziali più generali. L'implementazione del metodo avverrà utilizzando l'ambiente di calcolo MATLAB, fornito dall'Ateneo con licenza individuale per tutti gli studenti. Alla fine del corso, con i codici sviluppati lo studente avrà acquisito l'abilità risolvere vari problemi di tipo modellistico legati all'approssimazione di equazioni alle derivate parziali.

Concetti di base. Presentazione nel caso semplice monodimensionale delle idee e delle tecniche che verranno sviluppate nel corso. Spazi di Sobolev. Sono l'ambiente funzionale naturale per studiare matematicamente il metodo degli elementi finiti. Formulazione variazionale di problemi ai limiti ellittici. Inquadramento funzionale astratto delle equazioni alle derivate parziali che saranno studiate nel corso. Costruzione di spazi di elementi finiti. Saranno presentati gli elementi finiti piu' importanti. Teoria dell'approssimazione polinomiale negli spazi di Sobolev. Questa è la parte centrale del corso, dove si studia come gli elementi finiti (che sono essenzialmente funzioni continue e polinomiali a tratti) approssimano le funzioni degli spazi di Sobolev. Analisi del Metodo agli Elementi Finiti. Analisi di diversi tipi di Elementi Finiti (DG, non conformi, H^1 conformi, H^2 conformi) per l'approssimazione di soluzioni a equazioni differenziali alle derivate parziali di vario tipo (problema di Helmholtz, problemi di diffusione-trasporto-reazione, ...). Stimatore dell'errore residuale e algoritmi adattativi. Analisi dello stimatore dell'errore residuale, affidabilitá, efficienza, algoritmi adattativi e loro convergenza. Metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari derivanti da una discretizzazione ad elementi finiti. Metodi multigrid, metodo del gradiente coniugato e precondizionamento.

L'esame è diviso in due parti: scrittura e presentazione di un progetto; esame orale. Il voto è in trentesimi. L'esame si considera superato solo in entrambe le parti viene conseguita la sufficienza (18/30). Il progetto valuta l'abilità dello studente a risolvere problemi utilizzando gli strumenti teorici e i codici sviluppati durante il corso. Il progetto consiste nell'implementare l'approssimazione di un problema legato alle equazioni alle derivate parziali. Viene incoraggiato il lavoro di gruppo (max 3 studenti) e premiata la qualità dell'esposizione. Nella prova orale (individuale) viene valutata la conoscenza delle definizioni, dei risultati e delle dimostrazioni presentati in aula, con particolare rilievo riguardo al rigore delle argomentazioni. Verranno inoltre valutate la competenza e la padronanza della materia richiedendo di individuare gli aspetti essenziali degli argomenti esposti.

I testi di riferimento consigliati sono S. C. Brenner e L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008; A. Ern e J-L. Guermond: Finite Elements I: Approximation and Interpolation, Springer 2021; D. Braess: Finite Elements, Cambridge University Press 2010 Saranno inoltre disponibili note a cure del docente su argomenti specifici.

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding) Al termine del corso, lo studente avrà acquisito una conoscenza approfondita di tecniche moderne per l’analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare attenzione a quelle di tipo ellittico. Tali conoscenze si baseranno su contenuti avanzati, coerenti con lo sviluppo teorico della disciplina a livello universitario di secondo ciclo. 2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding) Lo studente sarà in grado di applicare i risultati teorici esposti nel corso a problemi concreti di risoluzione di equazioni alle derivate parziali. Ciò sarà facilitato dall’analisi di esempi e dallo svolgimento di esercizi, che stimoleranno l’applicazione operativa delle conoscenze in contesti sia teorici sia pratici. 3. Autonomia di giudizio (Making judgements) Lo studente svilupperà la capacità di affrontare in modo autonomo e critico problemi di natura variazionale, di minimizzazione e topologica. Sarà in grado di selezionare e utilizzare con giudizio i metodi appresi, anche in presenza di informazioni parziali o ambigue, e di valutare l’adeguatezza degli strumenti matematici scelti per ciascun problema. 4. Abilità comunicative (Communication skills) Attraverso l'acquisizione del linguaggio specialistico e del formalismo matematico relativo alle tematiche trattate, lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, rigoroso e coerente i concetti appresi, sia in ambito accademico che professionale, interagendo efficacemente con interlocutori specialisti e non specialisti. 5. Capacità di apprendimento (Learning skills) Lo studente maturerà la capacità di apprendere in modo autonomo e continuo, applicando le conoscenze acquisite anche a contesti differenti da quelli affrontati durante le lezioni. Sarà inoltre in grado di intraprendere lo studio individuale di testi scientifici avanzati, sviluppando competenze utili per la prosecuzione degli studi o per attività di ricerca.

Ripasso di alcune tematiche di analisi reale e funzionale Teoremi di punto fisso ed applicazioni. Metodi approssimati di Galerkin. Problemi di minimo: risultati generali, teoremi astratti, e ruolo della compattezza. Metodi variazionali per la ricerca di punti critici di tipo sella.

Saggio breve in forma scritta. Voto in trentesimi. All'esame viene richiesto di svolgere due temi su tre proposti con due ore di tempo a disposizione. L'esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema richiesto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.

Il testo di riferimento sarà H. Le Dret. Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations. Springer-Verlag. Altri testi di consultazione: A. Ambrosetti, G. Prodi. A primer of nonlinear analysis. Cambridge University Press. M. Badiale, E. Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners. Springer-Verlag. L. C. Evans. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. O. Kavian. Introduction à la théorie des points critiques. Springer, 1993. M. Struwe. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. Springer-Verlag.

Principali obiettivi del corso: Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding) Approfondire la conoscenza dei fondamenti della Fisica Sperimentale, con particolare riferimento ai metodi e alle tecniche utilizzati nell’indagine sperimentale, e al loro impiego nella didattica della fisica, anche in relazione ai contenuti affrontati nei corsi teorici precedenti. Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding) Sviluppare la capacità di progettare e realizzare in modo autonomo esperimenti di fisica con finalità didattiche, selezionando criticamente le metodologie più efficaci, gestendo la strumentazione, e conducendo l’analisi quantitativa dei dati sperimentali. Autonomia di giudizio (Making judgements) Promuovere l’acquisizione di un’autonomia critica nell’interpretazione dei risultati sperimentali, nella valutazione dell’affidabilità dei dati, e nella riflessione sul ruolo dell’esperimento nell’insegnamento e nell’apprendimento della fisica. Abilità comunicative (Communication skills) Consolidare le competenze nell’organizzazione e nella comunicazione dei risultati sperimentali, attraverso relazioni scritte, presentazioni orali e discussioni argomentate, utilizzando un linguaggio scientifico appropriato e strumenti di visualizzazione efficaci. Capacità di apprendere (Learning skills) Favorire lo sviluppo di strategie di apprendimento autonomo e continuo nell’ambito della didattica laboratoriale della fisica, rendendo gli studenti capaci di aggiornarsi, innovare le proprie pratiche e adattarle a contesti educativi differenti.

Le basi delle scienze sperimentali: Fondamenti del metodo scientifico nelle scienze in generale e nella fisica in particolare. Sviluppo storico della fisica e introduzione alla storia della fisica sperimentale Ruolo della matematica nella fisica: introduzione all'uso della matematica nelle scienze sperimentali. Natura e struttura delle grandezze fisiche: variazioni di scala nei fenomeni naturali e sistemi di riferimento. Studio sperimentale dei fenomeni fisici: introduzione al problema della misura, agli errori sperimentali (teoria degli errori) e agli strumenti di misura. Struttura concettuale delle teorie scientifiche, in particolare fisiche, e loro rapporto con gli esperimenti. Campi di validità in relazione agli esperimenti. Introduzione alla didattica delle scienze e della fisica: approcci didattici, stili di apprendimento, schemi concettuali, esperimenti didattici illustrativi, errori più comuni. Introduzione alla fisica moderna e interpretazioni della meccanica quantistica.

Relazione scientifica scritta su di un esperimento affrontato in laboratorio seguita da un esame orale Si prevede che gli esami saranno in modalità orale in presenza.

Testi consigliati J. R. Taylor, Introduzione all'analisi degli errori, Zanichelli S. Rosati, Fisica Generale vol. 1, CEA L. Lovitch, S. Rosati, Fisica Generale vol. 2, CEA A. B. Arons, Guida all'insegnamento della Fisica, Zanichelli U. Besson, Didattica della Fisica, Carocci Testi e strumenti multimediali di approfondimento PSSC (a cura di), Fisica (3 voll.), Quarta Edizione, Zanichelli F. Tibone, G. Pezzi, La Fisica secondo il PSSC, Zanichelli I video del PSSC, Zanichelli (reperibili sul sito della Zanichelli qui) R. P. Feynman, La Fisica di Feynman (3 voll.), Zanichelli U. Besson, M. Malgieri, Insegnare la Fisica Moderna, Carocci P. Doherty, D. Rathjen, Exploratorium Teacher Institute, Gli Esperimenti dell'Exploratorium (a cura di P. Cerreta), Zanichelli A. Rigamonti, A. Varlamov, Magico caleidoscopio della fisica, La Goliardica Pavese G. Johnson, I dieci esperimenti più belli, Bollati Boringhieri

Obiettivi del corso secondo i Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensioneAl termine del corso, lə studentə avrà acquisito una solida comprensione dei principi fondamentali della meccanica quantistica, inclusi i postulati, il formalismo matematico e il ruolo delle simmetrie. Sarà in grado di riconoscere le evidenze sperimentali che richiedono una descrizione quantistica e di motivare la necessità del superamento della fisica classica. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLə studentə sarà in grado di risolvere semplici problemi quali buca, gradino, barriera di potenziale, oscillatore armonico, atomo di idrogeno e di utilizzare strumenti matematici per analizzare sistemi quantistici di complessità crescente. Autonomia di giudizioLə studentə svilupperà la capacità di valutare criticamente le implicazioni del formalismo quantistico, maturando una comprensione concettuale della rivoluzione epistemologica introdotta dalla meccanica quantistica e delle sue conseguenze riguardo al superamento della fisica classica. Abilità comunicativeLə studentə sarà in grado di esprimere in modo chiaro e rigoroso i concetti della meccanica quantistica e di comunicare efficacemente le proprie soluzioni e argomentazioni, anche in contesti interdisciplinari. Capacità di apprendereLə studentə avrà acquisito gli strumenti teorici e metodologici per proseguire lo studio della fisica teorica avanzata (come la teoria quantistica dei campi e la fisica della materia), sviluppando un'autonomia nello studio e nella comprensione di nuovi problemi e modelli.

Risultati di Apprendimento del Corso secondo i Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso, lə studentə sarà in grado di: Dimostrare una chiara comprensione dei fenomeni fisici che mettono in crisi le teorie classiche, giustificando la necessità della meccanica quantistica. Comprendere e articolare i postulati fondamentali della meccanica quantistica, inclusi concetti chiave come stati quantistici, operatori e osservabili. Comprendere il principio di indeterminazione e la struttura matematica che distingue osservabili compatibili e incompatibili attraverso le loro relazioni di commutazione. Comprendere il formalismo della matrice densità e il suo ruolo nella descrizione degli stati quantistici e delle misure. Spiegare il teorema di Noether e la sua applicazione ai sistemi quantistici, in particolare in relazione a simmetrie e leggi di conservazione. Comprendere le proprietà matematiche e fisiche degli operatori posizione e quantità di moto, e la formulazione dell’equazione di Schrödinger. Analizzare soluzioni di sistemi quantistici unidimensionali, come il pozzo di potenziale, il gradino di potenziale, la barriera di potenziale e l’oscillatore armonico. Comprendere la generalizzazione della meccanica quantistica a sistemi in più dimensioni, incluso il momento angolare e la simmetria rotazionale. Descrivere l’applicazione della teoria dei gruppi ai sistemi quantistici, in particolare il gruppo di rotazione e le sue rappresentazioni. Comprendere problemi tridimensionali come l’atomo di idrogeno ed essere introdotti alla formulazione a integrale sui cammini e alla sua derivazione dell’equazione di Schrödinger. Capacità di applicare conoscenza e comprensione Lə studentə sarà in grado di: Risolvere problemi canonici di meccanica quantistica in una o più dimensioni utilizzando metodi analitici. Analizzare e prevedere il comportamento dei sistemi quantistici in seguito a misurazioni, compresi i cambiamenti nel contenuto informativo. Applicare il formalismo quantistico per reinterpretare sistemi classici alla luce della simmetria e degli operatori. Stimare l’andamento della funzione d’onda di una particella a partire dalle proprietà del potenziale. Utilizzare tecniche come la separazione delle variabili per risolvere problemi in più dimensioni. Combinare spin e momenti angolari nei sistemi composti. Autonomia di giudizio Lə studentə sarà in grado di: Valutare criticamente i limiti della meccanica classica e la necessità della meccanica quantistica per spiegare determinati fenomeni fisici. Valutare strumenti concettuali e matematici della meccanica quantistica in contesti fisici concreti. Formulare interpretazioni motivate del comportamento quantistico e valutare le soluzioni proposte in termini di coerenza con i principi fondamentali. Abilità comunicative Lə studentə sarà in grado di: Comunicare chiaramente concetti fondamentali e strutture matematiche della meccanica quantistica usando una terminologia appropriata. Tradurre formalismi matematici astratti in concetti fisici comprensibili e spiegarli sia a pubblici specialisti che non specialisti. Dimostrare competenza nell’espressione dei principi fisici in forma scritta e orale, secondo gli standard della disciplina. Capacità di apprendimento Al termine del corso, lə studentə: Avrà acquisito le basi necessarie per affrontare argomenti avanzati di fisica teorica, come la teoria quantistica dei campi o la fisica della materia condensata. Sarà in grado di confrontarsi con la letteratura scientifica contemporanea nel campo della fisica quantistica. Avrà sviluppato capacità di apprendimento autonomo attraverso la risoluzione di problemi, l’analisi critica e la sintesi di idee fisiche e matematiche.

Esame orale basato sulla discussione di argomenti trattati a lezione e su esercizi svolti durante il corso. Il punto di partenza dell'esame sarà un esercizio assegnato anticipatamente da risolvere a casa e presentare durante l'esame. L'esame verte su tutto il programma del corso, inclusi esercizi ed approfondimenti svolti durante le lezioni, che sono parte integrante del corso.

Testo di riferimento S. Forte, L. Rottoli, "Fisica Quantistica", Zanichelli Testi di approfondimento J. Dimock, "Quantum Mechanics and Quantum Field Theory", Cambridge J.J. Sakurai, J. Napolitano, "Modern Quantum Mechanics (2nd Edition)", Addison-Wesley (anche disponibile in traduzione italiana) Benjamin Schumacher, Michael Westmoreland, "Quantum Processes Systems, and Information", Cambridge University Press A. Berera e L. Del Debbio, "Quantum Mechanics", Cambridge U.P. J. Binney e D. Skinner, "The Physics of Quantum Mechanics", Oxford U.P. M. Maggiore, "A modern introduction to quantum field theory", Oxford U.P. (per teoria dei gruppi)

Conoscenza e capacità di comprensioneIl corso fornisce una solida conoscenza teorica delle equazioni alle derivate parziali (EDP) lineari, con elementi introduttivi alle equazioni non lineari, e sviluppa la comprensione dei principali risultati analitici, metodi e tecniche dimostrative nell'ambito dell'analisi matematica avanzata. Conoscenza e capacità di comprensione applicateGli studenti saranno in grado di applicare i concetti teorici appresi alla risoluzione di esercizi, allo studio di modelli e alla formulazione rigorosa di problemi differenziali, anche in ambiti interdisciplinari. Autonomia di giudizioIl corso stimola lo sviluppo della capacità critica e dell’autonomia nella valutazione dei metodi analitici più appropriati per affrontare problemi di tipo modellistico e teorico, nonché nella validazione dei risultati ottenuti. Abilità comunicativeGli studenti acquisiranno la capacità di esporre con chiarezza e rigore argomenti e dimostrazioni relative all’analisi reale e alle EDP, utilizzando il linguaggio matematico formale sia in forma scritta che orale. Capacità di apprendereIl corso promuove l’acquisizione di un metodo di studio autonomo e avanzato, necessario per affrontare la letteratura specialistica e proseguire in attività di ricerca o in contesti applicativi ad alto contenuto scientifico.

Equazioni ellittiche del secondo ordine: regolarità delle soluzioni deboli, principi del massimo debole e forte. Teoria spettrale: operatori aggiunti, autoaggiunti, compatti, spettro. Spettro di un operatore compatto. Teorema dell'alternativa di Fredholm. Teorema di decomposizione spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Autovalori e autofunzioni del Laplaciano. Integrale di Bochner: Definizione, principali caratteristiche e spazi di Sobolev definiti tramite l'integrale di Bochner. Equazioni di tipo parabolico: Soluzioni deboli per equazioni paraboliche del secondo ordine. Metodo di Galerkin. Stime dell'energia, esistenza e unicità di soluzioni deboli. Principio del massimo. Rappresentazione delle soluzioni dell'equazione del calore tramite le autofunzioni del laplaciano.

L'esame consiste in una prova scritta e in una sua discussione orale. La prova scritta consiste in un breve saggio. Verrà richiesto di svolgere due temi su quattro proposti, uno riguardante la prima parte del corso e uno riguardante la seconda, con due ore di tempo a disposizione. L’esposizione dovrà essere precisa, dettagliata, esauriente e coerente con il tema svolto e dovrà contenere alcune tra le dimostrazioni più significative. Verrà valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi. La discussione orale si terrà qualche giorno dopo la prova scritta e consisterà in una breve discussione e correzione della prova scritta e verificherà la padronanza degli argomenti riportati nell’elaborato. Non verranno chiesti altri argomenti o dimostrazioni al di fuori dei due temi svolti. Voto finale in trentesimi.

A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. With applications to linear partial differential equations. American Mathematical Society, 2013. H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science and Business Media, 2010. L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Second Edition, Providence 2010. D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. T. Hytönen, J. van Neerven, M. Veraar, and L. Weis. Analysis in Banach spaces. Vol. I.Martingales and Littlewood-Paley theory, volume 63 of Ergebnisse der Mathematik und ihrerGrenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics. Springer, Cham, 2016. Pagina del corso: https://elearning.unimib.it/course/view.php?id=62151

Il corso ha lo scopo di presentare i contenuti, i metodi fondamentali e alcune applicazioni della teoria ‘classica’ delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Sarà posta enfasi sulla comprensione del percorso teorico e sull'esercizio dello spirito critico da parte degli studenti. I risultati di apprendimento attesi comprendono: Conoscenze: le conoscenze delle risultati principale della teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Capacità: le capacità di applicargli ad esempi concreti.

Anelli e A-moduli semisemplici: Richiami generali su anelli e A-moduli. Anelli e A-moduli artiniani e noetheriani. Anelli e A-moduli semisemplici. Amoduli semplici. Decomposizione di un A-modulo semisemplice in componenti isotipiche. Struttura degli anelli semisemplici. Teorema di Wedderburn. Proprietà del doppio centralizzante (DCP). Struttura degli anelli artiniani semplici. Rappresentazioni e moduli: L’algebra gruppale KG di un gruppo G. KG-moduli e rappresentazioni di G. Rappresentazioni completamente riducibili, teorema di Maschke. Rappresentazioni su splitting fields (KG semisemplice e split): struttura di KG . Teorema di Frobenius-Schur. Esempi di rappresentazioni complesse di gruppi finiti. Caratteri di un gruppo finito: Definizioni generali e proprietà elementari dei caratteri di un gruppo G. Lo spazio CF(G) delle funzioni di classe. Car K = 0 e K splitting per G: caratteri e moduli; tavola dei caratteri. Rappresentazione regolare, idempotenti ortogonali, prime relazioni di ortogonalità fra i caratteri. Caso semisemplice e split: Irr(G) è una base ortonormale di CF(G); seconde relazioni di ortogonalità fra i caratteri. Interi algebrici e caratteri: costanti di struttura del centro di KG. Il grado di un carattere irriducibile è un divisore dell’ordine di G. Applicazioni alla teoria dei gruppi: il p^a.q^b-teorema di Burnside. Proprietà strutturali di un gruppo deducibili dalla tavola dei caratteri. [Cenni alle rappresentazioni dei gruppi compatti.] Prodotti tensoriali di rappresentazioni: Generalità sui prodotti tensoriali di moduli. Prodotti tensoriali di rappresentazioni, prodotti di caratteri. L’anello dei caratteri virtuali. Teorema di Burnside-Brauer. Applicazioni al conteggio di involuzioni, teorema di Brauer-Fowler e sue conseguenze. Rappresentazioni permutazionali e applicazioni: Richiami sui gruppi di permutazioni. Azioni su classi di coniugio e caratteri. Lemma permutazionale di Brauer. Caratteri reali. Rappresentazioni di prodotti diretti: Caratteri irriducibili di un prodotto diretto. Applicazione: teorema di Burnside sul grado di un carattere. Induzione e restrizione di rappresentazioni, teoria di Clifford. Rappresentazioni indotte da sottogruppi. Caratteri indotti. Proprietà dell’induzione, legge di reciprocità di Frobenius e sue applicazioni. Restrizione di una rappresentazione a un sottogruppo normale: teoria di Clifford. Gruppo d’inerzia di una rappresentazione; corrispondenza di Clifford. Teorema di Ito.

L'esame è orale e consiste di un colloquio con valutazione in trentesimi. Si articola in una serie di quesiti orali volti a verificare la conoscenza e la padronanza da parte dello studente degli snodi teorici e dei teoremi con relative dimostrazioni svolti a lezione.

C. W. Curtis and I. Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley Interscience 1962. C. W. Curtis and I. Reiner, Methods of Representation Theory I, Wiley 1981. L. Dornhoff, Group Representation Theory, Marcel Dekker 1971. B. Huppert, Character Theory of Finite Groups, de Gruyter 2011. I.M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic Press 1976

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)Al termine del corso, gli studenti e le studentesse avranno acquisito una solida conoscenza dei fondamenti della geometria Riemanniana classica, incluse le nozioni di metrica riemanniana, connessione di Levi-Civita, geodetiche e curvatura. Sapranno comprendere il legame tra struttura locale (differenziale) e forma globale (topologica) delle varietà riemanniane. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)Gli studenti e le studentesse saranno in grado di applicare le nozioni apprese a esempi concreti, verificando le proprietà geometriche delle varietà riemanniane. Sapranno calcolare geodetiche, curvature e analizzare esempi significativi come sfere, spazi iperbolici, prodotti (deformati), e varietà modello. 3. Autonomia di giudizio (Making judgements)Il corso mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente le strutture geometriche studiate, formulando giudizi autonomi sulla validità delle proprietà e dei risultati appresi. Gli studenti saranno stimolati a riflettere sul significato geometrico dei concetti teorici e sulla loro interazione con la topologia delle varietà. 4. Abilità comunicative (Communication skills)Attraverso discussioni teoriche, e verifiche lasciate da svolgere a casa, gli studenti saranno incoraggiati a esprimere in modo chiaro e rigoroso i concetti della geometria Riemanniana, sia in forma scritta che orale. Saranno in grado di presentare dimostrazioni, esempi e argomentazioni logico-matematiche in modo efficace. 5. Capacità di apprendere (Learning skills)Il corso fornirà gli strumenti teorici e metodologici per affrontare in autonomia lo studio di sviluppi avanzati della geometria Riemanniana. Gli studenti saranno in grado di approfondire argomenti non trattati esplicitamente a lezione, completando dimostrazioni, consultando testi specialistici e integrando le conoscenze in un percorso di apprendimento continuo.

Cenno alle superfici regolari nello spazio Euclideo e alle loro curvature Definizione ed esistenza delle metriche Riemanniane Connessione di Levi-Civita e trasporto parallelo Geodetiche e mappa esponenziale La struttura metrica intrinseca di una varietà Riemanniana Le curvature di una varietà Riemanniana Campi di Jacobi e punti coniugati Risultati globali8.1) Teoria globale delle geodetiche e completezza8.2) Il Teorema di Bonnet-Myers8.3) (tempo permettendo) Il Teorema di Cartan-Hadamard

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame orale tradizionale, durante il quale studentesse e studenti dovranno mostrare di aver acquisito le nozioni di base, le dimostrazioni dei principali teoremi, e la capacità di analisi e di calcolo su alcuni esempi concreti. Gli aspetti introduttivi sulla geometria delle superfici Euclidee non saranno oggetto di verifica. A loro scelta, studentesse e studenti potranno cominciare l'esame con un breve seminario di approfondimento su un tema non trattato durante il corso. L'elenco di possibili seminari verrà condivisto con congruo anticipo sulla pagina E-Learning del corso.

Testi per la parte introduttiva sulla teoria delle superfici M. P. do Carmo, Differential geometry of curves & surfaces. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. M. Abate; F. Tovena, Curves and surfaces. Unitext, 55 Springer, Milan, 2012. Testi di base sulla Geometria Riemanniana M. P. do Carmo Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018. Ulteriore materiale didattico (come le note delle lezioni) verrà fornito durante il corso Testi per approfondimenti S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006. T. Sakai, Riemannian geometry. Transl. Math. Monogr., 149 American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Obiettivi formativi (Descrittori di Dublino): Al termine del corso, lo studente avrà raggiunto i seguenti risultati di apprendimento: 1. Conoscenza e capacità di comprensione. Lo studente acquisirà una conoscenza avanzata del calcolo stocastico, con particolare riferimento al moto browniano, alle equazioni differenziali stocastiche (SDE) e alle loro connessioni con le equazioni alle derivate parziali (PDE), nonché alle applicazioni alla modellizzazione matematica dei mercati finanziari. 2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Lo studente sarà in grado di applicare il quadro teorico del calcolo stocastico alla formulazione e all’analisi di modelli matematici per fenomeni stocastici, incluse applicazioni alle equazioni alle derivate parziali e a problemi di finanza matematica. 3. Autonomia di giudizio. Lo studente svilupperà la capacità di valutare criticamente l’applicabilità dei modelli e delle tecniche stocastiche in diversi contesti. 4. Abilità comunicative. Lo studente acquisirà la capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso argomentazioni, dimostrazioni e risultati relativi al calcolo stocastico, utilizzando una terminologia appropriata e un linguaggio matematico formale. 5. Capacità di apprendimento. Lo studente svilupperà gli strumenti metodologici e l’autonomia necessari per intraprendere studi e attività di ricerca più avanzati nell’ambito dell’analisi stocastica, delle equazioni alle derivate parziali (stocastiche), della finanza matematica o in settori affini.

Il moto browniano. Processi stocastici, spazio delle traiettorie, insiemi cilindrici, sigma-algebra prodotto. Legge di un processo stocastico e leggi finito-dimensionali. Vettori aleatori normali. Processi stocastici gaussiani. Definizione di moto browniano (MB). Costruzione del MB a partire dal Teorema di esistenza di Daniell-Kolmogorov e utilizzando il Teorema di continuità di Kolmogorov. Caratterizzazione del MB come processo gaussiano. Proprietà di invarianza del MB (riflessione spaziale, traslazione e riflessione temporale, riscalamento diffusivo, inversione temporale). MB rispetto a una filtrazione. Proprietà delle traiettorie del MB: non differenziabliltà. Variazione quadratica del MB. Legge del Logaritmo iterato. MB in dimensione d. Processi di Lévy. Generalità sulle filtrazioni (F_t) indicizzate da un insieme continuo. Filtrazione naturale di un processo stocastico, processi adattati a una filtrazione. Continuità a destra e completezza per una filtrazione (definizione di F_t+), ampliamento standard. Processi di Lévy rispetto a una filtrazione. Esempi: processo di Poisson, processo di Poisson composto. Un processo di Lévy rispetto a una filtrazione (F_t) è indipendente da F_0. Legge 0-1 di Blumenthal. Tempi d’arresto e proprietà di Markov forte. L’integrale di Ito. Modificazione e indistinguibilità per processi stocastici. Continuità e misurabilità per processi stocastici. La sigma algebra degli eventi antecedenti a un tempo d’arresto. Martingale a tempo continuo, esempi, modificazioni continue da destra, teorema d'arresto e disuguaglianza massimale. Processi progressivamente misurabili. L'integrale di Ito per i processi semplici. L’estensione a M^2 e a M^2_loc. Proprietà: località, esistenza della versione a traiettorie continue, proprietà di martingala. Variazione quadratica. Somme di Riemann per l'integrale di Ito di processi a traiettorie continue. Martingale locali. La formula di Ito. La formula di Ito per il MB. Processi di Ito. Formula di Ito per processi di Ito generali. Applicazione della formula di Ito, Moto browniano geometrico e supermartingala esponenziale. La formula di Ito nel caso multidimensionale. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Il Teorema di Girsanov. Il Teorema di rappresentazione delle martingale browniane. Equazioni differenziali stocastiche. Esistenza forte e debole, unicità pathwise e in legge. Esistenza forte e unicità pathwise sotto ipotesi Lipschitz. Esempio: il processo di Ornstein-Ühlenbeck. ll semigruppo di Kolmogorov. L'equazione alle derivate parziali di Kolmogorov. La formula di Feynamn-Kac. Applicazione ai mercati finanziari. Sottostanti, opzioni call e put, loro valore (payoff) e significato. Prezzaggio di un'opzione mediante copertura (hedging). Modello di mercato finanziario a tempo continuo basato su un titolo non rischioso (bond) e d titoli rischiosi (stocks) guidati da d MB indipendenti. Misura martingala locale equivalente. Strategie di investimento autofinanzianti e strategie ammissibili. Teorema di assenza di arbitraggio. Prezzaggio e copertura di opzioni europee. Il modello di Black&Scholes (unidimensionale, con tasso d'interesse, drift e volatilità costanti). Formula esplicita per il prezzo delle opzioni call. Un modello di mercato finanziario markoviano con drift e volatilità dipendenti dal tempo e del sottostante (volatilità locale). Formula di rappresentazione per il prezzo delle opzioni Europee e per la strategia di copertura.

Esame orale, con una eventuale parte scritta preliminare, cui viene valutata la conoscenza e la capacità dello studente di discutere criticamente le definizioni, gli enunciati, gli esempi e le dimostrazioni presentati durante il corso.

Dispense del docente Libro Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus di Jean-François Le Gall, Springer series Graduate Texts in Mathematics (Volume 274, 2016)

Il corso di "Stochastic Methods and Models" mira a fornire agli studenti una selezione approfondita di metodi, concetti e modelli avanzati della teoria della probabilità e dei processi stocastici, sia da un punto di vista teorico che pratico. Al termine del corso, gli studenti avranno acquisito i seguenti risultati di apprendimento, espressi secondo i Descrittori di Dublino: Conoscenza e Capacità di Comprensione (Knowledge and understanding):Gli studenti avranno una conoscenza approfondita e specialistica dei risultati avanzati della teoria della probabilità (grandi deviazioni), dei processi stocastici (catene di Markov a tempo continuo) e della modellazione stocastica (grafi casuali). Saranno in grado di comprendere e interpretare formalmente concetti complessi legati a eventi rari, processi di Poisson, passeggiate aleatorie e proprietà dei grafi casuali. Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione (Applying knowledge and understanding):Gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni teoriche avanzate acquisite alla soluzione di esercizi complessi e all'analisi critica di problemi e modelli stocastici in contesti sia accademici che applicativi. Avranno una comprensione operativa del linguaggio della probabilità e padronanza di tecniche di dimostrazione avanzate, come il coupling. Autonomia di Giudizio (Making judgements):Gli studenti saranno capaci di formulare giudizi autonomi e critici sulla pertinenza e l'applicabilità di specifici metodi e modelli stocastici per l'analisi di fenomeni complessi. Sapranno valutare la validità delle assunzioni e le implicazioni dei risultati ottenuti da modelli stocastici avanzati. Abilità Comunicative (Communication skills):Gli studenti saranno in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto, concetti complessi, risultati di analisi e dimostrazioni relative a metodi e modelli stocastici, a specialisti e non specialisti. Il corso, essendo tenuto in inglese, potenzierà ulteriormente queste abilità in un contesto internazionale. Capacità di Apprendimento (Learning skills):Gli studenti avranno sviluppato le capacità di apprendimento necessarie per affrontare in autonomia ulteriori studi in ambiti correlati alla probabilità avanzata, ai processi stocastici e alla modellazione matematica, nonché per rimanere aggiornati sugli sviluppi della ricerca scientifica nel settore. Saranno in grado di approfondire argomenti specifici utilizzando testi e risorse avanzate

1. Grandi deviazioni Il teorema di Cramér Il principio di grandi deviazioni Il principio di contrazione e il lemma di Varadhan Entropia relativa e teorema di Sanov 2. Catene di Markov a tempo discreto e continuo Richiami (irriducibilità, classificazione degli stati) Proprietà di Markov forte Misure invarianti e convergenza all'equilibrio Semigruppi e generatori su spazi numerabili Processo di Poisson 3. Passeggiate aleatorie Passeggiate aleatorie semplici: proprietà delle traiettorie nel caso unidimensionale, Teorema di Polya Passeggiate aleatorie su grafi: Problema di Dirichlet, Passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio Ricorrenza e transienza per catene di Markov numerabili: Funzione di Liapunov e criteri di Foster-Lamperti 4. Grafi aleatori Il modello di Erdős–Rényi Soglie nel modello di Erdos-Renyi: Connettività e l'emergere di un componente gigante

L’esame consiste in due parti: una consegna individuale di esercizi, che contribuisce per un sesto al voto finale, e un esame orale, che contribuisce per cinque sesti al voto finale. Il voto finale sarà espresso in trentesimi. La consegna individuale di esercizi consiste nella risoluzione di alcuni esercizi proposti durante il corso, che devono essere svolti autonomamente dagli studenti e consegnati almeno 5 giorni prima dell’esame orale. Questa prova valuta la continuità dell’apprendimento e le competenze pratiche. L’esame orale consiste in un colloquio della durata di circa 30–60 minuti e valuta la conoscenza di definizioni, enunciati ed esempi presentati durante il corso, nonché le capacità espositive relative a una selezione di argomenti e dimostrazioni dettagliate. La consegna individuale di esercizi è valutata in base alla correttezza, completezza e chiarezza delle soluzioni proposte, nonché all’uso appropriato dei metodi e della notazione probabilistica. L’esame orale è valutato in base alla correttezza e profondità delle risposte, alla capacità di presentare in modo rigoroso definizioni, enunciati e dimostrazioni, alla capacità di collegare diversi argomenti del corso e alla chiarezza della comunicazione matematica. I voti più elevati sono attribuiti agli studenti che dimostrano piena padronanza del materiale teorico, autonomia di ragionamento e capacità di applicare i metodi a esempi non standard. Il superamento dell’esame richiede una conoscenza sufficiente delle principali definizioni, risultati ed esempi, e la capacità di risolvere esercizi standard relativi agli argomenti del corso. Sono previsti 6 appelli d’esame: due in giugno/luglio, uno in settembre e tre in

Appunti delle lezioni del docente. Testi di riferimento: F. den Hollander. Large Deviations, Fields Institute Monographs, vol. 14. AMS (2008). E. Pardoux. Markov Processes and Applications: Algorithms, Networks, Genome and Finance, Wiley (2008). Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021). T. M. Liggett. Continuous time Markox Processes (An Introduction), American Mathematical Society (2010). G. Last, M. Penrose. Lectures on the Poisson Process, Cambridge University Press (2017). S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003). R. Durrett. Probability: theory and examples. 5th edition (2019). The book can be downloaded for free from his personal webpage https://services.math.duke.edu/~rtd/. R. Lyons and Y. Peres, Probability on Trees and Networks, Cambridge University Press (2016). The book can be downloaded for free from Lyons homepage https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/book.pdf.

Conoscenza e capacità di comprensioneIl corso fornisce agli studenti una conoscenza avanzata dei concetti fondamentali, delle definizioni e dei principali risultati della teoria dei processi stocastici in tempo discreto. Particolare attenzione sarà dedicata alla teoria delle martingale, evidenziandone il ruolo centrale nella probabilità moderna e nelle sue applicazioni. Gli studenti approfondiranno la comprensione delle strutture probabilistiche essenziali e acquisiranno familiarità con il formalismo matematico avanzato utilizzato nel settore. Conoscenza e capacità di comprensione applicateGli studenti svilupperanno la capacità di applicare gli strumenti teorici e le tecniche probabilistiche apprese per risolvere esercizi, analizzare modelli e affrontare problemi legati ai processi stocastici in tempo discreto. Saranno in grado di applicare in modo rigoroso i principali risultati teorici, come i teoremi di arresto opzionale, i teoremi di convergenza per le martingale e altri principi fondamentali, a problemi concreti di teoria della probabilità e discipline affini. Autonomia di giudizioIl corso promuoverà la capacità di ragionamento critico e autonomo degli studenti nell’ambito matematico. Gli studenti impareranno a valutare la correttezza degli argomenti, a selezionare gli strumenti matematici più idonei nella risoluzione dei problemi e a esaminare criticamente le ipotesi e i limiti dei risultati all'interno della teoria dei processi stocastici. Abilità comunicativeGli studenti miglioreranno la loro capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso concetti matematici avanzati, sia oralmente che in forma scritta, utilizzando il linguaggio e il formalismo propri della teoria della probabilità. Saranno incoraggiati a presentare dimostrazioni, discutere risultati teorici e spiegare l’applicazione dei concetti principali a diversi contesti nell’ambito dei processi stocastici. Capacità di apprendimentoAl termine del corso, gli studenti avranno rafforzato la capacità di studio autonomo e di acquisizione di nuove conoscenze nell’ambito della probabilità avanzata e dei processi stocastici. Saranno preparati per approfondire ulteriormente tali argomenti attraverso corsi specialistici, attività di ricerca o applicazioni di modelli stocastici in matematica, finanza o altre discipline quantitative.

Complementi di Probabilità: Funzione caratteristica, unicità e connessione con la convergenza debole. Vettori gaussiani. Criteri di compattezza rispetto alla convergenza in legge. Legge e speranza condizionale. Definizioni e proprietà. Esistenza della speranza condizionale di una variabile aleatoria rispetto a una sigma algebra. Proprietà fondamentali: proprietà della torre, disuguaglianza di Jensen, lemma del congelamento (freezing). Teoremi di passaggio al limite. Martingale a tempo discreto. Definizione ed esempi (somme di v.a. indipendenti centrate, prodotto di v.a. indipendenti e di media 1, martingale chiuse). Integrale di un processo prevedibile. Martingale arrestate. Teorema di arresto opzionale. Applicazioni: tempo di primo passaggio di una passeggiata aleatoria su Z; problema della rovina del giocatore. Lemma sugli attraversamenti (upcrossing). Convergenza quasi certa delle martingale limitate in L^1. Martingale limitate in L^2. Uniforme integrabilità e convergenza in L^1. Dimostrazione della legge forte dei grandi numeri. Disuguaglianza massimale. Disuguaglianza di Doob, convergenza in L^p. Esempi: processi di ramificazione di Galton-Watson. Applicazioni alla convergenza di somme di variabili alaeatorie Mercati finanziari a tempo discreto. Arbitraggio e misura martingala equivalente

Esame scritto e orale. Voto in trentesimi. Non vengono effettuate prove in itinere Nella prova scritta, che contiene ESERCIZI, PROBLEMI e DOMANDE DI TEORIA a risposta aperta, viene valutata la abilità operativa di risolvere esercizi utilizzando le conoscenze fornite nel corso. La prova scritta viene valutata con un voto in trentesimi. È necessario ottenere una valutazione di almeno 16/30 nella prova scritta per accedere alla prova orale, che consta in un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO E SUGLI ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE. Nell'orale viene valutata se lo studente ha acquisito le competenze necessarie a presentare una selezione delle dimostrazioni svolte in aula, e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati del corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi. La valutazione finale risulterà dalla combinazione ragionata tra la valutazione della prova scritta e quella della prova orale. L'esame è superato se il voto è almeno 18/30. Ci saranno 6 appelli d'esame

Jean Jacod & Philip Protter: Probability essentials D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991). Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning). Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning). Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste durante la prova orale (disponibili sulla piattaforma di e-learning).

Una varietà simplettica è una varietà differenziabile dotata di una forma simplettica, ossia una 2-forma differenziale chiusa ovunque non-degenere (e ha pertanto dimensione pari). Per esempio, la sfera unitaria nello spazio euclideo 3-dimensionale possiede una struttura simplettica standard. Altri esempi 'canonici' sono i fibrati cotangenti di varietà differenziali e lo spazio proiettivo complesso. La Geometria Simplettica è la branca della Geometria che studia le proprietà delle varietà simplettiche. L'interesse per la Geometria Simplettica origina dalla meccanica hamiltoniana, il che lega strettamente tale disciplina alla Fisica Matematica e alla Fisica Classica: su una varietà simplettica, a ogni funzione è associato naturalmente un campo vettoriale e quindi un sistema dinamico, e le equazioni di Hamilton sono le corrispondenti equazioni di flusso. Oltre a essere una branca in intenso sviluppo della Geometria per il suo interesse intrinseco, la Geometria Simplettica è strettamente legata a diversi ambiti della Matematica moderna. Per esempio, la Geometria Simplettica dei fibrati cotangenti è cruciale nello studio degli operatori pseudodifferenziali e degli operatori integrali di Fourier, ed è alla base dell'Analisi Semiclassica, mentre le proprietà simplettiche delle orbite coaggiunte di un gruppo di Lie (le orbite per l'azione coaggiunta sulla coalgebra di Lie) sono intimamente legate allo studio delle rappresentazioni irriducibili. La Geometria Simplettica è inoltre un punto di vista indispensabile in Geometria differenziale (reale e complessa). Per esempio, il flusso geodetico di una varietà riemanniana è un caso particolare di sistema hamiltoniano e ammette la sua interpretazione più naturale nel linguaggio simplettico, e una classe importantissima di varietà complesse, cosiddette di Kaehler, è contraddistinta dall'esistenza di una struttura simplettica 'compaitibile' con la struttura complessa (le varietà proiettive sono una sottoclasse di quelle di Kaehler). L'approccio simplettico ha giocato un ruolo cruciale negli sviluppi recenti più innovativi della Geometria Differenziale complessa. Lo scopo del corso è discutere ed approfondire i concetti di base della Geometria Simplettica, a partire dagli aspetti locali per poi rivolgere l’attenzione alle proprietà globali di una varietà simplettica. Una particolare enfasi verrà data allo studio delle sottovarietà lagrangiane e alle loro proprietà funtoriali, che sono una chiave importante per interpretare gli operatori integrali di Fourier.Tempo permettendo, verranno inoltre approfonditi i concetti di azione hamiltoniana, di mappa momento e di riduzione simplettica; quest'ultima costruzione permette di costruire una nuova struttura simplettica 'quoziente' a partire da una varietà simplettica dotata di simmetrie. I risultati di apprendimento attesi comprendono: Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria simplettica; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria. Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e delle tecniche simplettiche in diversi ambiti della matematica pura (equazioni differenziali, geometria riemanniana, geometria complessa, teoria delle rappresentazioni) e nella modellizzazione di fenomeni fisici (fisica matematica); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad altri ambiti.

· Algebra lineare simplettica. · Struttura simplettica di un fibrato cotangente, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson. · Varietà simplettiche, loro sottovarietà notevoli e rispettivi intorni. · Isotopie e teoremi di Darboux e di Moser. · sottovarietà lagrangiane e le loro proprietà funtoriali; il Teorema dell'intorno tubolare di Weinstein. · Mappe momento e loro proprietà; riduzione simplettica. · Strutture complesse e quasi-complesse compatibili, varietà di Kähler e varietà quasi-Kähler. · Orbite coaggiunte e loro struttura simplettica intrinseca.

L'esame consiste di due prove scritte, seguite da una discussione orale delle stesse. Ciascuna delle prove verterà su una parte del corso (I e II), e sarà finalizzata alla valutazione della conoscenza, della comprensione e delle capacità che costituiscono gli obiettivi formativi dell'insegnamento. L'esatta suddivisione in argomenti tra le due prove verrà comunicata durante il corso con largo anticipo rispetto allo svolgimento delle stesse. Ogni prova consiste di una combinazione flessibile di quesiti teorici (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e di quesiti di carattere più pratico (risoluzione di esercizi, costruzione di esempi o controesempi). Ogni prova verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale; al fine del superamento dell'esame entrambe le prove dovranno essere sufficienti. Le due prove scritte possono essere sostenute in appelli differenti. In ogni appello sarà possibile a iscriversi a entrambe le prove scritte, ma solo alla seconda è abbinata la registrazione del voto. La data della discussione orale degli scritti dopo la seconda prova scritta verrà annunciata dopo la correzione della stessa.

Le note delle lezioni scritte dal docente e quelle redatte dal Dott. Massimo Frigerio nell'a.a. 2018/19. Ulteriori testi raccomandati: V. Guillemin, S. Sternberg, Geometric Asymptotics, AMS 1990 V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, Oxford Letture consigliate: V. Guillemin, S. Sternberg, Semiclassical Analysis, International Press J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators, Birkhäuser

Capacità Costruire strumenti teorici e riflessioni critiche relative ai metodi e alle teorie dell’apprendimento e insegnamento della matematica. Competenze Essere in grado di acquisire e sperimentare autonomamente metodologie, tecnologie e materiali sviluppati e sperimentati negli anni nella ricerca e nella pratica della didattica della matematica. Essere in grado di progettare percorsi didattici nelle discipline matematiche su argomenti oggetto di insegnamento nella scuola secondaria. Obiettivi formativi (secondo i Descrittori di Dublino) Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza teorica approfondita dei principali modelli, metodi e risultati della ricerca in didattica della matematica, con particolare riferimento ai processi di apprendimento e insegnamento nella scuola secondaria. Sarà in grado di comprendere e analizzare criticamente teorie educative e approcci didattici consolidati o innovativi. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di selezionare, adattare e sperimentare metodologie didattiche, materiali e tecnologie sviluppate nella ricerca, e di applicarle in modo consapevole nella progettazione di attività didattiche per la scuola secondaria. Saprà coniugare rigore disciplinare e attenzione ai processi cognitivi degli studenti. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di riflettere criticamente su esperienze e scelte didattiche, valutandone coerenza, efficacia e fondamento teorico. Saprà formulare giudizi motivati su percorsi educativi, anche alla luce delle pratiche e delle evidenze prodotte dalla ricerca didattica. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di comunicare efficacemente idee, strategie e problematiche legate all’insegnamento della matematica, utilizzando un linguaggio appropriato sia in contesti specialistici sia nella comunicazione educativa rivolta a studenti o colleghi docenti. Capacità di apprendimentoLo studente svilupperà la capacità di aggiornarsi autonomamente sui temi della didattica della matematica, di interpretare criticamente la letteratura scientifica e di integrare nuove conoscenze nella propria pratica professionale o futura attività di insegnamento.

Primo modulo Analisi didattica della geometria euclidea piana come caso paradigmatico di costruzione, formalizzazione e trasmissione del sapere matematico. A partire da una lettura selettiva degli Elementi di Euclide e dal confronto con l’assiomatica moderna, verranno discussi il ruolo di definizioni, postulati, figure, costruzioni e dimostrazioni, con particolare attenzione alle difficoltà concettuali e linguistiche che emergono nell’insegnamento. Il modulo affronterà inoltre la trasposizione didattica dei contenuti matematici, l’analisi critica dei libri di testo, i livelli di comprensione geometrica e il ruolo di esempi, esercizi e attività nella costruzione dei concetti. Secondo modulo Metodologie per l'insegnamento matematica: come determinare e affrontare i nodi concettuali ai vari livelli di apprendimento; analizzare anche gli aspetti epistemologici della matematica in chiave didattica. Progettazione di attività e valutazione di conoscenze e competenze: i legami della tradizione consolidata di didattica della matematica per competenze con i risultati delle ricerche nelle didattiche e pedagogiche. Metodi e tecniche per la comunicazione della matematica.

Non sono previste prove intermedie. L'esame finale consiste in un Orale integrato sui due moduli, con discussione e valutazione di progetti. Verranno valutati la capacità di declinare in funzione didattica i contenuti e i metodi della matematica, l'autonomia nel porre questioni rilevanti e critiche per la comunicazione e la valutazione della trasmissione dei saperi. In particolare, il progetto è una microlezione, che viene presentata durante la discussione dell'orale, accompagnata da una relazione. Gli esami sono individuali, e i progetti e le relazioni devono essere riconducibili ad un unica persona. Ma gli studenti sono incoraggiati a lavorare in gruppo, e collaborare per raggiungere gli obiettivi indicati. La descrizione esplicita della natura dei progetti verrà illustrata durante il corso (in sintesi, si tratta di progetti di microlezioni con riflessioni didattiche e epistemologiche). Verranno pubblicate sulla piattaforma e-learning delle linee guida, che potranno anche variare in funzione del numero e della natura dei partecipanti al corso. Gli argomenti specifici, le date e le modalità concrete di valutazione di profitto verranno discusse e negoziate con gli studenti (frequentanti o no). Il voto è in trentesimi, ed esprime una valutazione complessiva di tutto cioè che concorre al raggiungimento degli obiettivi formativi sopra descritti. Valutazione qualitativa dei livelli di apprendimento, riferita ai principali descrittori utilizzati nel contesto universitario (EHEA / ANVUR). 30 e lode Conoscenza completa, rigorosa e articolata, anche oltre i contenuti minimi del corso. Applicazione sicura, autonoma e creativa dei metodi a problemi anche non standard. Ottima capacità di analisi critica e riflessione autonoma. Esposizione impeccabile, linguaggio formale preciso ed efficace. 29-30 Conoscenza completa e corretta dei contenuti del corso. Applicazione autonoma e appropriata dei metodi a problemi anche complessi. Buona autonomia nel ragionamento. Linguaggio tecnico corretto, esposizione chiara e coerente. 27–28 Conoscenza solida e ben organizzata. Applicazione corretta a problemi standard e articolati. Capacità di sintesi e ragionamento ben sviluppata. Esposizione chiara e con uso appropriato del linguaggio disciplinare. 24–26 Conoscenza complessivamente sicura, con eventuali imprecisioni non gravi. Applicazione corretta dei metodi noti a problemi standard. Autonomia limitata ma presente. Esposizione generalmente chiara, talora migliorabile nella precisione. 20–23 Conoscenze parziali, talora imprecise o lacunose. Applicazione meccanica o incerta dei metodi. Ragionamento poco autonomo, con difficoltà a gestire situazioni non standard. Esposizione poco fluida o con uso improprio del linguaggio tecnico. 18–19 Conoscenze minime e frammentarie, appena sufficienti. Applicazione solo elementare, spesso guidata. Nessuna autonomia concettuale. Esposizione debole, linguaggio spesso impreciso.

Testi di riferimento Primo modulo GLI ELEMENTI DI EUCLIDE, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (UTET, 1970)GEOMETRY: EULID AND BEYOND, di Robin Hartshorne (Springer 2000) Secondo modulo DIDATTICA DELLA MATEMATICA, di Roberto Natalini, Anna Baccaglini-Frank, Pietro Di Martino, Giuseppe Rosolini (Mondadori 2018) Revisione di contenuti COMINCIAMO DA ZERO, di Vinicio Villani (Pitagora 2003). COMINCIAMO DAL PUNTO, di Vinicio Villani (Pitagora 2006). Altri testi interessanti LEARNING TO THINK MATHEMATICALLY: PROBLEM SOLVING, METACOGNITION, AND SENSE MAKING IN MATHEMATICS di Alan H. Schoenfeld in Handbook of research on mathematics teaching and learning (A Project of the National Council of Teachers of Mathematics, 1992) (Reprint https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/002205741619600202 ). MATHEMATICAL DISCOVERY di George Polya (1962).

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e i risultati fondamentali per un’approccio geometrico e topologico allo studio delle teorie classiche di campo, con particolare riferimento alla teoria della vorticità classica, della magnetoidrodinamica ideale e dell'idrodinamica quantistica. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e utilizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi. Conoscenza e capacità di comprensione Lo studente acquisirà una conoscenza teorica approfondita dei principali modelli, metodi e risultati della ricerca in teorie di campo geometriche e topologiche; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria. Capacità di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sarà in grado di riconoscere il ruolo dei concetti e delle tecniche geometriche e topologiche in diversi ambiti della matematica applicata (teoria della vorticità, magnetoidrodinamica ideale, fluidi quantistici) e nella modellizzazione di fenomeni fisici (dinamica del vortice, relazioni tra energia e complessità, formazione di difetti topologici, annodamenti e legami); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad ambiti analoghi, ma differenti. Autonomia di giudizio Lo studente svilupperà la capacità di comprendere e valutare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni, riconoscendo gli strumenti concettuali più adatti per l’analisi e la risoluzione dei problemi proposti. Abilità comunicative Lo studente saprà esporre i concetti fondamentali del corso con chiarezza e rigore, utilizzando correttamente il linguaggio matematico. Capacità di apprendimento Lo studente svilupperà le competenze necessarie per proseguire in autonomia lo studio dell’analisi matematica e delle discipline affini, con capacità di consultazione di testi scientifici e risorse didattiche adeguate.

Il programma si articola su una prima parte di carattere generale e su una seconda parte dedicata ad argomenti specifici di carattere più avanzato. In particolare: Richiami di teoria del potenziale di Green, identità fondamentali, flussi fluidi e diffeomorfismi, teorema cinetico del trasporto, teoremi di conservazione, decomposizione del moto fluido, equazioni di Eulero, equazione del trasporto della vorticità, leggi di conservazione di Helmholtz, legge di Biot-Savart, equazioni di Maxwell, magnetoidrodinamica ideale, elicità cinetica e magnetica, analogie perfetta con i flussi di Eulero. Correzione di Kelvin per domini moltiplicemente connessi, elementi di teoria dei nodi, interpretazione idrodinamica delle mosse di Reidemeister, configurazione inflessionale ed energia di torsione, numero di legame e autolegame, derivazione del numero di legame dall'elicità magnetica, elicità di avvolgimento e contorsione, rilassamento di nodi magnetici, spettri di stati fondamentali d'energia, interpretazione idrodinamica dell'equazione di Gross-Pitaevskii, difetti topologici in condensati, mappa di Hopf, Hopfioni e campi annodati, cambio di topologia e superfici fisiche, processi di riconnessione, invarianti polinomiali di nodi, misure di complessità topologica.

Esame orale (in italiano o inglese) con 4 domande estratte da una lista di domande resa nota agli studenti a fine corso. Le soluzioni devono riprodurre il materiale presentato durante il corso, incluse prove dettagliate dei teoremi e asserti dimostrati, completi di calcoli espliciti. Il voto finale è espresso in 30esimi. Nella prova orale viene valutata la abilità operativa di risolvere i temi proposti utilizzando le conoscenze acquisite e le competenze necessarie a proporre gli argomenti svolti a lezione.

Note del docente (in inglese) distribuite durante il corso.

Una varietà simplettica è una varietà differenziabile dotata di una forma simplettica, ossia una 2-forma differenziale chiusa ovunque non-degenere (e ha pertanto dimensione pari). Per esempio, la sfera unitaria nello spazio euclideo 3-dimensionale possiede una struttura simplettica standard. Altri esempi 'canonici' sono i fibrati cotangenti di varietà differenziali e lo spazio proiettivo complesso. La Geometria Simplettica è la branca della Geometria che studia le proprietà delle varietà simplettiche. L'interesse per la Geometria Simplettica origina dalla meccanica hamiltoniana, il che lega strettamente tale disciplina alla Fisica Matematica e alla Fisica Classica: su una varietà simplettica, a ogni funzione è associato naturalmente un campo vettoriale e quindi un sistema dinamico, e le equazioni di Hamilton sono le corrispondenti equazioni di flusso. Oltre a essere una branca in intenso sviluppo della Geometria per il suo interesse intrinseco, la Geometria Simplettica è strettamente legata a diversi ambiti della Matematica moderna. Per esempio, la Geometria Simplettica dei fibrati cotangenti è cruciale nello studio degli operatori pseudodifferenziali e degli operatori integrali di Fourier, ed è alla base dell'Analisi Semiclassica, mentre le proprietà simplettiche delle orbite coaggiunte di un gruppo di Lie (le orbite per l'azione coaggiunta sulla coalgebra di Lie) è intimamente legata allo studio delle rappresentazioni irriducibili. La Geometria Simplettica è inoltre un punto di vista indispensabile in Geometria differenziale (reale e complessa). Per esempio, il flusso geodetico di una varietà riemanniana è un caso particolare di sistema hamiltoniano e ammette la sua interpretazione più naturale nel linguaggio simplettico, e una classe importantissima di varietà complesse, cosiddette di Kaehler, è contraddistinta dall'esistenza di una struttura simplettica 'compaitibile' con la struttura complessa (le varietà proiettive sono una sottoclasse di quelle di Kaehler). L'approccio simplettico ha giocato un ruolo cruciale negli sviluppi recenti più innovativi della Geometria Differenziale complessa. Lo scopo del corso è discutere ed approfondire i concetti di base della Geometria Simplettica, a partire dagli aspetti locali per poi rivolgere l’attenzione alle proprietà globali di una varietà simplettica. Una particolare enfasi verrà data allo studio delle sottovarietà lagrangiane e alle loro proprietà funtoriali, che sono una chiave importante per interpretare gli operatori integrali di Fourier.Tempo permettendo, verranno inoltre approfonditi i concetti di azione hamiltoniana, di mappa momento e di riduzione simplettica; quest'ultima costruzione permette di costruire una nuova struttura simplettica 'quoziente' a partire da una varietà simplettica dotata di simmetrie. I risultati di apprendimento attesi comprendono: Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria simplettica; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria. Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e delle tecniche simplettiche in diversi ambiti della matematica pura (equazioni differenziali, geometria riemanniana, geometria complessa, teoria delle rappresentazioni) e nella modellizzazione di fenomeni fisici (fisica matematica); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad altri ambiti.

· Algebra lineare simplettica. · Struttura simplettica di un fibrato cotangente, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson. · Varietà simplettiche, loro sottovarietà notevoli e rispettivi intorni. · Isotopie e teoremi di Darboux e di Moser. · Funzioni generatrici, equazione di Hamilton-Jacobi, sua soluzione geometrica. · Mappe momento e loro proprietà; riduzione simplettica. · Strutture complesse e quasi-complesse compatibili, varietà di Kähler e varietà quasi-Kähler. · Orbite coaggiunte e loro struttura simplettica intrinseca.

L'esame consiste di due prove scritte, seguite da una discussione orale delle stesse. Ciascuna delle prove verterà su una parte del corso (I e II), e sarà finalizzata alla valutazione della conoscenza, della comprensione e delle capacità che costituiscono gli obiettivi formativi dell'insegnamento. L'esatta suddivisione in argomenti tra le due prove verrà comunicata durante il corso con largo anticipo rispetto allo svolgimento delle stesse. Ogni prova consiste di una combinazione flessibile di quesiti teorici (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e di quesiti di carattere più pratico (risoluzione di esercizi, costruzione di esempi o controesempi). Ogni prova verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale; al fine del superamento dell'esame entrambe le prove dovranno essere sufficienti. Le due prove scritte possono essere sostenute in appelli differenti. In ogni appello sarà possibile a iscriversi a entrambe le prove scritte, ma solo alla seconda è abbinata la registrazione del voto. La data della discussione orale degli scritti dopo la seconda prova scritta verrà annunciata dopo la correzione della stessa.

Le note delle lezioni scritte dal docente e quelle redatte dal Dott. Massimo Frigerio nell'a.a. 2018/19. Ulteriori testi raccomandati: V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, Oxford Letture consigliate: V. Guillemin, S. Sternberg, Semiclassical Analysis, International Press J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators, Birkhäuser