L'insegnamento si propone l'obiettivo di fornire gli strumenti matematici, numerici e algoritmici di base per la modellazione e approssimazione di forme geometriche e free-form. In altre parole, mediante la trattazione…
Scheda dell'insegnamento
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone l'obiettivo di fornire gli strumenti matematici, numerici e algoritmici di base per la modellazione e approssimazione di forme geometriche e free-form. In altre parole, mediante la trattazione di aspetti numerici propri della grafica e della geometria computazionale e relativi all’elaborazione geometrica, il corso intende creare il linguaggio fondamentale della geometria parametrica e computazionale e descrivere le applicazioni alla progettazione anche di tipo virtuale.
Lo studente:
- conosce e comprende gli strumenti matematici, numerici e algoritmici di base per la descrizione di forme nello spazio tridimensionale
- è in grado di modellare, generare, muovere, deformare e approssimare forme complesse di interesse applicativo;
- è in grado di selezionare le applicazioni e i linguaggi da utilizzare a supporto del progetto.
Programma
L'insegnamento ha l'obiettivo di fornire allo studente gli strumenti numerici e algoritmici di base per la descrizione di forme nello spazio tridimensionale. Mediante la trattazione di aspetti numerici propri della grafica e della geometria computazionale, lo studente sarà in grado di modellare, generare, muovere, deformare e approssimare forme complesse di interesse applicativo. Durante il corso la rappresentazione di tali forme sarà ottenuta mediante l'implementazione di algoritmi utilizzando un software di geometria computazionale.
1) Modellazione di forme geometriche.
Richiami a sistemi di riferimento 2D. Sistemi di riferimento 3D: definizione, piani coordinati, ottanti. Distanza fra due punti. Definizione di vettore algebrico a tre componenti e vettore geometrico e loro corrispondenza.
Modulo di un vettore, versore. Operazioni su vettori: addizione e sottrazione, moltiplicazione per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettore. Forma cartesiana di un vettore. Funzioni vettoriali: definizioni e loro interpretazione grafica. Applicazione al contesto della computer graphics dei concetti introdotti. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
2) Parametrizzazione di rette e piani.
Forma parametrico-vettoriale di una retta. Forma parametrico-vettoriale di un piano. Direzione normale ad un piano. Forma cartesiana di un piano. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
3) Virtualizzazione di movimenti e deformazioni nello spazio.
Definizione di matrice e alcune caratteristiche: matrice simmetrica, matrice diagonale, matrice identità. Operazioni su matrici: addizione e sottrazione fra matrici, moltiplicazione fra matrici (in particolare moltiplicazione matrice-vettore). Definizione di trasformazione geometrica 2D e 3D. Trasformazioni affini isometriche: traslazione, rotazione, riflessione. Trasformazioni affini non isometriche: scaling. Composizione di trasformazioni. Trasformazioni in coordinate omogenee: trasformazioni prospettiche (caso particolare proiezione ortogonale). Applicazione al contesto della computer graphics dei concetti introdotti. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
4) Parametrizzazione di curve e superfici.
Parametrizzazione di semplici curve e superfici. Parametrizzazione di curve e superfici dinamiche. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti. Esempio: generazione modellistica e descrizione matematica di forme architettoniche (e.g., dei Realia Building di Madrid e Swiss Re Building di Londra).
5) Metodi numerici e algoritmi per l'approssimazione di curve e superfici complesse.
Operazioni su punti: combinazioni baricentriche e baricentriche convesse. Definizione di curve di Bézier e loro costruzione attraverso l'algoritmo di De Casteljeau. Forma parametrica di una curva di Bézier attraverso i polinomi di Bernstein e cenni alle loro proprietà numeriche. Proprietà e limiti di una curva di Bézier. Cenni alle curve B-Spline e NURBS. Applicazione al contesto della computer graphics dei concetti introdotti. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti. Esempio: descrizione di una lettera di un font Postscript mediante curve di Bezier.
Modalità d'esame
Prova scritta obbligatoria, senza prove in itinere
Prova orale condizionata (a scelta del docente)
Progetto/i - Elaborato/i facoltativo (a scelta dello studente), individuale, senza revisioni periodiche, senza presentazione/discussione finale
La valutazione finale avviene attraverso un elaborato scritto. In casi particolari (ad esempio, per valutazioni al limite della sufficienza o per dubbi sul regolare svolgimento dello scritto), il docente si riserva la possibilità di integrare la prova scritta con un colloquio orale. Inoltre, gli studenti che ottengono una valutazione superiore a 26 allo scritto possono sostenere un colloquio orale ad integrazione della prova scritta.
L'esame ha l'obiettivo di verificare se lo studente ha acquisito in maniera adeguata le seguenti competenze:
*la conoscenza
- descrivere e riconoscere curve e superfici in forma parametrica;
- riconoscenere e caratterizzare la posizione reciproca di punti, rette e piani;
- la capacita' di applicare le conoscenze acquisite
- definire ed utilizzare trasformazioni geometriche in forma matriciale;
- definire e rappresentare in forma parametrica curve di Bezier quadratiche e cubiche e caratterizzare la regolarità del raccordo tra più curve;
- utilizzare il software grafico utilizzato nei laboratori per rappresentare punti, curve, superfici ottenute anche mediante l'utlizzo di trasformazioni geometriche.
Il docente si attende una comprensione non limitata all'enunciazione di definizioni e risultati e alla risoluzione di esercizi standard, ma critica ed in grado di distinguere le diverse situazioni e di compiere scelte consapevoli, giustificando i procedimenti seguiti.
Si attende inoltre un'adeguata correttezza nei calcoli e un'esposizione ben argomentata della teoria.
Codice insegnamento P918175650