Matematica applicata

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

OBIETTIVI GENERALI: Acquisire familiarità con tecniche avanzate di deep learning basato su modelli di reti neurali differenziabili con paradigmi di apprendimento supervisionato, non supervisionato e rinforzato; acquisire competenze di modellizzazione di problemi complessi, attraverso tecniche di deep learning, e saperle applicare a contesti applicativi diversi nei campi della fisica, della ricerca scientifica di base e applicata.
Gli argomenti trattati includono: richiami generali sul Machine Learning, reti neurali differenziabili, tecniche di regolarizzazione. Convolutional neural network, neural network per analisi di sequenze (RNN, LSTM/GRU, Transformers). Tecniche avanzate di apprendimento: transfer learning, domain adaptation, adversarial learning, self-supervised and contrastive learning, model distillation. Graph Neural Networks (statici e dinamici) e applicazione a modelli strutturati per la fisica: modelli dinamici, simulazione di fluidi complessi, GNN Hamiltoniani e Lagrangiani. Modelli generativi e variazionali: variational mean-field theory, expectation maximization, modelli energy based e maximum entropy (Hopfield networks, Boltzman machines and RBM), AutoEncoders, Variational AutoEncoders, GANs, Autoregressive flow models, invertible networks, modelli generativi basati su GNN. Reti Neurali quantistiche.
OBIETTIVI SPECIFICI: A - Conoscenza e capacità di comprensione OF 1) Conoscenza sul funzionamento delle reti neurali e loro interpretazione matematica come approssimatori universali OF 2) Comprensione dei limiti e delle potenzialità di modelli avanzati di deep learning OF 3) Compresione dei limit e delle potenzialità dell’uso del DL nel risolvere problemi di fisica B – Capacità applicative OF 4) Progettazione, implementazione, messa in esercizio e analisi di architetture di deep learning per risolvere problemi complessi in divers ambiti applicativi della fisica e della ricerca scientifica
C - Autonomia di giudizio OF 5) Essere in grado di valutare le prestazioni di diverse architetture, e di valutare la capacità di generalizzazione delle stesse D – Abilità nella comunicazione OF 6) Essere in grado di comunicare con chiarezza la formulazione di un problema di apprendimento avanzato e la sua implementazione, la sua applicabilità in contesti realistici OF 7) Essere in grado di motivare le scelte architetturali e di regolarizzazione alla base di un modello di DL
E - Capacità di apprendere OF 8) Essere in grado di apprendere tecniche alternative e più complesse OF 9) Essere in grado di implementare tecniche esistenti in maniera efficiente, robusta e affidabile

Lezioni teoriche [50% delle ore del corso]

Richiami generali sulle reti neurali artificiali differenziabili e sull'uso della libreria pytorch per la progettazione, training e test delle ANN. Architetture di base: MLP, Convolutional neural network, neural network per analisi di sequenze (RNN, LSTM/GRU). Attention, self-attention, transformers e visual transformers. Tecniche di apprendimento avanzate: transfer learning, domain adaptation, adversarial learning, self-supervised and contrastive learning, model distillation. Modelli per il rilevamento di oggetti e la segmentazione semantica e applicazioni. Graph Neural Network e Deep Learning geometrico. Modelli non supervisionati e rilevamento delle anomalie. Deep Learning Generativo: modelli autoregressivi, modelli invertibili: diffusion and normalizing flow, generative GNN. Quantum Machine Learning su near-term quantum devices, progetto e addestramento di QNN, Reinforcement Learning, Quantificazione delle incertezze in modelli di DNN. Energy models: Associative memories, Boltzmann Machines and RBMs.

Esercitazioni computazionali [50% delle ore del corso]

Implementazione e applicazione hands-on di modelli di DL in Tensorflow and pytorch e applicazione a diversi problemi fisici.

• concetti generali e contesto
• Testi di riferimento: C.M. Bishop: Deep Learning, Springer
• approfondimenti
• Testi di riferimento: C.M. Bishop: Deep Learning, Springer e W. L. Hamilton, Graph Representation Learning Book, MCGill Uni press
• esercitazioni di laboratorio computazionale
• Testi di riferimento: notebook e note forniti dai docenti

per superare il corso è necessario elaborare e documentare un progetto individuale assegnato a fine maggio da consegnare prima dell'esame a cui si vuole partecipare. Durante la sessione d'esame lo studente sarà invitato a presentare e discutere il progetto attraverso una breve presentazione con diapositive (~15-20 min max), rispondendo a specifiche domande poste dalla commissione d'esame

il voto finale è dato da una media ponderata tra la votazione sul progetto (50%) e la presentazione e discussione (50%)

Per conseguire la votazione di 30/30 e lode, lo studente deve dimostrare di aver acquisito un'ottima conoscenza degli argomenti trattati nel corso, e di essere in grado di padroneggiare gli strumenti software necessari per sviluppare e implementare il modello computazionale trattato durante il corso.

La determinazione del voto finale tiene conto dei seguenti elementi:

1. Progetto casa 50%

Il progetto sarà dimensionato in modo tale da richiedere un massimo di 2 settimane di lavoro per essere completato e documentato (per riprodurre i risultati riportati nel rapporto è necessaria una relazione scritta di massimo 15 pagine + codice e dataset). Consisterà nel riprodurre ed eventualmente migliorare i risultati riportati in un articolo scientifico in cui i metodi DL vengono applicati a un problema interessante e accessibile per lo studente.

La valutazione terrà conto:

• Correttezza dei concetti esposti;
• Chiarezza di presentazione;
• Capacità di elaborare i concetti appresi nello sviluppo di progetti originali.

2. Presentazione e discussione 50%

La valutazione terrà conto:

• Correttezza dei concetti esposti e delle risposte a specifici quesiti posti dalla commissione d'esame;
• Chiarezza della presentazione;

Data la natura altamente dinamica dell'area coperta da questo corso avanzato, non è previsto un testo unico di riferimento. Durante il corso verranno indicate e fornite di volta in volta le fonti sotto forma di articoli scientifici e capitoli di libri.

Testi di riferimento:

I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville: Deep Learning, MIT Press (https://www.deeplearningbook.org/)

P. Baldi, Deep Learning in Science, Cambridge University Press

W. L. Hamilton, Graph Representation Learning Book, MCGill Uni press (https://www.cs.mcgill.ca/~wlh/grl_book/files/GRL_Book.pdf)

M.Schuld, F.Petruccione, Machine Learning with Quantum Computers, Springer

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti concernenti l`analisi funzionale ed i fondamenti della teoria delle Algebre di operatori, avendo raggiunto una buona familiarita` con concetti fondamentali quali la Teoria Spettrale, operatori lineari chiusi, Hermitiani, autoaggiunti, Algebre C* e di von Neumann.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di studiare la struttura di operatori lineari quali semplici perturbazioni del Laplaciano e di utilizzare la teoria delle Algebre di operatori in molte questioni fondamentali, dalla Analisi Armonica alla Meccanica Quantistica.

1. Algebre di Banach e C*-algebre, esempi dall'analisi armonica su gruppi localmente compatti e dalle algebre di operatori

2. Spettro e risolvente

3. Calcolo funzionale continuo, teorema spettrale per operatori normali limitati su spazio di Hilbert, calcolo funzionale boreliano

4. Teoria priva della molteplicità, teoria della molteplicità spettrale

5. Operatori illimitati densamente definiti su spazio di Hilbert, chiusi, chiudibili, chiusura, aggiunto, operatori differenziali

6. Trasformata di Cayley, teorema spettrale non limitato, teorema di Stone

7. Funzionali positivi, rappresentazione di Gelfand-Naimark-Segal, teorema di Gelfand Naimark

8. Algebre di Banach abeliane, trasformata di Gelfand, teorema di Gelfand

9. Algebre di von Neumann, teorema del bicommutante di von Neumann; definizione astratta.

10. Classificazione dei fattori nei tipi I, II e III

11. Elementi di teoria modulare, teorema di Tomita

12 Stati di Kubo-Martin-Schwinger (KMS) e rappresentazioni

La prova d'esame consiste in un colloquio ove saranno poste allo studente domande sugli argomenti del corso. Verrà posta la possibilità, facoltativa, di approfondire un argomento a scelta dello studente durante la prova d'esame. Tale argomento facoltativo scelto verterà su una lista di argomenti proposti dal docente durante il corso.

A. Connes: Noncommutative Geometry.

J. Dixmier: C∗-algebras.

S. Doplicher: Note del corso di Analisi Funzionale, parte I e II

S. Doplicher: An invitation to Quantum Mechanics.

E. Hewitt, K. Ross: Abstract Harmonic Analysis

V.F.R. Jones: Subfactors and knots. AMS

G.K. Pedersen: Analysis Now, Springer,

G. Pedersen: C*-algebras and their automorphism groups, LMS

M. Reed and B. Simon: Functional analysis.

W. Rudin: Fourier Analysis on groups

S. Sakai: C*-algebras and W*-algebras. Springer.

M. Takesaki: Theory of operator algebra, vol. 1, 2, 3.

Obiettivi Formativi
Obiettivi generali: Fornire agli studenti le nozioni di base relative allo studio di spazi funzionali che intervengono in vari campi. In particolare si studieranno gli operatori lineari fra spazi di Banach o di Hilbert e si analizzerà il loro spettro. Infine verranno presentate alcune tecniche di Analisi Funzionale non lineare adatte allo studio di problemi differenziali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all'Analisi Funzionale e a diverse sue applicazioni a problemi differenziali.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche di Analisi Funzionale.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti già visti in corsi precedenti; acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Sarà in grado (almeno in casi modello) di riconoscere gli spazi funzionali adatti alla risoluzione di problemi di analisi, per esempio problemi differenziali con condizioni al contorno.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno l'applicazione delle tecniche a problemi avanzati di Analisi Funzionale e a problemi differenziali.

Spazi normati ed applicazioni lineari e continue. Teoremi di Hahn Banach e applicazioni. Teorema di Baire e applicazioni. Topologie deboli. Spazi riflessivi. Spazi di Hilbert. Operatori compatti e loro spettro.

La valutazione verrà fatta sulla base di una prova scritta che verterà principalmente sulle applicazioni della teoria e di una prova orale sulle nozioni ed i teoremi del corso e le relative dimostrazioni.

S.Kesavan Functional Analysis ed. Hindustan Book Agency

H.Brezis Analisi Funzionale ed. Liguori

S.Kesavan Topics in Functional Analysis and Applications ed. New Age Internatioonal

(Wiley-Eastern) (solo per gli autovalori delloperatore di Laplace)

Obiettivi generali:
Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche. L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione:
al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura).
Applicare conoscenza e comprensione:
al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto.
Capacità critiche e di giudizio:
la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato.
Capacità comunicative:
capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni.
Capacità di apprendimento:
le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

Prima parte (2/3 del corso)

Discussione degli esempi principali: problema isoperimetrico, superfici minime, separazione di fase nei modelli di Van der Walls.

Risultati classici per il metodo indiretto: condizioni necessarie per i punti stazionari di energie.

Metodo diretto del calcolo delle variazione.

Condizioni di semicontinuità, il ruolo della convessità.

Problemi vincolati e con condizioni al bordo.

Regolarità per il XIX problema di Hilbert.

Cenni sui problemi variazionali vettoriali e non convessi.

Seconda parte (1/3 del corso)

Gamma convergenza e/o rilassamento

Modelli di transizioni di fase nella teoria di Van der Walls

• Introduzione a problemi variazionali uni-dimensionali
• Studio di funzionali integrali in dimensione arbitraria
• Nozioni di convergenza variazionale: Gamma convergenza e esempi

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova orale, consistente nella presentazione di alcuni concetti e risultati illustrati a lezione.

B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994. vi+422 pp.

J. Jost, Jürgen, X. Li-Jost, Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. xvi+323 pp.

Il corso intende introdurre lo studio di approcci multiscala (micro-meso-macro) per modelli di sistemi multi-agente. Esempi tipici sono: traffico veicolare, pedoni, dinamica delle opinioni, flocking/swarming, mercati finanziari e così via. Il corso prevede anche attività di laboratorio per la parte computazionale relativa alla simulazione numerica dei modelli.
1. Conoscenza e capacità di comprensione
Gli studenti che abbiano superato l'esame sapranno modellizzare e studiare proprietà qualitative di fenomeni fisici attraverso diverse scale di descrizione: dalla microscopica, alla cinetica, fino alla macroscopica.
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado sapranno usare tecniche numeriche efficienti, deterministiche e non, per la simulazione dei modelli, e saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB.
3. Autonomia di giudizio
Gli studenti saranno in grado di valutare la migliore scala di rappresentazione del fenomeno di riferimento, i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.
4. Capacità comunicative
Gli studenti sapranno esporre e spiegare le scelte di modellizzazione, le proprietà dei modelli, sia alla lavagna che su computer.
5. Capacità di apprendimento
Le conoscenze acquisite permetteranno agli studenti di costruire le basi per ulteriori studi di ricerca relativi ai modelli di sistemi multi-agente.

• Modelli microscopici multiagente: traffico veicolare, dinamica delle opinioni, fenomeni di flocking/swarming, mercati finanziari, etc.
• Controllo ottimo di modelli multiagente: principio del massimo di Pontryagin, derivazione sistema ottimalità e implementazione numerica
• Scala macroscopica: Introduzione ai sistemi iperbolici lineari. Limite micro-macro, ad esempio nel caso del traffico. Metodi di rilassamento
• Scala cinetica: equazioni di tipo Boltzmann per interazioni binarie. Applicazioni alla dinamica di opinioni e traffico veicolare. Metodo Monte Carlo. Soluzione numerica delle equazioni cinetiche con Direct Simulation Monte Carlo
• -
• Testi di riferimento: -

Esame orale sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni in laboratorio. I codici degli esercizi in laboratorio devono essere inviati prima dell'esame finale, e saranno discussi durante l'orale.

• G. Alldredge, M. Frank, M. Herty, T. Trimborn. Kinetic Description of Interacting Multi-Agent Systems. Lecture Notes, RWTH Aachen University, 2019.
• R. J. LeVeque. Numerical methods for conservation laws. Birkhaeuser, 1992.
• S. Mishra, U.S. Fjordholm, R. Abgrall. Numerical methods for conservation laws and related equations. Lecture Notes.
• L. Pareschi, G. Toscani. Interacting multiagent systems. Kinetic equations and Monte Carlo methods. Oxford University Press, 2013.
• L. Pareschi, G. Russo. An Introduction to Monte Carlo method for the Boltzmann equation. ESAIM: Proc., 10:35-75, 2001.
• G. Puppo. Kinetic models of BGK type and their numerical integration. Rivista Matematica dell'Università di Parma, 299-349, 2019.
• F. Golse. On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit. arXiv:1304:5494, 2013.
• G. Alldredge, M. Frank, M. Herty, T. Trimborn. Kinetic Description of Interacting Multi-Agent Systems. Lecture Notes, RWTH Aachen University, 2019.
• R. J. LeVeque. Numerical methods for conservation laws. Birkhaeuser, 1992.
• S. Mishra, U.S. Fjordholm, R. Abgrall. Numerical methods for conservation laws and related equations. Lecture Notes.
• L. Pareschi, G. Toscani. Interacting multiagent systems. Kinetic equations and Monte Carlo methods. Oxford University Press, 2013.
• L. Pareschi, G. Russo. An Introduction to Monte Carlo method for the Boltzmann equation. ESAIM: Proc., 10:35-75, 2001.
• G. Puppo. Kinetic models of BGK type and their numerical integration. Rivista Matematica dell'Università di Parma, 299-349, 2019.
• F. Golse. On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit. arXiv:1304:5494, 2013.

1. Conoscenza e capacità di comprensione Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno e comprenderanno i principali strumenti per la Data Analisys: modelli Gaussiani, modelli lineari, analisi in componenti principali, analisi fattoriale, analisi discriminante, analisi della correlazione canonica, multi-dimensional scaling, modelli causali, catene di Markov, grafi aleatori, algoritmi basati su grafi.
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere problemi di Data Mining, tra cui model selection, prediction, classification, clustering, dimension reduction, feature extraction, inferenza causale.
3. Autonomia di giudizio Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.
4. Capacità comunicative Gli studenti sapranno esporre e spiegare la soluzione di alcuni esercizi proposti, sia alla lavagna che su computer.
5. Capacità di apprendimento Le conoscenze acquisite permetteranno agli studenti di costruire le basi per lo studio degli aspetti più specialistici della Data Science e dei metodi numerici in questa area.

Obiettivi generali Acquisire familiarità con tecniche avanzate di machine learning supervisionato e non supervisionato; acquisire competenze di modellazione di problemi complessi attraverso tecniche di deep learning, e saperle applicare a contesti applicativi diversi.
Obiettivi specifici Gli argomenti includono: reti neurali profonde, il loro addestramento e l'interpretazione dei risultati; reti convoluzionali e architetture prominenti; teoria del deep learning con particolare riferimento a questioni di convergenza; utilizzo di framework esistenti per l'implementazione di tecniche avanzate di machine learning; autoencoders; attacchi avversari.
Conoscenza e comprensione: Conoscenza sul funzionamento delle reti neurali e loro interpretazione matematica come approssimatori universali. Comprensione dei limiti e delle potenzialità di modelli avanzati di machine learning.
Applicazione di conoscenza e comprensione Progettazione, implementazione, messa in esercizio e analisi di architetture di deep learning per risolvere problemi complessi in disparati ambiti applicativi.
Autonomia di giudizio Essere in grado di valutare le prestazioni di diverse architetture, e di valutare la capacità di generalizzazione delle stesse.
Abilità comunicative Essere in grado di comunicare con chiarezza la formulazione di un problema di apprendimento avanzato e la sua implementazione, la sua applicabilità in contesti realistici, nonchè di motivare le scelte architetturali e di regolarizzazione.
Capacità di apprendimento successivo: Essere in grado di apprendere tecniche alternative e più complesse quali i modelli generativi basati su traporto ottimo, le trasformate di scattering e lo studio del probilo energetico delle reti neurali. Essere in grado di implementare tecniche esistenti in maniera efficiente, robusta e affidabile.

• Data, features, and embeddings
• Data awareness
• Modeling prior knowledge
• The curse of dimensionality
• Task-driven features and invariances
• Recap of linear algebra
• Vector spaces, bases
• Linear maps
• Matrix notation and matrix algebra
• Tensors and tensor operations
• Parametric models and regression
• Linear and polynomial regression
• Convexity and Lp norms
• Underfitting and overfitting
• Cross validation
• Logistic regression
• Optimization
• Gradient descent
• Stochastic gradient descent
• Learning rate, decay, momentum, batch size
• Forward and reverse-mode automatic differentiation
• Deep neural networks
• Multi layer perceptron
• Backpropagation
• Universal approximation theorems
• Autograd and modules
• Invariance, equivariance, compositionality
• Convolutional neural networks
• Pooling
• Double descent
• Regularization: weight penalty, early stopping, dropout, batchnorm
• Generative models
• PCA
• Manifolds and the manifold hypothesis
• Representation learning
• Autoencoders: variational, contractive, denoising
• Generative adversarial networks
• Adversarial learning
• Decision boundaries
• Black-box and white-box attacks
• Adversarial perturbations: universal and one-pixel
• Adversarial training
• Geometric deep learning
• Learning on graphs and point clouds
• Learning on surfaces
• Generative models of structured data
• Adversarial surfaces
• Introduzione al deep learning
• Testi di riferimento: Slide e note
• Dati, feature, ed embedding
• Testi di riferimento: Slide e note
• Regressione lineare, convessità e gradienti
• Testi di riferimento: Slide e note
• Tensori e operazioni su tensori
• Testi di riferimento: Slide e note
• Overfitting e modelli nonlineari
• Testi di riferimento: Slide e note
• Modelli lineari e PyTorch Dataset
• Testi di riferimento: Slide e note
• Stochastic gradient descent
• Testi di riferimento: Slide e note
• Regressione logistica e ottimizzazione
• Testi di riferimento: Slide e note
• Multi-layer perceptron e back-propagation
• Testi di riferimento: Slide e note
• Autograd e Module
• Testi di riferimento: Slide e note
• Convolutional neural networks
• Testi di riferimento: Slide e note
• Regolarizzazione, batchnorm e dropout
• Testi di riferimento: Slide e note
• Incertezza, regolarizzazione e il deep learning toolset
• Testi di riferimento: Slide e note
• PCA e VAE
• Testi di riferimento: Slide e note
• VQ-VAE
• Testi di riferimento: Slide e note
• Strumenti del mestiere
• Testi di riferimento: Slide e note
• Adversarial learning & Geometric deep learning
• Testi di riferimento: Slide e note
• Diffusion models
• Testi di riferimento: Slide e note
• Self-attention e transformers
• Testi di riferimento: Slide e note

Le modalità di verifica consistono nei seguenti passi:

1. Una prova intermedia scritta di autovalutazione, che non concorre al calcolo finale del voto.

2. Lo svolgimento di un progetto, potenzialmente in gruppi.

3. Un esame orale opzionale.

L'esame orale, opzionale, può apportare fino a 3 punti (sia in positivo che in negativo) al voto complessivo.

Tutte queste fasi sono volte a valutare le competenze tecniche e la comprensione teorica sviluppate nel corso dell'insegnamento, così come la capacità di lavorare in gruppo, la conoscenza della letteratura, la capacità di formulare correttamente un problema di deep learning e la messa a punto di un impianto sperimentale (software).

Data la natura altamente dinamica dell'area coperta da questo corso avanzato, non è previsto un testo unico di riferimento. Durante il corso verranno indicate e fornite di volta in volta le fonti sotto forma di articoli scientifici e capitoli di libri.

Come riferimento generale, i seguenti libri possono rivelarsi utili:

Deep Learning

Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville

MIT Press, 2016

Deep Learning with PyTorch

Vishnu Subramanian

Packt, 2018

Deep Learning

Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville

MIT Press, 2016

Deep Learning with PyTorch

Vishnu Subramanian

Packt, 2018

Conoscenza e capacità di comprensione: Il corso intende fornire le conoscenze utili per comprendere alcuni aspetti della fisica teorica, e specificamente della meccanica quantistica e della meccanica statistica. Particolare attenzione sara' dedicata alla analisi delle ipotesi fondanti le due discipline. Attraverso lo studio di queste tematiche lo studente sarà in grado di comprendere l’evoluzione della fisica che si svolse agli inizi del secolo scorso, l' impatto che ebbero sullo sviluppo della societa' e la loro attuale importanza.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Il corso è finalizzato a fornire strumenti di analisi e valutazione dei fenomeni fisici su scale atomiche e sui comportamenti collettivi di grandi numeri di particelle interagenti. Tali conoscenze potranno essere esportate anche in campi diversi da quelli proposti nel corso.
Autonomia di giudizio: Attraverso lo studio degli approcci teorici alla base della meccanica quantistica e statistica lo studente potrà migliorare la propria capacità di interpretazione del reale.
Abilità comunicative: Lo sviluppo di abilità comunicative, prevalentemente orali, sarà stimolata attraverso la discussione in classe ed eventualmente con la partecipazione ad attività seminariali.
Capacità di apprendimento: La capacità di apprendimento sarà stimolata attraverso la discussione in aula, che includera' aspetti interattivi finalizzati anche a verificare l’effettiva comprensione degli argomenti trattati. La capacità di apprendimento sarà anche stimolata da supporti didattici integrativi (articoli originali) in modo da sviluppare le capacità applicative.

--Introduzione alla meccanica quantistica

Breve introduzione alla formulazione di Hamilton della meccanica classica

Assiomi della MQ

Particella libera

Particella in buca infinita

Barriere di potenziale, effetto tunnel

Oscillatore armonico

Momento angolare

Spin

Atomo di idrogeno

---- Introduzione alla meccanica statistica Richiami di termodinamica: [KH par. 1.1-1.6]

Spazio delle fasi, medie temporali, postulati della mecc. stat. [KH, par. 6.1]

ensemble microcanonico [KH, par. 6.2]

derivazione della termodinamica [KH, par. 6.3]

teorema di equipartizione [KH, par. 6.4]

gas ideale classico [KH, par. 6.5]

paradosso di Gibbs [KH, par. 6.6]

ensemble canonico, funzione di partizione ed energia libera [KH, par. 7.1]

fluttuazioni dell'energia nell'ensemble canonico [KH, par. 7.2]

ensemble gran canonico [KH, par. 7.3]

Meccanica statistica quantistica [Note del docente]:

Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein

Condensazione di Bose

Modalità di valutazione

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. L'esame consiste in un colloquio sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.

Di cruciale importanza è dimostrare la comprensione dei principali concetti esposti nel corso

Nella valutazione si tiene conto di:

• correttezza e completezza dei concetti esposti;
• chiarezza e rigore espositivo;
• capacità di sviluppo analitico della teoria;
• attitudine nel problem solving (metodo e risultati).

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso, essendo in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Dispense e note del Prof. Sciortino,

Quantum Mechanics (1)

di Claude Cohen-Tannoudji, B. Dui, Franck Laloe

Wiley ed.

Per alcuni specifici argomenti e approfondimenti si suggerisce anche

Feynman, Leighton, Sands

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html

Chapter 1

Statistical Mechanics

di Kerson Huang

Wiley ed.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno raggiunto una buona familiarità con le più recenti nozioni di soluzione e con le relative proprietà qualitative.Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.

Cenni sui teoremi dei esistenza per equazioni differenziali ordinarie

Problema di Cauchy per ODE e PDE

Funzioni analitiche

Teorema di Cauchy-Kovalevskaya, enunciato, superfici caratteristiche, idea della dimostrazione del teorema.

Nozione di problema ben posto. Controesempio di Hadamard per il problema di Cauchy applicato all'equazione di Laplace

Funzioni armoniche: principio di massimo, identità del valor medio, regolarità, lemma di Weyl, stime del gradiente, principio di massimo.

Soluzioni fondamentali, funzioni di Green, nuclei di Poisson su Rn e sulla palla. Formula di Poisson, con dimostrazione per la palla.

Funzioni subarmoniche in senso debole. Metodo di Perron per la soluzione del problema di Dirichlet, usando anche le barriere.

Rimovibilità delle singolarità e non esistenza sul disco puntato.

Spazi di Hilbert, principio di Dirichlet astratto, spazi di Sobolev W12

Lax-Milgram. Soluzioni di equazioni e sistemi ellittici.

Regolarità L2: disuguaglianza di Caccioppoli, Rapporti incrementali (no dim), regolarità L2 di ordine alto (no dim, qualche risultato).

Autofunzioni del Laplaciano (esistenza e completezza).

Stime Lp: solo enunciato e controesempi (facoltativo).

Cenni sul problema semilineare di Lane-Emden -\Delta u = u^p. Qualcosa sull'esistenza e regolarità, al variare di p.

Equazione del calore in Rn. Soluzione fondamentale, formula di rappresentazione.

Principio di massimo parabolico, unicità per l'equazione del calore in domini.

Metodo delle autofunzioni del Laplaciano per il calore (qualche cenno).

Curve shortening flow e flusso per curvatura media: solo definizioni.

Equazioni iperboliche del prim'ordine. Equazione di Burgers

Esame scritto e orale

Lecture notes di Clement Mouhot (per il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, l'equazioni del trasporto e di Burgers)

M. Giaquinta, L. Martinazzi: An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs, seconda edizione, Edizioni della Normale (2012)

F. Johns, Partial Differential Equations, Springer

Obiettivi Generali Al termine del corso, gli studenti avranno una solida comprensione e capacità pratica nell'ambito del Generative AI, essenziale per affrontare e risolvere problemi complessi di intelligenza artificiale generativa.
Obiettivi Specifici Conoscenza e Comprensione: Acquisire una comprensione approfondita dei principi di generazione di immagini e testi. Apprendere le strutture e i meccanismi dei modelli generativi basati su tecniche di diffusione e su tecniche autoregressive
Capacità Critiche e di Giudizio: Valutare criticamente le prestazioni dei modelli di generative AI e di come queste vengono utilizzati in ambiti reali. Analizzare le sfide relative alla robustezza nei modelli di generative AI e sviluppare soluzioni efficaci.
Capacità Comunicative: Presentare e discutere i risultati dei progetti di generative AI, dimostrando competenza nell'uso di strumenti avanzati come Diffusion Models e Transformers.
Capacità di Apprendimento: Sperimentare con tecnologie emergenti nel campo del deep learning, come LLM, Vision LM, Diffusion Models, Flow-based Model, etc.. Applicare le conoscenze teoriche in progetti pratici per affrontare problemi reali.
General Objectives At the end of the course, students will have a solid understanding and practical ability in the field of Generative AI, essential for tackling and solving complex problems in generative artificial intelligence.
Specific Objectives Knowledge and Understanding: Acquire an in-depth understanding of the principles behind image and text generation. Learn the structures and mechanisms of generative models based on diffusion techniques and autoregressive techniques.
Critical Thinking and Judgment Skills: Critically evaluate the performance of generative AI models and how they are used in real-world scenarios. Analyze the challenges related to robustness in generative AI models and develop effective solutions.
Communication Skills: Present and discuss the results of generative AI projects, demonstrating proficiency in the use of advanced tools such as Diffusion Models and Transformers.
Learning Skills: Experiment with emerging technologies in the field of deep learning, such as LLMs, Vision LMs, Diffusion Models, Flow-based Models, etc. Apply theoretical knowledge in practical projects to tackle real-world problems.

1. Introduzione alla Generative AI: panoramica e applicazioni.

2. Modellazione probabilistica: teoria, distribuzioni, MLE.

3. Modelli autoregressivi: linguaggio e immagini.

4. Variational Autoencoders (VAEs): inferenza variazionale e applicazioni.

5. Normalizing Flows: trasformazioni invertibili e distribuzioni complesse.

6. Generative Adversarial Networks (GANs): training avversario e miglioramenti.

7. Modelli basati su energia e punteggio: matching score ed energy functions.

8. Modelli a diffusione: processi stocastici e tecniche recenti.

9. Applicazioni su immagini: generazione e manipolazione.

10. Applicazioni su testo: modelli linguistici e sintesi.

11. Generazione di grafi e molecole: GNN e applicazioni scientifiche.

12. Valutazione dei modelli generativi: metriche e sfide.

• Generative AI

• Progetto di gruppo: 30%
• Esame scritto: 70%

Lecture notes and materials provided by the instructor.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, connessioni e le differenti nozioni di curvatura, le geodetiche e i campi di Jacobi, la completezza e gli spazi a curvatura costante.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di geometria riemanniana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare ed apprezzare le analogie e i collegamenti tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa.
Capacità comunicative: capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti nei quesiti più teorici presenti nella prova scritta, e nell'eventuale parte orale della verifica.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria differenziale/riemanniana, ma anche di geometria analitica/differenziale complessa.

• campi vettoriali e curve integrali, distribuzioni, tensori,

forme differenziali, teoria elementare dei gruppi di Lie;

• verieta' riemanniane e semiriemanniane, spazi forma, spazi

omogenei, derivate covarianti, parallelismo e geodetiche,

curvatura, campi di Jacobi;

• primo teorema di Cartan, classificazione spazi a curvatura

costante, proprieta' geometriche e topologiche di base degli

spazi a curvatura nonpositiva, teorema di Synge.

-prova scritta, basata su problemi simili a quelli distribuiti durante il corso

-prova orale (per testare la conoscenza di definizioni, esempi, teoremi)

Testi (in italiano):

--Gallot-Hulin-Lafontaine, Riemannian Geometry

--Do Carmo, Riemannian Geometry

--fogli con esercizi e teoria distribuiti durante il corso

--Gallot-Hulin-Lafontaine, Riemannian Geometry

--Do Carmo, Riemannian Geometry

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Lo studente acquisirà la conoscenza dei principali modelli di apprendimento automatico, sia supervisionato che non supervisionato, e la capacità di comprendere, utilizzare e opportunamente adattare algoritmi di ottimizzazione per big data e per l’addestramento di modelli di machine learning. La presentazione di casi di studio permetterà allo studente di acquisire la capacità di utilizzare modelli di machine learning come strumenti di supporto alle decisioni nella soluzione di problemi reali.

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Lo studente sarà in grado di modellare problemi decisionali complessi come problemi di programmazione matematica.

Acquisirà la conoscenza dei principali algoritmi di ottimizzazione, vincolata e non, comprendendo le proprietà teoriche di convergenza.

In relazione a un dato problema decisionale, sarà quindi in grado di modellare matematicamente il problema,

di individuare, tra quelli esistenti, un algoritmo adatto per la soluzione computazionale, oppure di progettare e implementare uno specifico algoritmo

al fine di tenere conto delle peculiarità del problema considerato.

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modelli di machine learning

Metodi di ottimizzazione per big data

Metodi di ottimizzazione non vincolata per l’addestramento di reti neurali artificiali

Metodi di decomposizione per l’addestramento di Support Vector Machines

Metodi di novelty detection e di clustering

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modelli di programmazione matematica

Condizioni di ottimalità

Programmazione convessa

Programmazione lineare

Programmazione non lineare

Algoritmi di ottimizzazione non vincolata

Algoritmi di ottimizzazione vincolata

Metodi per problemi a larga scala

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Esame orale con quesiti teorici e applicativi

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Esame orale con domande teoriche ed esercizi

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Pattern recognition and machine learning, CM Bishop, 2006

Dispense

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Methods for Nonlinear Optimization, L. Grippo and M. Sciandrone, Springer, 2023

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
N/D
Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Linear Optimization, D. Bertsimas and J. Tsitsiklis, 2008.

Nonlinear programming, D. Bertsekas, third edition, 2016.

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo; 1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati. 2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria elementare dei numeri e campi finiti (utili qualora si studino in altri corsi o contesti la crittografia a chiave pubblica o la teoria dei codici).
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria elementare dei numeri, alla risoluzione di equazioni alle confruenze (con particolare riguardo alle equazioni polinomiali), akke funzioni aritmetiche, alla teoria dei residui quadratici, al problema degli ampliamenti, alle estensioni e alla struttura dettagliata dei campi finiti.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alle equazioni alle congruenze, alle funzioni aritmetiche più importanti; sarà in grado di descrivere in modo concreto un campo finito e il suo gruppo di Galois.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per usare gli strumenti che sono alla base della crittografia a chiave pubblica e alla teoria dei codici correttori di errore. Scopo del corso, di natura esclusivamente teorica, è quindi di permettere agli studenti interessati in seguito agli ambiti applicativi crittografici di poter manipolare agevolmente gli oggetti matematici del corso.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti standard di teoria dei numeri e dei campi finiti.

Obiettivi generali:
Acquisire conoscenze in algebra lineare numerica e modellistica numerica per problemi differenziali Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al termine del Corso gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi a metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari e di problemi agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali lineari e avranno acquisito tecniche relative alla implementazione degli algoritmi per la soluzione effettiva dei problemi trattati. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di usare le metodologie illustrate nel Corso per la soluzione numerica di un sistema lineare o di un problema agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali lineari, e saranno in grado di prevederne le prestazioni a seconda delle caratteristiche del problema da trattare. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di scegliere fra gli algoritmi che avranno studiato nel Corso quelli più adatti alla soluzione del problema considerato, avendo anche acquisito gli strumenti per apportare le modifiche che si rendessero necessarie per migliorarne le prestazioni. Capacità comunicative: Gli studenti avranno maturato la capacità di esporre i concetti, le idee e le metodologie trattate nel Corso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di Laurea Magistrale, di aspetti più specialistici della algebra lineare numerica e della modellistica numerica per problemi differenziali, potendo comprenderne la terminologia specifica e identificarne i temi più rilevanti.

Tecniche di approssimazione numerica di alcuni modelli differenziali alle derivate parziali di interesse nelle applicazioni e i principali metodi di risoluzione numerica corrispondenti. Richiami sui principali risultati della teoria (si suppone che gli studenti abbiano gia' seguito un corso di base sulle EDP) . Richiami sugli schemi standard alle differenze finite per l'approssimazione numerica di problemi lineari ellittici, parabolici e iperbolici in una e due dimensioni. Metodi agli elementi finiti per problemi ellittici e parabolici. Esercitazioni al calcolatore.

Problemi iperbolici.

Richiami sui problemi del trasporto in una e due dimensioni. Principali schemi alle differenze finite. Analisi di convergenza e studio delle proprietà di dispersione e diffusione. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi ellittici.

Richiami sui problemi al contorno per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine: soluzioni classiche, principio del massimo, formulazione variazionale in spazi di Sobolev. Schemi alle differenze finite per l'equazione di Poisson, principio del massimo discreto e analisi della convergenza. Il metodo di Galerkin per l'approssimazione di un problema variazionale. Definizione di elemento finito di Lagrange. Teoria dell'interpolazione polinomiale negli spazi di Sobolev, teoremi di convergenza e stime dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti, aspetti computazionali e confronto col metodo delle differenze finite. Analisi numerica dei problemi ellittici a trasporto (o reazione) dominante e loro trattamento con tecniche alle differenze finite o agli elementi finiti. Schemi decentrati e diffusione artificiale. Cenno ai metodi di stabilizzazione degli schemi agli elementi finiti per problemi di diffusione-trasporto. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi parabolici.

Richiami sui risultati classici e sulla formulazione variazionale dei problemi parabolici lineari. Schemi alle differenze finite per l'equazione del calore, errore di consistenza e stima di stabilita'. Un metodo di discretizzazione in spazio agli elementi finiti e di avanzamento in tempo (teta-metodo) alle differenze, teoremi di stabilita' e convergenza. Implementazione al calcolatore dei metodi.

La valutazione si baserà su un esame scritto ed una prova orale.

L'esame scritto mirerà principalmente a verificare le conoscenze più teoriche.

Durante la prova orale si verificheranno invece maggiormente le conoscenze pratiche e si valuteranno i programmi, sviluppati in C o Matlab.

A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer

Per ulteriori approfondimenti si vedano anche:

A. Quarteroni - A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer.

L. Formaggia - F. Saleri - A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali, Springer.

J.C. Strickwerda, Finite Difference Schemes and PDE, Wadsworth \& Brooks Cole.

OBIETTIVI GENERALI: acquisire una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi e delle principali tecniche impiegate nel loro studio (Teoria della Misura, Teoria delle Distibuzioni, Trasformata di Fourier).
OBIETTIVI SPECIFICI:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi, e delle metodologie necessarie al loro studio.
Applicare conoscenza e comprensione: lo studente potra' utilizzare le conoscenze ottenute in molti ambiti diversi, in particolare in problemi di teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Capacita' critiche e di giudizio: il corso ha un carattere formativo e permettera' allo studente di approfondire la sua comprensione di alcuni temi fondamentali dell'Analisi Matematica.
Capacita' comunicative: lo studente sara' in grado di comprendere un testo scientifico di complessita' elevata e di esporne i concetti principali.
Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite metteranno lo studente in grado di accedere allo studio di corsi piu' avanzati di Analisi.

Richiami di Teoria della Misura e Analisi Funzionale. Spazi Lp. Teoria delle Distribuzioni. Spazi di Sobolev. Trasformata di Fourier.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta e una prova orale. La prova scritta dura due ore.

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i piu' semplici tra gli esercizi assegnati.

Per conseguire il punteggio massimo, pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

1) Note del corso e altro materiale didattico scaricabile dal sito del corso

2) G.F.Folland, Real Analysis

3) H.Brezis, Functional Analysis

4) L.C.Evans, Partial Differential Equations

5) L.C.Evans and R.Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions

La pagina del corso con il materiale scaricabile (note del corso e schede di esercizi) è accessibile iscrivendosi sulla piattaforma e-learning all'indirizzo https://elearning.uniroma1.it

La pagina del corso con il materiale scaricabile (note del corso e schede di esercizi) è accessibile iscrivendosi sulla piattaforma e-learning all'indirizzo https://elearning.uniroma1.it

Obiettivi Formativi
Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su alcuni argomenti classici della Fisica-Matematica.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione dei fondamenti della meccanica hamiltoniana e delle teorie cinetiche.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sara' in grado di tradurre in formalismo hamiltoniano alcuni problemi lagrangiani e portali alle quadrature, e di utilizzare i principali tool della meccanica hamiltoniana. Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti opportuni esercizi, oggetto di verifica scritta.
Capacita' critiche e di giudizio: capacita' di enucleare gli aspetti significativi della teoria del moto.
Capacità comunicative: capacita' di enucleare i punti signifivativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti piu' interessanti, di discutere matematicamente dei punti piu' sottili.
Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare i corsi di fisica-matematica su argomenti piu' specialistici, e permetteranno di comprendere, anche autonomamente, la rilevanza fisica di questioni matematiche discusse in altri corsi.

Dettagli e materiale didattico su http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/#didattica

• Prima parte (5 CFU)

Il metodo delle caratteristiche per le PDE del I ordine; l'equazione di Hamilton Jacobi; le equazioni

di Hamilton; il principio di azione stazionaria.

Formalismo hamiltoniano: trasformazioni simplettiche, parentesi di Poisson, funzioni generatrici. Metodo di

Hamilton-Jacobi. Teorema di Arnold-Liouville, variabili azione-angolo. Moti quasi periodici sul toro.

Teoremi del ritorno di Poincare'.

• Prima parte (4 CFU)

Introduzione alle teorie cinetiche: il problema della propagazione del caos.

L'equazione di Vlasov e la sua validità.

L'equazione di Boltzmann.

L’esame mira a valutare il raggiungimento degli obiettivi formativi.

La prova scritta, organizzata a test, verte sugli argomenti delle esercitazioni fatte in classe.

La prova orale consistete nella discussione dei temi più rilevanti,

sia negli aspetti matematici che in quelli fisici.

Per conseguire un punteggio pari a 18/30, lo/la studente deve dimostrare di avere acquisito conoscenze e competenze sufficienti sugli argomenti di base del corso.

Per conseguire un punteggio pare a 25/30, lo/la studente deve dimostrare di avere acquisito una buona conoscenza e competenza sugli argomenti di base del corso.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo/la studente deve dimostrare di aver acquisito un'eccellente competenza e conoscenza di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

Note del docente, con esercizi, su http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/#didattica

Courant, Hilbert: Methods of Mathematical Physics - Wiley

Komogorov, Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale - ERditori Riuniti

Salsa: Equazioni alle derivate parziali - Springer

Reed, Simon: Methods of modern mathematical physics, vol I, Functional Analisys - Elsevier

Kevin Cahill; Physical Mathematics, 2nd edition Cambridge University Press 2019

L. C. Evans Partial Differential Equation AMS Graduate Studies in Mathematics, vol. 19

Arnold: Meccanica Classica - Editori Riuniti

Landau: Meccanica - Editori Riuniti

Landau: Meccanica Quantistica - Editori Riuniti

Gallavotti: Meccanica Elementare - Boringhieri

Gantmacher: Meccanica Analitica - - Editori Riuniti

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all'omologia singolare, allo studio delle varietà differenziabili e una discreta conoscenza della teoria delle superfici di Riemann.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi anche articolati che richiedano l’uso di tecniche legate alla coomologia di de Rham, al teorema di Hurwitz e al Teorema di Riemann Roch per superfici di Riemann compatte; sarà in grado di determinare il genere di una Superficie di Riemann e la dimensione dei sistemi lineari i gruppi di coomologia delle varietà.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati che variano tra la topologia algebrica, la geometria differenziale, la geometria complessa e anche la geometria algebrica.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di potersi dedicare ad aspetti più specialistici di geometria.

Varietà differenziali e varietà complesse

Campi vettoriali e flussi

Forme differenziali, integrazione, coomologia di de Rham, dualità di Poincaré

Omologia singolare, teorema di de Rham

Superfici di Riemann, curve algebriche in CP^2 e loro desingolarizzazione, loro rivestimenti e loro campo delle funzioni meromorfe

Differenziali meromorfi, formula di Hurwitz

Tempo permettendo, argomenti tra:

1-forme olomorfe e teorema di Hodge per superfici di Riemann, teorema di esistenza di Riemann

Uniformizzazione, superfici iperboliche, isometrie iperboliche e poligono fondamentale

Divisori, sistemi lineari, teorema di Riemann-Roch, mappa canonica

• Varietà differenziali e complesse
• Testi di riferimento: Dispense
• Nozioni di topologia algebrica
• Testi di riferimento: Dispense
• Calcolo su varietà
• Testi di riferimento: Dispense
• Coomologia di de Rham
• Testi di riferimento: Dispense
• Argomenti scelti su superfici di Riemann
• Testi di riferimento: Dispense

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e mezza.

Per superare l' esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Arbarello-Salvati Manni, Dispense di Istituzioni di geometria superiore

Jeffrey Lee, “Manifolds and differential geometry”

John Lee, “Introduction to smooth manifolds”

Bott-Tu, “Differential forms in algebraic topology”

Hatcher, “Algebraic topology”

Bredon, “Topology and geometry”

Beardon, “The geometry of discrete groups”

Stillwell, “Geometry of surfaces”

Donaldson, “Riemann surfaces”, OUP 2011

Miranda, “Algebraic curves and Riemann surfaces”

Springer, "Riemann surfaces"

Obiettivi generali: conoscenza rigorosa dei modelli probabilistici dalle applicazioni alle relazioni con altre parti della matematica.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a spazi di probabilità, variabili aleatorie, indipendenza, leggi dei grandi numeri. funzioni caratteristiche, convergenza debole, teoremi limite.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche probabilistiche sia nelle applicazioni che in problemi di matematica pura.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi o fisica matematica; acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici del calcolo delle probabilità.

Richiami e complementi di teoria della misura. Costruzione di misure di probabilità su spazi prodotto. Misura prodotto e teorema di Daniell-Kolmogorov. Regolarità delle traiettorie e teorema di Centsov-Kolmogorov. Valore atteso e probabilità condizionate. Convergenza di misure. Successioni di variabili indipendenti e teoremi limite. Funzioni caratteristiche. Processi markoviani, gaussiani e martingale. Moto browniano.

Esame orale con esercizi.

• Appunti del docente
• Shiryaev, Probability 1&2

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze e tecniche di base della Combinatoria delle permutazioni, enumerativa, degli insieme parzialmente ordinati, e delle partizioni di interi, e comprenderne le loro principali applicazioni.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Combinatoria delle permutazioni (con particolare riguardo ai problemi enumerativi, algebrici e algoritmici, random) e alla combinatoria enumerativa (soprattutto concernenti i suoi aspetti algebrici). Conoscerà anche almeno l'insieme dei problemi più significativi nell'ambito dei quali tali teorie trovano applicazioni.
Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l'uso di tecniche legate alla combinatoria delle permutazioni ed enumerativa e di discutere come si possano modellizzare problemi (in ambienti non prettamente matematici) per mezzo degli strumenti acquisiti.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare come argomenti della combinatoria e dell'Algebra ed Algebra Lineare trattati nei corsi di base possano trovare applicazioni in diversi ambiti ed essere strumento essenziale nella soluzione di problemi concreti.
Capacità comunicative: il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un possibile contesto interdisciplinare (per coloro che hanno conoscenze ed interessi verso la Matematica Applicata, l'Informatica, la Genetica, la cosiddetta "Data Science").

• Permutazioni: cicli, inversioni, discese, pattern avoidance.
• Partizioni: diagrammi, funzioni generatrici e identità varie.
• Principio di inclusione-esclusione.
• Insiemi parzialmente ordinati: principio di inversione di Moebius.
• Funzioni generatrici razionali.
• Permutazioni e partizioni (5 settimane)
• Testi di riferimento: Capitolo 1
• Principio di inclusione-esclusione (1 settimana)
• Testi di riferimento: Capitolo 2
• Insiemi parzialmente ordinati e funzione di Moebius (5 settimane)
• Testi di riferimento: Capitolo 3
• Funzioni generatrici razionali (1 settimana)
• Testi di riferimento: Capitolo 4

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di

problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni).

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo/a studente/ssa deve dimostrare di

aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti principali e di essere in grado di svolgere

almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo/a

studente/ssa deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti

trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Richard Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2011.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio
Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.
Capacità' critiche e di giudizio: capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.
Capacità comunicative: capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.
Capacità' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

MODULO I - METODI STATISTICI
Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

MODULO I - METODI STATISTICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

MODULO I - METODI STATISTICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

l corso presenterà i risultati fondamentali relativi alla approssimazione delle equazioni alle derivate parziali lineari e di alcuni problemi modello. Il corso prevede attività di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: Gli studenti avranno una conoscenza di base delle tecniche per la risoluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari. Essi inoltre acquisiranno alcune nozioni fondamentali su convergenza, stabilità, stime a priori e complessità degli algoritmi.
Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame sapranno scrivere semplici programmi per la soluzione di equazioni alle derivate parziali lineari e di analizzarne i risultati. Avranno acquisito una buona conoscenza di un linguaggio di programmazione (C++, MATLAB) e di alcune tecniche di rappresentazione grafica dei risultati.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di analizzare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.
Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer.
Capacità di apprendimento: Gli studenti che avranno superato l'esame avranno familiarità con alcune tecniche di approssimazione delle equazioni alle derivate parziali ed avranno le basi per studiarne di nuove.

Tecniche di approssimazione numerica di alcuni modelli differenziali alle derivate parziali di interesse nelle applicazioni e i principali metodi di risoluzione numerica corrispondenti. Richiami sui principali risultati della teoria (si suppone che gli studenti abbiano gia' seguito un corso di base sulle EDP) . Richiami sugli schemi standard alle differenze finite per l'approssimazione numerica di problemi lineari ellittici, parabolici e iperbolici in una e due dimensioni. Metodi agli elementi finiti per problemi ellittici e parabolici. Esercitazioni al calcolatore.

Problemi iperbolici.

Richiami sui problemi del trasporto in una e due dimensioni. Principali schemi alle differenze finite. Analisi di convergenza e studio delle proprietà di dispersione e diffusione. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi ellittici.

Richiami sui problemi al contorno per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine: soluzioni classiche, principio del massimo, formulazione variazionale in spazi di Sobolev. Schemi alle differenze finite per l'equazione di Poisson, principio del massimo discreto e analisi della convergenza. Il metodo di Galerkin per l'approssimazione di un problema variazionale. Definizione di elemento finito di Lagrange. Teoria dell'interpolazione polinomiale negli spazi di Sobolev, teoremi di convergenza e stime dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti, aspetti computazionali e confronto col metodo delle differenze finite. Analisi numerica dei problemi ellittici a trasporto (o reazione) dominante e loro trattamento con tecniche alle differenze finite o agli elementi finiti. Schemi decentrati e diffusione artificiale. Cenno ai metodi di stabilizzazione degli schemi agli elementi finiti per problemi di diffusione-trasporto. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi parabolici.

Richiami sui risultati classici e sulla formulazione variazionale dei problemi parabolici lineari. Schemi alle differenze finite per l'equazione del calore, errore di consistenza e stima di stabilita'. Un metodo di discretizzazione in spazio agli elementi finiti e di avanzamento in tempo (teta-metodo) alle differenze, teoremi di stabilita' e convergenza. Implementazione al calcolatore dei metodi.

La valutazione si baserà su un esame scritto ed una prova orale.

L'esame scritto mirerà principalmente a verificare le conoscenze più teoriche.

Durante la prova orale si verificheranno invece maggiormente le conoscenze pratiche e si valuteranno i programmi, sviluppati in C o Matlab.

A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer

Per ulteriori approfondimenti si vedano anche:

A. Quarteroni - A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer.

L. Formaggia - F. Saleri - A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali, Springer.

J.C. Strickwerda, Finite Difference Schemes and PDE, Wadsworth \& Brooks Cole.

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Lo studente acquisirà la conoscenza dei principali modelli di apprendimento automatico, sia supervisionato che non supervisionato, e la capacità di comprendere, utilizzare e opportunamente adattare algoritmi di ottimizzazione per big data e per l’addestramento di modelli di machine learning. La presentazione di casi di studio permetterà allo studente di acquisire la capacità di utilizzare modelli di machine learning come strumenti di supporto alle decisioni nella soluzione di problemi reali.

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Lo studente sarà in grado di modellare problemi decisionali complessi come problemi di programmazione matematica.

Acquisirà la conoscenza dei principali algoritmi di ottimizzazione, vincolata e non, comprendendo le proprietà teoriche di convergenza.

In relazione a un dato problema decisionale, sarà quindi in grado di modellare matematicamente il problema,

di individuare, tra quelli esistenti, un algoritmo adatto per la soluzione computazionale, oppure di progettare e implementare uno specifico algoritmo

al fine di tenere conto delle peculiarità del problema considerato.

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modelli di machine learning

Metodi di ottimizzazione per big data

Metodi di ottimizzazione non vincolata per l’addestramento di reti neurali artificiali

Metodi di decomposizione per l’addestramento di Support Vector Machines

Metodi di novelty detection e di clustering

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modelli di programmazione matematica

Condizioni di ottimalità

Programmazione convessa

Programmazione lineare

Programmazione non lineare

Algoritmi di ottimizzazione non vincolata

Algoritmi di ottimizzazione vincolata

Metodi per problemi a larga scala

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Esame orale con quesiti teorici e applicativi

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Esame orale con domande teoriche ed esercizi

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Pattern recognition and machine learning, CM Bishop, 2006

Dispense

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Methods for Nonlinear Optimization, L. Grippo and M. Sciandrone, Springer, 2023

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
N/D
Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Linear Optimization, D. Bertsimas and J. Tsitsiklis, 2008.

Nonlinear programming, D. Bertsekas, third edition, 2016.

Obiettivi Formativi
Obiettivi generali:
Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti.
Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.

INTRODUZIONE

Cos'è la Modellizzazione? Modelli discreti, di Equazioni Differenziali Ordinarie ed alle derivate Parziali.

Successione di Fibonacci. Metodo risolutivo grafico. Passaggio dal discreto al continuo.

I EDO

Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto.

I.1 Integrali Indefiniti

Teorema Fondamentale del Calcolo; condizioni al bordo per l'unicità; Principio del Confronto; stime a-priori e utilizzo nel teorema di Ascoli-Arzela.

I.2 EDO lineari

I.3 EDO non-lineari

Stime a-priori; teorema di Cauchy-Lipschitz mediante contrazioni; Principio del Confronto tra soluzioni e tra sotto/sopra soluzioni: lemma di Gronwall; dipendenza continua dalle condizioni iniziali.

I.4 Studio Qualitativo di EDO Autonome

Conseguenze del Principio del Confronto: positività ed esistenza globale; soluzioni stazionarie (o equilibri); stabilità, stabilità asintotica e stabilità lineare (es. oscillatore armonico); insiemi invarianti: condizione sufficiente; teorema di Brouwer per la ricerca di equilibri [S.D.] ; soluzioni periodiche: condizione sufficiente, attrattività e teorema di Poincaré Bendixson [S.D.] ; attrattore di Lorentz; comportamento asintotico in dimensione N=1.

II Modelli di EDO

II.1 Reti di reazioni chimiche

Transizioni semplici e reversibili; reti generali: esistenza di equilibri, loro stabilità (teorema di Gerschgorin [S.D.]), principio del confronto per sistemi cooperativi, applicazione: soluzioni positive e limitate; teorema di Perron-Frobenius [S.D.], convergenza verso l'unico equilibrio.

II.2 Dinamica di popolazione ad una specie

Fisher-KPP ed effetto Allee debole e forte.

II.3 Dinamica di popolazioni a 2 specie:

Sistemi monotoni (cooperazione, competizione) e non; il modello preda/predatore di Lotka-Volterra.

II.4 Modelli epidemiologici

Modello SI; modello SIR; il numero R_0; riduzione all'equazione KPP; comportamento asintotico e numero totale dei contagi.

III EDP

Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto.

III.1 Equazioni Paraboliche lineari

• Derivazione microscopica dell'equazione di diffusione
• Equazione del calore: soluzione fondamentale; esistenza per il problema di Cauchy; equazione con sorgente (principio di Duhamel) e problema di Cauchy (principio di sovrapposizione)
• Principio del Massimo debole e forte, unicità per soluzioni limitate; contro-esempio all'unicità
• Stime a priori [S.D.]

III .2 Equazioni Paraboliche semilineari

• Principio del Confronto debole e forte
• Esistenza ed unicità locali
• Stime a priori [S.D.]

III .3 Equazioni Paraboliche in domini limitati

• Principio del massimo debole
• tecnica della riflessione per ricondursi a tutto R [S.D.]

IV Modelli di PDE

IV.1 Equazione di reazione-diffusione di Fisher-KPP

• Dominio limitato: condizioni al bordo di Neumann; invasione completa verso 1.
• Dominio limitato: condizioni al bordo di Dirichlet; unicità della soluzione stazionaria positiva; comportamento in tempo lungo: estinzione/persistenza della specie in base alla taglia del dominio.
• Dominio illimitato: R; comportamento in tempo lungo ed effetto "hair-trigger"; deduzione dell'unicità della soluzione stazionaria positiva.

L'esame consta di una prova scritta facoltativa e di una orale obbligatoria.

Per superare l'esame occorre conseguire un voto complessivo non inferiore a 18/30.

Corrado Mascia, Eugenio Montefusco, Andrea Terracina, BioMat 1.0, Editrice LaDotta.

Thomas Giletti, EDP paraboliques pour la dynamique des populations (dispense)

Martin Feinberg, Foundations of Chemical Reaction Network Theory, Springer.

James Keener, James Sneyd, Mathematical Physiology, Springer.

James D. Murray, Mathematical Biology I and II, Springer.

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

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Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

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Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

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Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

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Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

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Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

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Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

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Conoscenza e capacità di comprensione OF 1) Possedere una conoscenza di base della scienza della complessità, ossia delle proprietà collettive che emergono con un gran numero di componenti in interazione tra loro (atomi, particelle o batteri in un contesto fisico o biologico, oppure persone, macchine o imprese in un contesto socio-economico). OF 2) Comprendere i meccanismi alla base dell’emergere di proprietà macroscopiche complesse a partire dalla conoscenza dei meccanismi microscopici. OF 3) Padroneggiare gli strumenti di base di uno scienziato della complessità: teoria dell’informazione, teoria delle reti, invarianza di scala e fenomeni critici, proprietà dei sistemi dinamici, modelli ad agenti. B – Capacità applicative OF 4) Saper concepire modelli semplici per fenomenologie complesse. OF 5) Saper affrontare, analiticamente o computazionalmente, problemi complessi, traducendo le domande di ricerca in concrete azioni di soluzione e verifica. OF 6) Essere in grado di applicare le tecniche e i metodi appresi anche al di fuori degli ambiti trattati nel corso. OF 7) Integrare le conoscenze acquisite al fine di formalizzare i problemi e ottenere risultati e predizioni di crescente accuratezza. C - Autonomia di giudizio OF 8) Essere in grado di analizzare i fenomeni, anche mediante l’acquisizione di dati, che rientrano nell’ambito della complessità e indentificarne gli elementi essenziali. OF 9) Essere in grado di sintetizzare le fenomenologie per riuscire a distillare domande pertinenti e rilevanti. OF 10) Sapere identificare nuove direzioni di ricerca interessanti. D – Abilità nella comunicazione OF 11) Saper comunicare in maniera semplice problematiche complesse focalizzando l’attenzione sugli elementi essenziali e svelando, per quanto possibile, le relazioni di causa-effetto. OF 12) Saper organizzare una presentazione coerente, profonda eppure comprensibile. OF 13) Saper esprimere i propri pensieri di modo da stimolare il lavoro di gruppo e le interazioni con i colleghi. E - Capacità di apprendere OF 14) Avere la capacità di consultare testi ed articoli di riferimento. OF 15) Avere la capacità di valutare la rilevanza dei risultati, la loro collocazione nel panorama scientifico di riferimento e la loro potenziale importanza per gli argomenti di ricerca di interesse. OF 16) Essere in grado di ideare e sviluppare un progetto di ricerca, identificando gli obiettivi principali e i possibili percorsi per raggiungerli.

Introduzione ai sistemi complessi: Struttura gerarchica della natura, riduzionismo e complessità. Complesso e complicato. Introduzione alla nozione di entropia e complessità in termodinamica e fisica statistica, teoria dei sistemi dinamici, teoria dell'informazione e teoria della complessità algoritmica. Principio della massima entropia e principio della massima verosimiglianza. Leggi di potenza: Distribuzioni, proprietà e rappresentazioni delle leggi di potenza. Legge di Zipf, legge di Heaps e sua relazione con la legge di Zipf. Legge di Taylor. Modelli generativi. Auto-organizzazione critica e crescita frattale: modelli fisici di crescita frattale auto-organizzata; modello Sandpile e Forest Fire; cenni alle teorie di campo medio e agli approcci del gruppo di rinormalizzazione. Grafi e reti complesse: Esempi di reti complesse in diversi settori; prospettiva storica; fondamenti della teoria dei grafi; modelli generativi;. Dinamica delle reti. Dinamica dell'innovazione: Motivazione e definizione; Il modello di Hoppe. Discussione sul principio del possibile adiacente. Modello dell'urna con innesco e sue applicazioni. Seminari su temi di ricerca specifici relativi ai sistemi complessi: Dinamica sociale (ad esempio, dinamica del consenso in linguistica, dinamica delle opinioni, evoluzione culturale); Dinamica dell'informazione (infosfera, sistemi di raccomandazione, disinformazione e camere ad eco, ecc.); Dinamica urbana (dal livello microscopico della mobilità al livello macroscopico della modellazione delle interazioni socio-economiche); Ecofisica e complessità economica; Reti neurali e intelligenza artificiale.

• aa
• Testi di riferimento: aa

L’esame finale sarà composto da una prova orale stutturata in due fasi consecutive. (i) la presentazione di una tesina su un argomento avanzato scelto dallo studente e concordato con uno dei docenti di riferimento. (ii) una serie di domande aperte sugli argomenti fondanti del corso. Nella valutazione dell'esame la determinazione del voto finale tiene conto dei seguenti elementi:

1. Competenza sugli argomenti fondanti del corso: 60%

2. Preparazione ed esposizione della tesina: 40%

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso, essendo in grado diraccordarli in modo logico e coerente, e di aver dimostrato iniziativa e capacità nell’elaborazione della tesina. Deve inoltre dimostrare autonomia di giudizio, iniziativa e capacità critica in generale.

I testi di riferimento ed il materiale didattico saranno indicati dai docenti durante il corso e riportati nella pagina web del corso.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base ed esperienza pratica su alcuni argomenti classici dell’ottimizzazione a dimensione finita.
Obiettivi specifici
Conoscenze e comprensione: conoscenza dei fondamenti teorici e pratici della teoria dell’ottimizzazione e delle principali classi di problemi e di metodi risolutivi.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di classificare un problema di ottimizzazione e scegliere quale metodo risolutivo sia il più adatto alla sua soluzione, tenendo conto dei vincoli derivanti dal tipo di applicazione (per esempio, accuratezza richiesta o limiti al tempo di calcolo a disposizione). Inoltre lo studente sarà in grado di interpretare correttamente i risultati forniti da codici risolutivi commerciali o ad-hoc.
Capacità critiche e di giudizio: capacita' di enucleare gli aspetti significativi di un problema di ottimizzazione e dei suoi algoritmi risolutivi.
Capacità comunicative: capacità di enucleare i punti signifivativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più interessanti, di discutere matematicamente dei punti più sottili.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di argomenti più avanzati e di inserirsi adeguatamente in ambienti industriali e di ricerca dove si faccia uso di tecniche di ottimizzazione.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria dei processi stocastici e nella modellizzazione stocastica di fenomeni reali.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base riguardanti i processi stocastici a tempo discreto e a tempo continuo, su strutture discrete quali ad esempio grafi oppure su spazi continui.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di modellizzare l'evoluzione temporale di vari fenomeni reali tramite i processi stocastici, di analizzare la stazionarieta` e/o la reversibilita` temporale dei processi stocastici, di calcolare probabilita` di assorbimento e tempi attesi di assorbimento, di simulare processi stocastici e di stimare la velocita` di convergenza all'equilibrio.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per studiare sistemi dinamici stocastici e acquisire la capacita` di valutare la bonta` di un modello rispetto ad altri nella modellizzazione di fenomeni reali.
Capacità comunicative: dovendo sostenere una prova orale di teoria, gli studenti svilupperanno le capacita` comunicative necessarie per bene esporre la teoria matematica e i vari modelli considerati nel corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio più approfondito dei processi stocastici sia su spazi discreti che continui, aiutando lo studente nello studio di altri corsi quali ad esempio calcolo stocastico.

Catene di Markov a tempo discreto. Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti. Reversibilità.

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto. Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

• Appunti del docente

-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge

-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge

-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base ed esperienza pratica su alcuni argomenti classici dell’ottimizzazione a dimensione finita.
Obiettivi specifici
Conoscenze e comprensione: conoscenza dei fondamenti teorici e pratici della teoria dell’ottimizzazione e delle principali classi di problemi e di metodi risolutivi.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di classificare un problema di ottimizzazione e scegliere quale metodo risolutivo sia il più adatto alla sua soluzione, tenendo conto dei vincoli derivanti dal tipo di applicazione (per esempio, accuratezza richiesta o limiti al tempo di calcolo a disposizione). Inoltre lo studente sarà in grado di interpretare correttamente i risultati forniti da codici risolutivi commerciali o ad-hoc.
Capacità critiche e di giudizio: capacita' di enucleare gli aspetti significativi di un problema di ottimizzazione e dei suoi algoritmi risolutivi.
Capacità comunicative: capacità di enucleare i punti signifivativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più interessanti, di discutere matematicamente dei punti più sottili.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di argomenti più avanzati e di inserirsi adeguatamente in ambienti industriali e di ricerca dove si faccia uso di tecniche di ottimizzazione.

METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modelli di machine learning

Metodi di ottimizzazione per big data

Metodi di ottimizzazione non vincolata per l’addestramento di reti neurali artificiali

Metodi di decomposizione per l’addestramento di Support Vector Machines

Metodi di novelty detection e di clustering

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modelli di programmazione matematica

Condizioni di ottimalità

Programmazione convessa

Programmazione lineare

Programmazione non lineare

Algoritmi di ottimizzazione non vincolata

Algoritmi di ottimizzazione vincolata

Metodi per problemi a larga scala

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE

INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modelli di machine learning

Metodi di ottimizzazione per big data

Metodi di ottimizzazione non vincolata per l’addestramento di reti neurali artificiali

Metodi di decomposizione per l’addestramento di Support Vector Machines

Metodi di novelty detection e di clustering

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modelli di programmazione matematica

Condizioni di ottimalità

Programmazione convessa

Programmazione lineare

Programmazione non lineare

Algoritmi di ottimizzazione non vincolata

Algoritmi di ottimizzazione vincolata

Metodi per problemi a larga scala

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE

METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Esame orale con quesiti teorici e applicativi

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Esame orale con domande teoriche ed esercizi

INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Esame orale con quesiti teorici e applicativi

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Esame orale con domande teoriche ed esercizi

METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Pattern recognition and machine learning, CM Bishop, 2006

Dispense

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Methods for Nonlinear Optimization, L. Grippo and M. Sciandrone, Springer, 2023

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
N/D
Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Linear Optimization, D. Bertsimas and J. Tsitsiklis, 2008.

Nonlinear programming, D. Bertsekas, third edition, 2016.

INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
Pattern recognition and machine learning, CM Bishop, 2006

Dispense

Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Methods for Nonlinear Optimization, L. Grippo and M. Sciandrone, Springer, 2023

Modulo: METODI PER BIG DATA E MACHINE LEARNING
N/D
Modulo: INTRODUZIONE ALL'OTTIMIZZAZIONE
Introduction to Linear Optimization, D. Bertsimas and J. Tsitsiklis, 2008.

Nonlinear programming, D. Bertsekas, third edition, 2016.

L'obiettivo principale del corso è presentare un’introduzione compatta ma efficace alle basi del machine learning quantistico (QML), partendo dalle nozioni fondamentali della meccanica quantistica e dell'informatica quantistica. L’idea è spiegare come i fondamenti della meccanica quantistica consentano nuovi ed efficienti schemi di apprendimento a studenti privi di competenze specifiche in meccanica quantistica e informatica quantistica.
Gli studenti non impareranno semplicemente a tradurre le tecniche classiche di machine learning nel linguaggio dell'informatica quantistica, ma piuttosto a sviluppare un nuovo approccio alla rappresentazione e all'elaborazione dei dati, intrinsecamente diverso da quello utilizzato dai computer standard.
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni in aula, utili per verificare la preparazione personale degli studenti.

Introduzione all'apprendimento automatico (machine learning, ML).

Machine learning con computers quantistici (QML).

Fenomenologia della meccanica quantistica.

Struttura matematica.

Stati quantistici e osservabili.

Dinamica quantistica.

Sistemi quantistici compositi.

Codifica di dati in stati quantistici.

Circuiti quantistici.

Oracoli quantistici.

Computazione quantistica adiabatica.

Quantum annealing.

Algoritmi quantistici notevoli negli schemi QML

Trasformata di Fourier quantistica.

Algoritmo di ricerca di Grover.

Amplificazione di ampiezza.

Valutazione della fase quantistica.

Nozioni e strumenti tecnici d'uso nel QML.

Memoria ad accesso random quantistica.

Simulazione di Hamiltoniana.

Stima della differenza tra stati quantistici e loro distanza.

Apprendimento non supervisionato.

Riduzione della dimensionalita' dello spazio delle variabili.

K-medie e K-mediane quantistiche.

Apprendimento supervisionato, addestramento.

Classificazione quantistica basata sulla distanza.

Primi vicini quantistici di ordine k.

Algoritmi ML di ispirazione quantistica per computer classici.

Riconoscimento di un modello quantistico.

Algoritmi di riconoscimento.

Reti neurali quantistiche.

Percettrone quantistico.

Macchina di Boltzmann quantistica.

Reti neurali convolutive quantistiche.

La prova d'esame comprende una prova scritta, volta ad accertare le competenze di base, ed una prova orale. La prova scritta, della durata di 120 minuti, consiste di quesiti a risposta aperta. La prova orale consiste in un colloquio di durata variabile che conduce – insieme alla prova scritta – alla definizione del voto complessivo.

D. Pastorello, "Concise Guide to Quantum Machine Learning", Springer

A. Teta, "A Mathematical Primer on Quantum Mechanics", Springer

C. Conti, "Quantum Machine Learning: Thinking and Exploration in Neural Network Models for Quantum Science and Quantum Computing", Springer Nature

Simeone, "An Introduction to Quantum Machine Learning for Engineers", arXiv:2205.09510

Obiettivi generali:
Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione alle applicazioni in meccanica e nelle scienze applicate in generale. In particolare, impareranno elementi di teoria della stabilità e di teoria iperbolica (quali intersezioni omocline ed esistenza di moti caotici). Impareranno inoltre elementi di teoria dei sistemi dinamici topologici e di teoria ergodica.
Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio e di moti periodici, sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate.
Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.
Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

• Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase.
• Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold.
• Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov.
• Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte.
• Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.
• Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.
• Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
• prime 20 ore circa
• Testi di riferimento: - Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase.- Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold.
• successive 12 ore circa
• Testi di riferimento: - Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov.
• ultime 16 ore circa
• Testi di riferimento: - Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte. - Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.- Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.- Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.

L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.

P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo https://sites.google.com/uniroma1.it/paolobutta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.

V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.)

V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968.

M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013.

A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995.

A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.

Obiettivi generali: Introdurre lo studente ai risultati fondamentali della statistica matematica e alle applicazioni più significative, anche attraverso la discussione di casi concreti e di software statistico.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base che riguardano i problemi di stima puntuale, per intervallo e i problemi di verifica delle ipotesi, nonché i principali metodi con cui questi si affrontano: metodo dei momenti, della massima verosimiglianza e generalizzazioni.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di valutare il grado di accuratezza con cui, in semplici problemi statistici, si possono stimare parametri o validare ipotesi su questi, implementando queste risposte in un software opportuno.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà modo di apprezzare gli strumenti probabilistici utili ad affrontare i problemi statistici e i vari approcci alla risoluzione degli stessi.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio successivo di aspetti più recenti e avanzati della statistica matematica.

Obiettivi Generali Il corso tratterà alcune questioni fondamentali della ricerca contemporanea in algoritmi nell'ambito della complessità computazionale, degli algoritmi probabilistici e del machine learning.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

Obiettivi generali.
Il corso intende introdurre gli studenti alla teoria delle soluzioni di viscosita' e agli aspetti variazionali e metrici delle equazioni di Hamilton-Jacobi (HJ) del primo ordine (teoria KAM debole), illustrando alcune applicazioni a problemi asintotici.
Obiettivi specifici.
1. Conoscenza e capacità di comprensione.
Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della teoria delle soluzioni di viscosita' e degli aspetti metrici e variazionali delle equazioni di HJ del primo ordine (teoria KAM debole).
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata.
Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di calcolare esplicitamente le soluzioni di equazioni di HJ in alcuni casi piu' semplici e di derivare delle informazioni qualitative nei casi piu' generali.
3. Capacità critiche e di giudizio.
Al termine del corso gli studenti avranno acquisito una conoscenza soddisfacente dei principali risultati e strumenti della teoria KAM debole, che fornirà loro un quadro interpretativo geometrico-dinamico dei vari fenomeni in gioco nello studio di equazioni di HJ del primo ordine.
4. Capacità comunicative.
Capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame.
5. Capacità di apprendimento.
Le conoscenze acquisite forniranno agli studenti le basi per affrontare lo studio di equazioni di HJ del primo ordine e per affacciarsi ad aspetti piu’ specialistici e di ricerca, ove interessati ad approfondire lo studio.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di Geometria Algebrica su un anello qualsiasi.
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria degli schemi, coomologia di fasci coerenti, teoria delle curve e superfici proiettive.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere e comprendere alcuni articoli di ricerca in Geometria Algebrica.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzera` le analogie tra la Geometria Algebrica classica (sui complessi) e la Teoria dei numeri.
Capacità comunicative: lo studente dovrà avere la capacità di esporre i contenuti del corso, in particolare sapendoli illustrare su esempi concreti.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati della Geometria Algebrica.

Introduzione alla geometria Kahleriana e alla teoria di Hodge.

Prova scritta obbligatoria seguita da una prova orale facoltativa.

Differential Analysis on complex manifolds, third edition, R. O. Wells, Springer 2008.

Differential Analysis on complex manifolds, third edition, R. O. Wells, Springer 2008.

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly.

Complex geometry. An introduction, D. Huybrechts.

Complex differential geometry, F. Zheng.

Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, C. Voisin.

Principles of algebraic geometry, P. Griffiths, J. Harris.

idoneità a progetto

si veda la pagina Moodle del Corso

• L'attività non prevede l'erogazione di un corso.

incontro per la valutazione delle attività

non sono previsti testi di riferimento

xxxx xxxx

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica Non Lineare e delle sue applicazioni nello studio delle equazioni differenziali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base per lo studio di problemi differenziali che si presentano in forma variazionale, in particolare nel caso di equazioni ellittiche semilineari. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di metodi variazionali per lo studio di punti critici di funzionali non lineari. Capacità critiche e di giudizio: al termine del corso lo studente avra’ avuto modo di conoscere le nozioni ed i risultati principali della teoria variazionale delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico. Inoltre sarà in grado di individuare la metodologia idonea ad affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali non lineari. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di problemi variazionali non lineari che intervengono nello studio di Equazioni Differenziali , consentendo allo studente di proseguire nello studio anche di aspetti piu’ specialistici qualora ne fosse interessato.

• Differenziabilità in spazi di Banach. Teorema delle funzioni Implicite in Spazi di Banach.
• Metodi variazionali per lo studio di equazioni differenziali non lineari.
• Esistenza di soluzioni di problemi ellittici semilineari, casi di termini non lineari sottocritici e critici
• Principi di massimo e metodo di sopra e sotto-soluzioni.
• Simmetria di soluzioni di problemi ellittici semilineari

L'esame consiste in una prova orale ed eventuali seminari degli studenti

Non ci sono testi adottati

• Ambrosetti- Malchiodi " Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems", Cambridge Press
• M.Struwe "Variational Methods", Springer
• M.Willem, "Minimax Theorems", Birkhauser
• S.Kesavan "Nonlinear Functional Analysis: A first course", Hindustan Book Agency
• L.Damascelli - F.Pacella "Morse index of solutions of Nonlinear Elliptic Equations", De Gruyter

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze e tecniche di base della Teoria dei grafi, alberi, circuiti, distanza, principali invarianti, algoritmi (di Kruskal e Prufer), della teoria degli ipergrafi (combinatoria estremale) e della Teoria di Ramsey, della teoria dei codici algebrici
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Teoria dei grafi e ipergrafi, algebrica ed estremale e della teoria dei codici algebrici. Conoscerà anche almeno l'insieme dei problemi più significativi nell'ambito dei quali tali teorie trovano applicazioni.
Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l'uso di tecniche legate alla combinatoria dei grafi e alle principali strutture e sottostrutture e di discutere come si possano modellizzare problemi (in ambienti non prettamente matematici) per mezzo degli strumenti acquisiti.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare come argomenti della Teoria dei grafi e della teoria dei codici algebrici trattati nei corsi di base possano trovare applicazioni in diversi ambiti ed essere strumento essenziale nella soluzione di problemi concreti.
Capacità comunicative: il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un possibile contesto interdisciplinare (per coloro che hanno conoscenze ed interessi verso la Matematica Applicata, l'Informatica, la Genetica, la cosiddetta "Data Science").

Teoria dei grafi: concetti fondamentali.

Concetti fondamentali di grafi.

Connessione, distanza.

Esistenza di circuiti euleriani.

Gradi e numero di archi: il metodo del doppio conteggio.

Teorema di Bondy.

Alberi, foreste, permutazioni.

Teorema di Cayley sul numero di alberi di copertura.

Il codice di Prüfer.

L'algoritmo di Kruskal per l'albero di copertura di costo minimo.

Vertebrati e dimostrazione della formula di Cayley tramite

la rappresentazione grafica di endofunzioni f:[n]->[n].

Colorazioni e Teoria di Ramsey.

Grafi bipartiti.

Numero cromatico.

Limitazioni per il numero cromatico e il numero di stabilità in termini del grado massimo.

Teoria di Ramsey per grafi.

Il Teorema di esistenza di Erdös di grafi con "piccoli" numeri omega e alfa ma di "grande" numero cromatico.

Combinatoria estremale.

Teorema di Mantel-Turán.

Teorema di Sperner.

Massima cardinalità di una famiglia intersecante.

Teorema di Erdos-Ko-Rado

Teoria di Ramsey e numeri di Ramsey. Generalizzazione del principio dei cassetti.

Teoria dei codici algebrici

Esame scritto e orale, più una presentazione (in italiano o in inglese) su un nuovo argomento scelto da una lista di articoli proposti dal docente.

Il voto finale sarà una media ponderata del voto dell'esame scritto, dell'esame orale e della presentazione.

Dispense del corso di Combinatoria di János Körner e Claudia Malvenuto.

Dispense del corso di Combinatoria di Antonio Machì.

Béla Bollobaś, Modern Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, n 184, Springer.

J.H.van Lint, R.M.Wilson, A course in Combinatorics, 2nd edition. Cambridge University Press (1992).

Obiettivi Generali: Lo scopo del corso è quello di tramandare i fondamenti della crittografia, che è la componente principale per la sicurezza nelle applicazioni digitali odierne.
Obiettivi Specifici: Gli studenti impareranno la metodologia della sicurezza dimostrabile, che permette di dimostrare la sicurezza dei moderni crittosistemi in senso matematico.
Conoscenza e Comprensione: -) Conoscenza dei fondamenti matematici della crittografia moderna. -) Conoscenza delle principali assunzioni crittografiche, su cui si basa la sicurezza dei moderni crittosistemi. -) Conoscenza degli schemi crittografici usati nella vita reale. Comprensione delle loro proprietà (teoriche e pratiche).
Applicare Conoscenza e Comprensione: -) Come selezionare la giusta primitiva crittografica per una data applicazione. -) Come analizzare la sicurezza di un dato crittosistema.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di giudicare se una data primitiva crittografica è sicura oppure no.
Capacità Comunicative: Come descrivere la sicurezza di una costruzione crittografica nel linguaggio della sicurezza dimostrabile.
Capacità di Apprendimento Successivo: Gli studenti interessati alla ricerca verranno a conoscenza di alcuni problemi aperti nell'area, ed otterranno le basi necessarie per studi più approfonditi in materia.

Il corso coprirà i seguenti argomenti.

1) Crittografia incondizionata: Sicurezza perfetta, one-time pad, teorema di Shannon. Autenticazione perfetta, universal hashing, estrattori, lemma "leftover-hash".

2) Sicurezza computazionale: Funzioni unidirezionali (OWFs) e teoria della complessità. Basi di teoria dei numeri e OWFs candidate. Indistinguibilità computazionale, e assunzioni decisionali.

3) Crittografia simmetrica: Generatori pseudocasuali (PRGs), bit hard-core, costruzioni di PRGs. Funzioni pseudocasuali (PRFs), costruzioni di PRFs, reti di Feistel. Cifratura simmetrica: Definizioni, costruzioni, e modi operativi. Autenticazione di messaggio: Definizioni, costruzioni, e cifratura autenticata.

4) Funzioni hash: Modello dell'oracolo casuale, resistenza alla pre-immagine primaria/secondaria, resistenza alle collisioni, costruzione di Merkle-Damgaard. Alberi di Merkle.

5) Crittografia a chiave pubblica: Cifrari a chiave pubblica: Definizioni, e crittosistemi di RSA ed ElGamal. Sistemi hash-proof e cifratura di Cramer-Shoup. Firme digitali: Definizioni, hash a dominio pieno, firme di Waters. Schemi di identificazione: Definizioni, costruzioni, e applicazioni alle firme digitali.

La modalità di esame consiste in un esame scritto che richiede la risoluzione di 3 esercizi (simili a quelli svolti a lezione) e l'esposizione di uno o più argomenti di teoria tra quelli trattati durante il corso. Non è ammesso consultare libri o note, e dispositivi digitali.

Jonathan Katz and Yehuda Lindell, Introduction to Modern Cryptography, CRC Press, Second Edition, 2014. Il materiale didattico ed altre informazioni sono disponibili anche da: https://dventuri83.github.io.

Daniele Venturi, Crittografia nel Paese delle Meraviglie, Springer, Collana di Informatica, 2012.

Oded Goldreich, Foundations of Cryptography - Volume 1 Basic Techniques, Cambridge University Press, 2001.

Jonathan Katz, Digital Signatures, Springer, 2010.

Salil P. Vadhan, Pseudorandomness, Foundations and Trends in Theoretical Computer Science, Vol. 7, Issue 1-3, 2012.

Obiettivi generali: acquisire nozioni di base di analisi armonica relative alla trasformata continua e discreta di Fourier e alle serie di Fourier, e conoscere le principali applicazioni a problemi sia teorici che pratici di tali metodi.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le principali nozioni su trasformata di Fourier continua e discreta, serie di Fourier, wavelets, e loro uso in alcuni ambiti teorici e pratici (equazioni differenziali, trattamento di immagini, teroia dei segnali).
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere problemi di livello base di analisi armonica, avra' acquisito familarita' con trasformate e serie di Fourier, e sara' in grado di applicare tali tecniche alla soluzione di vari problemi concreti.
Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per comprendere quando tecniche di analisi armonica possono essere utili come strumenti per la soluzione di problemi in vari ambiti dell'analisi e delle sue applicazioni.
Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e rispondere a quesiti teorici.
Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati dell'analisi armonica, e di argomenti applicativi piu' specifici.

Introduzione all'Analisi di Fourier.

Trasformata di Fourier su S, L^2 e S’

Trasformata di Fourier in Lp

Metodi di Analisi Armonica

Calcolo esplicito di trasformate

Principio di indeterminazione

Serie di Fourier

Trasformata di Fourier discreta

Alcune applicazioni:

• teoria dei segnali e Teorema di Shannon-Nyquist
• rappresentazione di soluzioni di PDEs
• stime di Strichartz per l'equzione di Schrodinger
• il teorema di equidistribuzione di Weyl

Analisi multirisoluzione: wavelet di Haar e di Daubechies

La prova finale consiste in un esame orale sui risultati e i metodi descritti durante il corso

Tutti gli argomenti del corso sono contenuti in una serie di note redatte dal docente e disponibili per gli studenti fin dall'inizio del corso.

Per approfondire gli argomenti trattati nel corso, si veda la bibliografia aggiuntiva

Serie e trasformata di Fourier:

Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis

Dym, McKean: Fourier Series and Integrals

Stein, Shakarchi: Fourier Analysis

Trasformate discrete, teoria dei segnali, Wavelets

Wong: Discrete Fourier Analysis

Nickolas: Wavelets, A Student Guide

Gasquet, Witomski: Fourier Analysis and Applications

Fornire agli studenti le basi linguistiche più comuni per orientarsi nell'ambito della comunicazione scientifica scritta ed orale.

Obiettivi generali
Acquisire conoscenze di base sui metodi matematici impiegati nella modellistica dell'intelligenza artificiale, con particolare attenzione al "machine learning".
Obiettivi specifici
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base (prevalentemente negli ambiti di processi stocastici e meccanica statistica) utilizzati nello studio dei principali modelli di reti neurali (e.g., reti di Hopfield, macchine di Boltzmann, reti feed-forward).
Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di individuare l’architettura ottimale per un certo “task” e di risolvere il modello risultante determinandone un diagramma di fase; lo studente avrà le basi per sviluppare, in autonomia, algoritmi di apprendimento e di richiamo.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di determinare i parametri che controllano il comportamento qualitativo di una rete neurale e di stimare valori per tali parametri che permettano il buon funzionamento della rete; sarà inoltre in grado di esaminare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nel corso ed in altri corsi dedicati a statistica ed analisi dati.
Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale e scritta della verifica, eventualmente attraverso l’ausilio di presentazioni.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di meccanica statistica, sviluppo di algoritmi, utilizzo di big data.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base degli aspetti fisico-matematici della Meccanica dei Fluidi e delle Teorie Cinetiche.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: conoscenza dei principi fisici e delle assunzioni modellistiche che portano alle equazioni dei fluidi e dei sistemi di particelle, conoscenza delle equazioni dei fluidi e dei gas, e delle loro proprietà matematiche: formulazioni deboli, esistenza e unicità delle soluzioni, modelli per l'evoluzione di dati singolari.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di modellizzare i moti fluidi e gassosi, anche attraverso la formulazione di appropriati funzionali di azione, discutere l'evoluzione di singolarità, utilizzare gli strumenti matematici per la trattazione dei fluidi e dei gas in altri contesti. Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti opportuni esercizi.
Capacità critiche e di giudizio: capacità di enucleare gli aspetti più significativi della teoria, di saper valutare i limiti e i vantaggi delle semplificazioni operate (incomprimibilità, assenza o presenza di viscosità, ecc...), e i limiti dei risultati matematici.
Capacità comunicative: capacità di esporre lo sviluppo della teoria fisico-matematica del moto dei fluidi e dei gas, evidenziando la relazione tra gli aspetti fisici e quelli matematici; capacità di illustrare le dimostrazioni, riassumendo le idee importanti, e discutendo i dettagli matematici.
Capacità di apprendimento le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti numerici e modellistici della meccanica dei fluidi e delle teorie cinetiche.

A) Conoscenza e capacità di comprensione
Identificare le tecniche matematiche più rilevanti per la descrizione dei sistemi quantistici. Elaborare le connessioni fra le varie parti del corso. Mettere in relazione le competenze matematiche acquisite nel corso con quelle degli altri corsi curricolari.
B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Mostrare come le tecniche matematiche illustrate nel corso si applicano allo studio di sistemi quantistici noti. Proporre l’utilizzo di tecniche matematiche note per lo studio di nuovi problemi fisico-matematici motivati dalla meccanica quantistica. Adattare le competenze acquisite allo studio di problemi fisico-matematici correlati, provenienti anche da contesti diversi da quelli mostrati nel corso.
C) Autonomia di giudizio
Valutare il rigore matematico di un’argomentazione nella descrizione di sistemi quantistici. Giudicare la validità della dimostrazione di un enunciato matematico. Fornire esempi e controesempi agli enunciati matematici rilevanti per il corso.
D) Abilità comunicative
Ripetere argomenti matematici e applicazioni fisico-matematiche viste a lezione. Identificare e illustrare i passaggi fondamentali di argomentazioni matematiche complesse. Elaborare le competenze acquisite nel corso per la discussione orale o scritta di problemi collegati agli argomenti presentati.
E) Capacità di apprendimento
Organizzare in maniera schematica le competenze acquisite a lezione. Utilizzare le fonti testuali indicate per consolidare e integrare le nozioni presentate nel corso. Individuare fonti alternative, compresi libri di testo o articoli di ricerca.

Richiami di meccanica hamiltoniana. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson; regole di commutazione degli osservabili posizione e momento. Meccanica hamiltoniana per particelle cariche in un campo elettromagnetico esterno. “Assiomi” della meccanica classica.

Cenni sulle origini sperimentali della meccanica quantistica. Natura onda-particella della luce e dell’elettrone; esperimento a doppia fenditura. Spettro energetico del corpo nero; relazione di Planck. Ipotesi di de Broglie per l’elettrone.

Descrizione fisico-matematica dei sistemi quantistici. Funzione d’onda e sua interpretazione probabilistica. Operatori quantistici di posizione e momento: regole di commutazione canoniche e principio d’indeterminazione. Equazione di Schrödinger. “Assiomi” della meccanica quantistica.

Teoria degli operatori autoaggiunti non limitati su spazi di Hilbert. Aggiunto di un operatore; autoaggiuntezza; criteri di autoaggiuntezza. Risolvente e spettro di un operatore autoaggiunto. Teoria delle perturbazioni per operatori autoaggiunti: teorema di Kato-Rellich. Teorema spettrale: rappresentazione come operatore di moltiplicazione per un operatore autoaggiunto, misura spettrale, calcolo funzionale di operatori autoaggiunti. Teorema di Stone. Decomposizioni spettrali; teorema di Weyl.

Alcuni modelli risolubili della meccanica quantistica. Particella libera e relazione con la teoria di Fourier. Particella confinata a un intervallo, condizioni al bordo. Particella quantistica carica soggetta a un campo magnetico; Hamiltoniana di Landau.

Simmetrie in meccanica quantistica. Rappresentazioni unitarie e proiettive unitarie. Teorema di Wigner.

Il corso comprende anche la trattazione di uno o più argomenti monografici che possono includere l’atomo di idrogeno, le interazioni singolari e l’introduzione allo studio di sistemi quantistici a molti corpi.

L'esame consiste in un colloquio orale sui temi illustrati nel corso. Il colloquio può prendere avvio dalla discussione di uno degli esercizi proposti durante il corso oppure assegnati al momento. Per superare l'esame la studentessa/lo studente deve essere in grado di discutere, con il dovuto rigore matematico, argomenti presentati a lezione, oppure di applicare i metodi appresi ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.

Nella valutazione si terrà conto di:

• correttezza, chiarezza, completezza e rigore nell’esposizione;
• capacità di raccordo dei vari argomenti esposti a lezione;
• attitudine alla risoluzione di problemi.

Werner O. Amrein. Hilbert Space Methods in Quantum Mechanics (EPFL Press, 2009).

Brian C. Hall. Quantum Theory for Mathematicians. Vol. 267 in Graduate Text in Mathematics (Springer, 2013).

Valter Moretti. Spectral Theory and Quantum Mechanics, 2nd edition. Vol. 110 in UNITEXT - La Matematica per il 3+2 (Springer, 2017).

Alessandro Teta. A Mathematical Primer on Quantum Mechanics (Springer, 2018).

Bernd Thaller. Visual Quantum Mechanics (Springer, 2000).

Mathieu Lewin. Spectral Theory and Quantum Mechanics. Universitext (Springer, 2024).

Michael Reed, Berry Simon. Methods of Modern Mathematical Physics. 4 volumi. Academic Press.

Il corso presenterà i risultati fondamentali relativi all'analisi ed alla approssimazione delle leggi di conservazione scalari e delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Verranno inoltre presentati numerosi modelli che conducono allo studio di queste equazioni: gasdinamica, modelli di traffico su reti, problemi di controllo ottimo, trattamento delle immagini, evoluzione dei fronti.
Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB.
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche sui temi trattati.
Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB.
Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni.
Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi ed approssimazione di equazioni alle derivate non lineari. Lo studente prenderà familiarità con diverse nozioni e tecniche analitiche e numeriche relative ai temi presentati nel corso.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze in Probabilità e Statistica in alta dimensione con applicazioni alla Data Science
Obiettivi specifici:
Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base di Probabilità e Statistica in alta dimensione e conoscerà algoritmi per risolvere alcuni problemi rilevanti in Data Science
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente potrà risolvere diversi problemi riguardanti strutture geometriche aleatorie in alta dimensione, riduzione di dimensione dei dati trattati, problemi di statistical learning e di regressione in alta dimensione.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente comprenderà le idee alla base di diversi algoritmi e software utilizzati in Data Science, comprendendo anche le situazioni ottimali di applicazioni e gli eventuali limiti applicativi.
Capacità comunicative: lo studente dovrà mostrare capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e nella soluzione di problemi nella prova scritta.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente una comprensione multidisciplinare di diversi problemi motivati dalla data science e faciliteranno lo studio di argomenti ricerca attualmente molto attivi.

L'esame finale per il conseguimento della Laurea magistrale consiste nella preparazione e nella discussione, davanti ad un'apposita commissione, di un elaborato scritto individuale (eventualmente in lingua inglese), redatto dallo studente sotto la supervisione di almeno un docente.

OBIETTIVI GENERALI: L’obiettivo principale del corso è quello di illustrare le caratteristiche di alcuni tra i più noti modelli disordinati e di introdurre le approssimazioni e le tecniche analitiche che permettono il loro studio in meccanica statistica.
OBIETTIVI SPECIFICI: A - Conoscenza e capacità di comprensione OF 1) Conoscere i principali modelli disordinati, quali i ferromagneti diluiti, i ferromagneti con campo esterno aleatorio e i vetri di spin. OF 2) Comprendere i diversi comportamenti fisici che si presentano come conseguenza dell’introduzione del disordine “quenched” (rallentamento della dinamica, metastabilità, presenza di molti stati termodinamici). OF 3) Conoscere le principali tecniche di meccanica statistica (approssimazioni di campo medio, metodo delle repliche e della cavità) che permettono lo studio analitico dei modelli con disordine.
B – Capacità applicative OF 4) Saper applicare una tecnica analitica (approssimazione di campo medio, metodo delle repliche e della cavità) ad una data hamiltoniana per studiare il suo comportamento fisico.
C - Autonomia di giudizio OF 5) Essere in grado di riconoscere a quale classe di sistemi disordinati appartenga una data hamiltoniana.
D – Abilità nella comunicazione OF 6) Saper esporre in forma orale gli argomenti del corso con un linguaggio non troppo tecnico che ne permetta la comprensione anche a chi il corso non lo ha ancora seguito.
E - Capacità di apprendere OF 7) Avere la capacità di consultare autonomamente testi e articoli scientifici al fine di approfondire in modo autonomo gli argomenti introdotti durante il corso.

La prima parte del corso (circa un terzo) prevede un ripasso degli elementi di base del calcolo delle probabilità (fino alla teoria delle grandi deviazioni) e la discussione dettagliata del modello di Ising non disordinato (sia in dimensioni finite che in approssimazione di campo medio) con lo scopo di rafforzare i concetti e le tecniche di meccanica statistica.

La seconda parte del corso (poco meno di un terzo) discute i modelli ferromagnetici diluiti e in campo esterno aleatorio, sia dal punto di vista termodinamico che dal punto di vista della loro dinamica.

La terza parte del corso (un po’ più di un terzo) è dedicata allo studio dei modelli di vetri di spin, prototipi di sistemi fortemente disordinati, e alle tecniche analitiche più avanzate per la loro comprensione (approssimazioni di campo medio, metodo delle repliche e della cavità).

La valutazione si basa su una prova orale di circa un’ora, che prevede un colloquio sui temi illustrati e discussi nel corso. Per superare l'esame orale lo studente deve essere in grado di presentare un argomento, fare una dimostrazione, ripetere un calcolo discusso durante il corso e di applicare i metodi appresi ad esempi e situazioni simili a quelle già discusse. Nella valutazione si terrà conto di:

• correttezza dei concetti esposti;
• chiarezza e rigore espositivo;
• capacità di sviluppo analitico.

Testi e materiale di approfondimento saranno indicati in corrispondenza degli argomenti trattati nel corso sulla pagina web del docente.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.

1) Conoscenza e capacità di comprensione Alla fine del corso, lo studente/la studentessa avranno appreso: a) il concetto di sistema di controllo, di inclusione differenziale e le loro proprietà fondamentali; b) il concetto di controllo ottimale e le condizioni necessarie e/o sufficienti per la sua esistenza; c) il legame fra soluzioni ottimali di un sistema di controllo e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman; d) il concetto di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi.
2) Conoscenza e capacità di comprensione applicate Alla fine del corso, lo studente/la studentessa sarà in grado di: a) formulare in termini matematici un problema di ottimizzazione basato su un sistema di controllo; b) individuare, tramite l'uso del Principio di Massimo di Pontryagin, le eventuali soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo; c) affrontare l'analisi teorica delle soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo attraverso lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman ad esso associata.
3) Autonomia di giudizio Durante il periodo delle lezioni verranno proposti problemi da affrontare autonomamente. Attraverso lo studio in autonomia di questi problemi e il loro successivo svoltimento collegiale in classe, lo studente/la studentessa acquisirà sia la capacità di valutare le proprie competenze, che la capacità di affrontare un ampio spettro di problemi di controllo ottimo.
4) Abilità comunicative Lo svolgimento in forma scritta degli esercizi assegnati, sia in classe che durante le prove d'esame, e lo svolgimento della prova orale, permetteranno allo studente/alla studentessa di valutare le proprie capacità di comunicare ad altri, in forma corretta, le conoscenze acquisite durante il corso.
5) Capacità di apprendimento Alla fine del corso lo studente/la studentessa sarà in grado di affrontare lo studio problemi di controllo e ottimizzazione; tale abilità viene acquisita grazie allo svolgimento dei problemi distribuiti durante il periodo delle lezioni.