Matematica

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti concernenti l`analisi funzionale ed i fondamenti della teoria delle Algebre di operatori, avendo raggiunto una buona familiarita` con concetti fondamentali quali la Teoria Spettrale, operatori lineari chiusi, Hermitiani, autoaggiunti, Algebre C* e di von Neumann. Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di studiare la struttura di operatori lineari quali semplici perturbazioni del Laplaciano e di utilizzare la teoria delle Algebre di operatori in molte questioni fondamentali, dalla Analisi Armonica alla Meccanica Quantistica.

1. Algebre di Banach e C*-algebre, esempi dall'analisi armonica su gruppi localmente compatti e dalle algebre di operatori

2. Spettro e risolvente

3. Calcolo funzionale continuo, teorema spettrale per operatori normali limitati su spazio di Hilbert, calcolo funzionale boreliano

4. Teoria priva della molteplicità, teoria della molteplicità spettrale

5. Operatori illimitati densamente definiti su spazio di Hilbert, chiusi, chiudibili, chiusura, aggiunto, operatori differenziali

6. Trasformata di Cayley, teorema spettrale non limitato, teorema di Stone

7. Funzionali positivi, rappresentazione di Gelfand-Naimark-Segal, teorema di Gelfand Naimark

8. Algebre di Banach abeliane, trasformata di Gelfand, teorema di Gelfand

9. Algebre di von Neumann, teorema del bicommutante di von Neumann; definizione astratta.

10. Classificazione dei fattori nei tipi I, II e III

11. Elementi di teoria modulare, teorema di Tomita

12 Stati di Kubo-Martin-Schwinger (KMS) e rappresentazioni

La prova d'esame consiste in un colloquio ove saranno poste allo studente domande sugli argomenti del corso. Verrà posta la possibilità, facoltativa, di approfondire un argomento a scelta dello studente durante la prova d'esame. Tale argomento facoltativo scelto verterà su una lista di argomenti proposti dal docente durante il corso.

A. Connes: Noncommutative Geometry.

J. Dixmier: C∗-algebras.

S. Doplicher: Note del corso di Analisi Funzionale, parte I e II

S. Doplicher: An invitation to Quantum Mechanics.

E. Hewitt, K. Ross: Abstract Harmonic Analysis

V.F.R. Jones: Subfactors and knots. AMS

G.K. Pedersen: Analysis Now, Springer,

G. Pedersen: C*-algebras and their automorphism groups, LMS

M. Reed and B. Simon: Functional analysis.

W. Rudin: Fourier Analysis on groups

S. Sakai: C*-algebras and W*-algebras. Springer.

M. Takesaki: Theory of operator algebra, vol. 1, 2, 3.

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: Fornire agli studenti le nozioni di base relative allo studio di spazi funzionali che intervengono in vari campi. In particolare si studieranno gli operatori lineari fra spazi di Banach o di Hilbert e si analizzerà il loro spettro. Infine verranno presentate alcune tecniche di Analisi Funzionale non lineare adatte allo studio di problemi differenziali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all'Analisi Funzionale e a diverse sue applicazioni a problemi differenziali. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche di Analisi Funzionale.

Spazi normati ed applicazioni lineari e continue. Teoremi di Hahn Banach e applicazioni. Teorema di Baire e applicazioni. Topologie deboli. Spazi riflessivi. Spazi di Hilbert. Operatori compatti e loro spettro.

La valutazione verrà fatta sulla base di una prova scritta che verterà principalmente sulle applicazioni della teoria e di una prova orale sulle nozioni ed i teoremi del corso e le relative dimostrazioni.

S.Kesavan Functional Analysis ed. Hindustan Book Agency

H.Brezis Analisi Funzionale ed. Liguori

S.Kesavan Topics in Functional Analysis and Applications ed. New Age Internatioonal

(Wiley-Eastern) (solo per gli autovalori delloperatore di Laplace)

Obiettivi generali: Molti modelli della fisica matematica e in generale delle scienze naturali hanno come fondamento principi variazionali (principio di minimo energia, di minima azione,...) che ne descrivono le configurazioni di equilibrio e le evoluzioni dinamiche. L’obiettivo del corso è rendere gli studenti consapevoli della varietà di problemi che possono essere affrontati con tecniche variazionali e fornire loro gli strumenti di base e il linguaggio matematico per l’analisi dei modelli presenti nelle varie scienze naturali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso la/lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi sul metodo diretto del calcolo delle variazioni, le condizioni di semicontinuità, l’analisi asintotica via Gamma convergenza, e potrà applicare questo metodo in vari contesti di cui verranno fornite le basi funzionali almeno in dimensione 1 (funzionali integrali e spazi di Sobolev, funzionali geometrici e cenni di teoria geometrica della misura). Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso la/lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di calcolo delle variazioni. Sarà inoltre in grado di formulare un semplice modello variazionale (per esempio collegato a una specifica applicazione) e analizzarne il comportamento asintotico o e individuarne le caratteristiche che lo rendono un modello robusto. Capacità critiche e di giudizio: la/lo studente avrà le basi per collegare e utilizzare strumenti trattati in vari momenti della sua preparazione dalla analisi, fisica matematica e la probabilità. Sarà quindi in grado di apprezzarne l’interesse di una questione matematica in relazione anche al suo utilizzo per rispondere a una domanda proveniente da un problema applicato. Capacità comunicative: capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti teorici del corso e anche capacità di formulare il problema in esame comprendendo il ruolo della formulazione del modello giusto e della sua analisi. Capacità di spiegare quindi il risultato teorico nel linguaggio relativo all’applicazione in esame potenzialmente quindi spiegabile a pubblico non esperto di calcolo delle variazioni. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale nell’ambito della matematica applicata alle scienze sia con un approccio più teorico sia in collegamento all’analisi di uno specifico modello di interesse applicativo.

Prima parte (2/3 del corso)

Discussione degli esempi principali: problema isoperimetrico, superfici minime, separazione di fase nei modelli di Van der Walls.

Risultati classici per il metodo indiretto: condizioni necessarie per i punti stazionari di energie.

Metodo diretto del calcolo delle variazione.

Condizioni di semicontinuità, il ruolo della convessità.

Problemi vincolati e con condizioni al bordo.

Regolarità per il XIX problema di Hilbert.

Cenni sui problemi variazionali vettoriali e non convessi.

Seconda parte (1/3 del corso)

Gamma convergenza e/o rilassamento

Modelli di transizioni di fase nella teoria di Van der Walls

• Introduzione a problemi variazionali uni-dimensionali
• Studio di funzionali integrali in dimensione arbitraria
• Nozioni di convergenza variazionale: Gamma convergenza e esempi

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova orale, consistente nella presentazione di alcuni concetti e risultati illustrati a lezione.

B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations. Applied Mathematical Sciences, 78. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994. vi+422 pp.

J. Jost, Jürgen, X. Li-Jost, Calculus of variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 64. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. xvi+323 pp.

Obiettivi generali: Al temine del corso lo studente saprà affrontare questioni relative all'insegnamento della matematica delle scuole secondarie. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base relative alle diverse teorie didattiche e conoscerà diversi approcci per l'insegnamento di argomenti specifici. Saprà inquadrare i concetti principali di varie aree matematiche e avrà raggiunto una buona familiarità con aspetti didattici fondamentali, quali il collegamento fra diversi settori della matematica. Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di discutere le scelte didattiche tradizionali. Saprà progettare attività didattiche e preparare schede di valutazione, tenendo conto di difficoltà didattiche. Conoscerà software di geometria dinamica e saprà come usarli nell'insegnamento. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al metodo matematico. Avrà riflettuto sui contenuti matematici noti e saprà affrontare in modo critico questioni di didattica della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dei software nell'insegnamento della matematica. Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare ad altri quanto appreso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Modelli classici dell’apprendimento: modello trasmissivo, costruttivismo radicale, costruttivismo sociale.

Quadri teorici classici della didattica della matematica: teoria delle situazioni, mediazione semiotica, metacognizione e fattori affettivi.

Riferimenti istituzionali: le Indicazioni nazionali, l'INVALSI, l'OCSE-PISA.

Elementi metodologici per l’insegnamento della matematica: ruolo dell’insegnante, didattica laboratoriale, discussione matematica, valutazione.

Studi sul pensiero matematico: problem-solving, argomentare e dimostrare, modellizzare, il ruolo degli esempi nell’attività matematica.

Elementi di didattica per ambiti disciplinari: aritmetica/algebra, probabilità, analisi.

• Modelli classici dell’apprendimento: modello trasmissivo, costruttivismo radicale, costruttivismo sociale (6 ore).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.
• Quadri teorici classici della didattica della matematica: teoria delle situazioni, mediazione semiotica, metacognizione e fattori affettivi (12 ore).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.
• Riferimenti istituzionali: le Indicazioni nazionali, l'INVALSI, l'OCSE-PISA (6 ore).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.
• Elementi metodologici per l’insegnamento della matematica: ruolo dell’insegnante, didattica laboratoriale, discussione matematica, valutazione (12 ore, distribuite in momenti diversi del corso).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.
• Studi sul pensiero matematico: problem-solving, argomentare e dimostrare, modellizzare, il ruolo degli esempi nell’attività matematica (6 ore, distribuite in momenti diversi del corso).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.
• Elementi di didattica per ambiti disciplinari: aritmetica/algebra, probabilità, analisi (6 ore, distribuite in momenti diversi del corso).
• Testi di riferimento: Slide e dispense del corso.

La valutazione del corso avviene attraverso un esame orale, mirato a certificare le conoscenze relative ai principali aspetti tratta durante il corso e le competenze sviluppate in relazione alla capacità di analisi di attività didattiche e processi di insegnamento-apprendimento alla luce delle lenti teoriche fornite dalla ricerca in didattica della matematica.

Sia agli studenti frequentanti che a quelli non frequentanti sarà inoltre richiesto di lavorare alla progettazione di un’attività didattica per classi di scuola secondaria, che sarà discussa sia durante le lezioni (nel caso degli studenti frequentanti) che in sede d’esame.

Una conoscenza sufficiente dei contenuti trattati e una corrispondente competenza sufficiente nell’analisi di materiali didattici e di processi di insegnamento-apprendimento e nella progettazione di attività per le classi è richiesta per il superamento dell’esame con il minimo dei voti. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve inoltre dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente degli argomenti trattati durante il corso e la capacità di riferirsi a tali conoscenze per sviluppare riflessioni approfondite sui processi di insegnamento-apprendimento e per progettare efficacemente le attività per le classi.

Le slide delle lezioni ed altri materiali didattici saranno condivisi sulla pagina e-learning del corso.

Non vengono adottati testi di riferimento.

Conoscenza e capacità di comprensione: Il corso intende fornire le conoscenze utili per comprendere alcuni aspetti della fisica teorica, e specificamente della meccanica quantistica e della meccanica statistica. Particolare attenzione sara' dedicata alla analisi delle ipotesi fondanti le due discipline. Attraverso lo studio di queste tematiche lo studente sarà in grado di comprendere l’evoluzione della fisica che si svolse agli inizi del secolo scorso, l' impatto che ebbero sullo sviluppo della societa' e la loro attuale importanza. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Il corso è finalizzato a fornire strumenti di analisi e valutazione dei fenomeni fisici su scale atomiche e sui comportamenti collettivi di grandi numeri di particelle interagenti. Tali conoscenze potranno essere esportate anche in campi diversi da quelli proposti nel corso. Autonomia di giudizio: Attraverso lo studio degli approcci teorici alla base della meccanica quantistica e statistica lo studente potrà migliorare la propria capacità di interpretazione del reale. Abilità comunicative: Lo sviluppo di abilità comunicative, prevalentemente orali, sarà stimolata attraverso la discussione in classe ed eventualmente con la partecipazione ad attività seminariali. Capacità di apprendimento: La capacità di apprendimento sarà stimolata attraverso la discussione in aula, che includera' aspetti interattivi finalizzati anche a verificare l’effettiva comprensione degli argomenti trattati. La capacità di apprendimento sarà anche stimolata da supporti didattici integrativi (articoli originali) in modo da sviluppare le capacità applicative.

--Introduzione alla meccanica quantistica

Breve introduzione alla formulazione di Hamilton della meccanica classica

Assiomi della MQ

Particella libera

Particella in buca infinita

Barriere di potenziale, effetto tunnel

Oscillatore armonico

Momento angolare

Spin

Atomo di idrogeno

---- Introduzione alla meccanica statistica Richiami di termodinamica: [KH par. 1.1-1.6]

Spazio delle fasi, medie temporali, postulati della mecc. stat. [KH, par. 6.1]

ensemble microcanonico [KH, par. 6.2]

derivazione della termodinamica [KH, par. 6.3]

teorema di equipartizione [KH, par. 6.4]

gas ideale classico [KH, par. 6.5]

paradosso di Gibbs [KH, par. 6.6]

ensemble canonico, funzione di partizione ed energia libera [KH, par. 7.1]

fluttuazioni dell'energia nell'ensemble canonico [KH, par. 7.2]

ensemble gran canonico [KH, par. 7.3]

Meccanica statistica quantistica [Note del docente]:

Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein

Condensazione di Bose

Modalità di valutazione

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. L'esame consiste in un colloquio sui temi più rilevanti illustrati nel corso. Per superare l'esame lo studente/la studentessa deve essere in grado di presentare un argomento o ripetere un calcolo discusso durante il corso. Allo/a studente/studentessa verrà richiesto di applicare i metodi appresi in esercizi o ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.

Di cruciale importanza è dimostrare la comprensione dei principali concetti esposti nel corso

Nella valutazione si tiene conto di:

• correttezza e completezza dei concetti esposti;
• chiarezza e rigore espositivo;
• capacità di sviluppo analitico della teoria;
• attitudine nel problem solving (metodo e risultati).

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso, essendo in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Dispense e note del Prof. Sciortino,

Quantum Mechanics (1)

di Claude Cohen-Tannoudji, B. Dui, Franck Laloe

Wiley ed.

Per alcuni specifici argomenti e approfondimenti si suggerisce anche

Feynman, Leighton, Sands

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html

Chapter 1

Statistical Mechanics

di Kerson Huang

Wiley ed.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Il corso fornisce agli studenti strumenti avanzati per lo studio di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno raggiunto una buona familiarità con le più recenti nozioni di soluzione e con le relative proprietà qualitative.Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare lo studio avanzato delle soluzioni di alcuni tipi di equazioni differenziali (lineari e nonlineari) alle derivate parziali.

Cenni sui teoremi dei esistenza per equazioni differenziali ordinarie

Problema di Cauchy per ODE e PDE

Funzioni analitiche

Teorema di Cauchy-Kovalevskaya, enunciato, superfici caratteristiche, idea della dimostrazione del teorema.

Nozione di problema ben posto. Controesempio di Hadamard per il problema di Cauchy applicato all'equazione di Laplace

Funzioni armoniche: principio di massimo, identità del valor medio, regolarità, lemma di Weyl, stime del gradiente, principio di massimo.

Soluzioni fondamentali, funzioni di Green, nuclei di Poisson su Rn e sulla palla. Formula di Poisson, con dimostrazione per la palla.

Funzioni subarmoniche in senso debole. Metodo di Perron per la soluzione del problema di Dirichlet, usando anche le barriere.

Rimovibilità delle singolarità e non esistenza sul disco puntato.

Spazi di Hilbert, principio di Dirichlet astratto, spazi di Sobolev W12

Lax-Milgram. Soluzioni di equazioni e sistemi ellittici.

Regolarità L2: disuguaglianza di Caccioppoli, Rapporti incrementali (no dim), regolarità L2 di ordine alto (no dim, qualche risultato).

Autofunzioni del Laplaciano (esistenza e completezza).

Stime Lp: solo enunciato e controesempi (facoltativo).

Cenni sul problema semilineare di Lane-Emden -\Delta u = u^p. Qualcosa sull'esistenza e regolarità, al variare di p.

Equazione del calore in Rn. Soluzione fondamentale, formula di rappresentazione.

Principio di massimo parabolico, unicità per l'equazione del calore in domini.

Metodo delle autofunzioni del Laplaciano per il calore (qualche cenno).

Curve shortening flow e flusso per curvatura media: solo definizioni.

Equazioni iperboliche del prim'ordine. Equazione di Burgers

Esame scritto e orale

Lecture notes di Clement Mouhot (per il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, l'equazioni del trasporto e di Burgers)

M. Giaquinta, L. Martinazzi: An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs, seconda edizione, Edizioni della Normale (2012)

F. Johns, Partial Differential Equations, Springer

Obiettivi generali: acquisire conoscenze e competenze di base in teoria assiomatica degli insiemi e saperle applicare in vari contesti, anche di carattere didattico. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi agli argomenti trattati: assiomi della teoria ZF e principali risultati; numeri ordinali; l'assioma di scelta; i numeri cardinali; paradossi in vari campi della matematica. Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente è in grado di risolvere esercizi e problemi relativi agli argomenti trattati e ad applicazioni in altre aree della matematica. Sa eseguire calcoli con numeri ordinali e numeri cardinali; ha una buona familiarità con il concetto di infinito matematico. Sa anche applicare i concetti visti in contesti di carattere didattico. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al rigore e al formalismo matematico. Ha riflettuto sui contenuti matematici noti e sa affrontare in modo critico questioni sui fondamenti della matematica. Sarà in grado di discutere il ruolo dell'intuizione e del rigore nell'insegnamento della matematica, in varie situazioni. Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare quanto appreso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

Paradossi e antinomie

La teoria intuitiva degli insiemi

Gli assiomi di Zermelo e Zermelo-Fraenkel

Relazioni fondate e insiemi transitivi

Principio di induzione

I numeri ordinali e l'aritmetica ordinale

Le successioni di Goodstein

Assioma di scelta ed enunciati equivalenti

I numeri cardinali e l'aritmetica cardinale

L'ipotesi del continuo

• Introduzione al corso
• Paradossi e crisi dei fondamenti
• Origine della teoria degli insiemi
• Teorema di Cantor e assioma di estensionalità
• Assioma dell'insieme vuoto, assioma di isolamento, assioma della coppia, assioma dell'unione
• Coppia ordinata, assioma dell'unione, prodotto cartesiano
• Assioma dell'infinito e numeri naturali
• Principio di induzione, esercizi
• Assiomi di rimpiazzamento e fondazione
• Assiomi di Peano e relazioni ben fondate
• Insiemi transitivi, relazioni d'ordine, buon ordine
• Discesa infinita di Fermat e definizione di ordinale
• Classificazione di ordinali
• Induzione transfinita e somme di ordinali
• Moltiplicazione tra ordinali e proprietà
• Aritmetica ordinale ed elevamento a potenza
• Forma normale di Cantor, successioni di Goodstein deboli
• Teorema di Goodstein, Assioma di Scelta
• Insieme di Vitali
• Enunciati equivalenti all'assioma di scelta
• Applicazioni del Lemma do Zorn e tricotomia dei cardinali
• I numeri cardinali
• Aritmetica cardinale
• Ipotesi del continuo e Lemma di Konig

Breve prova scritta seguita da un esame orale per verificare la conoscenza e comprensione dei temi trattati nel corso.

Dispense del corso: Fondamenti della Matematica

Claudio Bernardi, Mario Magnago, Marco Rainaldi, Mariella Serafini

C. Citrini, Da Pitagora a Borges: discussioni in rete sull'infinito, B. Mondadori, 2004

G. Lolli, Guida alla teoria degli insiemi, collana Convergenze, Springer 2008

V. Villani, C. Bernardi, S. Zoccante, R. Porcaro, Non solo calcoli - domande e risposte sui perché della matematica (teoria degli insiemi e logica, analisi matematica, probabilità e statistica), collana Convergenze, Springer 2012

Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
N/D
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Obiettivi generali. Acquisire conoscenze di base in geometria algebrica. Obiettivi specifici. Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base su varietà affini, proiettive, quasi-proiettive, dimensione, e prime proprietà locali/globali. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà gli strumenti per addentrarsi ed apprezzare la geometria algebrica moderna. Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzerà l'interazione tra campi diversi quali sono l'algebra commutativa, l'analisi complessa, la geometria analitica e proiettiva. Capacità comunicative: capacità di esporre in modo chiaro parte della teoria esposta nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite saranno utili per lo studio di corsi più specialistici in geometria algebrica o complessa.

Varietà algebriche: definizione varietà affine, Teoremi di Hilbert, varietà proiettive e quasi-proiettive. Fibrati vettoriali su varietà algebriche. Morfismi di varietà algebriche.

Teoria della dimensione. Regolarità, liscezza e nozioni locali di singolarità per varietà algebriche. Curve algebriche e teorema di Riemann--Roch.

Un test scritto con esercizi elementari di geometria algebrica. Se lo scritto è sufficiente, lo studente dovrà sostenere un'orale su tutto il programma del corso.

Note del docente.

Shafarevich, Algebraic geometry

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in geometria riemanniana. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle varietà riemanniane, connessioni e le differenti nozioni di curvatura, le geodetiche e i campi di Jacobi, la completezza e gli spazi a curvatura costante. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di cominciare lo studio di argomenti avanzati di geometria riemanniana, e di risolvere problemi complessi in questo ambito. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare ed apprezzare le analogie e i collegamenti tra gli argomenti trattati e i più svariati temi provenenti dalla topologia differenziale, algebrica, dalla geometria algebrica e complessa. Capacità comunicative: capacità di esporre in maniera rigorosa i contenuti nei quesiti più teorici presenti nella prova scritta, e nell'eventuale parte orale della verifica. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare un eventuale lavoro di tesi magistrale su argomenti avanzati di geometria differenziale/riemanniana, ma anche di geometria analitica/differenziale complessa.

• campi vettoriali e curve integrali, distribuzioni, tensori,

forme differenziali, teoria elementare dei gruppi di Lie;

• verieta' riemanniane e semiriemanniane, spazi forma, spazi

omogenei, derivate covarianti, parallelismo e geodetiche,

curvatura, campi di Jacobi;

• primo teorema di Cartan, classificazione spazi a curvatura

costante, proprieta' geometriche e topologiche di base degli

spazi a curvatura nonpositiva, teorema di Synge.

-prova scritta, basata su problemi simili a quelli distribuiti durante il corso

-prova orale (per testare la conoscenza di definizioni, esempi, teoremi)

Testi (in italiano):

--Gallot-Hulin-Lafontaine, Riemannian Geometry

--Do Carmo, Riemannian Geometry

--fogli con esercizi e teoria distribuiti durante il corso

--Gallot-Hulin-Lafontaine, Riemannian Geometry

--Do Carmo, Riemannian Geometry

Al termine del corso lo studente sarà in grado di: - Comprendere l’organizzazione dei viventi a livello cellulare, molecolare ed ecologico, distinguendo procarioti, eucarioti, cellule animali e vegetali. - Conoscere le principali macromolecole biologiche e i processi fondamentali della biologia cellulare (replicazione del DNA, espressione genica, mitosi e meiosi). - Riconoscere i principi dell’ereditarietà, dei flussi energetici (fotosintesi e respirazione) e dell’organizzazione pluricellulare. - Descrivere i tre domini della vita, le basi della biodiversità animale, i principali sistemi funzionali, i meccanismi evolutivi e semplici concetti ecologici. - Applicare i concetti appresi all’osservazione e interpretazione di semplici dati laboratoriali. - Comunicare in modo chiaro nozioni biologiche di base e sviluppare capacità di apprendimento autonomo.

FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
N/D
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
N/D

Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
N/D
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
N/D

FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA II
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Modulo: FONDAMENTI DI BIOLOGIA I
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Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo; 1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati. 2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria elementare dei numeri e campi finiti (utili qualora si studino in altri corsi o contesti la crittografia a chiave pubblica o la teoria dei codici). Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria elementare dei numeri, alla risoluzione di equazioni alle confruenze (con particolare riguardo alle equazioni polinomiali), akke funzioni aritmetiche, alla teoria dei residui quadratici, al problema degli ampliamenti, alle estensioni e alla struttura dettagliata dei campi finiti. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alle equazioni alle congruenze, alle funzioni aritmetiche più importanti; sarà in grado di descrivere in modo concreto un campo finito e il suo gruppo di Galois. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per usare gli strumenti che sono alla base della crittografia a chiave pubblica e alla teoria dei codici correttori di errore. Scopo del corso, di natura esclusivamente teorica, è quindi di permettere agli studenti interessati in seguito agli ambiti applicativi crittografici di poter manipolare agevolmente gli oggetti matematici del corso. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti standard di teoria dei numeri e dei campi finiti.

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze in algebra lineare numerica e modellistica numerica per problemi differenziali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al termine del Corso gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi a metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari e di problemi agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali lineari e avranno acquisito tecniche relative alla implementazione degli algoritmi per la soluzione effettiva dei problemi trattati. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di usare le metodologie illustrate nel Corso per la soluzione numerica di un sistema lineare o di un problema agli autovalori e per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali lineari, e saranno in grado di prevederne le prestazioni a seconda delle caratteristiche del problema da trattare. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di scegliere fra gli algoritmi che avranno studiato nel Corso quelli più adatti alla soluzione del problema considerato, avendo anche acquisito gli strumenti per apportare le modifiche che si rendessero necessarie per migliorarne le prestazioni. Capacità comunicative: Gli studenti avranno maturato la capacità di esporre i concetti, le idee e le metodologie trattate nel Corso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di Laurea Magistrale, di aspetti più specialistici della algebra lineare numerica e della modellistica numerica per problemi differenziali, potendo comprenderne la terminologia specifica e identificarne i temi più rilevanti.

Tecniche di approssimazione numerica di alcuni modelli differenziali alle derivate parziali di interesse nelle applicazioni e i principali metodi di risoluzione numerica corrispondenti. Richiami sui principali risultati della teoria (si suppone che gli studenti abbiano gia' seguito un corso di base sulle EDP) . Richiami sugli schemi standard alle differenze finite per l'approssimazione numerica di problemi lineari ellittici, parabolici e iperbolici in una e due dimensioni. Metodi agli elementi finiti per problemi ellittici e parabolici. Esercitazioni al calcolatore.

Problemi iperbolici.

Richiami sui problemi del trasporto in una e due dimensioni. Principali schemi alle differenze finite. Analisi di convergenza e studio delle proprietà di dispersione e diffusione. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi ellittici.

Richiami sui problemi al contorno per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine: soluzioni classiche, principio del massimo, formulazione variazionale in spazi di Sobolev. Schemi alle differenze finite per l'equazione di Poisson, principio del massimo discreto e analisi della convergenza. Il metodo di Galerkin per l'approssimazione di un problema variazionale. Definizione di elemento finito di Lagrange. Teoria dell'interpolazione polinomiale negli spazi di Sobolev, teoremi di convergenza e stime dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti, aspetti computazionali e confronto col metodo delle differenze finite. Analisi numerica dei problemi ellittici a trasporto (o reazione) dominante e loro trattamento con tecniche alle differenze finite o agli elementi finiti. Schemi decentrati e diffusione artificiale. Cenno ai metodi di stabilizzazione degli schemi agli elementi finiti per problemi di diffusione-trasporto. Implementazione al calcolatore dei metodi.

Problemi parabolici.

Richiami sui risultati classici e sulla formulazione variazionale dei problemi parabolici lineari. Schemi alle differenze finite per l'equazione del calore, errore di consistenza e stima di stabilita'. Un metodo di discretizzazione in spazio agli elementi finiti e di avanzamento in tempo (teta-metodo) alle differenze, teoremi di stabilita' e convergenza. Implementazione al calcolatore dei metodi.

La valutazione si baserà su un esame scritto ed una prova orale.

L'esame scritto mirerà principalmente a verificare le conoscenze più teoriche.

Durante la prova orale si verificheranno invece maggiormente le conoscenze pratiche e si valuteranno i programmi, sviluppati in C o Matlab.

A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer

Per ulteriori approfondimenti si vedano anche:

A. Quarteroni - A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer.

L. Formaggia - F. Saleri - A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali, Springer.

J.C. Strickwerda, Finite Difference Schemes and PDE, Wadsworth \& Brooks Cole.

OBIETTIVI GENERALI: acquisire una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi e delle principali tecniche impiegate nel loro studio (Teoria della Misura, Teoria delle Distibuzioni, Trasformata di Fourier). OBIETTIVI SPECIFICI: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito una conoscenza di base dei principali spazi di funzioni utilizzati in Analisi, e delle metodologie necessarie al loro studio. Applicare conoscenza e comprensione: lo studente potra' utilizzare le conoscenze ottenute in molti ambiti diversi, in particolare in problemi di teoria delle equazioni alle derivate parziali. Capacita' critiche e di giudizio: il corso ha un carattere formativo e permettera' allo studente di approfondire la sua comprensione di alcuni temi fondamentali dell'Analisi Matematica. Capacita' comunicative: lo studente sara' in grado di comprendere un testo scientifico di complessita' elevata e di esporne i concetti principali. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite metteranno lo studente in grado di accedere allo studio di corsi piu' avanzati di Analisi.

Richiami di Teoria della Misura e Analisi Funzionale. Spazi Lp. Teoria delle Distribuzioni. Spazi di Sobolev. Trasformata di Fourier.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta e una prova orale. La prova scritta dura due ore.

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti di tutte le parti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i piu' semplici tra gli esercizi assegnati.

Per conseguire il punteggio massimo, pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

1) Note del corso e altro materiale didattico scaricabile dal sito del corso

2) G.F.Folland, Real Analysis

3) H.Brezis, Functional Analysis

4) L.C.Evans, Partial Differential Equations

5) L.C.Evans and R.Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions

La pagina del corso con il materiale scaricabile (note del corso e schede di esercizi) è accessibile iscrivendosi sulla piattaforma e-learning all'indirizzo https://elearning.uniroma1.it

La pagina del corso con il materiale scaricabile (note del corso e schede di esercizi) è accessibile iscrivendosi sulla piattaforma e-learning all'indirizzo https://elearning.uniroma1.it

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su alcuni argomenti classici della Fisica-Matematica. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: conoscenza della teoria degli operatori compatti autoaggiunti, delle applicazioni della di questa teoria alla teoria del potenziale; fondamenti della meccanica hamiltoniana e della meccanica quantistica. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sara' in grado di analizzare lo spettro di operatori, con qualche intuzione anche per il caso illimitato; determinare gli autovalori del laplaciano in domini con simmetrie; tradurre in formalismo hamiltoniano i problemi lagrangiani e portali alle quadrature; discutere della soluzione dell'equazione di Schroedinger in casi semplici ma fisicamente significativi. Per sviluppare questi aspetti, nel corso vengono assegnati e svolti opportuni esercizi, oggetto di verifica scritta. Capacita' critiche e di giudizio: capacita' di enucleare gli aspetti piu' significativi della teoria del potenziale e della teoria del moto, capacita' di riflettere su somiglianze e differenze tra il caso classico e quello quantistico. Capacità comunicative: capacita' di enucleare i punti signifivativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti piu' interessanti, di discutere matematicamente dei punti piu' sottili. Capacita' di apprendimento le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare i corsi di fisica-matematica su argomenti piu' specialistici, e permetteranno di comprendere, anche autonomamente, la rilevanza fisica di questioni matematiche discusse in altri corsi.

Dettagli e materiale didattico su http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/#didattica

• Prima parte (5 CFU)

Il metodo delle caratteristiche per le PDE del I ordine; l'equazione di Hamilton Jacobi; le equazioni

di Hamilton; il principio di azione stazionaria.

Formalismo hamiltoniano: trasformazioni simplettiche, parentesi di Poisson, funzioni generatrici. Metodo di

Hamilton-Jacobi. Teorema di Arnold-Liouville, variabili azione-angolo. Moti quasi periodici sul toro.

Teoremi del ritorno di Poincare'.

• Prima parte (4 CFU)

Introduzione alle teorie cinetiche: il problema della propagazione del caos.

L'equazione di Vlasov e la sua validità.

L'equazione di Boltzmann.

L’esame mira a valutare il raggiungimento degli obiettivi formativi.

La prova scritta, organizzata a test, verte sugli argomenti delle esercitazioni fatte in classe.

La prova orale consistete nella discussione dei temi più rilevanti,

sia negli aspetti matematici che in quelli fisici.

Per conseguire un punteggio pari a 18/30, lo/la studente deve dimostrare di avere acquisito conoscenze e competenze sufficienti sugli argomenti di base del corso.

Per conseguire un punteggio pare a 25/30, lo/la studente deve dimostrare di avere acquisito una buona conoscenza e competenza sugli argomenti di base del corso.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo/la studente deve dimostrare di aver acquisito un'eccellente competenza e conoscenza di tutti gli argomenti trattati durante il corso.

Note del docente, con esercizi, su http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/#didattica

Courant, Hilbert: Methods of Mathematical Physics - Wiley

Komogorov, Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale - ERditori Riuniti

Salsa: Equazioni alle derivate parziali - Springer

Reed, Simon: Methods of modern mathematical physics, vol I, Functional Analisys - Elsevier

Kevin Cahill; Physical Mathematics, 2nd edition Cambridge University Press 2019

L. C. Evans Partial Differential Equation AMS Graduate Studies in Mathematics, vol. 19

Arnold: Meccanica Classica - Editori Riuniti

Landau: Meccanica - Editori Riuniti

Landau: Meccanica Quantistica - Editori Riuniti

Gallavotti: Meccanica Elementare - Boringhieri

Gantmacher: Meccanica Analitica - - Editori Riuniti

Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all'omologia singolare, allo studio delle varietà differenziabili e una discreta conoscenza della teoria delle superfici di Riemann. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi anche articolati che richiedano l’uso di tecniche legate alla coomologia di de Rham, al teorema di Hurwitz e al Teorema di Riemann Roch per superfici di Riemann compatte; sarà in grado di determinare il genere di una Superficie di Riemann e la dimensione dei sistemi lineari i gruppi di coomologia delle varietà. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati che variano tra la topologia algebrica, la geometria differenziale, la geometria complessa e anche la geometria algebrica. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di potersi dedicare ad aspetti più specialistici di geometria.

Varietà differenziali e varietà complesse

Campi vettoriali e flussi

Forme differenziali, integrazione, coomologia di de Rham, dualità di Poincaré

Omologia singolare, teorema di de Rham

Superfici di Riemann, curve algebriche in CP^2 e loro desingolarizzazione, loro rivestimenti e loro campo delle funzioni meromorfe

Differenziali meromorfi, formula di Hurwitz

Tempo permettendo, argomenti tra:

1-forme olomorfe e teorema di Hodge per superfici di Riemann, teorema di esistenza di Riemann

Uniformizzazione, superfici iperboliche, isometrie iperboliche e poligono fondamentale

Divisori, sistemi lineari, teorema di Riemann-Roch, mappa canonica

• Varietà differenziali e complesse
• Testi di riferimento: Dispense
• Nozioni di topologia algebrica
• Testi di riferimento: Dispense
• Calcolo su varietà
• Testi di riferimento: Dispense
• Coomologia di de Rham
• Testi di riferimento: Dispense
• Argomenti scelti su superfici di Riemann
• Testi di riferimento: Dispense

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e mezza.

Per superare l' esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati.

Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Arbarello-Salvati Manni, Dispense di Istituzioni di geometria superiore

Jeffrey Lee, “Manifolds and differential geometry”

John Lee, “Introduction to smooth manifolds”

Bott-Tu, “Differential forms in algebraic topology”

Hatcher, “Algebraic topology”

Bredon, “Topology and geometry”

Beardon, “The geometry of discrete groups”

Stillwell, “Geometry of surfaces”

Donaldson, “Riemann surfaces”, OUP 2011

Miranda, “Algebraic curves and Riemann surfaces”

Springer, "Riemann surfaces"

Obiettivi generali Affrontare lo studio di contenuti matematici variegati, privilegiando un approccio “estensivo” che metta in evidenza i collegamenti tra i contenuti e le altre parti della matematica e delle scienze, con particolare attenzione all’evoluzione storica dei concetti e alla loro collocazione in una cornice culturale che possa aiutare il futuro insegnante di matematica a integrare più strettamente il ruolo educativo dell’insegnamento della matematica con quello delle altre materie. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: Al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le conoscenze e gli strumenti metodologici di base per collocare l’insegnamento della matematica in un contesto culturale più ampio che ne arricchisca il valore formativo. Applicare conoscenza e comprensione: Al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare la lettura e la comprensione delle parti generali di articoli matematici di rilevanza storica e culturale, in particolare del diciannovesimo secolo (in una delle lingue straniere note allo studente o nella traduzione in italiano) e di confrontare i metodi utilizzati dai loro autori con quelli della matematica contemporanea di cui sono venuti a conoscenza nel corso degli studi della laurea triennale. Saranno in grado di apprezzare la valenza didattica di un approccio storico alla matematica e di applicarla alla progettazione di percorsi didattici di insegnamento nella scuola. Avranno sviluppato un atteggiamento critico e informato nei confronti delle applicazioni della matematica alle scienze sociali e alla modellizzazione dei sistemi complessi. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente riceverà le basi necessarie per apprezzare lo sviluppo storico dei principali concetti relativi ai fondamenti della geometria non euclidea, della geometria differenziale e proiettiva, dell’idea di funzione e del calcolo delle probabilità e le relazioni tra gli argomenti trattati in questo corso e quelli trattati in altri corsi (della laurea triennale, in particolare il Corso di Storia della Matematica, e della laurea magistrale, come il corso di Matematiche elementari dal punto di vista superiore e quello di Fondamenti della Matematica, Analisi reale e Geometria Differenziale). Capacità comunicative: Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e di sintetizzare le conoscenze acquisite nello svolgimento del tema proposto nella prova scritta. Particolare attenzione verrà dedicata a sviluppare le capacità di comunicare in maniera corretta, anche se incompleta, un contenuto matematico non elementare appoggiandosi a strumenti digitali, ad analogie euristiche, ad esempi ed esercizi significativi e illuminanti e di affrontare in maniera critica il vaglio delle informazioni reperibili in rete o nelle biblioteche. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di sviluppare un atteggiamento critico, attento allo sviluppo storico e concettuale, delle idee matematiche e alla loro valenza culturale, anche in rapporto con le altre scienze e con la società.

Obiettivi generali: conoscenza rigorosa dei modelli probabilistici dalle applicazioni alle relazioni con altre parti della matematica. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi a spazi di probabilità, variabili aleatorie, indipendenza, leggi dei grandi numeri. funzioni caratteristiche, convergenza debole, teoremi limite. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche probabilistiche sia nelle applicazioni che in problemi di matematica pura. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi o fisica matematica; acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici del calcolo delle probabilità.

Richiami e complementi di teoria della misura. Costruzione di misure di probabilità su spazi prodotto. Misura prodotto e teorema di Daniell-Kolmogorov. Regolarità delle traiettorie e teorema di Centsov-Kolmogorov. Valore atteso e probabilità condizionate. Convergenza di misure. Successioni di variabili indipendenti e teoremi limite. Funzioni caratteristiche. Processi markoviani, gaussiani e martingale. Moto browniano.

Esame orale con esercizi.

• Appunti del docente
• Shiryaev, Probability 1&2

Al termine del corso lo studente sarà in grado di - Conoscenza e capacità di comprensione: acquisire una solida comprensione dei principali fenomeni della fisica classica e moderna affrontabili nel contesto della scuola secondaria superiore, nonché dei fondamenti del metodo sperimentale, delle tecniche di misura e dell’analisi statistica dei dati. Lo studente conoscerà inoltre i principali risultati della ricerca in didattica della fisica, con particolare riferimento ai modelli interpretativi spontanei e alle difficoltà concettuali documentate in letteratura, nonché alcuni snodi fondamentali della storia della fisica, utili a comprendere le radici epistemiche dei concetti scientifici insegnati. - Conoscenza e capacità di comprensione applicate: saper osservare, descrivere e interpretare fenomeni fisici mediante attività laboratoriali, effettuare misure, rappresentare e analizzare dati sperimentali e costruire semplici esperimenti, anche con materiali poveri, interpretandone i risultati nel quadro dei modelli teorici di riferimento. Sarà inoltre in grado di progettare percorsi didattici e attività di laboratorio per la scuola secondaria superiore, fondati su approcci partecipativi e inquiry-based, orientati al cambiamento concettuale degli studenti, anche attraverso l’uso di prospettive storico-epistemologiche utili a favorire la comprensione dei concetti fisici. - Autonomia di giudizio: sviluppare la capacità di valutare criticamente i risultati sperimentali, le strategie didattiche e i modelli interpretativi degli studenti, riconoscendo misconcezioni e idee spontanee, anche in relazione a concezioni passate emerse nello sviluppo storico della fisica, e individuando le modalità più efficaci per favorire il superamento di tali modelli verso una comprensione scientificamente fondata. - Abilità comunicative: essere in grado di comunicare in modo chiaro, rigoroso e didatticamente efficace concetti, modelli, risultati sperimentali e riferimenti storico-epistemologici della fisica, adattando il linguaggio e le strategie espositive al livello della scuola secondaria superiore e favorendo la partecipazione attiva degli studenti attraverso la discussione e la riflessione sui fenomeni osservati. - Capacità di apprendimento: acquisire strumenti metodologici, didattici e storico-epistemologici utili per l’aggiornamento continuo nell’ambito della fisica e della sua didattica, sviluppando la capacità di integrare risultati della ricerca educativa, pratiche laboratoriali e riflessione storica nella futura attività di insegnamento.

Obiettivi generali: acquisire le conoscenze e tecniche di base della Combinatoria delle permutazioni, enumerativa, degli insieme parzialmente ordinati, e delle partizioni di interi, e comprenderne le loro principali applicazioni. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Combinatoria delle permutazioni (con particolare riguardo ai problemi enumerativi, algebrici e algoritmici, random) e alla combinatoria enumerativa (soprattutto concernenti i suoi aspetti algebrici). Conoscerà anche almeno l'insieme dei problemi più significativi nell'ambito dei quali tali teorie trovano applicazioni. Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l'uso di tecniche legate alla combinatoria delle permutazioni ed enumerativa e di discutere come si possano modellizzare problemi (in ambienti non prettamente matematici) per mezzo degli strumenti acquisiti. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare come argomenti della combinatoria e dell'Algebra ed Algebra Lineare trattati nei corsi di base possano trovare applicazioni in diversi ambiti ed essere strumento essenziale nella soluzione di problemi concreti. Capacità comunicative: il discente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un possibile contesto interdisciplinare (per coloro che hanno conoscenze ed interessi verso la Matematica Applicata, l'Informatica, la Genetica, la cosiddetta "Data Science").

• Permutazioni: cicli, inversioni, discese, pattern avoidance.
• Partizioni: diagrammi, funzioni generatrici e identità varie.
• Principio di inclusione-esclusione.
• Insiemi parzialmente ordinati: principio di inversione di Moebius.
• Funzioni generatrici razionali.
• Permutazioni e partizioni (5 settimane)
• Testi di riferimento: Capitolo 1
• Principio di inclusione-esclusione (1 settimana)
• Testi di riferimento: Capitolo 2
• Insiemi parzialmente ordinati e funzione di Moebius (5 settimane)
• Testi di riferimento: Capitolo 3
• Funzioni generatrici razionali (1 settimana)
• Testi di riferimento: Capitolo 4

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di

problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni).

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo/a studente/ssa deve dimostrare di

aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti principali e di essere in grado di svolgere

almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo/a

studente/ssa deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti

trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

Richard Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2011.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo. Capacità' critiche e di giudizio: capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle. Capacità comunicative: capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici. Capacità' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

MODULO I - METODI STATISTICI
Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

MODULO I - METODI STATISTICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

MODULO II - METODI FISICO-MATEMATICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

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MODULO I - METODI STATISTICI
Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

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Obiettivi Formativi Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in modellistica basata su equazioni differenziali ordinarie e parziali, nei contesti presentati nel programma. In particolare, sara’ in grado di trattare equazioni differenziali per reti di reazioni chimiche, diffusione di epidemie, cinetica di enzimi, propagazione di impulsi nervosi; inoltre, saprà trattare modelli in cui e’ presente anche la dipendenza dallo spazio con termini di tipo diffusivo. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi ad alcune classi di equazioni differenziali ordinarie e di equazioni alle derivate parziali utili per la descrizione di modelli, principalmente in ambito biochimico ed epidemiologico. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di presentare modelli di base in ambito biomatematico, discutendone le proprietà e caratteristiche. Sarà altresì in grado di utilizzare il calcolatore elettronico per realizzare simulazioni numeriche di base di equazioni differenziali nonlineari utilizzando librerie pre-esistenti. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti acquisiti in corsi precedenti dello stesso ambito, riconoscendone criticamente le caratteristiche salienti. Capacità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale e collegiale, dei successivi corsi della LM che richiedano competenze di tipo modellistico.

INTRODUZIONE

Cos'è la Modellizzazione? Modelli discreti, di Equazioni Differenziali Ordinarie ed alle derivate Parziali.

Successione di Fibonacci. Metodo risolutivo grafico. Passaggio dal discreto al continuo.

I EDO

Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto.

I.1 Integrali Indefiniti

Teorema Fondamentale del Calcolo; condizioni al bordo per l'unicità; Principio del Confronto; stime a-priori e utilizzo nel teorema di Ascoli-Arzela.

I.2 EDO lineari

I.3 EDO non-lineari

Stime a-priori; teorema di Cauchy-Lipschitz mediante contrazioni; Principio del Confronto tra soluzioni e tra sotto/sopra soluzioni: lemma di Gronwall; dipendenza continua dalle condizioni iniziali.

I.4 Studio Qualitativo di EDO Autonome

Conseguenze del Principio del Confronto: positività ed esistenza globale; soluzioni stazionarie (o equilibri); stabilità, stabilità asintotica e stabilità lineare (es. oscillatore armonico); insiemi invarianti: condizione sufficiente; teorema di Brouwer per la ricerca di equilibri [S.D.] ; soluzioni periodiche: condizione sufficiente, attrattività e teorema di Poincaré Bendixson [S.D.] ; attrattore di Lorentz; comportamento asintotico in dimensione N=1.

II Modelli di EDO

II.1 Reti di reazioni chimiche

Transizioni semplici e reversibili; reti generali: esistenza di equilibri, loro stabilità (teorema di Gerschgorin [S.D.]), principio del confronto per sistemi cooperativi, applicazione: soluzioni positive e limitate; teorema di Perron-Frobenius [S.D.], convergenza verso l'unico equilibrio.

II.2 Dinamica di popolazione ad una specie

Fisher-KPP ed effetto Allee debole e forte.

II.3 Dinamica di popolazioni a 2 specie:

Sistemi monotoni (cooperazione, competizione) e non; il modello preda/predatore di Lotka-Volterra.

II.4 Modelli epidemiologici

Modello SI; modello SIR; il numero R_0; riduzione all'equazione KPP; comportamento asintotico e numero totale dei contagi.

III EDP

Proprietà Basilari: a) Stime a-priori b) Esistenza c) Unicità d) Principio del Massimo e del Confronto.

III.1 Equazioni Paraboliche lineari

• Derivazione microscopica dell'equazione di diffusione
• Equazione del calore: soluzione fondamentale; esistenza per il problema di Cauchy; equazione con sorgente (principio di Duhamel) e problema di Cauchy (principio di sovrapposizione)
• Principio del Massimo debole e forte, unicità per soluzioni limitate; contro-esempio all'unicità
• Stime a priori [S.D.]

III .2 Equazioni Paraboliche semilineari

• Principio del Confronto debole e forte
• Esistenza ed unicità locali
• Stime a priori [S.D.]

III .3 Equazioni Paraboliche in domini limitati

• Principio del massimo debole
• tecnica della riflessione per ricondursi a tutto R [S.D.]

IV Modelli di PDE

IV.1 Equazione di reazione-diffusione di Fisher-KPP

• Dominio limitato: condizioni al bordo di Neumann; invasione completa verso 1.
• Dominio limitato: condizioni al bordo di Dirichlet; unicità della soluzione stazionaria positiva; comportamento in tempo lungo: estinzione/persistenza della specie in base alla taglia del dominio.
• Dominio illimitato: R; comportamento in tempo lungo ed effetto "hair-trigger"; deduzione dell'unicità della soluzione stazionaria positiva.

L'esame consta di una prova scritta facoltativa e di una orale obbligatoria.

Per superare l'esame occorre conseguire un voto complessivo non inferiore a 18/30.

Corrado Mascia, Eugenio Montefusco, Andrea Terracina, BioMat 1.0, Editrice LaDotta.

Thomas Giletti, EDP paraboliques pour la dynamique des populations (dispense)

Martin Feinberg, Foundations of Chemical Reaction Network Theory, Springer.

James Keener, James Sneyd, Mathematical Physiology, Springer.

James D. Murray, Mathematical Biology I and II, Springer.

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali del corso: Il corso si propone due obiettivi, uno per ciascun modulo;

1) Fornire le basi algebrico-topologiche per comprendere le tecniche di analisi topologica dei dati.

2) Approfondire alcuni aspetti di geometria proiettiva classica e di teoria delle curve algebriche, solitamente trascurati nei corsi di Laurea triennale.

Al termine del corso, le studentesse e gli studenti avranno acquisito familiarità con i seguenti argomenti: Gruppi abeliani finitamente generati Elementi di algebra omologica Complessi simpliciali astratti Omologia simpliciale Omologia persistente e analisi topologica dei dati Test di primalità Algoritmi di fattorizzazione negli interi Elementi di crittografia

Gruppi abeliani finitamente generati

Elementi di algebra omologica

Complessi simpliciali astratti

Omologia simpliciale

Omologia persistente e analisi topologica dei dati

Test di primalità

Algoritmi di fattorizzazione negli interi

Elementi di crittografia

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA

• Il corso si svolgerà da ottobre (o fine settembre) a gennaio
• Testi di riferimento: Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e GeometriaNeal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo applicativo la prova d'esame consisterà in una implementazione in phyton o altro linguaggio di programmazione di alcuni degli pseudocodici visti a lezione. Per le studentesse e gli studenti dell'indirizzo didattico in una programmazione di lezioni per la scuola secondaria di primo o secondo grado che presentino, adattandoli, alcuni deglia rgomenti visto nel corso. Per le studentesse e gli studenti di tutti gli altri indirizzi in un seminario su argomento concordato col docente.

Per la parte di algebra omologica, omologia simpliciale e omologia persistente: dispense del corso di Istituzioni di Algebra e Geometria del professor Marco Manetti. Per la parte di primalità, algoritmi di fattorizzazione e crittografia: Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI ALGEBRA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Modulo: MODULO I - ISTITITUZIONI DI GEOMETRIA
Marco Manetti: Dispense per il corso di Istituzioni di Algebra e Geometria

Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics, 114); Springer

Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

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Obiettivi generali:

acquisire conoscenze specialistiche di base su un approccio rigoroso alla meccanica statistica di equilibrio

Obiettivi specifici:

Conoscenza e comprensione:

conoscenza degli ensemble statistici, delle misure di Gibbs e dei funzionali termodinamici; comprensione delle transizioni di fase per modelli paradigmatici di particelle su reticolo.

Applicare conoscenza e comprensione:

al termine del corso lo studente sarà' in grado di descrivere modelli semplici di particelle attraverso gli ensemble statistici, di fare il limite termodinamico della funzione di partizione e determinare i funzionali termodinamici, e di intuire eventuali transizioni di fase per modelli semplici su reticolo.

Capacità' critiche e di giudizio:

capacità' di descrivere il comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un grande numero di particelle.

Capacità comunicative:

capacità' di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più' interessanti, di discutere matematicamente dei punti più' sottili, almeno per modelli semplici.

Capacità' di apprendimento:

le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare studi avanzati, anche a livello di dottorato, relativi alla meccanica statistica di equilibrio e non, e di utilizzare gli strumenti di base della meccanica statistica in altri contesti.

Same dates as Course 33603 Mathematics LM-40 R 10595860 MATHEMATICAL METHODS IN STATISTICAL MECHANICS

Richiami di termodinamica

Teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, grancanonico)

Derivazione dell’equazione di stato nei gas perfetti.

Modello di Curie-Weiss e suo limite termodinamico. Relazione tra potenziali termodinamici e grandi deviazioni.

La struttura generale degli stati di Gibbs. Stati estremali e miscugli. La nozione di transizione di fase: perdità di analiticità e non unicità dello stato di Gibbs. Equazioni DLR.

Modello di Ising unidimensionale a primi vicini e soluzione con matrice di trasferimento.

Modello di Ising a primi vicini in piu’ dimensioni. Diagramma di fase.

Disuguaglianze di correlazioni nel modello di Ising

Cluster expansion

Percolazione e Random Cluster Model

Gaussian free field

• x
• Testi di riferimento: z

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Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche di base ed esperienza pratica su alcuni argomenti classici dell’ottimizzazione a dimensione finita.
Obiettivi specifici
Conoscenze e comprensione: conoscenza dei fondamenti teorici e pratici della teoria dell’ottimizzazione e delle principali classi di problemi e di metodi risolutivi.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di classificare un problema di ottimizzazione e scegliere quale metodo risolutivo sia il più adatto alla sua soluzione, tenendo conto dei vincoli derivanti dal tipo di applicazione (per esempio, accuratezza richiesta o limiti al tempo di calcolo a disposizione). Inoltre lo studente sarà in grado di interpretare correttamente i risultati forniti da codici risolutivi commerciali o ad-hoc.
Capacità critiche e di giudizio: capacita' di enucleare gli aspetti significativi di un problema di ottimizzazione e dei suoi algoritmi risolutivi.
Capacità comunicative: capacità di enucleare i punti significativi della teoria, di saper illustrare con esempi opportuni le parti più interessanti, di discutere matematicamente dei punti più sottili.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di argomenti più avanzati e di inserirsi adeguatamente in ambienti industriali e di ricerca dove si faccia uso di tecniche di ottimizzazione.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria dei processi stocastici e nella modellizzazione stocastica di fenomeni reali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base riguardanti i processi stocastici a tempo discreto e a tempo continuo, su strutture discrete quali ad esempio grafi oppure su spazi continui. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di modellizzare l'evoluzione temporale di vari fenomeni reali tramite i processi stocastici, di analizzare la stazionarieta` e/o la reversibilita` temporale dei processi stocastici, di calcolare probabilita` di assorbimento e tempi attesi di assorbimento, di simulare processi stocastici e di stimare la velocita` di convergenza all'equilibrio. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per studiare sistemi dinamici stocastici e acquisire la capacita` di valutare la bonta` di un modello rispetto ad altri nella modellizzazione di fenomeni reali. Capacità comunicative: dovendo sostenere una prova orale di teoria, gli studenti svilupperanno le capacita` comunicative necessarie per bene esporre la teoria matematica e i vari modelli considerati nel corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio più approfondito dei processi stocastici sia su spazi discreti che continui, aiutando lo studente nello studio di altri corsi quali ad esempio calcolo stocastico.

Catene di Markov a tempo discreto. Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti. Reversibilità.

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto. Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

• Appunti del docente

-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge

-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

-Markov Chains, J.R. Norris, University of Cambridge

-Markov Chains and Mixing Times, D. A. Levin and Y. Peres, American Mathematical Society

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze avanzate della teoria dei sistemi dinamici. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito conoscenze teoriche rigorose ed avanzate nel campo della teoria dei sistemi dinamici, con particolare attenzione ai sistemi iperbolici e alle applicazioni in meccanica, come la teoria della stabilità. Inoltre, impareranno parte della teoria generale degli insiemi invarianti iperbolici, con applicazioni a intersezioni omocline, moti caotici e teoria ergodica, nel contesto di sistemi meccanici concreti. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio sia quando questa è riconosciuta dalla parte lineare che con i metodi della teoria di Liapunov; iii) analizzare sistemi planari che presentano fenomeni di auto-oscillazione; iv) formalizzare in problemi concreti i concetti di intersezione di varietà stabile ed instabile ed i connessi fenomeni caotici; v) applicare le tecniche di base della teoria ergodica in problemi concreti. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di utilizzare le conoscenze acquisite nell'analisi dei modelli evolutivi non lineari che si presentano nelle scienze applicate. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare ed esporre concetti, idee e metodologie della teoria dei sistemi dinamici. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di approfondire, in modo individuale ed autonomo, tecniche e metodologie della teoria dei sistemi dinamici.

• Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase.
• Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold.
• Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov.
• Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte.
• Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.
• Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.
• Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.
• prime 20 ore circa
• Testi di riferimento: - Processi di evoluzione deterministici a tempo discreto e continuo. Processi reversibili e processi irreversibili. Spazio delle fasi, leggi orarie ed orbite associate. Punti stazionari e punti periodici. Campi vettoriali e flussi di fase.- Sistemi dinamici a tempo discreto. Mappe e leggi ricorsive. Punti fissi, punti periodici e pre-periodici. Insiemi invarianti. Sistemi dinamici topologici (mappe continue su spazi metrici): insiemi limite, transitività e mescolamento topologico, caoticità. Mappe lineari, contrazioni, mappe lineari iperboliche. Tralazioni e flussi lineari sul toro. Teorema sulle medie. Espansioni lineari sulla circonferenza, dinamica simbolica, mappa del gatto di Arnold.
• successive 12 ore circa
• Testi di riferimento: - Introduzione alla teoria ergodica. Tempi medi di soggiorno e misure empiriche, distribuzioni casuali di dati iniziali, medie temporali e medie spaziali. Misure invarianti e proprietà di ricorrenza. I teoremi ergodici di Birkhoff-Khinchin e di Von Neumann. Ergodicità, mescolamento e convergenza all'equilibrio. Esempi: mappa del panettiere, schemi di Bernoulli, traslazioni e automorfismi algebrici del toro. Misure ergodiche e mescolanti di mappe continue su spazi metrici, teorema di Krylov-Bogolyubov.
• ultime 16 ore circa
• Testi di riferimento: - Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Esistenza ed unicità locale delle soluzioni, soluzioni massimali e sistemi completi. Derivata di Lie e integrali primi. Legge di trasformazione dei campi vettoriali sotto diffeomorfismi. Il teorema della scatola di flusso. Equazioni differenziali su varietà: completezza dei campi vettoriali lisci su varietà compatte. - Flussi lineari, contrazioni e flussi iperbolici. Punti iperbolici. Varietà stabile ed instabile per flussi e diffeomorfismi.- Insiemi limite di una curva di fase e loro proprietà. Sistemi planari: sistemi conservativi, orbite isolate e cicli limite. L’oscillatore di van der Pol: un esempio di ciclo limite attrattivo. Il teorema di Poincaré-Bendixson.- Cenni di teoria iperbolica: l teorema di Anosov sulla stabilità strutturale della mappa di Arnold. Intersezioni trasverse ed orbite omocline. Insiemi iperbolici. Lemma dell'orbita ombra e sue conseguenze. Sistemi periodicamente perturbati. Formula di Melnikov ed applicazione alla dinamica del pendolo forzato.

L'esame consiste in una prova orale, nella quale la/lo studentessa/studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti trattati.

P. Buttà, Appunti per il corso di Sistemi Dinamici, reperibili in rete all'indirizzo https://sites.google.com/uniroma1.it/paolobutta/didattica. Materiale bibliografico supplementare è indicato in queste dispense o viene reso disponibile al suddetto indirizzo di rete.

V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Editori riuniti 1989. (Oppure la versione inglese V.I. Arnold: Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York, etc. Springer, 1988.)

V.I. Arnold and A. Avez: Ergodic problems of classical mechanics. W.A. Benjamin, 1968.

M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney: Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos. Second/Third Edition. Academic Press/Elsevier 2003/2013.

A. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge university press, 1995.

A. Katok, B. Hasselblatt: A first course in dynamics: with a panorama of recent developments. Cambridge university press, 2003.

Obiettivi generali: Introdurre lo studente ai risultati fondamentali della statistica matematica e alle applicazioni più significative, anche attraverso la discussione di casi concreti e di software statistico. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base che riguardano i problemi di stima puntuale, per intervallo e i problemi di verifica delle ipotesi, nonché i principali metodi con cui questi si affrontano: metodo dei momenti, della massima verosimiglianza e generalizzazioni. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di valutare il grado di accuratezza con cui, in semplici problemi statistici, si possono stimare parametri o validare ipotesi su questi, implementando queste risposte in un software opportuno. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà modo di apprezzare gli strumenti probabilistici utili ad affrontare i problemi statistici e i vari approcci alla risoluzione degli stessi. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio successivo di aspetti più recenti e avanzati della statistica matematica.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria degli automi. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito familiarità con i concetti di automa deterministico e completo, di linguaggio riconoscibile, di automa non deterministico, di linguaggio razionale e di teoremi che descrivono alcune proprietà fondamentali di natura algebrica e combinatoria di queste strutture (descrizione dei linguaggi accettati da automi in termini di congruenze di indice finito, di operazioni razionali nel mondi libero delle stringhe su di un alfabeto dato, di modelli non deterministici e di automi minimali). Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di tecniche combinatorie e algebriche di teoria degli automi: costruzione di automi per il riconoscimento di linguaggi, proprietà algoritmiche e di decidibilità, strumenti per verificare la non riconoscibilità di linguaggi. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato dimistichezza con gli oggetti basilari della teoria. In particolare, saranno in grado di leggere criticamente le dimostrazioni dei risultati della teoria esposti nel corso e di analizzare relazioni ed analogie con argomenti di teoria matematica dei linguaggi formali e di teoria dei codici. Capacità comunicative: capacità di esporre in forma scritta i risultati teorici e la soluzione degli esercizi proposti nella prova di esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, di aspetti più specialistici di teoria degli automi e di teoria matematica dei linguaggi formali.

Prima parte: Elementi di teoria dei semigruppi e prime nozioni di Teoria degli Automi (20 ore)

Elementi di teoria dei semigruppi; congruenze e morfismi di semigruppi; parti riconoscibili di un semigruppo e loro proprietà elementari; parti razionali di un semigruppo; cenni al Problema di Burnside per i semigruppi e per i gruppi; semiautomi finiti; automi finiti; teoremi di Myhill e Nerode; proprietà di chiusura dei linguaggi riconoscibili rispetto alle operazioni Booleane insiemistiche; teoremi di iterazione; automi incompleti e non deterministici; proprietà di chiusura dei linguaggi riconoscibili rispetto alle operazioni di prodotto, di stella e di shuffle; linguaggi razionali dei monoidi liberi e loro proprietà elementari.

Seconda parte: risultati fondamentali di Teoria degli Automi (28 ore)

Linguaggi locali e teorema di Medvedev; teorema di Kleene; linguaggi razionali e grammatiche lineari a destra oppure a sinistra; automi a due vie e teorema di Rabin e Shepherdson; relazioni razionali e riconoscibili di monoidi liberi; teorema di Elgot e Mezei; teorema di cross section di Eilenberg; congruenze di semiautomi e di automi; automa connesso e minimale; morfismi di semiautomi e di automi; automa minimale e teorema di equivalenza; algoritmo di Moore e Conway; espressioni razionali; identità razionali; espressioni razionali estese; star-height delle espressioni razionali; star-height generalizzata; linguaggi aperiodici; monoidi aperiodici; linguaggi senza stella e teorema di Schutzenberger; il problema della star-height estesa: cenni alla congettura di Mc Naughton e ai teoremi di Henneman.

prova orale

Aldo de Luca, Flavio D'Alessandro, Teoria degli Automi Finiti, Collana UNITEXT, Springer Italia, Milano, 2013

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

A seconda dell’insegnamento scelto, tali attività contribuiscono allo sviluppo di ulteriori conoscenze disciplinari e/o competenze trasversali, al rafforzamento delle capacità critiche, comunicative e pratiche, nonché al potenziamento delle capacità di apprendimento autonomo. La selezione degli insegnamenti a scelta deve essere coerente con gli obiettivi formativi complessivi del Corso di Studio e supporta la costruzione di un profilo accademico o professionale maggiormente personalizzato.

Obiettivi generali. Il corso intende introdurre gli studenti alla teoria delle soluzioni di viscosita' e agli aspetti variazionali e metrici delle equazioni di Hamilton-Jacobi (HJ) del primo ordine (teoria KAM debole), illustrando alcune applicazioni a problemi asintotici. Obiettivi specifici. 1. Conoscenza e capacità di comprensione. Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della teoria delle soluzioni di viscosita' e degli aspetti metrici e variazionali delle equazioni di HJ del primo ordine (teoria KAM debole). 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di calcolare esplicitamente le soluzioni di equazioni di HJ in alcuni casi piu' semplici e di derivare delle informazioni qualitative nei casi piu' generali. 3. Capacità critiche e di giudizio. Al termine del corso gli studenti avranno acquisito una conoscenza soddisfacente dei principali risultati e strumenti della teoria KAM debole, che fornirà loro un quadro interpretativo geometrico-dinamico dei vari fenomeni in gioco nello studio di equazioni di HJ del primo ordine. 4. Capacità comunicative. Capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame. 5. Capacità di apprendimento. Le conoscenze acquisite forniranno agli studenti le basi per affrontare lo studio di equazioni di HJ del primo ordine e per affacciarsi ad aspetti piu’ specialistici e di ricerca, ove interessati ad approfondire lo studio.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base di Geometria Algebrica su un anello qualsiasi. Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria degli schemi, coomologia di fasci coerenti, teoria delle curve e superfici proiettive. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di leggere e comprendere alcuni articoli di ricerca in Geometria Algebrica. Capacità critiche e di giudizio: lo studente apprezzera` le analogie tra la Geometria Algebrica classica (sui complessi) e la Teoria dei numeri. Capacità comunicative: lo studente dovrà avere la capacità di esporre i contenuti del corso, in particolare sapendoli illustrare su esempi concreti. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di dottorato, relativo ad aspetti più avanzati della Geometria Algebrica.

Introduzione alla geometria Kahleriana e alla teoria di Hodge.

Prova scritta obbligatoria seguita da una prova orale facoltativa.

Differential Analysis on complex manifolds, third edition, R. O. Wells, Springer 2008.

Differential Analysis on complex manifolds, third edition, R. O. Wells, Springer 2008.

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly.

Complex geometry. An introduction, D. Huybrechts.

Complex differential geometry, F. Zheng.

Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, C. Voisin.

Principles of algebraic geometry, P. Griffiths, J. Harris.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze specialistiche in teoria delle rappresentazioni di algebre di Lie. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrˆà acquisito nozioni e i risultati avanzati relativi alla teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie di dimensione finita e avrˆà acquisito una prima familiaritˆà con i metodi omologici in teoria delle rappresentazioni. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarˆà in grado di leggere articoli di ricerca relativi agli argomento del corso. Capacitˆà critiche e di giudizio: lo studente avrˆà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e i loro sviluppi in teoria delle rappresentazioni e algebra omologica. Capacitˆà comunicative: capacitˆà di esporre in seminari argomenti che utilizzano tecniche e risultati affrontati nel corso. Capacitˆà di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno l'avviamento alla ricerca in algebra, geometria.

Dal diario di Algebra Superiore, 2024-2025

Generalità sui funtori Hom e prodotto tensoriale. Funtorialità aggiunzione esattezza. Moduli piatti.

Localizzazione. Prodotti tensoriali in risoluzioni libere.

Moduli proiettivi. Moduli localmente liberi. Realizzazioni equivalenti di moduli

proiettivi finitamente generati su un anello noetheriano, cenni su fibrati vettoriali.

Richiami su anelli di Dedekind. Varie condizioni equivalenti. Ideali frazionari e invertibili.

Ogni ideale frazionario invertibile è proiettivo. Condizioni di coprimalità nelle fattorizzazioni

degli ideali principali negli anelli di Dedekind.

Ideali primi inerti, decomposti, ramificati. Nozione di indice di reticolo (Fröhlich).

Teorema: L'indice di due A-reticoli è un ideale frazionario non nullo.

Formalismo AKLBG. Azione del gruppo di Galois sul gruppo degli ideali frazionari. Transitività

dell'azione sui primi che dividono un primo dato.

Esempio: Estensioni di Artin-Schreier. Ramificazione. Richiamo sul teorema fondamentale della

teoria di Galois (estensioni finite). interpretazione della formula [L:K]=efg, il simbolo di Artin.

Definizione e prime proprietà.

Esempio: Estensioni quadratiche di Q: simbolo di Kronecker. Formalismo

AKLB nel caso in cui A è DVR completo. Esempio: interi p-adici.

I lemmi di Hensel. Lying-over-Theorem LOT, Going up, Dimensione in estensioni integrali.

Estensioni di norme. Teorema di Dedekind-Kummer e versione locale (con A DVR completo)

Estensioni totalmente ramificate: criterio di equivalenza (locale), polinomi di Eisenstein.

Caratterizzazione esplicita delle estensioni locali totalmente moderatamente ramificate in

termini di radici di uniformizzante.

Categorie concrete con prodotti. Equalizzatori.

Limite proiettivo, proprietà universale del limite proiettivo (senza dimostrazioni). Limiti proiettivi di spazi, gruppi, anelli.. topologici di Hausdorff. Conseguenze di teorema di Tychonov. Norme equivalenti, teorema di approssimazione debole.

Struttura del completamento di un DVR, interpretazione come limite proiettivo. Struttura

arborescente di un sistema di aperti. Conseguenza: Hausdorff totalmente disconnesso e compatto

se e solo se campo residuo finito. Definizione di campo locale. Esempi: Anello degli interi

profiniti: proposizione di diversi esercizi sul completamento profinito.

Estensioni non ramificate (caso locale completo). sotto-estensione non ramificata massimale.

Esistenza di un'equivalenza di categorie tra estensioni non ramificate e estensioni separabili di

campo residuo. Conseguenze dell'equivalenza di categorie per le estensioni non ramificate (caso locale).

Algebre étale finite e proprietà fondamentali.

Estensioni di base per le algebre étale finite. Teorema di struttura per i completamenti

nel caso AKLB. Calcolo di gruppi di decomposizione e d'inerzia. Teorema di Kronecker-Weber.

Ingredienti principali, enunciato del caso globale e di quello locale.

Teorema di Kronecker Weber: il caso locale implica quello globale.

Dimostrazione del teorema di Kronecker-Weber locale in p, caso di estensioni cicliche di grado l^k

con l differente da p. Cenni sul caso l=p dispari (si usa la teoria di Kummer), e sul caso l=p=2."

"Estensione abeliana massimale di Qp. Decomposizione del gruppo di Galois. Struttura di Qp^x

Legge di reciprocità locale per Qp. Corrispondenza di Galois infinita (Krull). Esempi.

Cenni di reciprocità globale di Artin.

Da decidere ulteriormente: o esame orale, o progetto, o tutti e due

Atiyah McDonald Introduction to Commutative Algebra (background)

Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry

Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions

Neukirch Algebraic Number Theory

Sutherland Number Theory (MIT OpenCourseWare)

Washington Introduction to Cyclotomic Fields

Atiyah McDonald Introduction to Commutative Algebra (background)

Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry

Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions

Neukirch Algebraic Number Theory

Sutherland Number Theory (MIT OpenCourseWare)

Washington Introduction to Cyclotomic Fields

idoneità a progetto

si veda la pagina Moodle del Corso

• L'attività non prevede l'erogazione di un corso.

incontro per la valutazione delle attività

non sono previsti testi di riferimento

xxxx xxxx

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica Non Lineare e delle sue applicazioni nello studio delle equazioni differenziali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base per lo studio di problemi differenziali che si presentano in forma variazionale, in particolare nel caso di equazioni ellittiche semilineari. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso di metodi variazionali per lo studio di punti critici di funzionali non lineari. Capacità critiche e di giudizio: al termine del corso lo studente avra’ avuto modo di conoscere le nozioni ed i risultati principali della teoria variazionale delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico. Inoltre sarà in grado di individuare la metodologia idonea ad affrontare lo studio di alcuni problemi differenziali non lineari. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare lo studio di problemi variazionali non lineari che intervengono nello studio di Equazioni Differenziali , consentendo allo studente di proseguire nello studio anche di aspetti piu’ specialistici qualora ne fosse interessato.

• Differenziabilità in spazi di Banach. Teorema delle funzioni Implicite in Spazi di Banach.
• Metodi variazionali per lo studio di equazioni differenziali non lineari.
• Esistenza di soluzioni di problemi ellittici semilineari, casi di termini non lineari sottocritici e critici
• Principi di massimo e metodo di sopra e sotto-soluzioni.
• Simmetria di soluzioni di problemi ellittici semilineari

L'esame consiste in una prova orale ed eventuali seminari degli studenti

Non ci sono testi adottati

• Ambrosetti- Malchiodi " Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems", Cambridge Press
• M.Struwe "Variational Methods", Springer
• M.Willem, "Minimax Theorems", Birkhauser
• S.Kesavan "Nonlinear Functional Analysis: A first course", Hindustan Book Agency
• L.Damascelli - F.Pacella "Morse index of solutions of Nonlinear Elliptic Equations", De Gruyter

Obiettivi generali: acquisire nozioni di base di analisi armonica relative alla trasformata continua e discreta di Fourier e alle serie di Fourier, e conoscere le principali applicazioni a problemi sia teorici che pratici di tali metodi. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le principali nozioni su trasformata di Fourier continua e discreta, serie di Fourier, wavelets, e loro uso in alcuni ambiti teorici e pratici (equazioni differenziali, trattamento di immagini, teroia dei segnali). Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere problemi di livello base di analisi armonica, avra' acquisito familarita' con trasformate e serie di Fourier, e sara' in grado di applicare tali tecniche alla soluzione di vari problemi concreti. Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per comprendere quando tecniche di analisi armonica possono essere utili come strumenti per la soluzione di problemi in vari ambiti dell'analisi e delle sue applicazioni. Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e rispondere a quesiti teorici. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati dell'analisi armonica, e di argomenti applicativi piu' specifici.

Introduzione all'Analisi di Fourier.

Trasformata di Fourier su S, L^2 e S’

Trasformata di Fourier in Lp

Metodi di Analisi Armonica

Calcolo esplicito di trasformate

Principio di indeterminazione

Serie di Fourier

Trasformata di Fourier discreta

Alcune applicazioni:

• teoria dei segnali e Teorema di Shannon-Nyquist
• rappresentazione di soluzioni di PDEs
• stime di Strichartz per l'equzione di Schrodinger
• il teorema di equidistribuzione di Weyl

Analisi multirisoluzione: wavelet di Haar e di Daubechies

La prova finale consiste in un esame orale sui risultati e i metodi descritti durante il corso

Tutti gli argomenti del corso sono contenuti in una serie di note redatte dal docente e disponibili per gli studenti fin dall'inizio del corso.

Per approfondire gli argomenti trattati nel corso, si veda la bibliografia aggiuntiva

Serie e trasformata di Fourier:

Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis

Dym, McKean: Fourier Series and Integrals

Stein, Shakarchi: Fourier Analysis

Trasformate discrete, teoria dei segnali, Wavelets

Wong: Discrete Fourier Analysis

Nickolas: Wavelets, A Student Guide

Gasquet, Witomski: Fourier Analysis and Applications

Fornire agli studenti le basi linguistiche più comuni per orientarsi nell'ambito della comunicazione scientifica scritta ed orale.

Obiettivi generali Il corso si propone di trasmettere agli studenti una conoscenza approfondita della struttura matematica della Meccanica Quantistica, delle motivazioni storico-critiche che hanno condotto alla sua formulazione e delle relazioni con altre discipline matematiche (analisi funzionale, teoria degli operatori, teoria dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni unitarie). Obiettivi specifici A) Conoscenze e capacità di comprensione Al temine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni fondamentali relative alla teoria di Fourier, all'analogia formale tra meccanica classica e ottica geometrica, al percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica, e alla struttura matematica delle teorie quantistiche. Particolare spazio sarà dedicato agli aspetti dinamici (evoluzione temporale) e all'analisi matematica delle simmetrie dei sistemi fisici considerati (rappresentazioni del gruppo di simmetria del sistema). B) Capacità di applicare conoscenza e comprensione La conoscenza della teoria generale sarà completata dall'applicazione delle nozioni generali ad alcuni modelli specifici, e dalla capacità di analizzare le simmetrie e la dinamica di semplici sistemi quantistici. Tra essi una particella in un potenziale lineare, in un potenziale armonico, in un campo magnetico uniforme e in un potenziale Kepleriano (atomo idrogenoide). Lo studente sarà potenzialmente in grado di applicare autonomamente le nozioni acquisite all'analisi di sistemi più complessi, tra cui atomi non-idrogenoidi, molecole e solidi cristallini. C) Autonomia di giudizio L'analisi del percorso storico-critico che ha condotto al superamento della meccanica classica in favore della più generale meccanica quantistica condurrà lo studente ad acquisire la capacità di giudicare autonomamente i presupposti concettuali su cui si basa una teoria fisico-matematica, e quindi a comprenderne l'ambito di applicazione e i limiti di validità. In tal modo, lo studente conquisterà la capacità di valutare in modo critico la validità di una teoria fisica, privilegiando un approccio epistemologico apofantico rispetto ad uno apodittico. Lo studente sarà inoltre in grado di giudicare in autonomia la validità di un enunciato matematico, attraverso la disanima critica delle ipotesi e delle deduzioni che conducono alla dimostrazione rigorosa dell'enunciato stesso, e di formulare, in modo autonomo, controesempi ad enunciati matematici in cui una delle ipotesi sia negata. D) Abilità comunicative Lo studente svilupperà la capacità di comunicare quanto appreso nella redazione di temi d'esame scritti e nell'esposizione svolta nel corso della prova orale. Sarà inoltre guidato a sviluppare la capacità di articolare un discorso in modo logicamente strutturato, distinguendo chiaramente tra ipotesi, procedimento deduttivo e conclusioni. E) Capacità di apprendimento Lo studente sarà in grado di identificare i temi più rilevanti delle materie trattate e connettere in modo logico le conoscenze acquisite.

Richiami di meccanica hamiltoniana. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson; regole di commutazione degli osservabili posizione e momento. Meccanica hamiltoniana per particelle cariche in un campo elettromagnetico esterno. “Assiomi” della meccanica classica.

Cenni sulle origini sperimentali della meccanica quantistica. Natura onda-particella della luce e dell’elettrone; esperimento a doppia fenditura. Spettro energetico del corpo nero; relazione di Planck. Ipotesi di de Broglie per l’elettrone.

Descrizione fisico-matematica dei sistemi quantistici. Funzione d’onda e sua interpretazione probabilistica. Operatori quantistici di posizione e momento: regole di commutazione canoniche e principio d’indeterminazione. Equazione di Schrödinger. “Assiomi” della meccanica quantistica.

Teoria degli operatori autoaggiunti non limitati su spazi di Hilbert. Aggiunto di un operatore; autoaggiuntezza; criteri di autoaggiuntezza. Risolvente e spettro di un operatore autoaggiunto. Teoria delle perturbazioni per operatori autoaggiunti: teorema di Kato-Rellich. Teorema spettrale: rappresentazione come operatore di moltiplicazione per un operatore autoaggiunto, misura spettrale, calcolo funzionale di operatori autoaggiunti. Teorema di Stone. Decomposizioni spettrali; teorema di Weyl.

Alcuni modelli risolubili della meccanica quantistica. Particella libera e relazione con la teoria di Fourier. Particella confinata a un intervallo, condizioni al bordo. Particella quantistica carica soggetta a un campo magnetico; Hamiltoniana di Landau.

Simmetrie in meccanica quantistica. Rappresentazioni unitarie e proiettive unitarie. Teorema di Wigner.

Il corso comprende anche la trattazione di uno o più argomenti monografici che possono includere l’atomo di idrogeno, le interazioni singolari e l’introduzione allo studio di sistemi quantistici a molti corpi.

L'esame consiste in un colloquio orale sui temi illustrati nel corso. Il colloquio può prendere avvio dalla discussione di uno degli esercizi proposti durante il corso oppure assegnati al momento. Per superare l'esame la studentessa/lo studente deve essere in grado di discutere, con il dovuto rigore matematico, argomenti presentati a lezione, oppure di applicare i metodi appresi ad esempi e situazioni simili a quelle discusse durante il corso.

Nella valutazione si terrà conto di:

• correttezza, chiarezza, completezza e rigore nell’esposizione;
• capacità di raccordo dei vari argomenti esposti a lezione;
• attitudine alla risoluzione di problemi.

Werner O. Amrein. Hilbert Space Methods in Quantum Mechanics (EPFL Press, 2009).

Brian C. Hall. Quantum Theory for Mathematicians. Vol. 267 in Graduate Text in Mathematics (Springer, 2013).

Valter Moretti. Spectral Theory and Quantum Mechanics, 2nd edition. Vol. 110 in UNITEXT - La Matematica per il 3+2 (Springer, 2017).

Alessandro Teta. A Mathematical Primer on Quantum Mechanics (Springer, 2018).

Bernd Thaller. Visual Quantum Mechanics (Springer, 2000).

Mathieu Lewin. Spectral Theory and Quantum Mechanics. Universitext (Springer, 2024).

Michael Reed, Berry Simon. Methods of Modern Mathematical Physics. 4 volumi. Academic Press.

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: rivisitare gli sviluppi degli argomenti base dell’insegnamento scolastico (geometria, aritmetica, analisi) alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base relative alla geometria di Euclide, e alle teorie ad essa alternative – dalle geometrie non euclidee alle teorie pensate espressamente per la didattica. Conoscerà i metodi usati per la misura delle figure geometriche. Saprà ripercorrere gli ampliamenti dei sistemi numerici, dai naturali ai complessi, e le relative proprietà. Saprà confrontare l’approccio al concetto di limite tramite le successioni e tramite le funzioni. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere la validità di una dimostrazione nell’ambito della geometria euclidea, e saprà confrontare dimostrazioni in assiomatiche diverse. Conoscerà alcuni risultati classici relativi ai fondamenti dell’algebra e dell’analisi e saprà svilupparli secondo differenti punti di vista. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente rivisiterà gli sviluppi degli argomenti base dell’insegnamento scolastico (geometria, aritmetica, analisi) nel loro complesso, analizzandoli da un punto di vista critico e alla luce delle conoscenze acquisite nei primi anni universitari. Capacità comunicative: Lo studente sarà capace di esporre i contenuti durante la verifica orale, nella discussione in aula, e negli approfondimenti che presenterà nel corso di una delle lezioni. Capacità di apprendimento: Lo studente sarà in grado di confrontare teorie e approcci diversi per l’introduzione dei vari argomenti, e sarà in grado di operare scelte nel curriculum scolastico.

L'esame finale per il conseguimento della Laurea magistrale consiste nella preparazione e nella discussione, davanti ad un'apposita commissione, di un elaborato scritto individuale (eventualmente in lingua inglese), redatto dallo studente sotto la supervisione di almeno un docente.

Conoscere e comprendere alcuni temi e problemi che rientrano nel campo di studio della didattica delle scienze matematiche, fisiche e della natura. Imparare a guardare, riconoscere e valorizzare i nessi con le scienze e con la loro storia, di manufatti e luoghi delle città. Far sperimentare attraverso l’esempio vissuto in prima persona, modalità diversificate e attive di insegnamento-apprendimento, in cui anche il corpo e il movimento nell’ambiente siano strumenti di conoscenza. Valorizzare l’operatività concreta legata al pensare e al progettare materiali didattici attivi. Applicare le conoscenze didattico-pedagogiche nella realizzazione di progetti educativi. Responsabilizzare gli allievi rispetto alla co-costruzione della loro conoscenza. Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Riconoscere il portato di conoscenza anche di tipo scientifico di manufatti e luoghi della città. Aver fatto esperienza di lettura di testi di carattere scientifico (testi diretti di scienziati, o di storia della scienza o di carattere epistemologico) ponendosi domande anche in relazione al coinvolgimento della scienza nella storia di un’epoca, nella cultura e nella storia delle società, nelle problematiche di genere e di tipo interculturale. Conoscere e comprendere gli aspetti metodologici e didattici delle esperienze proposte e delle attività realizzate nel corso, in relazione alle tematiche scientifiche affrontate. Al completamento del corso lo studente avrà una conoscenza avanzata di aspetti di ricerca nei campi delle scienze, quali i passaggi dalla descrizione alla successiva schematizzazione, alla quantificazione e alla ricerca delle cause di un fenomeno osservato. Avrà anche sviluppato conoscenze sul piano storico epistemologico nell’ambito delle scienze. [Descrittore di Dublino n. 1]. Le competenze acquisite riguarderanno una maggiore capacità a lavorare in gruppo, a formulare domande con linguaggio chiaro corretto, a riflettere sul proprio apprendimento e sulle proprie difficoltà e incertezze conoscitive, ad analizzare gli aspetti educativi dal punto di vista di diverse discipline coinvolte nelle azioni educative e formative. Avrà integrato modalità di uso del proprio corpo e delle proprie capacità sensoriali tra gli strumenti del conoscere. [Descrittore di Dublino n. 2]. Le competenze trasversali acquisite riguardano la capacità critiche e di giudizio potenziate dalla partecipazione alle attività di riflessione e di laboratorio e alla capacità di porsi domande e utilizzare un metodo di tipo indiziario. [Descrittore di Dublino n. 3]. Le attività intermedie del corso e quelle finali nella forma delle “Bancarelle delle scienze” organizzate dagli studenti in modo autonomo, anche in gruppi, e presentate a destinatari specialisti e non, permetteranno di utilizzare abilità espositive, di scelta di domande, di materiali e problemi pertinenti, anche in base all’età dei destinatari, e di mettere in campo capacità di valutazione a posteriori delle azioni proposte, in un’ottica multidisciplinare. [Descrittore di Dublino n. 4]. Aver maturato capacità di metariflessione sul proprio e altrui modo sia di porsi di fronte a contenuti nuovi e a tematiche relative alle discipline scientifiche, sia di affrontare incertezze e difficoltà di comprensione affinchè lo studente sia maggiormente in grado di proseguire lo studio in modo autonomo nel corso della vita ed approfondire i temi scientifici e quelli specifici della progettazione in ambito educativo ed affrontare criticamente, con l’ottica della complessità, materiali relativi alle discipline scientifiche. [Descrittore di Dublino n. 5]. Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di ideare, progettare e valutare interventi e progetti educativi attraverso visite museali e in spazi significativi antropici e della natura, e di selezionare e scartare informazioni pertinenti ai temi studiati in contesti formali e informali.

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:Gli studenti conosceranno varie caratterizzazioni del moto Browniano, le proprieta' fondamentali dei processi di diffusioni e i risultati principali del calcolo stocastico, tra i quali la formula di ItoRisultati di apprendimento - Competenze acquisite:Gli studenti saranno in grado di applicare il calcolo stocastico in vari contesti applicativi, dalla finanza matematica, alla fisica e alla biologia.

1) Conoscenza e capacità di comprensione Alla fine del corso, lo studente/la studentessa avranno appreso: a) il concetto di sistema di controllo, di inclusione differenziale e le loro proprietà fondamentali; b) il concetto di controllo ottimale e le condizioni necessarie e/o sufficienti per la sua esistenza; c) il legame fra soluzioni ottimali di un sistema di controllo e l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman; d) il concetto di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi. 2) Conoscenza e capacità di comprensione applicate Alla fine del corso, lo studente/la studentessa sarà in grado di: a) formulare in termini matematici un problema di ottimizzazione basato su un sistema di controllo; b) individuare, tramite l'uso del Principio di Massimo di Pontryagin, le eventuali soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo; c) affrontare l'analisi teorica delle soluzioni ottimali di un problema di controllo ottimo attraverso lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman ad esso associata. 3) Autonomia di giudizio Durante il periodo delle lezioni verranno proposti problemi da affrontare autonomamente. Attraverso lo studio in autonomia di questi problemi e il loro successivo svoltimento collegiale in classe, lo studente/la studentessa acquisirà sia la capacità di valutare le proprie competenze, che la capacità di affrontare un ampio spettro di problemi di controllo ottimo. 4) Abilità comunicative Lo svolgimento in forma scritta degli esercizi assegnati, sia in classe che durante le prove d'esame, e lo svolgimento della prova orale, permetteranno allo studente/alla studentessa di valutare le proprie capacità di comunicare ad altri, in forma corretta, le conoscenze acquisite durante il corso. 5) Capacità di apprendimento Alla fine del corso lo studente/la studentessa sarà in grado di affrontare lo studio problemi di controllo e ottimizzazione; tale abilità viene acquisita grazie allo svolgimento dei problemi distribuiti durante il periodo delle lezioni.

Tirocinio curriculare obbligatorio presso istituzioni scolastiche.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia algebrica. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi all’omologia e alla coomologia e alla teoria delle classi caratteristiche dei fibrati vettoriali. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’omotopia, all’omologia e alla coomologia e alle strutture algebriche ad esse legate. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di topologia (acquisiti nei corsi di Geometria 1-2), geometria differenziale (acquisiti nei corsi di Geometria 2, Geometria differenziale, Istituzioni di geometria superiore). Acquisirà inoltre anche strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio relativo ad aspetti più specialistici di topologia delle varietà differenziali e algebriche.