Obiettivi formativi
1) Conoscenza dei principali strumenti matematici di frequente utilizzo nelle discipline a carattere economico, aziendale e finanziario.
2) Capacità di individuare opportune tecniche di analisi quantitativa per affrontare problemi di valutazione e di scelta in ambito economico, aziendale e finanziario.
Conoscenza e capacità di comprensione:
Conoscenza dei principali strumenti matematici di frequente utilizzo nelle discipline a carattere aziendale, economico e finanziario.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate:
Capacità di individuare opportune tecniche di analisi quantitativa per comprendere ed affrontare problemi di valutazione e di scelta ottimale in ambito aziendale, economico e finanziario.
Competenze trasversali
1) Autonomia di giudizio:
saper valutare scelte ottimali in ambito aziendale, economico e finanziario attraverso una attenta e rigorosa analisi di dati sperimentali. A tal fine le esercitazioni svolte durante il corso rivestono un ruolo cruciale.
2) Abilità comunicative:
saper comunicare assertivamente, in un linguaggio scientifico, chiaro, appropriato e non equivoco, i propri risultati o le proprie idee in riferimento a problemi a carattere aziendale, economico e finanziario ad interlocutori specialisti e non specialisti. Il linguaggio usato a lezione mira esattamente a questo obiettivo.
3) Capacità di apprendere in modo autonomo:
essere in grado di approfondire le proprie conoscenze ed utilizzare autonomamente e con spirito critico strumenti analitici per la comprensione e risoluzione di problemi a carattere aziendale, economico e finanziario, sulla base delle competenze teoriche acquisite durante il corso di lezioni.
Programma
Cenni di teoria degli insiemi: simboli logici, insiemi, elementi, proprietà. Operazioni sui sottoinsiemi di un insieme: unione, intersezione, differenza, complementare, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano. Insiemi numerici: gli insiemi N, Z e Q e relative proprietà.
L’insieme R dei numeri reali: struttura algebrica e d’ordine. Maggiorante e minorante di un sottoinsieme di R. Insiemi limitati e non limitati. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di R. Assioma di completezza e versioni equivalenti. Insiemi contigui. Conseguenze dell’Assioma di completezza: radici, esponenziali, logaritmi. Valore assoluto, parte intera e parte decimale di un numero reale. Intervalli di R. La densità di Q in R. L’ insieme ampliato dei numeri reali: intorni, punti di accumulazione e punti isolati.
Funzioni: nozione di funzione e suo grafico. Funzione ingettiva, surgettiva, bigettiva, invertibile. Funzione composta di due o più funzioni. Funzione inversa di una funzione invertibile, restrizioni e prolungamenti di funzioni. Funzioni reali di una variabile reale: maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di una funzione. Punti di estremo locali e globali. Funzioni limitate, pari, dispari, periodiche, monotone, convesse. Successioni di numeri reali. Successioni definite per ricorrenza. Progressione aritmetica e progressione geometrica ed applicazioni: capitalizzazione semplice e composta. Fattoriale di un numero naturale. Le funzioni elementari: funzione costante, identica, affine, affine a tratti, funzione valore assoluto, funzione potenza e radice n-sima, funzione esponenziale e logaritmica, funzione potenza ad esponente reale, funzioni circolari e circolari inverse. Equazioni e disequazioni. Determinazione del dominio di una funzione.
Limiti: nozione di limite di una funzione in un punto e relativa interpretazione. Limite di successioni. Teorema di unicità del limite*.
Carattere locale del limite. Limite della restrizione. Test di non regolarità. Limite destro e limite sinistro e teorema relativo. Teorema della permanenza del segno*. Teoremi di confronto. Teorema della convergenza obbligata (o dei carabinieri)*. Criterio di divergenza. Operazioni sui limiti. Forme di indecisione. Limite della funzione composta e delle funzioni (e successioni) monotone. Limiti delle funzioni elementari, limiti notevoli. Il numero di Nepero ed il suo significato finanziario. Confronto di infinitesimi ed infiniti: i simboli di Landau. Relazioni asintotiche e loro applicazione per il calcolo dei limiti in forma di indecisione. Stima della crescita di n! e formula di De Moivre-Stirling.
Continuità: definizione di funzione continua in un punto e relativa interpretazione. Punti di discontinuità e loro classificazione. Funzione parte intera e parte decimale e studio delle relative discontinuità. Funzioni continue in un sottoinsieme di R. Continuità della somma, del prodotto, del rapporto e della composta di funzioni continue. Criterio di continuità delle funzioni monotone. Continuità delle funzioni elementari. Proprietà dei valori intermedi e teorema di Bolzano. Teorema degli zeri*, di punto fisso* e di Weierstrass.
Calcolo differenziale: definizione di derivata e di funzione derivabile. Interpretazione della derivata in diversi ambiti. Derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica: retta tangente ed ordine di approssimazione. Punti angolosi e cuspidali. Continuità delle funzioni derivabili*. Regole di derivazione: regola della derivazione del prodotto e del quoziente. Derivate successive e spazi di Lagrange. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Elasticità, semi-elasticità ed applicazioni in Economia e Finanza.
Applicazioni del calcolo differenziale: funzioni (strettamente) monotone in un punto. Condizione necessaria e condizione sufficiente. Punti di estremo locale e punti stazionari. Teorema di Fermat*. Teoremi di Rolle*, Cauchy*, Lagrange*. Teorema di Darboux. Conseguenze del Teorema di Lagrange*. Test di monotonia per funzioni derivabili. Condizioni sufficienti per punti di estremo locali. Test di convessità/concavità. Punti di flesso: condizione necessaria e condizioni sufficienti. Teorema di De L’Hospital ed applicazioni al calcolo dei limiti in forma di indecisione. Discontinuità della derivata prima. Formula di Taylor del second’ordine. Asintoti, studio del grafico di una funzione.
Cenni di teoria dell’integrazione: nozione di primitiva e di integrale indefinito. Proprietà delle primitive*. Integrali immediati. Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Somme integrali inferiori e superiori di Riemann. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e del suo integrale. Criteri di integrabilità. L’integrale come limite. Proprietà dell’integrale e area del rettangoloide. Classi di funzioni integrabili: l’integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media*. Teorema di Torricelli-Barrow. Teorema di Newton-Leibnitz (o teorema fondamentale del calcolo integrale)*.
Elementi di algebra lineare: vettori di Rn e relative operazioni. Vettori linearmente indipendenti e basi in spazi euclidei. Matrici, determinanti e relative proprietà. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Sistemi di equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouchè-Capelli.
Funzioni reali di due variabili reali: grafico, linee coordinate e linee di livello. Funzioni di Cobb-Douglas. Limiti e continuità. Derivate parziali e vettore gradiente. Differenziabilità e piano tangente. Differenziabilità della funzione composta. Derivate direzionali e formula del gradiente. Proprietà del gradiente. Derivate parziali seconde e Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Ottimizzazione libera. Cenni ai problemi di massimo/minimo vincolato: moltiplicatori di Lagrange e significato economico.
Nota: tutti gli studenti sono tenuti a conoscere le definizioni e l’enunciato di tutti i teoremi e proposizioni indicati nel programma. Di ciascuno dei teoremi/proposizioni contrassegnati da un asterisco occorre conoscere anche la relativa dimostrazione.
Modalità d'esame
L’esame di Matematica per l’Economia consiste in una prova scritta preliminare ed in una successiva prova orale e si articola secondo le modalità di seguito riportate:
1) Prova scritta:
La prova scritta ha la durata di 120 minuti ed è intesa a verificare la conoscenza di base degli argomenti trattati nel corso attraverso la risoluzione di alcuni esercizi. Ad ogni appello d’esame l’ammissione alla prova scritta è consentita esclusivamente agli studenti che si siano regolarmente prenotati via internet sul portale Esse3 nei tempi previsti (in tal caso il relativo nome e cognome comparirà nella lista dei prenotati).
Non saranno in alcun modo accettate prenotazioni effettuate con modalità diverse.
Lo studente deve presentarsi alla prova scritta con un documento di riconoscimento in corso di validità.
I fogli per lo svolgimento saranno consegnati dal docente insieme alla traccia.
Durante la prova scritta non è consentito l’uso di fogli personali, libri, appunti, eserciziari, formulari e calcolatrici scientifiche/grafiche programmabili.
Tutti i dispositivi in grado di ricevere e/o trasmettere dati (telefoni cellulari, smartphone, palmari, tablet, auricolari, computer, apparecchiature elettroniche dotate di connessione bluetooth/wi-fi e similari) devono essere tenuti rigorosamente spenti per tutta la durata della prova; la non osservanza di tale norma comporta l’annullamento della prova stessa.
È possibile ritirarsi dalla prova scritta in qualunque momento; il testo del compito andrà comunque consegnato al docente insieme alla traccia.
2) Valutazione della prova scritta e successiva prova orale:
La commissione valuta ciascun elaborato scritto Sufficiente o Insufficiente. Nel caso in cui la valutazione della prova scritta sia Sufficiente, lo studente dovrà sostenere la prova orale, che determinerà l’esito e la valutazione finale dell’esame: tutte le informazioni necessarie a riguardo (data, orario e aula) saranno riportate on line contestualmente all’elenco degli esiti. La prova orale ha carattere più teorico e mira a verificare la conoscenza delle principali definizioni e dei teoremi oggetti del corso di lezioni.
Nel caso in cui la valutazione della prova scritta sia Insufficiente, l’esame si ritiene non superato e lo studente dovrà ripresentarsi ad un qualunque appello successivo, prenotandosi nel modo prima descritto.
Nei giorni successivi alla prova sarà pubblicato on line sul sito Esse3 l’elenco degli esiti degli elaborati scritti mentre nella classe Teams del corso sarà presentata la risoluzione degli esercizi proposti.
Gli studenti che, pur avendo superato la prova scritta, non si presentano alla prova orale dovranno ripetere la prova scritta in un successivo appello.
Lo studente che non ha superato la prova scritta preliminare può chiedere di visionare il proprio elaborato durante l’orario di ricevimento del docente fino a 30 giorni dopo la prova stessa: trascorso tale termine, tutti gli elaborati andranno distrutti.
Il voto finale è attribuito in trentesimi. L’esame si intende superato quando il voto è maggiore o uguale a 18/30; a sua volta il voto finale è una media della valutazione della prova scritta e della successiva prova orale, anche in considerazione dei risultati di apprendimento previsti, indicati ai punti precedenti. Ai fini dell’attribuzione del voto finale, si applicheranno i seguenti criteri:
Voto 18 – 21: conoscenza mnemonica e basilare dei concetti teorici fondamentali; comprensione limitata ai casi standard trattati a lezione. Esecuzione meccanica di esercizi tipici e/o riferibili a casi noti. Preparazione scolastica: lo studente applica le regole meccanicamente e fa un uso minimo della terminologia matematica con frequenti imprecisioni formali e difficoltà nell'esporre un ragionamento logico.
Voto 22-24: buona comprensione delle definizioni e dei teoremi principali, anche se la preparazione d'insieme della materia risulta non omogenea. Sufficiente gestione degli esercizi tipici e sufficiente intuito nell'approcciare problemi leggermente modificati rispetto a quelli svolti a lezione. Adeguata capacità di orientarsi tra i concetti e di accorgersi autonomamente di errori nei calcoli e nelle dimostrazioni. Proprietà di linguaggio accettabile: uso dei termini tecnici essenziali, anche se l'esposizione risulta spesso mnemonica.
Voto 25-27: piena padronanza della teoria, chiara comprensione delle dimostrazioni e dei collegamenti logici tra gli argomenti. Buona capacità di applicare gli strumenti a problemi complessi che richiedono la sintesi di più conoscenze. Capacità critica: lo studente sa giustificare le scelte metodologiche e individuare i percorsi risolutivi più efficienti. Esposizione chiara e rigorosa con una discreta padronanza del formalismo matematico.
Voto 28-30: conoscenza completa e critica della materia, con spiccata capacità di astrazione e generalizzazione. Risoluzione rigorosa di problemi complessi e capacità di risolvere esercizi pratici e teorici a contesti non standard. Ottima la capacità di analisi critica e di autovalutazione. Linguaggio altamente formale: padronanza assoluta del formalismo matematico.
Voto 30 e lode (30L): comprensione profonda che va oltre i contenuti standard, arricchita da rielaborazione personale e visione globale. Completa autonomia nel risolvere problemi ed eseguire dimostrazioni di teoremi non trattati a lezione. Originale capacità di connessione interdisciplinare e intuizione critica autonoma di livello superiore. Rigore logico impeccabile, padronanza completa del simbolismo matematico ed esposizione eccellente durante la prova orale.
Testi di riferimento
1) G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Pearson 2018.
2) M. Abate, Metodi Matematici per l’economia e il management, McGraw- Hill 2024.
3) A. Guerraggio, Matematica, terza edizione, Pearson 2020.
4) A. Attalienti, S. Ragni, Esercitazioni di Matematica, Giappichelli 2010, Torino.
5) M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, Bologna.
6) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare, Volume 1, Zanichelli, Bologna.
Codice insegnamento UC178103