matematica

Acquisizione delle nozioni di base dell’Analisi Matematica, con particolare riferimento alla struttura dell’insieme dei numeri reali, alle successioni di numeri reali, alle funzioni reali di variabile reale, alla teoria dei limiti per successioni e funzioni.

i (secondo i Descrittori di Dublino) DD1 Conoscenza e capacità di comprensione Acquisizione di concetti di base dell’Analisi Matematica. Acquisizione delle relative tecniche dimostrative.

Le conoscenze teoriche acquisite costituiscono la base necessaria per la comprensione e l’utilizzo delle tecniche da usare nelle applicazioni della Matematica.

DD3 Autonomia di giudizio: Capacità di valutazione della coerenza del ragionamento logico nelle dimostrazioni e capacità di scelta di strumenti matematici adeguati alla complessità dei problemi da risolvere. DD4 Abilità comunicative: Acquisizione delle basi del linguaggio e del formalismo matematico, necessarie sia per la consultazione e la comprensione dei testi che per l’esposizione, l’analisi e la risoluzione dei problemi. DD5 Capacità di apprendere: Acquisizione di un metodo di studio adeguato che si avvalga sistematicamente della consultazione dei testi e dell’impegno alla risoluzione di esercizi e quesiti sui contenuti del corso.

I numeri reali. Generalità sugli insiemi. Inclusione, unione, intersezione, complementare e prodotto cartesiano. Relazioni d’ordine. I numeri reali. Assiomi dei numeri reali. Retta reale. Completezza. Valore assoluto e distanza euclidea. Maggiorante, minorante, massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Insiemi limitati superiormente o inferiormente. Teorema di esistenza dell’estremo superiore e inferiore. Caratterizzazione dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore. Intervalli di R e caratterizzazione. Insiemi induttivi. Insieme dei numeri naturali N: intersezione di tutti gli insiemi induttivi di R. Principio di Induzione. Principio di Induzione generalizzato e per predicati. Disuguaglianza di Bernoulli. La somma e il prodotto in N. Teorema sulla discretezza di N. Teorema sulla illimitatezza superiore di N. Proprietà archimedea di R. Principio del minimo intero in N. Numeri interi Z, razionali Q e loro strutture. Teorema di densità di Q in R. Proposizione sula incommensurabilità della diagonale del quadrato unitario. Incompletezza di Q. Elementi di Calcolo Combinatorio e Binomio di Newton. Teorema di esistenza della radice n-esima. Teorema di densità degli irrazionali in R. Potenze razionali e reali e proprietà. Generalità sulle funzioni. Funzioni ingettive, surgettive, bigettive. Funzioni composte. Funzioni invertibili e loro inverse. Cardinalità di un insieme. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti ed insiemi infiniti. Insiemi numerabili. Proprietà sulla cardinalità degli insiemi unione, intersezione e prodotto. Cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme finito. Teorema di Cantor sulla cardinalità di insiemi infiniti. R non è numerabile. Potenza del continuo. Topologia in R. Punti interni, esterni e di frontiera di un sottoinsieme di R. Frontiera di un insieme. Insiemi aperti e chiusi di R. Punti isolati. Ampliamento di R. Punti di aderenza e punti di accumulazione di un sottoinsieme di R. Numeri complessi. Principio di identità dei numeri complessi. Potenze complesse e Radici nesime. Applicazioni allo studio di equazioni complesse. Successioni numeriche. Successioni numeriche monotone. Successioni limitate superiormente ed inferiormente. Estremo superiore e inferiore di una successione. Limite di successioni. Teorema sull’unicità del limite. Successioni regolari e loro limiti. Successioni infinitesime. Ogni successione convergente è limitata. Teorema della permanenza del segno per successioni. Somma e differenza tra successioni regolari. Operazioni tra limiti di successioni. Teoremi del confronto per successioni convergenti. Teorema del confronto per successioni divergenti. Teorema della convergenza obbligata per successioni. Teorema sul limite del prodotto di successioni. Teorema sul limite della successione reciproca. Teorema sul limite del quoziente di successioni. Teorema sulla regolarità delle successioni monotone. Numero di Nepero. Successioni estratte da una successione. Teorema sul limite delle successioni estratte. Valori di aderenza di una successione. Massimo e minimo limite di una successione e loro proprietà caratteristiche. Caratterizzazione del massimo limite e del minimo limite di una successione. Teorema sul massimo (risp. minimo) limite di una successione come il più grande (risp. il più piccolo) valore di aderenza. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi chiusi e loro caratterizzazione. Insiemi compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy. Criterio del rapporto per limiti di successioni. Criteri di Cesaro (media aritmetica e geometrica, radice ennesima). Successioni definite per ricorrenza. Funzioni reali e Limiti. Funzioni limitate. Funzioni monotone, funzioni pari o dispari, funzioni periodiche. Costruzione di alcune funzioni elementari, proprietà e grafici. Operazioni elementari sui grafici di funzione. Disequazioni intere, razionali, irrazionali trascendenti. Limiti di funzioni e primi teoremi sui limiti. Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti a sinistra, a destra. Limiti di funzioni monotone. Locale limitatezza delle funzioni convergenti. Carattere locale del limite e proposizioni. Teorema della permanenza del segno e corollari. Teorema della convergenza obbligata e del confronto. Limiti delle funzioni elementari. Teorema sul limite della funzione composta. Minimo limite e massimo limite di una funzione. Criterio di convergenza di Cauchy. I limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi. Ordini. Principio di sostituzione degli infiniti ed infinitesimi. Funzioni continue. Funzioni continue e loro proprietà elementari. Caratterizzazione della continuità mediante la sequenziale continuità. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Operazioni tra funzioni continue. Teorema sul limite della composta di funzioni continue. Punti di salto, oscillazioni, prolungamento per continuità. Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano. Applicazioni allo studio di equazioni trascendenti. Corollario del Teorema di Bolzano: ogni funzione continua manda intervalli in intervalli. Teorema dei valori intermedi. Teorema sulla continuità per funzioni monotone. Continuità dell’inversa di una funzione continua. Teorema di Weierstrass. Funzioni semicontinue superiormente ed inferiormente. Teorema di Weierstrass generalizzato. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.

La verifica consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale. La prova scritta prevede un numero prefissato di esercizi inerenti gli argomenti principali del programma. Ha una durata di circa due ore. Vengono messi a disposizione delle/degli studentesse/studenti le prove scritte degli appelli precedenti tramite la piattaforma MT.
Criteri di valutazione:

• Conoscenza e capacità di comprensione: acquisizione e padronanza delle definizioni e dei risultati teorici oggetto del corso. • Conoscenza e capacità di comprensione applicate: capacità di applicare le conoscenze teoriche acquisite allo studio di successioni numeriche e funzioni reali; capacità di risoluzione di equazioni in campo complesso. • Autonomia di giudizio: approccio critico ai concetti, capacità di scelta dei metodi dell’Analisi Matematica utili allo studio di successioni numeriche e di funzioni reali e alla risoluzione di equazioni in campo complesso. • Abilità comunicative: padronanza del linguaggio dell’Analisi Matematica, qualità dell’esposizione. • Capacità di apprendere: capacità di organizzazione delle conoscenze, di ragionamento critico e di eventuale approfondimento autonomo.
  Criteri di misurazione dell’apprendimento e di attribuzione del voto finale: l’esame consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale. Il superamento della prova scritta prevede che la/lo studentessa/studente sia in grado di svolgere correttamente gli esercizi proposti sugli argomenti principali del programma o almeno una parte di essi. A ciascun esercizio della prova scritta viene attribuito un punteggio e la prova risulta approvata se il punteggio finale è maggiore o uguale a 18/30. La valutazione della prova scritta è basata sul raggiungimento degli obiettivi di apprendimento previsti. Dopo aver superato la prova scritta, la/lo studentessa/studente sostiene la prova orale, che risulta approvata se il punteggio finale è maggiore o uguale a 18/30. La/lo studentessa/studente deve mostrare padronanza del linguaggio, rigore metodologico e di aver acquisito le nozioni e i concetti fondamentali del corso. La valutazione è basata sul raggiungimento degli obiettivi di apprendimento previsti. Per raggiungere una valutazione elevata la studentessa/studente deve avere sviluppato autonomia di giudizio e adeguata capacità di argomentazione ed esposizione. La prova scritta e la prova orale hanno uguale valore. L’esame è superato se entrambe le prove sono superate. Il voto finale dell’esame esprime la valutazione complessiva della prova scritta e della prova orale. È attribuito in trentesimi e l’esame si intende superato se il voto finale è maggiore o uguale a 18/30. La Lode viene attribuita in caso di ulteriore approfondimento su qualche argomento del programma.

E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editore E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editore P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori Editore E. Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editore P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Vol 1 (Parte 1, Parte 2), Liguori Editore

Acquisizione delle nozioni e dei risultati principali dell’Analisi Matematica 2, con particolare riferimento allo studio delle serie numeriche, del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di variabile reale. Acquisizione delle nozioni e dei risultati principali inerenti lo studio delle curve in IR^N.

Acquisizione delle nozioni e dei concetti di base dell’Analisi Matematica 2. Acquisizione delle relative tecniche dimostrative.

Le conoscenze teoriche acquisite costituiscono la base necessaria per la comprensione e l’utilizzo delle tecniche da usare nelle applicazioni della matematica.

DD3 Autonomia di giudizio: capacità di valutazione della coerenza del ragionamento logico nelle dimostrazioni e capacità di scelta di strumenti matematici adeguati alla complessità dei problemi da risolvere. DD4 Abilità comunicative: acquisizioni delle basi del linguaggio e del formalismo matematico, necessarie sia per la consultazione e la comprensione dei testi che per l’esposizione, l’analisi e la risoluzione dei problemi. DD5 Capacità di apprendere: acquisizione di un metodo di studio adeguato che si avvalga sistematicamente della consultazione dei testi e dell’impegno alla risoluzione di esercizi e quesiti connessi ai contenuti del corso.

Calcolo differenziale. Funzioni Lipschtziane. Funzioni Hölderiane. Proposizioni. Derivata di una funzione di variabile reale. Esempi di natura geometrica e cinematica. Primi teoremi sulle funzioni derivabili, continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Teorema sulla derivata di funzioni composte e della funzione inversa. Derivabilità delle funzioni elementari. Retta tangente ad un grafico. Funzione strettamente crescenti in un punto. Punti di massimo e minimo locale, punti critici. Teorema di Fermat. Proprietà delle funzioni derivabili in un intervallo: teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Criteri di monotonia. Funzioni a derivata nulla. Criterio di stretta monotonia. Teoremi di de l'Hopital. Formula di Taylor col resto di Peano. Unicità del Polinomio di Taylor. Condizioni sufficienti per l'esistenza di massimi o minimi locali. Formula di Taylor con Resto di Lagrange. Irrazionalità del numero e. Funzioni convesse su intervalli. Interpretazione geometrica della convessità. Monotonia della funzione rapporto incrementale. Proprietà di continuità nei punti interni dell’intervallo. Criterio di convessità per funzioni derivabili. Caratterizzazione della convessità mediante la derivata seconda. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Integrazione. Partizioni. Somme integrali. Integrale di Riemann per funzioni reali. Interpretazione geometrica. Pluri-rettangoli. Area dei plurirettangoli. Area del sotto-grafico. Funzione di Dirichlet. Teorema sulla Riemann integrabilità delle funzioni monotone. Teorema sulla Riemann integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Integrale definito e funzioni integrali. Primitive. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Teoremi di Torricelli. Teorema della media per integrali definiti. Applicazioni del calcolo integrale a problemi di geometria e di meccanica. Integrale indefinito. Metodi di calcolo degli integrali indefiniti per funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Formula di Taylor con Resto Integrale. Integrazione in senso generalizzato. Integrazione di una funzione su una semiretta, o di una funzione illimitata su un intervallo limitato. Principi del confronto per integrali generalizzati. Criterio del confronto asintotico per integrali generalizzati. Funzioni assolutamente integrabili. Teorema sulla assoluta integrabilità in senso generalizzato. La funzione Gamma di Eulero. Formula di Taylor con Resto Integrale. Serie numeriche. Definizione e prime generalità sulle serie. Il carattere di una serie numerica: serie convergenti, serie divergenti, serie indeterminate. Somma di una serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie di Mengoli. Serie telescopiche. Serie geometrica. Serie armonica. Operazioni tra serie numeriche. Criterio di Cauchy per serie numeriche. Criterio di assoluta convergenza per serie numeriche. Serie regolari. Serie a termini non negativi. Teorema sulla regolarità delle serie a termini non negativi. Criteri di confronto. Criterio del confronto asintotico. Serie armonica generalizzata. Criterio della radice e corollario. Criterio del rapporto e corollario. Criterio dell’Integrale per serie numeriche. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. La serie di Leibnitz. Serie Resto. Teorema sulla serie Resto. Il prodotto alla Cauchy di due serie. Teorema sulla serie prodotto alla Cauchy. Riordinamento di una serie. Teorema di Riemann. Cenni su successioni e serie in campo complesso. Sviluppi di Taylor di funzioni elementari e somma della serie. Curve in IR^N. Lo spazio vettoriale IR^N. Base canonica. Prodotto scalare. Norma euclidea. Distanza ed elementi di topologia di IR^N. Norme equivalenti. Curve e loro rappresentazione parametrica. Sostegno di una curva. Curve semplici, aperte e chiuse. Curve equivalenti. Curve orientate. Curve regolari e regolari a tratti. Esempi di curve celebri. Tangente a una curva in un punto di regolarità. Curve rettificabili e lunghezza di una curva. Teorema di Rettificabilità di una curva regolare a tratti. Invarianza rispetto a cambiamenti di parametro. Ascissa curvilinea.

La verifica consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale. La prova scritta prevede un numero prefissato di esercizi inerenti gli argomenti principali del programma. Ha una durata di circa due ore. Vengono messi a disposizione delle/degli studentesse/studenti le prove scritte degli appelli precedenti tramite la piattaforma MT. La prova orale prevede un colloquio inerente i risultati teorici principali del programma. Criteri di valutazione • Conoscenza e capacità di comprensione: acquisizione e padronanza delle definizioni e dei risultati teorici oggetto del corso. • Conoscenza e capacità di comprensione applicate: capacità di applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di limiti e allo studio del grafico di funzioni; capacità di studiare serie numeriche e risolvere integrali, anche in senso generalizzato. • Autonomia di giudizio: approccio critico ai concetti, capacità di scelta dei metodi dell’Analisi Matematica utili allo studio delle serie numeriche e di funzioni reali di variabile reale e alla risoluzione di integrali, anche in senso generalizzato. • Abilità comunicative: padronanza del linguaggio dell’Analisi Matematica. • Capacità di apprendere: capacità di organizzazione delle conoscenze e di approfondimento autonomo. Criteri di misurazione dell’apprendimento e di attribuzione del voto finale L’esame consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale. Il superamento della prova scritta prevede che la/lo studentessa/studente sia in grado di svolgere correttamente gli esercizi proposti sugli argomenti principali del programma o almeno una parte di essi. A ciascun esercizio della prova scritta viene attribuito un punteggio e la prova risulta approvata se il punteggio finale è maggiore o uguale a 18/30. La valutazione della prova scritta è basata sul raggiungimento degli obiettivi di apprendimento previsti. Dopo aver superato la prova scritta, la/lo studentessa/studente sostiene la prova orale, che risulta approvata se il punteggio finale è maggiore o uguale a 18/30. La/lo studentessa/studente deve mostrare padronanza del linguaggio, rigore metodologico e di aver acquisito le nozioni e i concetti fondamentali del corso. La valutazione è basata sul raggiungimento degli obiettivi di apprendimento previsti. Per raggiungere una valutazione elevata la studentessa/studente deve avere sviluppato autonomia di giudizio e adeguata capacità di argomentazione ed esposizione. La prova scritta e la prova orale hanno uguale valore. L’esame è superato se entrambe le prove sono superate. Il voto finale dell’esame esprime la valutazione complessiva della prova scritta e della prova orale. È attribuito in trentesimi e l’esame si intende superato se il voto finale è maggiore o uguale a 18/30. La Lode viene attribuita in caso di ulteriore approfondimento su qualche argomento del programma.

E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editore E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editore P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori Editore N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore E. Giusti, Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editore P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Vol 1 (Part 1, Part 2), Liguori Editore

Conoscenza dei principali argomenti di Meccanica, Fluidodinamica, Termodinamica e Gravitazione. Consolidamento di una mentalità logica e scientifica. Capacità di risolvere problemi con un approccio razionale e scientifico.

Conoscenza e comprensione dei principali argomenti di Meccanica, Fluidodinamica, Termodinamica e Gravitazione. Consolidamento di una mentalità logico‐scientifica.

Capacità di applicare conoscenze di Fisica alla comprensione, all’analisi e alla risoluzione di problemi e fenomeni sia fisici sia, in generale, di carattere scientifico e tecnologico.

Autonomia di giudizio: Capacità di organizzare conoscenze e interpretare dati in modo da affrontare problemi e situazioni di carattere scientifico e tecnologico in modo razionale ed efficace.
Abilità comunicative: Capacità di discutere e presentare in modo professionale argomenti e problemi scientifici e tecnologici, con particolare riferimento alle scienze fisiche.
Capacità di apprendere: Capacità di approfondire negli studi successivi argomenti di Fisica e, in generale, di carattere scientifico tecnologico.

Calcolo vettoriale
Grandezze scalari e vettoriali. Prodotto di uno scalare per un vettore. Somma e differenza di vettori. Componenti cartesiane dei vettori. Versori. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Derivata di un vettore e di un versore. Derivata intrinseca di un vettore.
La Fisica e il metodo sperimentale
Misura di grandezze fisiche. Unità di misura. Errori di misura e cenni alla loro trattazione. Rappresentazione delle grandezze fisiche, notazione scientifica, analisi dimensionale.
Cinematica del punto materiale
Sistema di riferimento. Posizione, spostamento, velocità, accelerazione. Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato. Velocità e accelerazione rispetto alla posizione. Moto di caduta libera. Moto armonico semplice. Moto nel piano. Componenti polari della velocità. Accelerazione nel moto piano. Moto circolare uniforme e uniformemente accelerato. Velocità angolare e accelerazione angolare. Accelerazione centripeta e tangenziale. Notazione vettoriale nel moto circolare. Rotazione di un versore. Moto di proiettili in due dimensioni.
Cinematica dei moti relativi
Teorema delle velocità relative. Teorema delle accelerazioni relative. Esempi.
Dinamica del punto materiale
La prima legge di Newton. Le forze. Accelerazione e massa. La seconda legge di Newton. La terza legge di Newton. Forza peso. Reazione vincolare. Contatto con un vincolo. Forze di attrito statico e dinamico. Tensione di un filo. Forza elastica. Forza di attrito viscoso. Quantità di moto. Teorema dell’impulso. Forza centripeta. Pendolo semplice. Momento angolare di un punto materiale. Momento di una forza. Teorema del momento angolare. Conservazione del momento angolare. Teorema del momento dell'impulso.
Dinamica dei moti relativi
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Moto di trascinamento traslatorio rettilineo. Moto di trascinamento rotatorio uniforme. Moto rispetto alla Terra.
Lavoro ed energia
Lavoro di una forza. Potenza. Energia cinetica. Teorema del lavoro e dell’energia cinetica. Forze conservative. Energia potenziale. Lavoro ed energia potenziale della forza peso. Lavoro ed energia potenziale di una forza elastica. Energia meccanica e sua conservazione. Attrito dinamico. Lavoro delle forze non conservative. Conservazione dell’energia. Pendolo semplice: studio energetico.
Dinamica dei sistemi di punti materiali
Sistemi di punti materiali. Forze in un sistema di punti materiali. Centro di massa: posizione, velocità, accelerazione e seconda legge di Newton. Conservazione della quantità di moto. Teorema del momento angolare per i sistemi di punti materiali. Conservazione del momento angolare. Sistema di riferimento del centro di massa. Momenti nel sistema del centro di massa. Teorema di König per il momento angolare. Teorema di König per l'energia cinetica. Energia e lavoro per un sistema di punti materiali.
Dinamica dei corpi rigidi
Corpi rigidi. Densità. Centro di massa di un corpo rigido. Moti di un corpo rigido. Gradi di libertà. Moto traslatorio di un corpo rigido. Moto rotatorio di un corpo rigido intorno a un asse fisso. Momento angolare di un corpo rigido. Seconda legge di Newton in forma angolare. Energia cinetica nel moto rotatorio. Precessione del momento angolare. Rotazione dell'asse di rotazione. Assi d'inerzia. Momento d'inerzia. Teorema di Huygens‐Steiner. Pendolo composto. Moto di puro rotolamento. Asse di istantanea rotazione. Conservazione dell'energia nel rotolamento. Impulso angolare e momento dell'impulso. Leggi di conservazione per i corpi rigidi. Conservazione del momento angolare. Statica dei corpi rigidi. Equilibrio dei corpi.
Urti
Urto tra due punti materiali. Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa. Aspetti energetici e coefficiente di restituzione. Urto anelastico. Urto completamente anelastico. Urto elastico. Urti tra un punto materiale e un corpo rigido, o tra corpi rigidi.
Fluidi
Forze e pressione nei fluidi. Misura della pressione. Lavoro della pressione nei fluidi. Equilibrio statico e forza peso. Legge di Stevino. Fluidi in equilibrio. Principio di Archimede. Attrito interno e viscosità. Moto di un fluido ideale. Regime stazionario. Portata. Equazione di continuità. Teorema di Bernoulli. Moto laminare. Moto vorticoso. Resistenza del mezzo.
Primo principio della Termodinamica
Sistemi termodinamici. Equilibrio termodinamico e termico. Caratteristiche termometriche. Misura empirica della temperatura. Scale termometriche. Esperienze di Joule. Lavoro ed energia di un sistema termodinamico. Calore e lavoro. Primo principio della Termodinamica. Trasformazioni cicliche. Calcoli lungo le trasformazioni. Trasformazioni reversibili e irreversibili. Calorimetria. Mole. Calore specifico molare. Cambiamenti di fase. Calori latenti. Sorgenti di calore. Conduzione del calore. Convezione del calore. Irraggiamento. Dilatazione termica dei corpi.
Gas ideali
Legge isoterma di Boyle. Leggi isobara e isocora di Volta–Gay‐Lussac. Legge di Avogadro. Equazione di stato dei gas ideali. Termometro a gas a volume costante. Trasformazioni di un gas e lavoro. Calore specifico a volume costante e a pressione costante. Espansione libera di Joule. Energia interna di un gas. Relazione di Mayer. Calori specifici dei gas ideali. Trasformazioni adiabatiche, isoterme, isocore, isobare, generiche, cicliche. Rendimento di una macchina termica. Ciclo di Carnot. Cicli frigoriferi.
Secondo principio della Termodinamica
Enunciati di Kelvin‐Planck e di Clausius. Teorema di Carnot. Macchina di Carnot. Rendimento delle macchine termiche. Temperatura termodinamica assoluta. Teorema di Clausius. Entropia. Principio di aumento dell'entropia. Entropia dell'universo. Variazione di entropia: nelle adiabatiche, negli scambi termici, nei cambiamenti di fase, nelle trasformazioni dei gas ideali. Cenni al terzo principio della Termodinamica. Entropia e statistica. Macrostati, microstati, probabilità termodinamica. Equazione di Boltzmann. Entropia e disordine.
Gravitazione
Forza centrale. Momento angolare. Velocità areale. Leggi di Keplero. Legge di gravitazione universale. Campo gravitazionale. Energia gravitazionale.

Prova scritta, della durata di due ore e mezza, costituita da problemi e quesiti sugli argomenti in programma, per verificare la capacità di comprendere le tracce, di impostare correttamente le risoluzioni basandosi sulle leggi fisiche e sulle procedure insegnate, e di ottenere i risultati esatti. I risultati della prova scritta sono pubblicati sulle pagine web del docente. Se la prova scritta è superata, si accede all’esame orale che verifica la conoscenza degli argomenti in programma e la capacità di ragionare su leggi e fenomeni fisici.

Testo adottato: Mazzoldi, Nigro, Voci, “Elementi di Fisica Vol. I – Meccanica e Termodinamica”, Edises
Testo supplementare: Halliday, Resnick, Walker, “Fondamenti di Fisica”, Zanichelli

Acquisizione delle nozioni di base dell’algebra lineare che saranno utilizzatein numerosi insegnamenti del corso di laurea.

Acquisizione dei concetti fondamentali dell’algebra lineare: matrici,sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, autovalori,forme bilineari.

Metodi di soluzione di sistemi di equazioni lineari, determinazione diautovalori e autovettori, diagonalizzabilità di matrici.

DD3 Autonomia di giudizio: : Capacità di comprendere e valutare lacoerenza sia delle tecniche di dimostrazione che dei metodi di soluzione diesercizi.DD4 Abilità comunicative: Acquisizione del linguaggio matematico e delformalismo matematico di base.DD5 Capacità di apprendere: Acquisizione di un metodo di studiosupportato dalla capacità di risolvere problemi inerenti gliargomenti del programma.

## Argomenti introduttivi
Universo, oggetti, insiemi e relazione di appartenenza. Inclusione e uguaglianza tra insiemi. Rappresentazione di un insieme mediante elencazione o proprietà caratteristica; costruttore logico di un insieme.
Insieme vuoto e sue proprietà. L’insieme vuoto è contenuto in ogni insieme. Un insieme non cambia se si modifica l’ordine dei suoi elementi o se uno stesso elemento viene ripetuto più volte.
Unione, intersezione e complementare di insiemi. Proprietà fondamentali delle operazioni insiemistiche. Famiglie di insiemi. Leggi di De Morgan. Insieme delle parti di un insieme.
Relazioni di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza e insieme quoziente. Partizioni di un insieme. Corrispondenza tra partizioni e relazioni di equivalenza. Sistemi completi di rappresentanti. Costruzione dell’insieme degli interi e dell’insieme dei numeri razionali come insiemi quoziente.
Definizione di campo ed esempi: campo dei numeri razionali (\mathbb{Q}), campo dei numeri reali (\mathbb{R}), campo dei numeri complessi (\mathbb{C}) e campi finiti.
Numeri complessi: piano di Gauss; somma e prodotto; coniugio e modulo; forma trigonometrica; interpretazione geometrica delle operazioni. Teorema fondamentale dell’algebra.
Vettori geometrici nel piano e nello spazio: somma mediante la regola del parallelogramma e prodotto per uno scalare. Interpretazione geometrica di rette e piani passanti per l’origine. Definizione degli insiemi (\mathbb{R}^n) e (\mathbb{F}^n).
## Vettori e spazi vettoriali
Definizione di spazio vettoriale e prime proprietà. Esempi di spazi vettoriali: vettori geometrici, (\mathbb{R}^n), matrici (m\times n), numeri complessi considerati come spazio vettoriale reale, funzioni a valori in un campo e polinomi.
Definizione di combinazione lineare.
## Sottospazi vettoriali
Definizione di sottospazio vettoriale. Se il campo è infinito, l’unico sottospazio vettoriale con un numero finito di elementi è il sottospazio nullo ({0}).
Esempi di sottospazi vettoriali. Classificazione dei sottospazi di (\mathbb{R}^2) e (\mathbb{R}^3).
## Sistemi lineari e spazi generati
Definizione di sistema lineare. Sistemi lineari omogenei; vettore dei termini noti; matrice dei coefficienti; matrice completa o aumentata; insieme delle soluzioni. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale.
Definizione dello spazio generato da (k) vettori. Lo spazio generato da un insieme di vettori è il più piccolo sottospazio vettoriale che li contiene.
Il sistema (Ax=b) ammette soluzioni se e solo se (b) è combinazione lineare delle colonne di (A).
## Basi di uno spazio vettoriale
Definizione di vettori linearmente indipendenti. Il sistema (Ax=0) ammette un’unica soluzione se e solo se le colonne di (A) sono linearmente indipendenti. Un singolo vettore è linearmente indipendente se e solo se è diverso dal vettore nullo.
Caratterizzazione della dipendenza lineare: i vettori (v_1,\ldots,v_n) sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri.
Definizione di sistema di generatori e di base. Teorema di caratterizzazione delle basi. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti.
Teorema di completamento a una base. Teorema di invarianza della cardinalità delle basi: due basi di uno stesso spazio vettoriale finito-dimensionale hanno lo stesso numero di elementi.
Definizione di dimensione. Conseguenze riguardanti dimensione, indipendenza lineare, sistemi di generatori e inclusione tra sottospazi.
## Somma e intersezione di sottospazi
L’intersezione di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale.
Definizione della somma (U+W) di due sottospazi. La somma (U+W) è il più piccolo sottospazio vettoriale contenente (U\cup W). Se (\mathcal{B}_U) e (\mathcal{B}_W) sono sistemi di generatori rispettivamente di (U) e (W), allora (\mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W) genera (U+W).
Formula di Grassmann.
Definizione e caratterizzazione di sottospazi supplementari. Somma diretta di sottospazi.
## Applicazioni lineari
Definizione di applicazione lineare, esempi e proprietà fondamentali. Esistenza e unicità di un’applicazione lineare quando se ne assegnano i valori su una base.
Definizione di nucleo e immagine. Relazione tra nucleo e iniettività e tra immagine e suriettività.
Se (T\colon V\to W) è lineare e ((v_1,\ldots,v_n)) è una base di (V), allora
[
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{Span}\bigl(T(v_1),\ldots,T(v_n)\bigr).
]
Teorema della dimensione, o teorema rango-nullità. Composizione di applicazioni lineari. Linearità dell’inversa di un isomorfismo lineare.
## Matrici: rango e determinante
Rango per righe e rango per colonne; uguaglianza tra i due ranghi.
Definizione di matrice invertibile e unicità della matrice inversa. Caratterizzazioni delle matrici invertibili. Gruppo delle matrici invertibili. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell’inversa.
Definizione assiomatica del determinante e sue proprietà. Interpretazione geometrica del determinante nel caso (2\times2).
Equivalenza tra invertibilità, determinante non nullo e rango massimo. Esistenza e unicità del determinante. Sviluppi di Laplace. Determinante della matrice trasposta. Teorema di Binet.
Formula dell’inversa mediante i cofattori. Regola di Cramer. Metodo dei minori orlati. Teorema di Kronecker sul rango.
## Applicazioni lineari e matrici
Spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Spazio duale e basi duali.
Isomorfismo tra (\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)) e (M_{m,n}(\mathbb{R})). Matrice associata a un’applicazione lineare rispetto a basi assegnate.
Matrice del cambiamento di base: definizione, proprietà e determinante. Orientazione di uno spazio vettoriale. Uso dell’algoritmo di Gauss per il calcolo delle coordinate e per i cambiamenti di base.
Matrice di un’applicazione lineare rispetto a basi diverse. Matrici simili: definizione come relazione di equivalenza, proprietà e invarianza del determinante.
## Sistemi lineari
Prodotto righe per colonne e rappresentazione matriciale di un sistema nella forma (Ax=b).
Sistemi equivalenti. Matrici a scala. Operazioni elementari sulle righe e algoritmo di eliminazione di Gauss.
Regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli.
## Autovalori e autovettori
Definizione di autovalore, autovettore, spettro e autospazio.
Matrice di un endomorfismo rispetto a una base di autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e triangolabili.
Polinomio caratteristico: le sue radici sono gli autovalori dell’endomorfismo; invarianza rispetto ai cambiamenti di base.
Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Se (\dim V=n) e un endomorfismo possiede (n) autovalori distinti, allora è diagonalizzabile.
Molteplicità geometrica (m_g) e molteplicità algebrica (m_a):
[
1\leq m_g\leq m_a.
]
Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico si scinde sul campo e, per ogni autovalore, la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica.
Ogni matrice quadrata a coefficienti complessi è triangolabile.
La traccia è uguale alla somma degli autovalori, contati con la loro molteplicità algebrica; il determinante è uguale al loro prodotto.
Teorema di Cayley-Hamilton, limitatamente all’enunciato.
## Forme bilineari simmetriche
Definizione del prodotto scalare canonico in (\mathbb{R}^n).
Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Forme degeneri e non degeneri; definite positive, definite negative, semidefinite e indefinite.
Matrice associata a una forma bilineare simmetrica. Segnatura e teorema di Sylvester, limitatamente all’enunciato. Criterio di Cartesio, senza dimostrazione.
Prodotti scalari, norme, prodotti hermitiani e forme quadratiche. Se (g(v,v)\neq0) per ogni (v\neq0), allora (g) è non degenere.
Proprietà della norma: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori e insiemi ortogonali. Vettori non nulli, a due a due ortogonali, sono linearmente indipendenti. Prodotto vettoriale.
Basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Proiezione ortogonale su un sottospazio: definizione e proprietà.
Matrici congruenti. Differenza tra similitudine e congruenza.

Esame consistente in una prova scritta (principalmente soluzione diesercizi) e di un colloquio (esposizione di definizioni, enunciati edimostrazioni).

E. Abbena, A. M. Fino, G. M. Gianella, Algebra lineare e Geometria analitica,Vol. I, II, Aracne.E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, II ed., Zanichelli.L. Mauri, E. Schlesinger, Esercizi di algebra lineare e geometria, Zanichelli.

Acquisizione delle nozioni fondamentali della geometria affine ed Euclidea

Conoscenza delle nozioni fondamentali della geometria affine ad Euclidea, unitamente alla capacità di enunciare e dimostrare le relative proprietà. Capacità di illustrare le nozioni acquisite in esempi specifici.

Capacità di applicare le conoscenze teoriche acquisite nello svolgimento di esercizi di geometria affine ed Euclidea, che comprendono: prodotti scalari, basi ortonormali, complementi ortogonali di sottospazi, endomorfismi simmetrici; equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini ed Euclidei, e relative proprietà geometriche (parallelismo, incidenza, complanarità, ortogonalità, angoli, distanze); equazioni di affinità e isometrie, relative proprietà e problemi di classificazione; equazioni di circonferenze e sfere; invarianti affini ed Euclidei di coniche.

Capacità di valutare la coerenza del ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione. Capacità di risolvere problemi coerentemente con le conoscenze teoriche acquisite.
Capacità di esporre definizioni, enunciati e dimostrazioni, e di argomentare risoluzioni di problemi, attraverso un linguaggio e un formalismo matematico adeguati.
Capacità di consultare testi, individuare nessi logici, risolvere esercizi.

Isometrie lineari.
Isometrie lineari su spazi vettoriali Euclidei: definizione e caratterizzazioni. Matrici ortogonali e speciali ortogonali. Caratterizzazione delle isometrie lineari mediante matrici ortogonali. La matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale. Gruppo delle isometrie lineari di uno spazio vettoriale Euclideo.
Endomorfismi simmetrici di uno spazio vettoriale Euclideo: definizione e caratterizzazioni. Autovalori di una matrice simmetrica reale. Ortogonalità di autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico. Teorema spettrale. Teorema spettrale per matrici simmetriche. Prodotti hermitiani, endomorfismi hermitiani e autovalori. Endomorfismi unitari.
Spazi affini.
Spazio vettoriale dei vettori applicati in un punto, e spazio vettoriale dei vettori liberi. Spazio affine associato ad uno spazio vettoriale: definizione, proprietà e primi esempi. Spazi vettoriali come spazi affini associati a se stessi. Spazio affine numerico. Riferimento affine e sistema coordinato associato. Equazioni del cambiamento di riferimento affine. Orientazione di uno spazio affine reale. Punto medio di due punti.
Sottospazi affini.
Sottospazi affini: definizione e prime proprietà. Struttura di spazio affine indotta su un sottospazio affine. Sottospazio affine generato da un numero finito di punti: definizione e caratterizzazione. Punti affinemente indipendenti. Punti allineati e punti complanari. Sottospazi incidenti e intersezione di sottospazi. Sottospazi affini paralleli. Sottospazio affine congiungente due sottospazi. Identità di Grassmann affine. Rette complanari: definizione e caratterizzazioni. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Parametri direttori di una retta.
Geometria affine in dimensione 2. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta. Assi coordinati. Condizione di parallelismo tra rette. Rette incidenti. Fasci propri e fasci impropri di rette.
Geometria affine in dimensione 3. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano. Condizione di parallelismo tra piani. Intersezione tra piani. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Assi e piani coordinati di un riferimento affine. Fasci propri e fasci impropri di piani. Posizioni reciproche tra retta e piano: parallelismo e incidenza. Posizioni reciproche tra due rette: parallelismo, complanarità e incidenza.
Spazi affini Euclidei.
Spazio affine Euclideo associato ad uno spazio vettoriale Euclideo. Riferimenti cartesiani e coordinate cartesiane. Equazioni del cambiamento di riferimento cartesiano. Distanza tra due punti. Sottospazi affini Euclidei. Angoli tra rette. Sottospazi ortogonali. Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio. Distanza di un punto da un sottospazio.
Geometria Euclidea in dimensione 2. Angoli tra rette e condizione di ortogonalità tra rette. Coseni direttori e coefficiente angolare di una retta. Distanza di un punto da una retta. Circonferenze.
Geometria Euclidea in dimensione 3. Angoli tra rette e condizione di ortogonalità. Coseni direttori di una retta. Ortogonalità tra retta e piano. Ortogonalità tra piani. Distanza di un punto da un piano. Distanza di un punto da una retta. Retta di minima distanza e minima distanza tra rette. Sfere e circonferenze. Superfici di rotazione: cono e cilindro circolare retto.
Applicazioni affini e affinità.
Applicazioni affini: definizione e prime proprietà. Immagine di un sottospazio mediante un’applicazione affine. Affinità. Il gruppo affine di uno spazio affine. Teorema di esistenza e unicità di affinità. Equazioni di una affinità. Traslazioni: definizione, caratterizzazioni ed equazioni. Punti uniti di una affinità. Omotetie e simmetrie.
Isometrie.
Isometrie di uno spazio affine Euclideo: definizione e caratterizzazione. Isometrie e angoli tra rette. Teorema di esistenza e unicità di isometrie. Equazioni di isometrie. Isometrie dirette e isometrie inverse. Rotazioni di centro un punto e riflessioni rispetto a un punto. Riflessioni rispetto a un iperpiano: definizione e caratterizzazione geometrica. Isometrie del piano Euclideo: traslazioni, rotazioni, riflessioni, glissoriflessioni. Teorema di Chasles. Rotazioni dello spazio Euclideo di dimensione 3. Cenni alla classificazione delle isometrie dello spazio Euclideo di dimensione 3.
Coniche affini e coniche Euclidee.
Coniche in un piano affine reale o complesso: definizione, esempi ed equazione matriciale. Coniche affini e affinità. Invarianti affini di una conica. Classificazione affine delle coniche nel piano affine reale e nel piano affine complesso. Coniche Euclidee e isometrie. Invarianti Euclidei di una conica. Classificazione delle coniche Euclidee e riduzione a forma canonica.

L’esame consiste in una prova scritta e una successiva prova orale. La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e ha una durata di circa due ore. La valutazione della prova scritta è basata su: coerenza delle procedure, correttezza dei risultati, rigore metodologico, correttezza del formalismo matematico. Alla prova scritta si attribuisce un punteggio in trentesimi. La prova scritta si intende superata se il punteggio è maggiore o uguale a 18/30. Il superamento della prova scritta è requisito necessario per accedere alla prova orale.
La prova orale prevede l’esposizione di definizioni, enunciati e dimostrazioni, e l’illustrazione di esempi specifici. La valutazione della prova orale è basata su: completezza della preparazione, livello di approfondimento del programma, correttezza e chiarezza nell’esposizione di definizioni, enunciati, dimostrazioni, ed esempi, linguaggio e formalismo matematico.
Prova scritta e prova orale concorrono alla valutazione complessiva dell’esame. Il voto finale è attribuito in trentesimi. L’esame si intende superato quando il voto è maggiore o uguale a 18/30.

• E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella, Algebra lineare e geometria analitica, Aracne.
• S. Abeasis, Algebra lineare e Geometria, Zanichelli.
• M. Audin, Geometry, Universitext, Springer.
• M. Berger, Geometry I, Universitext, Springer.
• G. Campanella, Affinità, isometrie, proiettività, Aracne.
• E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

Acquisire concetti base riguardanti le architetture dei calcolatori. Acquisire concetti base riguardanti metodi e tecniche di programmazione. Applicare questi concetti per risolvere problemi per mezzo del linguaggio Python. Nozioni e concetti base riguardanti algoritmi e complessità computazionale.

• Acquisizione e inquadramento nel contesto storico e teorico dei principi generali relativi alla risoluzione efficiente dei problemi mediante strumenti computazionali e meccanismi di elaborazione delle informazioni.
• Sviluppo del pensiero computazionale.
• Acquisizione dei principi di base della programmazione.
• Comprensione e capacità di utilizzo delle principali strutture dati per l’organizzazione delle informazioni.
• Capacità di sviluppo di algoritmi destinati alla risoluzione di problemi che risultino interessanti da un punto di visto computazionale
• Capacità di implementare i suddetti algoritmi in uno specifico linguaggio di programmazione.

DD3 Autonomia di giudizio:

• Gli studenti devono essere in grado di orientarsi fra i principi generali del pensiero computazionale al fine di applicare le tecniche per lo sviluppo e l’implementazione di algoritmi.
• Gli studenti devono sapere riconoscere e applicare le strutture dati opportune da utilizzare nella gestione di problemi computazionali.
• Gli studenti devono essere in grado di testare la correttezza dei modelli di soluzione dei problemi e del codice scritto in un linguaggio di programmazione.
  DD4 Abilità comunicative:
• Gli studenti devono essere in grado di esporre le tematiche incluse nel programma del corso facendo uso opportuno del lessico specifico della disciplina.
  DD5 Capacità di apprendere in modo autonomo:
• Gli studenti devono essere in grado di: riflettere in modo critico sull’esposizione di un problema e sulla comprensione delle sue caratteristiche essenziali; autoregolare il proprio apprendimento fin dal periodo di svolgimento delle lezioni; autovalutare la propria preparazione in vista della partecipazione agli esami.

Introduzione al pensiero computazione

• Noam Chomsky
• Il processo di astrazione
• Apprendimento per trial-and-error e riutilizzo dell’esperienza
• Grammatiche, formalizzazioni e gerarchie, linguaggi e computer
  Algoritmi
• Ada Lovelace
• Definizioni e concetti preliminari
• Prime macchine e primi programmatori
• Flowchart e strumenti di progettazione degli algoritmi
  Computabilità
• Alan Turing
• La macchina di Turing
• Complessità computazionale
• I paradossi e il problema della terminazione
  Linguaggi di programmazione
• Grace Hopper
• Introduzione al Python
• Valori booleani e operatori logici
• Sviluppo di codice guidato dai test
  Strutture ordinate
• Donald Knuth
• Strutture dati
• Liste, pile, code
  Forza bruta
• Betty Holberton
• Il problema dell’ordinamento
• Il concetto di iterazione
• Ricerca lineare e ordinamento a inserimento
  Strutture non ordinate
• Jorge Luis Borges
• La biblioteca di Babele e il concetto di infinito
• Insiemi e dizionari
  Ricorsione
• Douglas Hofstadter
• Piccolo labirinto armonico
• La ricorsione nel mondo reale e nei programmi
• Algoritmi ricorsivi
  Divide et impera
• John von Neumann
• Introduzione all’architettura dei calcolatori
• Ordinamento di grandi quantità di elementi
• La funzione merge e l’algoritmo merge sort
• Analisi di complessità
  Il linguaggio Python
• Python e Colab
• Dai primi passi al concetto di variabile
• Sintassi di base
• Tipi di dati
• Funzioni
• Liste e tuple
• Iterazioni
• Insiemi e dizionari
• Ricorsione
• Gestione dei file
• Esercitazioni guidate
  Altri argomenti
• Programmazione dinamica
• Backtracking
• Alberi e grafi
• Algoritmi greedy

Svolgimento di una prova scritta (da eseguirsi, tipicamente, al computer in laboratorio). Le modalità di verifica mirano ad accertare le seguenti capacità:

• Esposizione (con riferimento agli argomenti teorici facenti parte del programma del corso)
• Comprensione (con riferimento alle tecniche e ai modelli studiati, con la proposta di analisi di casi d’esempio ed esercizi)
• Sviluppo (con riferimento al linguaggio Python, con la proposta di una descrizione di un problema computazionale per il quale occorre definire, implementare e testare un algoritmo di risoluzione)
  La prova ha una durata minima di 60 minuti. Non è consentito l’utilizzo di materiale didattico per le attività di Esposizione e Comprensione. È consentita la consultazione di tutto il materiale didattico per l’attività di Sviluppo.
  La prenotazione sulla piattaforma esse3 (entro i termini indicati) costituisce una condizione necessaria per la partecipazione alla prova. La stessa piattaforma è utilizzata per la pubblicazione dei risultati della prova. I risultati compaiono su esse3 entro pochi giorni dalla conclusione della prova (generalmente non oltre una settimana).

S. Peroni – Computational Thinking and Programming (disponibile online).
Altro materiale eventualmente suggerito o fornito dal docente durante lo svolgimento del corso.

Acquisizione di una solida conoscenza delle strutture algebriche

Riconoscere le strutture algebriche e le loro proprietà

Risolvere problemi algebrici tramite un approccio strutturale

Valutare la correttezza di risultati numerici tramite inquadramento in un impianto concettuale. Formulare definizioni ed argomentazioni astratte con adeguato rigore formale. Stabilire collegamenti logici tra gli argomenti.

GLI INSIEMI NUMERICI: La relazione di divisibilità in Z, i numeri primi. L’algoritmo di divisione euclidea in Z. Il M.C.D. e l’identità di Bézout, l’algoritmo delle divisioni successive. Il teorema fondamentale dell’aritmetica. Il teorema di Euclide sull’infinità dei numeri primi. I numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali, operazioni in C, forma algebrica e forma trigonometrica, le radici n-esime di un numero complesso, l’enunciato del teorema fondamentale dell’algebra.
STRUTTURE ALGEBRICHE E OMOMORFISMI: Gruppi e loro proprietà elementari, gruppi abeliani, sottogruppi, gruppi ciclici e loro generatori, periodo di un elemento, il teorema di Lagrange sui periodi degli elementi di un gruppo abeliano finito. Anelli e loro proprietà elementari, anelli commutativi, anelli unitari, elementi invertibili, domini di integrità, campi, sottoanelli, sottocampi. Anelli di matrici. Prodotto diretto di gruppi e di anelli. Omomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi, nucleo di un omomorfismo. L’anello dei polinomi: Polinomi, grado di un polinomio. Operazioni tra polinomi. Polinomi a coefficienti in un dominio, la formula del grado. L’algoritmo della divisione euclidea tra polinomi in K[X]. Il M.C.D. e l’identità di Bézout, l’algoritmo delle divisioni successive. Radici di un polinomio, il criterio di Ruffini. Polinomi irriducibili e fattorizzazione, polinomi associati.
Campi algebricamente chiusi e polinomi irriducibili. L’enunciato del teorema di Gauss e la fattorizzazione in Q[X]. Polinomi a coefficienti interi: la riduzione modulo p, il criterio di Eisenstein. Polinomi irriducibili in R[X] e in Q[X].
STRUTTURE QUOZIENTI: La congruenza modulo n in Z. L’anello delle classi di resto Z_n, congruenze lineari in Z ed equazioni di 1° grado in Z_n. Il gruppo degli elementi invertibili in Z_n. I campi Z_p. La funzione di Eulero. Il teorema cinese del resto. Il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Eulero. La congruenza modulo f in K[X]. L’anello delle classi di resto modulo f(X), il sistema di rappresentanti canonici. Elementi invertibili in K[X]/(f(X)), il caso dei polinomi irriducibili.
I GRUPPI SIMMETRICI: L’azione naturale di S_n su
X = { 1,..., n}. Orbite e cicli associati ad una permutazione. Decomposizione in cicli disgiunti. Parità e segno di una permutazione, il gruppo alterno A_n.

Prova scritta (esercizi) della durata di 180 minuti e prova orale

Appunti di Algebra 1, Giulio Campanella (Nuova Cultura)
Algebra, G.M. Piacentini Cattaneo (Decibel- Zanichelli)
Elementi di Algebra, S. Franciosi, F. de Giovanni (Aracne Editrice)
Algebra, I.N. Herstein (Editori Riuniti)
Aritmetica e algebra, D. Dikranjan, M.S. Lucido (Liguori Editore)

Acquisizione di ulteriori conoscenze e strumenti di base dell’Analisi Matematica classica, con particolare riferimento a successioni e serie di funzioni, alla teoria elementare degli spazi metrici e degli spazi normati, ai fondamenti dell’Analisi Matematica per funzioni di più variabili, alle forme differenziali lineari.

Acquisizione dei concetti fondamentali dell’Analisi Matematica classica e delle relative tecniche dimostrative.

Gli strumenti matematici acquisiti si utilizzano in vasta parte della Matematica e delle sue applicazioni.

DD3 Autonomia di giudizio:
Capacità di valutare la coerenza del ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione. Capacità di individuare i giusti strumenti matematici e le giuste tecniche per affrontare problemi matematici complessi.
DD4 Abilità comunicative:
Acquisizione del linguaggio e del formalismo matematico avanzato necessario per la consultazione e comprensione dei testi, l’esposizione delle conoscenze acquisite, la descrizione, l’analisi e la risoluzione dei problemi.
DD5 Capacità di apprendere in modo autonomo:
Acquisizione di un metodo di studio adeguato, supportato dalla consultazione dei testi e dalla risoluzione di problemi.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. Teorema sull’inversione dei limiti. Teorema sulla continuità del limite. Criterio di uniforme convergenza di Cauchy. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.
Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Criterio di uniforme convergenza di Cauchy. Teorema di integrazione termine a termine. Teorema di derivazione termine a termine. Proprietà della funzione somma.
Serie di potenze e insieme di convergenza. Raggio di convergenza e sua caratterizzazione. Criterio di Cauchy-Hadamard o della radice. Criterio di D’Alembert o del rapporto. Teorema di Abel. Raggio di convergenza della serie derivata. Teorema di derivazione e di integrazione delle serie di potenze.
Serie di Taylor e funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. La serie binomiale. Sviluppi in serie di Taylor notevoli.
Serie di Fourier. Teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier o Criterio di Dirichlet. Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.
Spazi metrici e distanze. Distanze equivalenti. Elementi di topologia in spazi metrici: intorni sferici, intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi connessi. Insiemi limitati e diametro. Successioni convergenti e di Cauchy. Spazi metrici completi. Insiemi compatti (per successioni).
Limiti e continuità per funzioni tra spazi metrici. Funzioni Lipschitziane e Teorema delle Contrazioni o del punto fisso di Banach.
Richiami sugli spazi vettoriali. Vettori linearmente indipendenti e basi. Spazio duale.
Lo spazio vettoriale IR^N. Base canonica. Funzionali lineari su IR^N. Applicazioni lineari da IR^N a IR^m e matrici.
Spazi normati e di Banach. Norme equivalenti. Esempi notevoli. Distanza associata a una norma e norma associata a un prodotto scalare. Funzioni limitate.
Lo spazio IR^N ed esempi di norme e di prodotto scalare. Disuguaglianze notevoli: di Young, di Hölder, di Minkowski. Sottoinsiemi compatti di IR^N e Teorema di Heine-Borel.
Segmenti, poligonali, insiemi convessi, insiemi stellati, insiemi connessi di IR^N e loro caratterizzazione.
Limiti di funzioni in IR^N. Funzioni continue: proprietà e teoremi principali. Teorema di Weierstrass (generalizzato). Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
Integrali curvilinei di una funzione, sue proprietà e applicazioni.
Funzioni reali in più variabili reali: derivate parziali e loro proprietà. Gradiente. Derivate successive. Teorema di Schwarz e matrice Hessiana. Derivate direzionali o di Gâteaux. Differenziabilità e differenziale o derivata di Fréchet. Proprietà delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema di Lagrange. Funzioni con gradiente nullo. Formula di Taylor per funzioni di più variabili.
Funzioni omogenee e Teorema di Eulero.
Funzioni definite medianti integrali: continuità e differenziabilità.
Funzioni vettoriali da IR^N in IR^m e matrice Jacobiana. Differenziabilità e teoremi collegati. Differenziabilità delle funzioni composte.
Richiami sulle matrici quadrate e loro autovalori. Forme quadratiche associate a una matrice simmetrica. Matrici definite, semidefinite e loro caratterizzazioni. Punti di massimo e di minimo relativo per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizioni sufficienti per punti di massimo e di minimo relativo. Massimi e minimi vincolati e assoluti.
Introduzione al problema della determinazione di funzione implicite. Teorema del Dini per funzioni di due variabili. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Teorema del Dini per funzioni di più variabili. Teorema del Dini per sistemi. Problemi di massimo e di minimo vincolato e Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.
Campi vettoriali e forme differenziali lineari. Forme differenziali esatte, primitive e loro proprietà. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Significato fisico: campi conservativi, potenziale, lavoro. Criteri di integrabilità per forme differenziali. Forme differenziali chiuse e campi irrotazionali. Integrale curvilineo su curve omotope di una forma differenziale chiusa. Legame tra forme differenziali chiuse e forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse in aperti stellati. Forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi.

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
L'esame finale prevede:

• una prova scritta a risposte aperte, della durata di tre ore;
• una prova orale durante la quale può anche essere discussa la prova scritta.
  Le valutazioni di entrambe le parti concorreranno a determinare il voto finale.
  Il risultato della prova scritta, che è propedeutica alla prova orale, sarà comunicato via mail o direttamente dal docente o attraverso la piattaforma ESSE3.
  Sono previste due prove scritte intermedie (una a metà insegnamento e una verso la fine dell’insegnamento) ed eventualmente un pre-appello sulla prova orale. Le due prove scritte intermedie, se superate, sostituiscono la prova scritta dell’esame finale e sono propedeutiche all’eventuale pre-appello sulla prova orale.
  Durante ogni prova scritta non si possono consultare appunti né avere con sé calcolatrici grafiche, a meno che non siano previsti in un Piano Individualizzato, ed è vietato l'uso di qualunque tipo di dispositivo (per esempio cellulari, smartwatch, auricolari, smart glasses) che consenta la comunicazione con l’esterno.
  Alla valutazione finale concorreranno le valutazioni delle prove intermedie e della prova orale.
  CRITERI DI VALUTAZIONE
• Conoscenza e capacità di comprensione: acquisizione e padronanza delle definizioni e dei risultati teorici oggetto del corso.
• Conoscenza e capacità di comprensione applicate: capacità di applicare le conoscenze teoriche acquisite per affrontare esercizi su successioni e serie di funzioni, studiare una funzione reale in più variabili reali (limiti, punti di massimo e minimo relativo, vincolato, assoluto), studiare funzioni definite implicitamente, studiare le proprietà di una forma differenziale lineare.
• Autonomia di giudizio: approccio critico ai concetti, mostrando coerenza nel ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione e individuando i giusti strumenti matematici e le giuste tecniche per affrontare problemi matematici complessi.
• Abilità comunicative: padronanza del corretto linguaggio matematico manifestato dalla capacità di enunciare e dimostrare teoremi in modo chiaro e completo.
• Capacità di apprendere: possesso di un metodo di studio adeguato, dimostrato dalla padronanza dei concetti principali, dalla coerenza nel ragionamento logico e dalla risoluzione di problemi, eventualmente arricchito da un approfondimento autonomo degli argomenti trattati.
  CRITERI DI MISURAZIONE DELL’APPRENDIMENTO E DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
  Il voto finale, determinato sia dalla prova scritta che da quella orale, è attribuito in trentesimi.
  L’esame si intende superato quando il voto finale è maggiore o uguale a 18/30.
  Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova scritta con una votazione minima di 16/30.

• N. Fusco - P. Marcellini – C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli Ed., Bologna, 2020. (Capitoli 1, 2, 3, 6, 11)
• G. Prodi (a cura di A. Ambrosetti e G. Cerami), Lezioni di Analisi Matematica (Vol. 2), Ed. Bollati Boringhieri, 2011
• F. Gazzola, Analisi Matematica 2, Società Ed. Esculapio, Bologna 2022
• P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima parte, Zanichelli Ed., Bologna, 2018
• P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda parte, Zanichelli Ed., Bologna, 2018

Acquisizione di ulteriori conoscenze e strumenti di base dell’Analisi Matematica classica, con particolare riferimento alle equazioni differenziali ordinarie e al loro studio qualitativo, alla teoria della misura di Peano-Jordan, teoria dell’integrazione secondo Riemann per funzioni di più variabili, alla teoria degli integrali di superficie,

Acquisizione dei concetti fondamentali dell’Analisi Matematica classica e delle relative tecniche dimostrative.

Gli strumenti matematici acquisiti si utilizzano in vasta parte della Matematica e delle sue applicazioni.

DD3 Autonomia di giudizio
Capacità di valutare la coerenza del ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione. Capacità di individuare i giusti strumenti matematici e le giuste tecniche per affrontare problemi matematici complessi.
DD4 Abilità comunicative
Acquisizione del linguaggio e del formalismo matematico avanzato, necessario per la consultazione e comprensione dei testi, l’esposizione delle conoscenze acquisite, la descrizione, l’analisi e la risoluzione dei problemi.
DD5 Capacità di apprendere in modo autonomo
Acquisizione di un metodo di studio adeguato, supportato dalla consultazione dei testi e dalla risoluzione di problemi.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali in forma normale e problemi di Cauchy. Teorema di Peano. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per equazioni in forma normale. Prolungabilità delle soluzioni e intervallo massimale delle soluzioni. Caso sottolineare. Integrali generali, particolari e singolari.
Problema ai limiti. Equivalenza di una equazione differenziale di ordine n con un opportuno sistema di equazioni differenziali del primo ordine.
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine: esistenza e unicità in grande della soluzione. Wronskiano di n soluzioni e sue proprietà. Spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema differenziale del primo ordine lineare omogeneo e sua dimensione. Integrale generale di un sistema lineare completo di equazioni differenziali del primo ordine. Metodo di Lagrange per la determinazione di un integrale particolare. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: equazione caratteristica. Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali a coefficienti costanti note le radici dell’equazione caratteristica. Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti variabili. Metodi di risoluzione per i seguenti tipi di equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili, di Manfredi (o omogenee), del tipo y'=f[(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)], lineari, di Bernoulli, di Clairaut, di Lagrange, a fattore integrante.
Equazioni differenziali del secondo ordine riconducibili a equazioni del primo ordine. Abbassamento dell’ordine di un’equazione differenziale. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti. Equazioni di Eulero. Semplici sistemi di equazioni differenziali lineari. Analisi qualitativa delle soluzioni.
Misura di intervalli di IR^N semiaperti superiormente. Plurintervalli di IR^N e loro misura. Proprietà della misura dei plurintervalli. Insiemi limitati di IR^N: misura esterna e misura interna. Insiemi limitati misurabili secondo Peano-Jordan e loro misura. Proprietà della misura di Peano-Jordan. Misura di spazi prodotto. Insiemi non limitati misurabili secondo Peano-Jordan e loro misura.
Funzioni limitate su sottoinsiemi misurabili limitati di IR^N: somme inferiori e superiori, integrabilità secondo Riemann e integrale di Riemann. Criterio di integrabilità. Proprietà degli integrali di Riemann. Funzione integrale e sua assoluta continuità. Cilindroide e significato geometrico dell’integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue su compatti misurabili. Funzioni q.o. continue secondo Peano-Jordan. Integrabilità delle funzioni q.o. continue secondo Peano-Jordan su compatti misurabili. Teorema della media integrale. Domini normali in IR^(N+1), loro misurabilità e Teorema di riduzione degli integrali multipli. Domini regolari nel piano con frontiera orientata positivamente.
Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano. Formula di Stokes nel piano.
Diffeomorfismi di classe C^1. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli. Formula di cambiamento della misura per diffeomorfismi. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Funzioni non negative generalmente continue sommabili e integrali impropri. Caratterizzazione della sommabilità per funzioni non negative. Teorema del confronto per la sommabilità di funzioni non negative generalmente continue. Funzioni a segno qualunque generalmente continue sommabili e integrali impropri. Caratterizzazione della sommabilità per funzioni a segno qualunque. Integrale improprio su IR di e^(x^2).
Domini connessi. Superficie parametrica regolare in IR^3. Esempi: superficie cartesiana; superficie sferica. Cambiamento ammissibile di parametro per una superficie. Superfici equivalenti. Piano tangente e versore normale a un punto di una superficie regolare. Integrale di superficie di una funzione continua. Area di una superficie regolare.

MODALITÀ DI VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO
L'esame finale prevede:

• una prova scritta a risposte aperte, della durata minima di due ore;
• una prova orale durante la quale può anche essere discussa la prova scritta.
  Le valutazioni di entrambe le parti concorreranno a determinare il voto finale.
  Il risultato della prova scritta, che è propedeutica alla prova orale, sarà comunicato via mail o direttamente dal docente o attraverso la piattaforma ESSE3.
  Eventualmente, si possono programmare due prove scritte intermedie (una a metà insegnamento e una verso la fine dell’insegnamento) a seguito di richiesta di un congruo
  numero di studenti, oltre che un eventuale pre-appello sulla prova orale. Le due prove scritte intermedie, se superate, sostituiscono la prova scritta dell’esame finale e sono propedeutiche all’eventuale pre-appello sulla prova orale.
  Durante ogni prova scritta non si possono avere con sé calcolatrici grafiche, a meno che non siano previsti in un Piano Individualizzato, ed è vietato l'uso di qualunque tipo di dispositivo (per esempio cellulari, smartwatch, auricolari, smart glasses) che consenta la comunicazione con l’esterno.
  Alla valutazione finale concorreranno le valutazioni delle prove intermedie e della prova orale.
  CRITERI DI VALUTAZIONE
• Conoscenza e capacità di comprensione:
  acquisizione e padronanza delle definizioni e dei risultati teorici oggetto del corso.
• Conoscenza e capacità di comprensione applicate:
  capacità di applicare le conoscenze teoriche acquisite per: risolvere equazioni/sistemi di equazioni differenziali ordinarie e relativi problemi di Cauchy, calcolare integrali multipli, calcolare integrali di superficie di una funzione.
• Autonomia di giudizio:
  approccio critico ai concetti, mostrando coerenza nel ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione e individuando gli strumenti matematici giusti e le giuste tecniche per affrontare problemi matematici complessi.
• Abilità comunicative:
  padronanza del corretto linguaggio matematico manifestato dalla capacità di enunciare e dimostrare teoremi in modo chiaro e completo.
• Capacità di apprendere:
  possesso di un metodo di studio adeguato, dimostrato dalla padronanza dei concetti principali, dalla coerenza nel ragionamento logico e dalla risoluzione di problemi, eventualmente arricchito da un approfondimento autonomo degli argomenti trattati.
  CRITERI DI MISURAZIONE DELL’APPRENDIMENTO E DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
  Il voto finale, determinato sia dalla prova scritta che da quella orale, è attribuito in trentesimi.
  L’esame si intende superato quando il voto finale è maggiore o uguale a 18/30.
  Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova scritta con una valutazione sufficiente.

• N. Fusco - P. Marcellini – C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli Ed., Bologna, 2020. (Capitoli 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12)
• G. Prodi (a cura di A. Ambrosetti e G. Cerami), Lezioni di Analisi Matematica (Vol. 2), Ed. Bollati Boringhieri, 2011
• F. Gazzola, Analisi Matematica 2, Società Ed. Esculapio, Bologna 2022
• P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima parte, Zanichelli Ed., Bologna, 2018
• P. Marcellini – C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda parte, Zanichelli Ed., Bologna, 2018

Formulazione matematica, comprensione e risoluzione di problemi di natura fisica riguardanti la statica e la dinamica dei dei sistemi di particelle nella formulazione Lagrangiana.

DD1 Conoscenza e capacità di comprensione: Acquisizione di concetti e strategie fondamentali per lo studio delle equazioni del moto. Acquisizione delle relative tecniche dimostrative.

DD2 Conoscenza e capacità di comprensione applicate: Le conoscenze teoriche acquisite si utilizzano in vasta parte delle equazioni differenziali della fisica.

DD3 Autonomia di giudizio:
Capacità di valutare la coerenza del ragionamento logico utilizzato in una dimostrazione.
Capacità di individuare i giusti strumenti matematici e le giuste tecniche per affrontare problemi complessi.
DD4 Abilità comunicative:

• Acquisizione del linguaggio e del formalismo fisico/matematico necessario per la consultazione e comprensione dei testi. - Esposizione delle conoscenze acquisite tramite la descrizione, l’analisi e la risoluzione dei problemi.
  DD5 Capacità di apprendere:
  Acquisizione di un metodo di studio adeguato, supportato della consultazione dei testi e dalla risoluzione di esercizi e quesiti proposti periodicamente durante il corso.

Principi della dinamica, Teorema dell’energia, Lavoro di forze conservative, Conservazione della quantità di moto, Conservazione del momento angolare, Sistema di punti materiali, Vincoli ed equazioni vincolari, Deduzione delle equazioni di Eulero-Lagrange dall’equazione di Newton, Conservazione dell’energia meccanica, Integrali primi del moto, Moti unidimensionali (formula per il periodo, ritratto di fase), Equilibrio e piccole oscillazioni, Teorema di Noether in ambito lagrangiano, Pendolo matematico, Pendolo di Huygens, Moti in campi di forze centrali, problema dei due corpi e leggi di Keplero. Deduzione delle equazioni di Hamilton. Principio di Hamilton. Problema della brachistocrona.

La verifica consiste un colloquio orale alla lavagna.

Fasano, S. Marmi, Meccanica analitica, Bollati Boringhieri, 2002
Jorge V. José, Eugene J. Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, Cambridge University Press (1998)
Dispense Appunti di Meccanica Analitica; di A. Carati e L. Galgani, disponibili sulla pagina web di A. Carati:
http://users.mat.unimi.it/users/carati