Matematica

Acquisire conoscenze specifiche ed avanzate di teoria delle rappresentazioni e dei caratteri di gruppi finiti.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
I. Conoscenza e capacità di comprensione
(cc5) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la
studentessa abbia delle conoscenze avanzate sulle strutture algebriche e
loro applicazioni.
II. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la
studentessa abbia la capacità di dimostrare risultati matematici anche di
livello avanzato.
III. Autonomia di giudizio
(ag1) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la
studentessa sappia valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi
appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati
teorici o per la risoluzione di problemi.
IV. Abilità comunicative
(ac2) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la
studentessa sia in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati.
V. Capacità di apprendimento
(ap1) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la
studentessa sia in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla
ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di
lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere
indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di
nuove direzioni di ricerca.

Teoria della Rappresentazione e dei Caratteri di Gruppi Finiti.

Si verificherà l'apprendimento dei principali concetti alla base della teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti attraverso una prova orale che conterà per il 90%. Il restante 10% del voto sarà determinato dalla risoluzione di esercizi in forma scritta durante lo svolgimento del corso.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.
In particolare si valuterà il raggiungimento dei descrittori di dublino:
ca1: avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato.
(ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in
forma scritta che orale;

I.M. Isaacs: Character Theory of finite Groups.
G. Navarro: Character Theory and the McKay Conjecture
J. P. Serre: Linear Representations of Finite Groups.

Il corso si propone di fornire conoscenze di base dei risultati principali relativi ad operatori lineari, alla convergenza debole, agli spazi di Sobolev e ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali. Ogni argomento trattato sarà completato con esempi ed esercizi, per permettere l’acquisizione di un corretto metodo deduttivo.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
(cc3): Al termine dell'insegnamento, ci si attende che gli studenti/le studentesse siano in grado di comprendere le topologie deboli, la formulazione debole delle equazioni ellittiche del secondo ordine lineari in forma di divergenza, di discuterne l'esistenza di soluzioni e il loro sviluppo in serie di Fourier di autofunzioni dell'operatore associato
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) e (ca2): Al termine dell'insegnamento, ci si attende che gli studenti/le studentesse siano in grado di svolgere correttamente esercizi, anche teorici, relativi agli argomenti proposti e potranno trattare, ad esempio, alcuni problemi di Calcolo delle Variazioni, di Equazioni differenziali ordinarie e di Equazioni alle derivate parziali ellittiche con appropriati strumenti analitici.
Autonomia di giudizio
(ag1) Al termine dell'insegnamento, ci si attende che gli studenti/le studentesse siano in grado di valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi.
Abilità comunicative
(ac2): Al termine dell'insegnamento, ci si attende che gli studenti/le studentesse siano in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, riguardanti l'Analisi Funzionale lineare, gli spazi di Sobolev, le equazioni ellittiche del secondo ordine lineari in forma di divergenza.
Capacità di apprendimento
(ap1): Al termine dell'insegnamento, ci si attende che gli studenti/le studentesse siano in grado di approfondire sviluppi ulteriori della teoria presentata durante il corso, e di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Analisi Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca.

Spazi lineari normati. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Operatori Lineari. Topologie deboli. Spazi di Sobolev. Metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali.

L'esame consiste in una prova scritta e una orale. Gli esercizi della prova scritta sono assegnati durante il corso o qualche settimana in anticipo rispetto all'interrogazione orale a scelta dello studente. Durante quest'ultima verranno poste alcune domande di natura teorica, verranno discussi gli esercizi della prova scritta ed eventualmente verrà richiesta la risoluzione di alcuni problemi. Più precisamente sarà richiesto di dimostrare alcuni teoremi tra quelli svolti durante il corso (segnalati sul programma), e di svolgere esercizi per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria sviluppata nel corso. Verranno inoltre valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Appl., Liguori Ed., Napoli,1986 - K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1966 - L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Vol.19 - E.Zeidler, Applied Functional Analysis, Main principles and their applications, Applied Mathematics Sciences, N. 109, Sringer-Verlag.

Conoscenza e capacità di comprensione. Alla fine del corso ci si attende che lo studente/la studentessa
abbia padronanza degli aspetti didattici e delle maggiori difficoltà nell’apprendere e nell’insegnare i principali concetti del calcolo differenziale e integrale, come il concetto di funzione, la continuità, I concetti di derivata e di integrale (cc1). Che abbia inoltre padronanza della costruzione dei numeri reali e delle loro rappresentazioni, e conosca la storia del concetto di funzione e del concetto di derivata (cc11).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Alla fine del corso ci si attende che lo studente/la studentessa
abbia la capacità di risolvere problemi aperti, anche di livello avanzato, riguardanti la continuità, la derivabilità e le funzioni e gli insiemi convessi (ca1).
Autonomia di giudizio. Alla fine del corso ci si attende che lo studente/la studentessa abbia la capacità di valutare l’efficacia di metodi e percorsi finalizzati all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria (ag4).
Abilità comunicative. Alla fine del corso ci si attende che lo studente/la studentessa abbia rinforzato, attraverso il lavoro nel risolvere i problemi del laboratorio e nel preparare la lezione di fine corso, la capacità di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace (ac1);

Approfondimento delle conoscenze sugli insiemi numerici. Numeri reali, loro costruzione rigorosa e loro rappresentazione. Cardinalita'. Cenni sulle disuguaglianze.
Alcune riflessioni sul modo con cui si pensano, si apprendono e si insegnano i concetti di funzione, limite, continuità, derivata e integrale. Approfondimenti e storia della formazione di tali concetti.
Svolgimento collaborativo di esercizi riguardanti le applicazioni di questi concetti a problemi su continuita’, differenziabilita’, integrazione e in convessità.

Preparare ed esporre una lezione: Gli studenti, divisi in gruppi di 3 o 4, preparano ed espongono una lezione su un argomento scelto da una lista di argomenti da noi proposta. La lezione è tenuta di fronte ai docenti e agli altri studenti. Al termine viene svolta una discussione collettiva sulla lezione.
Colloquio orale: Allo studente vengono poste due domande a risposta aperta e viene fatto risolvere un problema alla lavagna, simile a quelli svolti durante le lezioni laboratoriali.
La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione dei concetti di base dell'analisi e delle idee presentate nel corso. Viene valutata la capacità comunicativa, la proprietà di linguaggio, la conoscenza dei contenuti presentati e anche la riflessione autonoma critica dello studente sulle difficoltà didattiche. Gli esercizi sono scelti per valutare la capacità degli studenti di applicare in problemi semplici o semplificati i concetti e i risultati istituzionali dell'analisi.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Materiale reperito da molte fonti diverse, e indicato (e nella maggior parte dei casi disponibile in formato elettronico) nel sito MOODLE del corso

Obiettivi di conoscenza: acquisizione della conoscenza di temi e questioni principali del corso (v. la voce "Programma esteso") Obiettivi di competenza: comprensione del linguaggio e dei metodi per lo studio di problemi isoperimetrici. Comprensione dei fondamenti e metodologia di base della teoria del grado topologico. Capacità acquisite al termine del corso: capacità di comprendere ed elaborare teoremi di tipo isoperimetrico e le relative tecniche dimostrative. Capacità di usare lo strumento del grado topologico per studiare problemi relativi a equazioni differenziali. Capacità di accedere alla letteratura scientifica per approfondimenti.
Con riferimento ai descrittori di Dublino.
Conoscenza e capacità di comprensione: avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline; conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale;
conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato; avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica; avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca attuale.
Autonomia di giudizio: valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi.
Abilità comunicative: comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca.

• Studio del problema isoperimetrico nello spazio euclideo e nello spazio di Gauss. - Costruzione della teoria del grado topologico in spazi euclidei con applicazioni ad alcuni problemi per equazioni differenziali. Approccio assiomatico, estensioni della teoria a spazi più generali.

La verifica consiste di un colloquio orale sulle conoscenze acquisite nel corso, con analisi e argomentazione di risultati teorici concernenti un argomento del corso concordato con gli studenti
Con riferimento ai descrittori di Dublino.
Conoscenza e capacità di comprensione: avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline; conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale;
conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato; avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica; avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca attuale.
Autonomia di giudizio: valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi.
Abilità comunicative: comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• L.C. Evans, Partial differential equations, Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp.
• G. Dinca, J. Mawhin. Brouwer Degree: The Core of Nonlinear Analysis. Birkhauser 2021
• N. G. Lloyd. Degree Theory. Cambridge tracts in Mathematics n. 73
  Inoltre: Note integrative a cura dei docenti; ottimi materiali liberamente reperibili in rete suggeriti dai docenti

L'obiettivo formativo del corso è quello di fornire alle studentesse e agli studenti conoscenze di: metodi variazionali per lo studio di problemi isoperimetrici, relativi in particolare alla teoria degli insiemi di perimetro finito, focus su esempi specifici e teoria di regolarità; tecniche lineari e non lineari per determinare proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni delle equazioni alle derivate parziali.
Al termine del corso la studentessa o lo studente dovrà:
1) conoscere i risultati relativi alla parte teorica del corso (risultati principali e dimostrazioni).
2) essere in grado di affrontare la lettura e la comprensione di testi e articoli di ricerca che sviluppino gli argomenti trattati durante il corso.
3) essere in grado di presentare in forma orale alcuni argomenti del corso e approfondimenti collegati al programma presentato.
Con riferimento ai descrittori di Dublino:
Conoscenza e comprensione
cc1- Avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc3- Conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale
cc8- conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
ca1- Avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2- Avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3- Avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
ca5- Avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente
Autonomia di giudizio
ag1- Valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
Abilità comunicative
ac1- Sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2- Sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Capacità di apprendimento
ap1- Sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2- Hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

i) Insiemi di perimetro finito. Metodi diretti nella classe degli insiemi di perimetro finito: compattezza, semicontinuità del perimetro distribuzionale. Equazioni di stazionarietà per minimi del perimetro. Applicazioni. Teorema di De Giorgi e regolarità per superfici minime.
ii) Equazioni alle derivate parziali: teoria della regolarità, esistenza e unicità di soluzioni per equazioni alle derivate parziali lineari. Applicazioni ad alcune classi di equazioni alle derivate parziali non lineari.

Prova orale su alcuni argomenti del corso, di cui una parte avrà forma seminariale e verterà su temi concordati con i docenti.
Con riferimento ai descrittori di Dublino:
Conoscenza e comprensione
cc1- Avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc3- Conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale
cc8- conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
ca1- Avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2- Avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3- Avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
ca5- Avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente
Autonomia di giudizio
ag1- Valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
Abilità comunicative
ac1- Sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2- Sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Capacità di apprendimento
ap1- Sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2- Hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

i) Per la parte sugli insiemi di perimetro finito:
Maggi, Francesco. Sets of finite perimeter and geometric variational problems: an introduction to Geometric Measure Theory. No. 135. Cambridge University Press, 2012.
ii) Per la parte di equazioni alle derivate parziali:
[Eva10] L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 2010.
[GT01] D. Gilbarg e N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order,
Springer-Verlag, 2001.
[HL97] Q. Han e F. Lin, Elliptic partial differential equations, Courant lecture notes, AMS, 1997.
[PW84] M. Protter e H. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Springer, 1984
[FRRO22] X. Fernández-Real and X. Ros-Oton, Regularity theory for elliptic PDE, EMS, 2022.

Questo insegnamento vuole sottolineare alcuni aspetti della formazione matematica che sono essenziali per un futuro insegnante.
In particolare, alla fine del corso lo studente dovrà avere acquisito le seguenti competenze di base:
(1) conoscenza degli assiomi fondamentali della teoria degli insiemi, in una versione leggermente rivista rispetto a quella originale di Zermelo e Fraenkel;
(2) conoscenza dell'assioma della scelta e degli assiomi (ad esso equivalenti) noti come "principio del buon ordine" e "lemma di Zorn";
(3) conoscenza di altri assiomi equivalenti all'assioma della scelta;
(4) familiarità con le principali conseguenze dell'accettazione (oppure, in alternativa, del rifiuto) dell'assioma della scelta;
(5) familiarità con la nozione di "cardinalità" e con il confronto fra cardinalità;
(6) conoscenza delle differenze fra equisezionabilità ed equiscomponibilità di figure geometriche;
(7) conoscenza di alcuni argomenti di teoria dei numeri.
Alla fine del corso, inoltre, lo studente dovrà avere acquisito le seguenti capacità:
(1) esporre correttamente e con linguaggio adeguato gli assiomi fondamentali della teoria degli insiemi;
(2) saper costruire, attraverso gli assiomi della teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali, l'insieme dei numeri interi e l'insieme dei numeri razionali;
(3) saper definire nell'insieme dei numeri interi l'usuale relazione di ordine, l'operazione di somma, l'operazione di prodotto e la divisione euclidea;
(4) saper applicare il lemma di Zorn nelle dimostrazioni matematiche;
(5) saper giustificare il principio per cui due poligoni equivalenti sono equisezionabili;
(6) saper affrontare alcuni problemi di teoria dei numeri.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
cc1 avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della
Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
ca1 avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
Autonomia di giudizio
ag1 valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
Abilità comunicative
ac1 sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare
autonomamente in modo efficace;
Capacità di apprendimento
ap1 sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
ap2 hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente
negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni
nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

La teoria elementare degli insiemi. Assiomi di Zermelo e Fraenkel.
Numeri cardinali e ordinali. Induzione transfinita. Forma normale di Cantor.
L’assioma della scelta, il lemma di Zorn, il principio del buon ordinamento. Enunciati equivalenti e conseguenze
Equiscomponibilità ed equisezionabilità. Il teorema di Banach-Tarski.
Numeri cardinali. Aritmetica cardinale.
Cofinalità, cardinali inaccessibili.
Elementi di teoria analitica dei numeri.

Esame orale.

1) Keith Devlin - The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory;
2) Carlo Casolo - Appunti di Teoria elementare dei numeri;
3) Francesco Fumagalli, Appunti di Teoria degli insiemi;
Gli ultimi due testi saranno resi disponibili gratuitamente in formato pdf sulla piattaforma e-learning dell'Università degli Studi di Firenze nella pagina dedicata all'insegnamento.

Il corso si pone come obiettivo quello di fornire conoscenze indispensabili relative all'insegnamento e apprendimento della matematica condivise dalla comunità scientifica di riferimento.
Le competenze che il corso mira a sviluppare sono:

• Leggere e comprendere articoli e materiali scientifici disciplinari;
• Saper valutare criticamente un articolo o un libro di didattica della
  matematica
• Saper prevedere e interpretare errori e difficoltà degli studenti sulla
  base dei costrutti teorici presentati nel corso
• Saper progettare un'attività coerente con le Indicazioni Nazionali per i licei e le linee guida per gli Istituti tecnici e sulla base dei costrutti teorici presentati (per il corso da 9cfu)
• Saper individuare artefatti con cui mediare determinati contenuti
  matematici (per il corso da 9cfu)
• Saper usare alcuni ambienti di geometria dinamica (per il corso da
  9cfu).
  Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
  Conoscenza e capacità di comprensione
  (cc1) avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
  (cc11) conoscenze approfondite di storia della matematica e di didattica della matematica;
  Capacità di applicare conoscenza e comprensione
  (ca3) avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca
  attuale;
  (ca4) avere la capacità di produrre elaborati originali nell'ambito della
  ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della
  cultura matematica.
  Autonomia di giudizio
  (ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
  (ag4) valutare l’efficacia di metodi e percorsi finalizzati all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria.
  Abilità comunicative
  (ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace;
  (ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale;
  Capacità di apprendimento
  (ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
  (ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di
  concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Il corso analizza alcuni problemi dell'insegnamento-apprendimento della matematica. Si espongono e si discutono, nelle loro linee generali, i quadri teorici classici di riferimento della ricerca in didattica della matematica. Vengono affrontate sia tematiche specifiche relative a particolari ambiti matematici, sia tematiche generali comuni

La prova si compone di:

• un colloquio orale sulle conoscenze acquisite nel corso, con analisi epistemologica e cognitiva attraverso gli strumenti teorici trattati nel corso e interpretazione di fenomeni didattici
• presentazione di un articolo scientifico scelto dallo studente tra quelli forniti dal docente, inerente le tematiche del corso.
  Le prove vertono sui temi affrontati a lezione e mirano a sondare le
  conoscenze acquisite e la capacità di esporle in maniera critica e
  consapevole.
  Tabella docimologica di valutazione
  Insufficiente
  Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione
  frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
  18–22
  Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza
  elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di
  affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
  23–25
  Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli
  argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
  26–28
  Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
  29–30 e Lode
  Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete,
  approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
  La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per
  brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• Articoli scientifici forniti dal docente
• R. Zan, Difficoltà in Matematica Osservare, Interpretare, Intervenire.
  Springer 2007.
• A.Baccaglini Frank, P. Di Martino, R. Natalini, G.Rosolini, Didattica della Matematica, Mondadori 2018
• P.L.Ferrari, Educazione matematica, lingua, linguaggi, DeAgostini 2021.

Conoscenze:
Scopo del corso è quello di illustrare argomenti e metodologie per la preparazione e lo svolgimento di lezioni di matematica nelle scuole secondarie, con particolare attenzione verso gli aspetti computazionali digitali e verso l'analisi delle potenzialità e criticità dell'uso di strumenti tecnologici nelle metodologie di insegnamento e apprendimento della matematica.
Competenze acquisite:
Conoscenza di metodi numerici ad hoc per la risoluzione di equazioni algebriche, e dei concetti di base per l’ottimizzazione e la programmazione lineare, per la rappresentazione di dati in un calcolatore.
Capacità acquisite al termine del corso:
Capacità di utilizzare software applicativi per illustrare la risoluzione, numerica e non, di problemi matematici, organizzare lezioni e attività di laboratorio in aula informatica.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e Comprensione
cc1 - avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione
ca4=avere la capacità di produrre elaborati originali nell’ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della cultura matematica
ca5=avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o per comprenderlo più chiaramente
ca6=avere la capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi
ca7=avere la capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici, che per acquisire ulteriori informazioni.
Autonomia di Giudizio
ag1=valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
ag3=valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici.
Capacità di Comunicazione
ac1=essere in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2=essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Capacità di Apprendimento
ap2= avere acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e essere in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Richiami su rappresentazione delle informazioni all’interno di un calcolatore e aritmetica finita. Formulazione di metodi risolutivi mediante algoritmi.
Metodi numerici per la risoluzione di equazioni algebriche. Elementi di programmazione lineare.
Preparazione e simulazione di specifiche unità di apprendimento riguardanti gli argomenti disciplinari affrontati e presenti nelle Indicazioni Nazionali per la scuola secondaria mediante l'uso di opportune tecnologie.

Seminario didattico e colloquio sul programma svolto.
Seminario didattico: a ciascuno studente viene assegnato un argomento su cui preparare e tenere una lezione frontale e/o una esercitazione in aula informatica. Gli argomenti sono scelti in modo da valutare la capacità di utilizzare per l'insegnamento le conoscenze teoriche e tecniche acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza degli argomenti svolti, sia la capacità di comunicare in modo semplice e chiaro.
Prova orale: Vengono poste alcune domande sul programma svolto. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Bevilacqua, Bini, Capovani, Menchi, "Metodi Numerici", Ed. Zanichelli, Bologna, 1992.
Griva, Nash, Sofer, “Linear and Nonlinear Optimization”, SIAM, Philadelphia, PA, 2009.

Nozioni di base e avanzate della teoria delle equazioni differenziali. Conoscenza dei principali risultati della teoria qualitativa dei sistemi dinamici piani. Capacità di analizzare un modello matematico e di usare la teoria qualitativa per lo studio di sistemi dinamici piani.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
1)Conoscenza e capacità di comprensione si avranno padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline; conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale.
2)Capacità di applicare conoscenza e comprensione: si otterranno la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli
nell'ambito della ricerca attuale e la
capacità di produrre elaborati originali nell'ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni e
avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare
questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
3) Autonomia di giudizio
saranno in grado di
valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
4)Abilità comunicative:
saranno in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare
autonomamente in modo efficace;
e sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in
forma scritta che orale;
5)Capacità di apprendimento
saranno in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca.

Oscillazioni delle soluzioni di una EDO. Teorema di separazione di Sturm e teoremi di confronto per EDO del II ordine ed applicazioni. Problemi al contorno di tipo Sturm-Liouville. Sistemi lineari in R^n: caso autonomo e caso non autonomo. Equazione di Hill. Teoria di Floquet. Caso quasi periodico.
Equazione di Schroedinger. Numero di rotazione e teoria dell'oscillazione. Dinamica non autonoma. Flussi skew-prodotto. Dicotomia esponenziale. Spettro di dicotomia. Teorema spettrale di Sacker-Sell.

Esame orale sugli argomenti trattati a lezione. L'effettiva acquisizione delle idee fondamentali riguardanti la teoria qualitativa dei sistemi dinamici piani e la capacità di ragionamento critico saranno indagate attraverso domande sui risultati trattati e dimostrati durante il corso. L'analisi di un determinato argomento dell'intero corso sarà discussa in dettaglio in modo da verificare l'autonomia raggiunta nel trattare un argomento matematico.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

W. Boyce-R. Di Prima Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley.
E. Coddington, N. Levinson,"Theory of Ordinary Differential Equations", McGraw-Hill 1955 (capitolo VIII).
W. Magnus, S.Winkler, "Hill's Equations", Interscience Publishers, New York- London-Sidney 1966.
F. Colonius, W. Kliemann, "Dynamical Systems and linear Algenra", Graduate Studies in Mathematics, vol. 158, AMS, Providence, Rhode Island, 2014.

Il corso introduce gli studenti alla formalizzazione della matematica, con particolare attenzione all’algebra e alla geometria, attraverso l’impiego della Logica di Ordine Superiore (HOL) e di tecniche di calcolo simbolico. Vengono presentate procedure di decisione per l’algebra e la geometria, con l’obiettivo di sviluppare una comprensione rigorosa dei concetti e dei metodi fondamentali. Il corso mira a formare le competenze necessarie per l’analisi e la risoluzione di problemi matematici formalizzati, e a consolidare le capacità comunicative e collaborative richieste nel lavoro matematico. Le conoscenze e le abilità acquisite costituiscono una base solida per proseguire gli studi nei settori della matematica formale, dei fondamenti dell’informatica e del calcolo simbolico e scientifico.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
Conoscenze avanzate sulla geometria algebrica e differenziale (cc4);
Conoscenze avanzate sulle strutture algebriche e loro applicazioni (cc5);
Competenze avanzate in ambito computazionale e informatico (cc12).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato (ca1);
Avere la capacità di produrre elaborati originali nell’ambito della ricerca
matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della cultura matematica (ca4);
Avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel
linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario,
o comunque per comprenderlo più chiaramente (ca5);
Avere la capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come
supporto ai processi matematici, che per per acquisire ulteriori informazioni (ca7).
Autonomia di giudizio
Valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel
proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o
per la risoluzione di problemi (ag1);
Valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione
quantitativa dei problemi matematici (ag3).
Abilità comunicative
Sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo,
pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo
efficace (ac1);
Sono in grado di dialogare ed interagire con esperte ed esperti di
altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione
matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o
finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di
attività in svariati ambiti (ac3).
Capacità di apprendimento
Sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di
studio finalizzata alla ricerca in Matematica (ap1);
Hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di
concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli
ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di
problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare
capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro (ap2).

Dimostrazione interattiva applicata alla geometria e all'algebra.
Introduzione alla Logica di Ordine Superiore. Introduzione all'uso del sistema di dimostrazione interattiva HOL. Procedure di decisione in Geometria e in Algebra. Alcuni esempi di formalizzazione nel sistema HOL in algebra e geometria.

L'esame prevede due fasi:
1. Preparazione di un progetto individuale (in genere una formalizzazione al computer nel dimostratore di teoremi HOL Light) accompagnato da una breve relazione scritta.
2. Discussione orale del progetto.
Il candidato deve inviare all'insegnante la relazione e il codice prima dell'esame orale.
Il progetto è concepito per valutare la capacità dello studente di applicare le tecniche illustrate nel corso. Particolare attenzione è rivolta alla correttezza, l'originalità e l'efficacia della soluzione proposta.
L'esame orale valuterà il grado di comprensione della teoria presentata nel corso. La valutazione prenderà in considerazione anche le capacità comunicative (incluso l'uso appropriato della terminologia e del linguaggio matematico) e l'atteggiamento di pensiero critico del candidato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

John Harrison, "Handbook of Practical Logic and Automated Reasoning" Cambridge University Press, 2009
John Harrison, HOL Light Tutorial
(liberamente disponibile online)
John Harrison, The HOL Light Manual (liberamente disponibile online)
Robert M. Solovay, R. D. Arthan, John Harrison, "Some new results on decidability for elementary algebra and geometry" (arXiv 2009)

Fornire una conoscenza approfondita di teoria delle categorie, algebra omologica in categorie abeliane e coomologia dei fasci.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e Comprensione
cc1 : avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc4:conoscenze avanzate sulla geometria algebrica e differenziale
cc5=conoscenze avanzate sulle strutture algebriche e loro applicazioni.
Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione
ca1:avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2:avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3: avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
ca5=avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente
Autonomia di Giudizio
ag1:valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
ag2: valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, anche per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete
Capacità di Comunicazione
ac1=essere in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2: essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Capacità di apprendimento
ap1:essere in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2: aver acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Algebra omologica e coomologia dei fasci

Esame orale: seminario su argomento concordato con lo studente e sessione di esercizi. Durata approssimativa: 60/75 minuti. Criteri di valutazione: capacità di organizzare autonomamente l'esposizione nel tempo assegnato, chiarezza espositiva, livello di approfondimento (dimostrazioni), completezza del quadro generale e dei dettagli scelti. Esercizi: saranno proposti esercizi uguali o simili ad esercizi già proposti durante le lezioni. Il loro svolgimento, se necessario, si avvarrò di indicazioni (hints) da parte del docente. Gli esericizi proposti durante il corso possono essere oggetto di discussione sia a lezione che in sessione di ricevimento (office hours).
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Dispense del docente

Acquisire le principali conoscenze di teoria dei gruppi focalizzando sul caso finito, ma con riferimento anche al caso infinito.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione

• avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
• avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
  Autonomia di Giudizio
• valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
• valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da
  informazioni limitate o incomplete;
  Capacità di Comunicazione
• essere in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
• essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
  Capacità di Apprendimento
• avere acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e essere in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Prodotti diretti e semidiretti di gruppi. Gruppi diedrali e di matrici. Sottogruppi normali minimali e caratteristicamente semplici. Gruppi risolubili e commutatori. Azioni e loro applicazioni. Gruppi primitivi e imprimitivi. Classificazione dei sottogruppi normali regolari in un k-transitivo. Semplicità di A_n e di PSL(n,F). Gruppi liberi e loro isomorfismi. Presentazioni e relazioni. Serie centrale discendente e nilpotenza. Gruppi nilpotenti finiti. Teoria del Transfer.

Prova finale orale:
Vengono poste alcune domande per valutare la conoscenza e la comprensione della teoria svolta nel corso, valutando sia la capacità di comunicare la materia che l’uso di un linguaggio matematico adeguato.
Viene proposto un esercizio simile a quelli affrontati durante il corso. Viene valutata la correttezza dei procedimenti seguiti con particolare riguardo alla correttezza fomale e al rigore del linguaggio utilizzato
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Le dispense del Prof. C. Casolo costituiscono il riferimento principale.
Kurzweil, Stellmacher, The theory of finite groups,
M. Isaacs: Finite group theory
Robinson, A course in the theory of groups,

I. Conoscenza e Comprensione
I risultati di apprendimento attesi per le studentesse e gli studenti del Corso di Studi in termini di conoscenza e
comprensione sono i seguenti:
cc1 - avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc3 - conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale
cc8 - conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni
II. Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione
I risultati di apprendimento attesi per le studentesse e gli studenti del Corso di Studi in termini di capacità di applicare
conoscenza e comprensione sono i seguenti:
ca1 - avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2 - avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3 - avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
ca4 - avere la capacità di produrre elaborati originali nell’ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della cultura matematica
III. Autonomia di Giudizio
Le laureate e i laureati magistrali in Matematica sono in grado di:
ag1 - valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
ag2 - valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, anche per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete
Capacità di Comunicazione
Le laureate e i laureati magistrali in Matematica:
ac1 - sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2 - sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
ac3 - sono in grado di dialogare ed interagire con esperte ed esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di attività in svariati ambiti.
Capacità di Apprendimento
Le laureate e i laureati in Matematica:
ap1=sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2= hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Funzioni a variazione limitata (di una variabile) e assolutamente continue. Cenni di analisi funzionale. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Distribuzioni. Funzioni armoniche. Problemi al contorno per le equazioni di Laplace e Poisson.

Esame orale finale in cui lo studente deve essere in grado di enunciare,
dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi reale, funzionale e
armonica. Con l'aiuto del docente, se necessario, allo studente può essere richiesto di affrontare in maniera critica e risolvere esercizi e problemi inerenti alle materie del corso. Per gli studenti
Erasmus, è previsto, su richiesta, un esame scritto, in sostituzione di
quello orale.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

R. Magnanini, Dispense del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, 2024 (il file pdf sarà messo a disposizione dal docente). Altri testi consigliati: Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA. Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA. Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA. Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill. W. Rudin, Functional analysis, McGraw Hill.

Conoscenze:
Il modello del continuo, equazioni fondamentali della meccanica. Statica e dinamica dei fluidi e dei solidi. Modelli ed equazioni costitutive. Casi studio
Competenze acquisite:
Comprendere un modello matematico nell'ambito della fisica dei corpi continui.
Capacità acquisite al termine del corso:
Analizzare i modelli più adatti alla descrizione di particolari processi fisici
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
(cc1) avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
(cc2) avere completato la formazione di base in alcune discipline come le funzioni di
variabile complessa e la logica matematica
(cc3) conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale;
(cc8) conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca2) avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
(ca5) avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
Autonomia di giudizio
(ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
(ag2) valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete;
Abilità comunicative
(ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace;
(ac3) sono in grado di dialogare ed interagire con esperte ed esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di attività in svariati ambiti.
Capacità di apprendimento
(ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
(ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Parte introduttiva: il modello classico di corpo continuo, conservazione della massa, forze di contatto, leggi di bilancio, equazioni costitutive, leggi della termodinamica.
Modelli elementari di corpo continuo: il solido elastico lineare, il fluido ideale (moti potenziali piani, vorticosi, irrotazionali), il fluido viscoso Newtoniano. Il problema della stabilità delle soluzioni (nei fluidi).
Analisi di alcuni casi studio

Prova orale consistente in una conversazione tecnica con il docente su argomenti selezionati del corso volta a far emergere il livello di raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi sopra esposti.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino indicati negli obiettivi formativi, la prova è finalizzata a verificare:
Conoscenza e capacità di comprensione
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori cc1, cc2, cc3 e cc8, accertando la padronanza dei contenuti teorici dell’insegnamento, dei risultati fondamentali presentati, dei metodi matematici utilizzati e delle eventuali connessioni con modelli matematici e applicazioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori ca1, ca2 e ca5, valutando la capacità di dimostrare risultati matematici, risolvere problemi complessi, applicare correttamente tecniche e strumenti teorici, e formalizzare matematicamente problemi espressi anche in linguaggio naturale.
Autonomia di giudizio
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori ag1 e ag2, valutando la capacità di scegliere in modo motivato procedimenti dimostrativi, metodi risolutivi e modelli matematici adeguati, nonché di discuterne l’efficacia e i limiti.
Abilità comunicative
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori ac1 e ac3, accertando la capacità di esporre con chiarezza, rigore e proprietà di linguaggio i contenuti dell’insegnamento, di discutere strategie dimostrative o risolutive e, ove pertinente, di presentare la formalizzazione matematica di situazioni applicative.
Capacità di apprendimento
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori ap1 e ap2, valutando la capacità di rielaborare autonomamente i contenuti del corso, collegare concetti e risultati diversi, affrontare problemi nuovi e utilizzare le conoscenze acquisite come base per ulteriori approfondimenti teorici o applicativi.
La valutazione terrà conto della correttezza matematica, del rigore argomentativo, della completezza delle risposte, della capacità di collegamento tra i diversi argomenti del corso e della chiarezza espositiva.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Appunti del docente disponibili sulla piattaforma Moodle
Meccanica dei Continui - S. Forte, L. preziosi, M. Vianello

Con riferimento ai Descrittori di Dublino.
Conoscenza e capacità di comprensione.
Al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente dovranno dimostrare di:
cc1, avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc2, avere completato la formazione di base in alcune discipline come le funzioni di variabile complessa e la logica matematica
cc4, conoscenze avanzate sulla geometria algebrica e differenziale
Capacità di applicare conoscenze e comprensione.
Al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente dovranno dimostrare di:
ca1, avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2, avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3, avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
Capacità di comunicazione
Al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente:
ac1, sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2, sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Autonomia di giudizio
Al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente:
ag1, valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel
proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o
per la risoluzione di problemi
Capacità di apprendimento
Al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente:
ap1, sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2, hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Varietà e sottovarietà differenziabili. Calcolo tensoriale. Forme differenziali. Gruppi di coomologia di de Rham. Varietà Riemanniane. Relazioni fra curvatura e topologia. Gruppi e algebre di Lie.

Prova orale: si pongono alcune domande su argomenti teorici ed esercizi. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Si valutano con particolare attenzione sia la capacità si comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. - R. Bott, L. Tu, Differential forms in algebraic topology. - M. Do Carmo, Riemannian geometry. - J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds. - G. Catino, P. Mastrolia, A. Roncoroni, Introduzione alla geometria differenziale e riemanniana. Controlla la bibliografia su onesearch. Per aiuto contatta la tua biblioteca”.

Alla conclusione del corso, lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze sulle proprietà dei linguaggi formali, sulle loro relazioni con grammatiche e automi, sulla struttura e sulle funzioni dei compilatori e degli strumenti per le fasi di analisi e di traduzione.
In particolare, lo studente dovrebbe avere acquisito:

• competenze nella teoria dei linguaggi formali in relazione con grammatiche, automi e fasi di analisi e traduzione nei compilatori;
• capacità di affrontare e risolvere problemi relativi ai linguaggi, alla definizione di grammatiche, alla progettazione di automi e all’applicazione di tali tecniche nella progettazione di compilatori.
  Con riferimento ai Descrittori di Dublino, il corso contribuisce all’acquisizione di competenze avanzate in ambito computazionale e informatico, nonché di conoscenze avanzate nel campo dell’informatica teorica e della logica matematica.
  Relativamente ai descrittori riguardanti la capacità di applicazione delle conoscenze, uno degli obiettivi del corso è sviluppare la capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici sia per l’analisi e la formalizzazione di problemi computazionali.
  Anche l’autonomia di giudizio, altro Descrittore di Dublino, è perseguita dal corso soprattutto perché consente ai laureati di analizzare criticamente l’efficacia dei procedimenti dimostrativi acquisiti durante il percorso formativo, sia nella dimostrazione di risultati teorici sia nella risoluzione di problemi.
  Per quanto riguarda le abilità comunicative e le capacità di apprendimento (ultimi Descrittori di Dublino), al termine del corso gli studenti sono in grado di collaborare efficacemente in gruppi di lavoro, mantenendo al contempo l’autonomia nello svolgimento delle attività e nella gestione del proprio lavoro. Inoltre, sviluppano flessibilità nell’approccio ai problemi e capacità di adattamento a contesti nuovi, acquisendo strumenti utili per affrontare situazioni non note, elaborare strategie risolutive e operare con consapevolezza sia in ambito professionale sia in contesti collaborativi.

Linguaggi e grammatiche. Automi a stati finiti e linguaggi regolari. Gerarchia di Chomsky. Struttura di un compilatore. Analisi lessicale. Analisi sintattica. Traduzione guidata dalla sintassi. Generazione del codice intermedio. Supporto run-time.

L'esame consiste in un test scritto che verte su tutti gli argomenti del programma svolto a lezione e comprende sia domande di teoria sia esercizi da risolvere mediante l'applicazione pratica della teoria. Il voto è determinato dalla somma dei punteggi conseguiti nelle singole domande/esercizi; tali punteggi, a loro volta, sono assegnati in base alla complessità delle domande/esercizi e all’accuratezza delle risposte fornite. Il voto è espresso in trentesimi, con eventuale lode, e l'esame si considera superato (con esito positivo) se il voto assegnato è pari ad almeno 18.
Su richiesta del docente o dello studente, qualora abbia conseguito un punteggio pari o superiore a 16 alla prova scritta, è possibile sostenere anche una prova orale. In questo caso, il voto finale è determinato dalla media aritmetica dei voti conseguiti nelle prove scritta e orale. La prova orale consiste in domande che possono riguardare tutti gli argomenti del programma svolto a lezione e il voto è determinato in base all’accuratezza delle risposte fornite al docente.
L'esame mira a valutare la conoscenza e la comprensione da parte dello studente degli argomenti trattati durante le lezioni in aula, la sua capacità di affrontarli in modo critico e approfondito e le sue competenze nell'utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi. La prova mira inoltre a valutare la chiarezza dell’esposizione, l’uso appropriato del lessico specialistico e la capacità di mettere in relazione, in modo critico, metodi e tecniche alternativi.
Tutte le prove d'esame dovranno essere sostenute in presenza (non è consentito sostenere prove d'esame da remoto). Gli studenti Erasmus sostengono gli esami con le stesse modalità degli studenti iscritti a UNIFI (https://www.unifi.it/it/studia-con-noi/accesso-e-iscrizioni/studenti-erasmus-entrata).
Regole di sostenimento dell'esame.
Il voto assegnato dal docente non è "negoziabile": non è quindi possibile aumentarlo sostenendo una prova orale aggiuntiva o svolgendo un'attività integrativa.
In caso di mancato superamento dell'esame, lo studente non potrà ripetere l'esame prima dell'appello successivo.
Richieste di deroga sono ritenute inammissibili indipendentemente dalla giustificazione. Si invitano gli studenti a non chiedere al docente deroghe alle regole sopra riportate; in particolare, si chiede di evitare di motivare tali richieste facendo riferimento a situazioni personali e di evitare la condivisione di dati personali.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente, dovuta a una conoscenza elementare degli argomenti, alla presenza di alcuni errori, alla capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati e a un livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a una comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a una solida comprensione teorica della disciplina, alla capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, e di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate; capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi; di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato; di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Testo adottato:

• Alfred V. Aho, Monica S. Lam, Ravi Sethi, Jeffrey D. Ullman
  Compilatori: Principi, tecniche e strumenti
  Pearson, 2009
  Testi di consultazione:
• Thomas A. Sudkamp
  Languages and Machines
  Addison-Wesley, 1997
• John E. Hopcroft, Rajeev Sethi, Jeffrey D. Ullman
  Automi, linguaggi e calcolabilità
  Pearson, 2009
  Controlla la bibliografia su Onesearch (https://onesearch.unifi.it/). Per aiuto contatta la tua biblioteca (https://unifi.libanswers.com/).

Conoscenze: I teoremi fondamentali della logica
Competenze acquisite: la costruzione di refutazioni e dimostrazioni formali nella logica proposizionale e predicativa
Capacità acquisite al termine del corso: Capacita' di scrivere dimostrazioni formali, anche come oggetti grafici. Conoscenza dei teoremi di Goedel, di compattezza, completezza, e incompletezza
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
CC2
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
CA1
Autonomia di giudizio
AG1
Abilità comunicative
AC2
Capacità di apprendimento
AP1

Logica booleana. Semantica herbrandiana e tarskiana. Deduzioni valide e non valide. Teorema di completezza di Goedel. Cenni di teoria dei numeri cardinali. Teorema di Loewenheim, compattezza della logica dei predicati con eguaglianza. Test di Los-Vaught. Esempi di teorie complete: DLO, TFDAG (cenni) Primo teorema di incompletezza di Goedel. Numeri cardinali (cenni)

Due possibili alternative per l'esame.
1) Esame orale 'tradizionale' con domande di teoria ed esercizi.
Verrà valutata la conoscenza del contenuto del corso (incluse dimostrazioni) e la capacità di ragionamento e di applicare le nozioni apprese.
2) Presentazione di un seminario su un argomento (di adeguata complessità) da concordare affine a quelli del corso.
Verranno valutate la capacità di trovare ed elaborare le fonti, e la correttezza e chiarezza dell'esposizione (AC 2)
Descrittori di Dublino rilevanti: CC 2,6; CA 1,2; AG 1; AP 1
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

D.Mundici, Logica: Metodo Breve, Springer 2011 Altri testi consigliati: P. Halmos, "Naive set theory", 1960 Gli appunti del prof. A. Berarducci per la parte sul teorema di incompletezza di Goedel Boolos et al. "Computability and logic" P.Smith "An introduction to Gödel's theorems" (CUP 2013) e le note di accompagnamento "Gödel without too many tears"

Il corso si propone di fornire conoscenze e competenze e di presentare problematiche relative ai fondamenti storici e logici della geometria, anche ai fini dell'individuazione di alcuni nodi concettuali, epistemologici, linguistici e didattici relativi ai processi di insegnamento e apprendimento della geometria nella scuola secondaria di primo e secondo grado. Lo scopo è anche quello di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere problemi teorici, preparare attività didattiche per la scuola secondaria e sviluppare capacità critiche, rafforzando le abilità tecniche di base.
Il corso concorre allo sviluppo di una mentalità scientifica flessibile utile per analizzare criticamente problemi di natura matematica e permette di collocare la geometria e, più in generale, la matematica in un contesto culturale più ampio, con particolare attenzione allo sviluppo delle conoscenze e competenze previste nei curricula scolastici in un contesto multi e interdisciplinare.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione:
(cc1, cc4)conoscenze approfondite di storia della matematica e di didattica della matematica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione : (ca1)avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente
Autonomia di giudizio : (ag1)valutare l'efficacia di metodi e percorsi finalizzati all'insegnamento della matematica nella scuola secondaria.
Abilità comunicative: (ac1, ac2) Le laureate e i laureati magistrali in Matematica sono in grado di comunicare problemi, idee, soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: (ap1) Le laureate e i laureati in Matematica sono in grado di proseguire in modo autonomo l'aittività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica

Trasformazioni geometriche del piano euclideo. Isometrie: simmetrie assiali, traslazioni, rotazioni, glissosimmetrie. Similitudini e loro proprieta’. Omotetie. Punti fissi. Inversioni circolari. Omografie della sfera di Riemann e loro proprieta’. Il V° postulato di Euclide.Costruzione di un modello di geometria iperbolica. Trigonometria nel piano iperbolico. Geometria ellittica della sfera. Trigonometria sferica.
Esame delle indicazioni nazionali della scuola secondaria.

L’esame consiste unicamente in una prova orale: si inizia proponendo uno o più esercizi allo scopo di valutare le capacità dello studente di applicare le conoscenze teoriche e le tecniche acquisite. Successivamente vengono poste alcune domande sul programma svolto per verificare la conoscenza puntuale e il grado di comprensione dei contenuti del corso.
Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato e formalmente corretto.

Maria Dedo’ – Trasformazioni geometriche –1999 – Decibel Zanichelli
H. Meschkowski - Noneuclidean Geometry - 1964 - Academic Press Inc

Con riferimento ai Descrittori di Dublino.
Conoscenza e comprensione.
Al termine dell'insegnamento, le studentessa o gli studenti devono dimostrare di:
cc1, avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc2, avere completato la formazione di base in alcune discipline come le funzioni di variabile complessa e la logica matematica
cc4, conoscenze avanzate sulla geometria algebrica e differenziale
Capacità di applicare conoscenze e comprensione.
Al termine dell'insegnamento, le studentesse o gli studenti devono dimostrare di:
ca1, avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2, avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3, avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
Autonomia di giudizio
Al termine dell'insegnamento, le studentesse o gli studenti devono essere in grado di:
ag1, valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
Capacità di comunicazione
Al termine dell'insegnamento, le studentessa o gli studenti:
ac1, sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2, sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Capacità di apprendimento
Al termine dell'insegnamento, le studentesse o gli studenti:
ap1, sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2, hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Geometria simplettica, Riemanniana, complessa, e Kähleriana. Metriche Finsleriane e applicazioni.

Esame orale. La prova si articolerà nella presentazione dell’approfondimento di uno degli argomenti svolti e della risoluzione di un esercizio. Si prenderà lo spunto per rivolgere alcune domande volte a verificare le conoscenze, il grado di comprensione degli argomenti presentati nel corso e le competenze acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

M. Audin, "Torus actions on symplectic manifolds", Progress in Mathematics 93, Birkhauser, 2a ed., 2004.
D. Auroux, note del corso "Geometry of Manifolds" a cura di K. Venkatram, MIT 2007.
V. Guillemin, "Moment maps and combinatorial invariants of Hamiltonian T-spaces", Progress in Mathematics 122, Birkhauser, 1994.
B. Hall, "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction", Springer, 2015.
L. Jeffrey et al., "Hamiltonian Group Actions and Equivariant Cohomology", Springer Briefs in Mathematics, Springer, 2019.
S. Kobayashi "Hyperbolic complex spaces,", Springer, 2013.
J. Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", Springer, 2013.
D. McDuff, D. Salamon, "Introduction to Symplectic Topology", Oxford Science Publications, Oxford, 1998.

Conoscenze:
Utilizzo delle funzioni generatrici per l’enumerazione delle strutture
combinatorie, anche in connessione con l’analisi degli algoritmi.
Tecniche per la generazione di strutture combinatorie.
Tecniche per l’analisi e la ricostruzione di strutture discrete.
Competenze acquisite:
Competenze nel campo della Combinatoria e delle sue applicazioni nei
problemi informatici.
Capacita’ acquisite al termine del corso:
Al termine del corso gli studenti dovrebbero aver acquisito la capacita’ di
affrontare e risolvere un elevato numero di problemi di enumerazione
con lo strumento delle funzioni generatrici, anche in vista di applicazioni
all’analisi degli algoritmi. Dovrebbero inoltre essere in grado di utilizzare
e progettare algoritmi per la generazione di strutture combinatorie e per la loro ricostruzione in tempo polinomiale, qualora possibile, altrimenti determinare la NP-completezza del problema.
Descrittori di Dublino:
I. Conoscenza e capacità di comprensione
(cc1) ci si aspetta che lo studente abbia padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi della combinatoria e della analisi della complessità algoritmica;
(cc2) ci si aspetta che lo studente abbia completato la formazione di base in alcune discipline come la logica matematica, la combinatoria e l'analisi della complessità;
(cc5) ci si aspetta che lo studente abbia acquisito conoscenze avanzate sulle strutture algebriche e loro applicazioni;
(cc6) ci si aspetta che lo studente abbia acquisito conoscenze avanzate nel campo della logica matematica o dell'informatica teorica;
(cc12) ci si aspetta che lo studente abbia acquisito competenze avanzate in ambito computazionale e informatico.
II. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca2) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
(ca3) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli
nell'ambito della ricerca attuale;
(ca4) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di produrre elaborati originali nell'ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o
della diffusione della cultura matematica.
(ca5) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare
questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
(ca7) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici, che per acquisire ulteriori informazioni.
III. Autonomia di giudizio
(ag1) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
(ag2) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete;
(ag3) ci si aspetta che lo studente abbia la capacità di valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici;
IV. Abilità comunicative
(ac1) ci si aspetta che lo studente sia in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare
autonomamente in modo efficace;
(ac2) ci si aspetta che lo studente sia in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale;
V. Capacità di apprendimento
(ap1) ci si aspetta che lo studente sia in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica ed Informatica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica e dell'Informatica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
(ap2) ci si aspetta che lo studente abbia acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente
negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni
nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Introduzione all'uso della Matematica Discreta nell'Informatica. Funzione generatrice di linguaggi regolari e context-free, metodologia di Schutzenberger. Funzioni generatrici D-finite. Permutazioni a motivo escluso. Generazione esaustiva di strutture combinatorie: algoritmi lessicografici e codici Gray. Metodi algoritmici per strutture discrete: problemi di ricostruzione, consistenza ed unicita’ di insiemi finiti di punti con e senza informazioni a priori.

Prova orale, consistente in 3 prove distinte: una prova sulla parte di funzioni generatrici (un paio di domande sul contenuto del corso), una prova sulla parte di generazione di strutture, un seminario di approfondimento su uno degli argomenti trattati a lezione sulla parte di tomografia discreta.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics vol.I e II, CAMBRIDGE University Press. M. Bona, Combinatorics of Permutations, Chapman&Hall/CRC. D.E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 4, Addison-Wesley. Discrete Tomography: Foundations, Algorithms and Applications – G.T. Herman and A. Kuba eds. – Springer - 1999. Controlla la bibliografia su onesearch. Per aiuto contatta la tua biblioteca.

Conoscenze: metodo di separazione delle variabili, metodi dell'analisi armonica, distribuzioni, teoria dei semigruppi.
Competenze: inquadrare dal punto di vista dell'analisi armonica un problema al contorno per un'equazione alle derivate parziale in modo da fornire una soluzione esplicita mediante lo sviluppo in un’opportuna base.
Capacità acquisite alla fine del corso: analizzare un problema al contorno di tipo EDP sia dal punto di vista matematico sia da quello fisico-applicativo.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
(cc1) avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
(cc3) conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale;
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca2) avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
(ca3) avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca attuale;
(ca5) avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
Autonomia di giudizio
(ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
(ag2) valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete;
(ag3) valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici;
Abilità comunicative
(ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace;
(ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale;
(ac3) sono in grado di dialogare ed interagire con esperte ed esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di attività in svariati ambiti.
Capacità di apprendimento
(ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
(ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Il corso verte principalmente sui metodi dell'analisi armonica applicati alla soluzione di problemi al contorno per equazioni lineari alle derivate parziali.

Prova orale consistente in una parte "pratica" (risolvere un semplice problema con le tecniche apprese nel corso) e una parte teorica (enunciare e dimostrare i risultati matematici esposti nel corso).
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Dispense

Conoscenze: problemi ai limiti; formulazione debole di un problema differenziale (cc3); discretizzazione mediante collocazione o Galerkin (cc7); spazi splines generalizzati, metodi numerici avanzati per sistemi lineari sparsi e cenni a sistemi non lineari (ap1).
Con riferimento ai Descrittori di Dublino: conoscenze avanzate sui metodi numerici (cc7)
Competenze acquisite: metodi alle differenze finite, metodo agli elementi finiti e di analisi isogeometrica per problemi differenziali; metodi iterativi per classi speciali di sistemi lineari e metodo GMRES; metodo di Newton anche approssimato per sistemi non lineari.
Capacità acquisite: saper risolvere numericamente problemi ai limiti e alle derivate parziali ellittici o parabolici; saper utilizzare spazi spline per la risoluzione numerica di problemi differenziali; saper selezionare, implementare e sperimentare un metodo iterativo adeguato al completamento della risoluzione numerica del problema differenziale considerato; utilizzo di software dedicato (cc12).
Con riferimento ai Descrittori di Dublino: avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e saper consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale e avere la capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi
Inoltre, con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Autonomia di giudizio: valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici
Abilità comunicative: essere in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
Capacità di apprendimento: essere in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica (ap1)

Differenze finite per problemi ai limiti lineari e estensione al caso non lineare per problemi del secondo ordine. Formulazione debole di un problema differenziale. Discretizzazione mediante Galerkin. Il metodo degli elementi finiti standard e isoparametrico. Tecniche di stabilizzazione per FEM. Spazi spline e analisi isogeometrica. Metodi iterativi avanzati per sistemi lineari.

Valutazione di un elaborato svolto individualmente o di un seminario di approfondimento di tematica specifica. L'argomento dell'elaborato potrà essere scelto dallo studente fra gli argomenti trattati nel corso. L'elaborato dovrà includere il software sviluppato, i risultati della sperimentazione numerica effettuata e alcuni commenti (ag1,ag2,ag3). Alternativamente sarà valutato il livello di approfondimento della tematica individualmente approfondita e le capacità espositive (ag1,ag2,ag3. Nell'esame orale saranno poste domande sui contenuti del corso. L'obiettivo dell'orale è verificare il grado di comprensione dei contenuti del corso e le capacita' di esposizione mediante adeguato linguaggio matematico.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• Alfio Quarteroni (2012): Modellistica Numerica per Problemi Differenziali'' 5a edizione Springer. -Luca Formaggia, Fausto Saleri, Alessandro Veneziani (2005), Applicazioni ed esercizi di medellistica numerica per problemi differenziali, Springer. -Tom Lyche, K. Morken (2018), Spline Methods. Draft, available online. - C.T. Kelly (1995), Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia.

Conoscenze:
Conoscenze riguardo ai sistemi dinamici continuii e discreti ed ai metodi numerici per equazioni differenziali.
Competenze acquisite:
Capacita' di implementare su calcolatore i metodi numerici di base per equazioni differenziali.
Capacità acquisite al termine del corso:
Capacita' di analizzare e simulare sistemi dinamici continui e discreti.
In particolare, con riferimento ai descrittori di Dublino:
Conoscenza e Comprensione
cc1 - avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc2 - avere completato la formazione di base in alcune discipline matematiche
cc3 - conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali
cc7 - conoscenze avanzate sui metodi numerici
cc8 - conoscenze avanzate sui modelli matematici e le loro applicazioni
cc12 - competenze avanzate in ambito computazionale
Capacità di applicare conoscenze e comprensione
ca1 - avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2 - avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3 - avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
ca4 - avere la capacità di produrre elaborati originali nell’ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della cultura matematica
ca5 - avere la a capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente
ca7 - avere la capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici, che per per acquisire ulteriori informazioni.
Autonomia di giuduzio
ag1 - valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi
ag3 - valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici.
Capacità di comunicazione
ac1 - sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac3 - sono in grado di dialogare ed interagire con esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di attività in svariati ambiti.
Capacità di apprendimento
ap1 - sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2 - hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Equazioni alle differenze, stabilita' delle soluzioni, metodi lineari multistep per equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di matrici, successioni di funzioni di matrici, matrici positive. Sistemi lineari. Sistemi nonlineari, linearizzazione, funzioni di Liapunov. Metodi Runge-Kutta. Problemi conservativi.

L'esame consiste in una discussione orale, intesa a verificare l'acquisizione degli aspetti metodologici della disciplina, con la contestuale presentazione di un elaborato, inteso a verificare la capacità di implementare efficientemente su calcolatore i metodi numerici ed i modelli matematici studiati , utilizzando Matlab. L'elaborato è svolto autonomamente dallo studente prima dell'esame, da solo o in gruppi di 2 persone. Il voto finale è ottenuto pesando per 2/3 la discussione orale, e per 1/3 l'elaborato scritto.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• L. Brugnano. Modelli Numerici per la Simulazione. MasterBooks, Firenze (ultima edizione disponibile). Disponibile presso Libreria Master. Controlla la bibliografia su onesearch. Per aiuto contatta la tua biblioteca

Il corso ha come obiettivo quello di fornire allo studente una panoramica sulle tecniche di modellizzazione di fenomeni del mondo reale. Partendo da problemi di natura pratica, viene mostrato come costruire un modello matematico che possa fornire informazioni di carattere quantitativo del fenomeno in esame. In particolare viene illustrato come formulare matematicamente un problema sulla base di leggi costitutive ed equazioni di bilancio. I problemi sono formulati a livello macroscopico facendo ampio riferimento alla meccanica del continuo. Si introducono po tecniche di scaling che possono permettere semplificazioni e fornire soluzioni di tipo analitico e semi-analitico. In alcuni casi viene mostrato come ottenere informazioni di tipo quantitativo mediante simulazioni numeriche.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
I. Conoscenza e capacità di comprensione
I risultati di apprendimento attesi per le studentesse e gli studenti del Corso di Studi in termini di conoscenza e
comprensione sono i seguenti:
(cc3) conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale;
(cc8) conoscenze avanzate sui modelli matematici e loro applicazioni;
II. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
I risultati di apprendimento attesi per le studentesse e gli studenti del Corso di Studi in termini di capacità di applicare
conoscenza e comprensione sono i seguenti:
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca5) avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare
questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
(ca6) avere la capacità di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi;
IV. Abilità comunicative (communication skills)
Le laureate e i laureati magistrali in Matematica:
(ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in
forma scritta che orale;

Il corso presenta una serie di modelli matematici sviluppati per applicazioni di carattere industriale, biologico (crescita delle popolazioni), geologico, ambientale. I modelli sono sviluppati partendo da un particolare tipo problema e traducendolo in una formulazione matematica per la sua analisi di tipo quantitativo. I problemi sono formulati in termini di PDE o ODE (equazioni differenziali alle derivate parziali ed ordinarie, la maggior parte direttamente integrabili), di cui si ricercano soluzioni di tipo analitico e numerico. verranno considerati modelli

Esame orale. La prova consiste generalmente in domande sul programma svolto. Attraverso domande e esercizi relativi al corso si intende verificare l'apprendimento dello studente e la sua capacità di elaborazione degli argomenti trattati.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino indicati negli obiettivi formativi, la prova è finalizzata a verificare:
I. Conoscenza e capacità di comprensione
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori cc3 e cc8, accertando l’acquisizione di conoscenze avanzate relative alle equazioni differenziali, all’analisi funzionale, ai modelli matematici e alle loro applicazioni. Sarà valutata in particolare la comprensione dei risultati teorici presentati nel corso, delle definizioni, degli enunciati, delle dimostrazioni e del ruolo dei modelli matematici nello studio di problemi teorici o applicativi.
II. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
La prova verifica il raggiungimento dei descrittori ca1, ca5 e ca6, valutando la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato, di formalizzare matematicamente problemi espressi in linguaggio naturale, di analizzare i modelli ottenuti al fine di risolvere o comprendere più chiaramente il problema originario, e di estrarre informazioni qualitative da dati quantitativi.
IV. Abilità comunicative
La prova verifica il raggiungimento del descrittore ac2, accertando la capacità di comunicare con chiarezza, rigore e proprietà di linguaggio problemi, idee, metodi e soluzioni riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti avanzati. La valutazione terrà conto della capacità di esporre argomenti matematici in forma scritta e/o orale, rivolgendosi in modo adeguato sia a un pubblico specializzato sia, ove pertinente, a un pubblico non specialistico.
La valutazione finale terrà conto della correttezza matematica, del rigore argomentativo, della completezza delle risposte, della capacità di applicare i metodi studiati, della chiarezza espositiva e della capacità di collegare i contenuti teorici con eventuali aspetti modellistici o applicativi.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Dispense fornite dal docente

Il corso si propone di introdurre gli studenti alla risoluzione numerica dei problemi di ottimizzazione, fornendo le basi teoriche e computazionali indispensabili per comprendere e applicare i principali metodi di risoluzione, con un'attenzione speciale ai problemi che nascono nell'ambito dell'apprendimento automatico (Machine Learning) e dell'Intelligenza Artificiale.
Conoscenza e Comprensione (Descrittori di Dublino: Matematica cc1, cc7, cc8, Data Science, Calcolo Scient. & IA cc2, cc5, cc15, Robotics Automation and Electrical Engineering, cc15)
Attraverso questo percorso formativo, lo studente acquisisce padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali dell’Ottimizzazione Numerica. Il percorso permette di maturare conoscenze avanzate dei metodi di ottimizzazione numerica e della risoluzione numerica dei problemi che nascono in vari campi applicativi con particolare attenzione ai problemi che nascono alle applicazioni nell'IA e nella Data Science.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Descrittori di Dublino: Matematica ca1-ca7, Data Science, Calcolo Scient. & IA ca2,ca5, Robotics Automation and Electrical Engineering, ca7 )
Gli studenti sviluppano un'elevata capacità di formalizzare matematicamente problemi complessi originariamente espressi in linguaggio naturale o provenienti dal mondo applicativo, industriale e finanziario. Durante il corso si impara ad applicare strumenti di ottimizzazione numerica avanzati per la risoluzione di problemi in vari contesti applicativi con particolare attenzione all’area dell’ intelligenza artificiale e dell’apprendimento automatico Si acquisisce la capacità di di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici, che per estrarre informazioni qualitative dettagliate da dati quantitativi. Gli studenti acquisiscono inoltre l'abilità di consultare e comprendere testi e articoli di ricerca complessi, arrivando a produrre elaborati originali nel campo della ricerca o delle sue applicazioni.
Autonomia di Giudizio (Descrittori di Dublino: Matematica ag1-ag3, Data Science, Calcolo Scient. & IA ag1,ag2,ag4,ag5)
L'approccio formativo mira a sviluppare la capacità di analisi individuale e di valutazione critica. Lo studente viene messo in grado di giudicare l'efficacia dei procedimenti numerici, dei modelli matematici e dei metodi computazionali. Attraverso l'analisi dei risultati di simulazioni ed esperimenti numerici, si consolida un rigoroso metodo scientifico di interpretazione dei dati.
Abilità comunicative e capacità di apprendimento (Descrittori di Dublino: Matematica e Data Science, Calcolo Scient. & IA ac1-ac3, ap1,ap2, Robotics Automation and Electrical Engineering, ac1, ap3 )
Il corso cura il rafforzamento delle competenze trasversali e relazionali. Gli studenti affinano la capacità di lavorare efficacemente sia in autonomia sia all'interno di un gruppo, di dialogare ed interagire con esperte ed esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario. Accrescono la loro capacità di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro e di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi.

Metodi numerici per problemi di minimizzazione non lineare senza vincoli e problemi ai minimi quadrati. Metodi di tipo gradiente stocastico per problemi di ottimizzazione che nascono nell'apprendimento automatico. Istruzioni fondamentali del linguaggio Python e del modulo scipy.optimize. Applicazioni all'allenamento di reti neurali e piu' in generale a modelli di apprendimento automatico. Utilizzo del Matlab Optimization Toolbox.

L 'esame e' costituito da una prova orale e da un progetto relativo alle attivita' svolte in laboratorio. Saranno valutati il rigore e la chiarezza dell'esposizione, la capacità di inquadrare i vari argomenti nei rispettivi contesti e di collegarli tra loro; per i contenuti applicativi del corso saranno valutati la capacita' di valutare le prestazioni del metodi in termini di robustezza, occupazione di memoria, costo computazionale di presentare i risultati raggiunti.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

J. Nocedal, S.J. Wright, "Numerical Optimization", 2nd ed., 2006 I. Goodfellow, Y. Bengio, A. Courville, Deep Learning, The MIT Press, 2016. G. Strang, Linear algebra and learning from data, Wellesley-Cambridge Press, 2019.

l corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze, capacità di comprensione e di applicazione dei concetti e risultati riguardanti la teoria della probabilità per sequenze di variabili aleatorie e processi stocastici.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
gli/le studenti acquisiranno:
(cc9) conoscenze avanzate della probabilità e delle sue applicazioni;
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
gli/le studenti dimostreranno di:
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca2) avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
(ca3) avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli
nell'ambito della ricerca attuale;
(ca5) avere la capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare
questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
Autonomia di giudizio
gli/le studenti sono in grado di:
(ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
(ag2) valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da
informazioni limitate o incomplete;
Abilità comunicative
gli/le studenti:
(ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare
autonomamente in modo efficace;
(ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in
forma scritta che orale;
Capacità di apprendimento
gli/le studenti:
(ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
(ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente
negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni
nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Costruzione di spazi di probabilità e teoria della misura. Teoremi limite per sequenze di variabili aleatorie e modi di convergenza. Catene di Markov a tempo discreto e continuo. Cenni di grandi deviazioni.

L'esame consiste in una prova orale in cui lo studente dovrà esporre concetti e dimostrare risultati spiegati durante le lezioni e risolvere brevi esercizi sugli argomenti trattati a lezione.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

1) Rosenthal, A first look at rigorous probability theory.
2) Norris, Markov Chains.
3) den Hollander, Large deviations.

Acquisire le conoscenze fondamentali, gli strumenti matematici e le tecniche di base nell'ambito di alcune importanti famiglie di processi stocastici. Sviluppare la capacità di modellizzazione, applicando le conoscenze teoriche a problemi concreti in campo biologico, statistico, finanziario, ecc. Sviluppare la capacità di esporre soluzioni ai problemi in esame, argomentandole con rigore matematico e discutendone con apertura mentale.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione: (cc9) conoscenze avanzate della probabilità e delle sue applicazioni; (cc10) conoscenze di base sui processi stocastici e le loro applicazioni alla finanza matematica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: (ca1) capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato; (ca2) capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica; (ca3) capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca attuale; (ca5) capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente.
Autonomia di giudizio: (ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o per la risoluzione di problemi; (ag2) valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete.
Abilità comunicative: (ac1) capacità di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace; (ac2) capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: (ap1) capacità di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca; (ap2) acquisizione di una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e capacità di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

I processi stocastici sono oggetti matematici volti a modellizzare fenomeni aleatori che evolvono nel tempo. Il corso inizierà con la costruzione della speranza condizionale, un formalismo fondamentale nella teoria dei processi stocastici. In seguito, si studieranno le martingale, una importante famiglia di processi che, in media, rimangono costanti nel tempo. L'ultima parte del corso sarà dedicata al moto browniano, il più importante processo stocastico a traiettorie continue.

L'esame consiste in un colloquio orale, in cui verranno sottoposte domande aperte riguardanti definizioni, teoremi, esempi, controesempi, dimostrazioni ed esercizi. Le dimostrazioni richieste non riguarderanno necessariamente risultati presentati a lezione, ma saranno generalmente brevi e volte a testare la capacità dello studente di applicare le conoscenze, le tecniche e i metodi appresi, più che le sue abilità mnemoniche. Lo studente dovrà anche affrontare problemi ispirati a situazioni concrete, dandone giustificazione e usando risultati e linguaggio matematico corretto. Verranno valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio scientifico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

D. Williams, Probability with Martingales (1991) - P. Mörters and Y. Peres, Brownian Motion (2010).

Il corso si pone come obiettivo quello di fornire conoscenze relative a selezionati momenti della storia della matematica, nonché strumenti per condurre ricerche autonome, per leggere criticamente la letteratura e le fonti e per costruire percorsi storico-didattici in classe. Al termine dell’insegnamento le studentesse e gli studenti dovranno:

• conoscere ed essere in grado di illustrare con chiarezza i momenti e i temi della storia della matematica discussi a lezione e dovranno conoscere gli strumenti e i metodi propri della ricerca in storia della matematica presentati durante il corso;
• essere in grado di analizzare criticamente diverse posizioni storiografiche;
• essere in grado di svolgere, in autonomia e con sufficiente rigore, semplici ricerche di storia della matematica, identificando le fonti primarie e le risorse più adeguate;
• essere in grado di leggere e analizzare criticamente un articolo o un libro di storia della matematica;
• essere in grado di trasporre didatticamente le conoscenze storico-matematiche apprese.
  Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
  Conoscenza e capacità di comprensione
  (cc1) avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
  (cc11) conoscenze approfondite di storia della matematica e di didattica della matematica;
  Capacità di applicare conoscenza e comprensione
  (ca3) avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell'ambito della ricerca attuale;
  (ca4) avere la capacità di produrre elaborati originali nell'ambito della ricerca matematica, o delle sue applicazioni, o della diffusione della cultura matematica.
  Autonomia di giudizio
  (ag4) valutare l’efficacia di metodi e percorsi finalizzati all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria.
  Abilità comunicative
  (ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace;
  (ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale;
  Capacità di apprendimento
  (ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione di problemi, o per la determinazione di nuove
  direzioni di ricerca;
  (ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e
  decisionali nell’ambiente di lavoro.

L’insegnamento analizza alcuni momenti e temi della storia della matematica attraverso lo studio delle fonti primarie (in originale o in traduzione) e della letteratura scientifica. In particolare verranno analizzati alcuni particolari sviluppi menzionati dalle Indicazioni Nazionali per i Licei. L’insegnamento si propone altresì di esaminare i metodi e i problemi della ricerca storico-matematica in relazione al periodo e al tema d’indagine.

La valutazione prevede la presentazione di un articolo scientifico a scelta tra quelli messi a disposizione sulla piattaforma Moodle e un colloquio sui temi affrontati nel corso delle lezioni. Per quello che riguarda la presentazione verranno valutati: la chiarezza espositiva e la capacità di sviluppare una presentazione organica e ben strutturata e la capacità di mettere in relazione i temi dell’articolo scelto con quelli sviluppati a lezione. Il colloquio mira a verificare la conoscenza critica e la capacità di esposizione dei temi discussi a lezione, sia dal punto di vista matematico sia dal punto di vista storico-matematico. Le Studentesse e gli Studenti con disabilità, disturbi specifici dell'apprendimento (DSA), bisogni educativi speciali (BES) debitamente diagnosticati, sono invitati a rivolgersi all'ufficio UNIFIINCLUDE (www.unifiinclude.unifi.it) per il supporto personale e per ogni informazione relativa al proprio piano di studio ed alle misure compensative e adattative utili per la frequenza all'insegnamento, per lo studio e per le modalità delle prove d'esame. Per l'applicazione di tali misure risulta necessario un colloquio con il docente, preferibilmente all'inizio dell'insegnamento ed obbligatoriamente con un anticipo di almeno 15 giorni rispetto alla data dell'esame. Potranno essere rese operative solo le misure compensative esplicitamente approvate da UNIFIINCLUDE.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

• Materiale fornito dalla docente - U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli, Fonti per la storia della matematica, Sansoni 1992. - L. Catastini, F. Ghione, R.Rashed, Algebra. Origini e sviluppi tra mondo arabo e mondo latino, Carocci 2016. - E. Giusti, Piccola storia del calcolo infinitesimale, Fabrizio Serra Editore 2007

Conoscenze:
Conoscere le principali metodologie per la progettazione di algoritmi, per la dimostrazione della loro correttezza e per la valutazione della loro complessita’.
Competenze acquisite:
Saper utilizzare le tecniche di progettazione nel modo piu’ efficace e saper valutare la complessita’ degli algoritmi e argomentare sulla loro correttezza.
Capacita’ acquisite al termine del corso:
Utilizzare consapevolmente le proprie conoscenze per individuare strategie risolutive di problemi reali.
Con particolare riferimento ai Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione:
al termine dell'insegnamento, ci si
attende che lo studente/la studentessa possieda

• conoscenze avanzate nel campo della logica matematica o dell'informatica teorica;
• competenze avanzate in ambito computazionale e informatico.
  Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
  al termine dell'insegnamento, ci si
  attende che lo studente/la studentessa abbia
• capacità di formalizzare matematicamente problemi formulati nel linguaggio naturale, di analizzare questi modelli per risolvere il problema originario, o comunque per comprenderlo più chiaramente;
• capacità di utilizzare strumenti informatici e computazionali sia come supporto ai processi matematici, che per per acquisire ulteriori informazioni.
  Autonomia di giudizio:
  al termine dell'insegnamento, ci si
  attende che lo studente/la studentessa sia in grado di
• valutare l’efficacia dei metodi computazionali per la risoluzione quantitativa dei problemi matematici.
  Abilità comunicative:
  al termine dell'insegnamento, ci si
  attende che lo studente/la studentessa sia in grado di
• interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace;
• dialogare ed interagire con esperte ed esperti di altri settori, e di presentare e descrivere la formalizzazione matematica di situazioni di interesse applicativo, industriale o finanziario, formulando gli adeguati modelli matematici a supporto di attività in svariati ambiti.
  Capacità di apprendimento:
  al termine dell'insegnamento, ci si
  attende che lo studente/la studentessa abbia
• acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Algoritmi ricorsivi e relazioni di ricorrenza. Tipi di complessità computazionale e loro calcolo. Dimostrazioni di correttezza degli algoritmi. Approccio "Divide et impera"; Algoritmi "greedy"; Programmazione dinamica; Algoritmi su stringhe; Problemi NP-completi. Algoritmi di approssimazione.

L’esame finale ha lo scopo di accertare il raggiungimento degli obiettivi formativi tramite lo svolgimento di una prova orale.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

T. H. Cormen, C.E. Leiserson, R. L. Rivest, Introduzione agli algoritmi, Jackson Libri, 2003.
J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education.
J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman, Automi, linguaggi e calcolabilit a’, Addison-Wesly, 2003.
M. Sisper, Introduzione alla teoria della computazione, Maggioli Editore, 2016. Collana Apogeo education.

Acquisire i fondamenti di teoria dei grafi, combinatoria e loro applicazioni.
Con riferimento ai descrittori di Dublino:
1) Conoscenza e capacità di comprensione. Avere padronanza dei metodi fondamentali in teoria dei grafi e combinatoria; 2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato, capacità di formulare congetture su possibili risultati originali, capacità di lettura di articoli scientifici in teoria dei grafi e combinatoria, capacità di formalizzare problemi formulati nel linguaggio naturale. 3) Autonomia di giudizio. Valutare l'efficacia dei propri ed altrui procedimenti dimostrativi sviluppando capacità critica e di correzione delle dimostrazioni. Valutare l'efficacia dei modelli matematici sia da un punto di vista teorico che computazionale; 4) Abilità comunicative: sintetizzare e comunicare i risultati in maniera individuale o di piccolo gruppo, capacità di interazione e scambio fra studenti riguardo a idee, problemi e loro soluzione nell'ambito della teoria dei grafi e della combinatoria. 5) Capacità di apprendimento. Capacità di proseguire in modo autonomo l'attività di studio nel settore della teoria dei grafi e combinatoria, anche con elementi di interdisciplinarietà. Acquisizione di una mentalità flessibile e sviluppo di capacità di concentrazione volte alla formulazione e soluzione di problemi, capacità di adattamento a situazioni nuove viste come attraenti sfide.

Corso di base in teoria dei grafi con elementi di combinatoria.

Esame orale preceduto da un esercizio scritto. Alla valutazione finale concorre l'eventuale partecipazione degli studenti alla attività seminariale.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Dispense di teoria dei grafi e combinatoria del Prof. C. Casolo, a.a. 2016-17, reperibili al seguente indirizzo
http://web.math.unifi.it/users/casolo/

Il corso ha come scopo quello di fornire allo studente le conoscenze di base necessarie per intraprendere studi più approfonditi su temi di teoria dei numeri e teoria di Galois.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino:
I. Conoscenza e capacità di comprensione
(cc1) avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell'Algebra, dell’Analisi Matematica, della
Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline;
(cc2) aver completato la formazione di base in alcune discipline come le funzioni di variabile complessa e la logica
matematica;
(cc5) al termine dell'insegnamento, ci si attende che lo studente/la studentessa abbia delle conoscenze avanzate sulle strutture algebriche e loro applicazioni.
II. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
(ca1) avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato;
(ca2) avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica;
(ca3) avere la capacità di comprendere testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli
nell'ambito della ricerca attuale;
III. Autonomia di giudizio
(ag1) valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel proprio percorso formativo, per la dimostrazione di
risultati teorici o per la risoluzione di problemi;
(ag2) valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici, per trattare situazioni caratterizzate anche da
informazioni limitate o incomplete;
IV. Abilità comunicative
(ac1) sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare
autonomamente in modo efficace;
(ac2) sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche
nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in
forma scritta che orale;
V. Capacità di apprendimento
(ap1) sono in grado di proseguire l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica, apprendendo in modo
autonomo il contenuto di lavori di ricerca nel campo della Matematica, dai quali attingere indicazioni per la risoluzione
di problemi, o per la determinazione di nuove direzioni di ricerca;
(ap2) hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente
negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni
nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro.

Il corso è un'introduzione alla teoria algebrica dei numeri. Partendo dalla definizione di intero algebrico si studiano le proprietà fondamentali degli anelli di interi di campi di numeri (anelli di numeri). Nella parte finale del corso si considerano alcune applicazioni.

L’accertamento del raggiungimento dei risultati di apprendimento avviene tramite un colloquio orale finale sulle conoscenze acquisite nel corso, integrato dalla valutazione delle esercitazioni svolte durante il semestre. Le esercitazioni in itinere contribuiscono fino al 10% del voto finale e permettono di monitorare progressivamente l’apprendimento. Il voto complessivo è espresso in trentesimi.
Colloquio orale: vengono poste alcune domande mirate a verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria trattata nel corso. Sono valutate con particolare attenzione la capacità di esporre e argomentare in modo critico i contenuti, così come l’uso appropriato del linguaggio matematico.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

1) Marcus: Number fields
2) Stewart-Tall: Algebraic number theory and Fermat's last theorem
3) Jarvis: algebraic Number Theory

Obiettivi di conoscenza: Revisione delle conoscenze di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa. Introduzione a tematiche avanzate della teoria delle funzioni di variabile complessa mediante l’uso di tecniche algebriche, geometriche e analitiche.
Competenze acquisite al termine del corso:
Elementi della teoria di una variabile complessa utili ad affrontare temi
avanzati in Analisi, Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Capacità acquisite al termine del corso: Capacità di utilizzare la teoria di una variabile complessa in Analisi, Geometria e nelle Applicazioni della Matematica.
Con riferimento ai Descrittori di Dublino, al termine dell'insegnamento, la studentessa o lo studente dovranno dimostrare le seguenti:
Conoscenza e capacità di comprensione.
cc1 avere padronanza dei risultati e dei metodi fondamentali nei campi dell’Algebra, dell’Analisi Matematica, della Geometria e delle applicazioni della Matematica alla Fisica e alle altre discipline
cc2 avere completato la formazione di base in alcune discipline come le funzioni di variabile complessa e la logica matematica
cc3: conoscenze avanzate sulle equazioni differenziali e l'analisi funzionale
cc4:conoscenze avanzate sulla geometria algebrica e differenziale
Capacità di applicare conoscenze e comprensione.
ca1: avere la capacità di dimostrare risultati matematici anche di livello avanzato
ca2: avere la capacità di risolvere problemi complessi in diversi campi della matematica
ca3: avere la capacità di comprendere i testi avanzati di Matematica e di consultare articoli di ricerca, inquadrandoli nell’ambito della ricerca attuale
Capacità di comunicazione
ac1: sono in grado di interagire e collaborare in un lavoro di gruppo, pur mantenendo la capacità di lavorare autonomamente in modo efficace
ac2: sono in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, riguardanti la Matematica, anche nei suoi aspetti recenti e più avanzati, ad un pubblico specializzato o generico, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale
Autonomia di giudizio
ag1: valutare l’efficacia di procedimenti dimostrativi appresi nel
proprio percorso formativo, per la dimostrazione di risultati teorici o
per la risoluzione di problemi
ag2:valutare l’efficacia di modelli matematici o risultati teorici,anche per trattare situazioni caratterizzate anche da informazioni limitate o incomplete
Capacità di apprendimento
ap1: sono in grado di proseguire in modo autonomo l'attività di studio finalizzata alla ricerca in Matematica
ap2: hanno acquisito una mentalità flessibile e capacità di concentrazione, e sono in grado di inserirsi rapidamente negli ambienti di lavoro, di sviluppare nuove strategie per la risoluzione di problemi, di adattarsi facilmente a situazioni nuove e di sviluppare capacità relazionali e decisionali nell’ambiente di lavoro

Proprietà fondamentali delle funzioni olomorfe: principio del massimo, mappa aperta, riflessione di Schwarz. Funzioni armoniche, subarmoniche e olomorfe. Teorema di mappatura di Riemann. Approssimazione di funzioni olomorfe e problema del delbar: teoremi di Runge, di Mittag-Leffler e di Weierstrass. Singolarità delle funzioni olomorfe. Teoria prime-ends di Carathéodory ed estensione dei biolomorfismi. Automorfismi del disco, del piano e della sfera di Riemann. Superfici di Riemann: rivestimenti universali e uniformizzazione. Metriche e curvatura.

Esame orale. La prova si articolerà nella presentazione, in forma seminariale, di uno degli argomenti svolti. Si prenderà lo spunto per rivolgere alcune domande volte a verificare le conoscenze, il grado di comprensione degli argomenti presentati nel corso e le competenze acquisite. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l'uso di un linguaggio matematico appropriato.
Tabella docimologica di valutazione
Insufficiente
Valutazione negativa dovuta a gravi errori concettuali, comprensione frammentaria o nulla degli argomenti trattati, incapacità di applicare le conoscenze, gravi lacune e mancanza di autonomia.
18–22
Valutazione sufficiente o più che sufficiente dovuta a conoscenza elementare degli argomenti, presenza di alcuni errori, capacità di affrontare solo compiti semplici o guidati, livello base di autonomia.
23–25
Valutazione discreta dovuta a comprensione soddisfacente degli argomenti, capacità di applicare correttamente le conoscenze a contesti noti e di affrontare gli esercizi in modo autonomo con qualche imprecisione, con un soddisfacente livello di autonomia e competenza operativa.
26–28
Valutazione buona o molto buona, dovuta a solida comprensione teorica della disciplina, capacità di collegare concetti, risolvere problemi e proporre analisi critiche, di svolgere compiti complessi in modo autonomo, preciso ed efficace, con un buon livello di autonomia e competenza operativa.
29–30 e Lode
Valutazione eccellente o ottima, dovuta a conoscenze complete, approfondite e ben strutturate, capacità di operare in modo autonomo e flessibile, anche in contesti complessi o nuovi, di utilizzare il linguaggio disciplinare in modo appropriato, preciso e articolato, di evidenziare capacità critiche, originalità e rigore nell’esposizione e nell’applicazione.
La Lode è attribuita a elaborati o prestazioni che si distinguono per brillantezza e originalità, anche al di là delle aspettative curricolari.

Note fornite dal Docente.
Letture consigliate:
W. Fischer - I. Lieb,A Course in Complex Analysis. From Basic Results to Advanced Topics,-Vieweg-Teubner(2011)
O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer (1981)
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw Hill 1979
J. B. Conway, Functions of One Complex Variabl, GTM Springer-Verlag, 1978