matematica

Presentare gli aspetti principali della teoria delle algebre di Lie fornendo agli
studenti strumenti e metodologie diverse.

12 Algebre astratte, algebre libere, algebre lineari. Algebre di Lie. Algebre di Lie lineari, algebre di Lie classiche.
Derivazioni. Costanti di struttura. Ideali, algebre di Lie semplici. Centro di un’algebra di Lie, Algebra di Lie
derivata. Somma diretta di algebre di Lie. Omomorfismi. Rappresentazioni di algebre di Lie. Algebre di Lie
nilpotenti. Notazione normalizzata. Proprieta' strutturali di algebre nilpotenti. Ideale massimale nilpotente.
Derivazioni esterne.
12 Teorema di Engel. Criterio di nilpotenza di algebre di Lie di dimensione finita. Algebre di Lie risolubile.
Proprieta' strutturali di algebre risolubile. Radicale. Algebre di Lie semisemplici. Teorema di Lie. Descrizione di
algebre di Lie semisemplici di dimensione finita sopra un campo algebricamente chiuso. Forma di Killing.
Primo e secondo criterio di Cartan.
10 Derivazioni di algebre di Lie semisemplici. Decomposizione astratta di Jordan. Algebre di Lie semisemplici
complesse e decomposizione in spazi radice.
14 Sottoalgebre di Cartan. Sottoalgebre isomorfe a sl(2, C). Stringhe di radici ed autovalori. Sottoalgebre di
Cartan e prodotti interni. Sistemi di radici. Basi di sistemi di radici. Matrici di Cartan e diagrammi di Dynkin.
Algebre di Lie semplici sul campo complesso.

L'esame consiste in una prova orale. Tale prova consiste in un colloquio, volto
ad accertare il possesso delle competenze e delle conoscenze disciplinari
previste dal corso. La valutazione viene espressa in trentesimi. Durante la
pausa didattica è prevista una prova in itinere sugli argomenti della prima parte
del corso, valutata in trentesimi. Il voto concorrerà alla formazione del voto finale
con un peso indicativo compreso tra il 30% e il 50%. Gli studenti che
supereranno la prova saranno esonerati dalla verifica dei relativi argomenti in
sede di esame finale.
Descrizione dei metodi di valutazione:

• Valutazione eccellente: voto 30-30 e lode. Esito: ottima conoscenza degli
  argomenti, ottima proprieta' di linguaggio, buona capacita' analitica, lo studente
  e' in grado di applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione molto buono: voto 26-29. Esito: Buona padronanza degli
  argomenti, piena proprieta' di linguaggio, lo studente e' in grado di applicare le
  conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione buono: voto 24-25. Esito: conoscenza di base dei principali
  argomenti, discreta proprieta' di linguaggio, con limitata capacita' di applicare
  autonomamente le conoscenze alla soluzione dei problemi proposti.
• Valutazione soddisfacente: voto 21-23. Esito: non ha piena padronanza degli
  argomenti principali dell’insegnamento ma ne possiede le conoscenze,
  soddisfacente proprieta' di linguaggio, modesta capacita' di applicare
  autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione sufficiente: voto 18-20. Esito: minima conoscenza di base degli
  argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, minima
  capacita' di applicare autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione insufficiente. Esito: non possiede una conoscenza accettabile dei
  contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento.
  Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
  compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
  Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
  attuazione della normativa vigente.

Testo di riferimento: K. Erdmann, M.J. Wildon, "Introduction to Lie Algebras",
Springer 2006. ISBN 1846280400.
Testo consigliato: J.E. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory", v.9 of Graduate Text in Mathematics, Springer, Dover,
New York, 1978 (reprinted 1994). ISBN. 978-0-387-90053-7.

Presentare i fondamenti della teoria delle algebre fornendo agli studenti
strumenti e metodologie diverse.

10 Anelli non commutativi: moduli sinistri su anelli. Sottomoduli, moduli quozienti, omomorfismi. Moduli fedeli.
Moduli irriducibili. Lemma di Schur. Radicale di Jacobson di un anello. Anelli
semisemplici.
9 Anelli artiniani. Elementi idempotenti. Anelli Semiprimi. Algebre. Algebre gruppali. Teorema di Maschke.
Decomposizione di Pierce.
9 Teorema di Wedderburn. Anelli primitivi. Anelli densi di trasformazioni
lineari. Teorema di densità di Jacobson.
9 Teorema di Wedderburn-Artin e conseguenze. Moduli su
anelli artiniani e semisemplici. Serie di Laurent e corpi.
9 Prodotto tensoriale di algebre. Algebre centrali e semplici. Algebre centrali e semplici di
dimensione finita. Sottocampi massimali.
10 Il gruppo di Brauer di un campo. Teorema di Noether-Skolem. Teorema di Froboenius. Teorema di
Wedderburn sui corpi finiti
10 Automorfismi e derivazioni di algebre di matrici. Algebre libere. Identità polinomiali. Identità stabili. Polinomi
multilineari e
processo di multilinearizzazione.
6 Polinomi standard e di Capelli. Teorema di Kaplansky.

L'esame consiste in una prova orale. Tale prova consiste in un colloquio, volto
ad accertare il possesso delle competenze e delle conoscenze disciplinari
previste dal corso. La valutazione viene espressa in trentesimi.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.
Descrizione dei metodi di valutazione

• Valutazione eccellente: voto 30-30 e lode. Esito: ottima conoscenza degli
  argomenti, ottima proprietà di linguaggio, buona capacità analitica, lo studente è
  in grado di applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione molto buono: voto 26-29. Esito: Buona padronanza degli
  argomenti, piena proprietà di linguaggio, lo studente è in grado di applicare le
  conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione buono: voto 24-25. Esito: conoscenza di base dei principali
  argomenti, discreta proprietà di linguaggio, con limitata capacità di applicare
  autonomamente le conoscenze alla soluzione dei problemi proposti.
• Valutazione soddisfacente: voto 21-23. Esito: non ha piena padronanza degli
  argomenti principali dell’insegnamento ma ne possiede le conoscenze,
  soddisfacente proprietà di linguaggio, modesta capacità di applicare
  autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione sufficiente: voto 18-20. Esito: minima conoscenza di base degli
  argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, minima capacità
  di applicare autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione insufficiente. Esito: non possiede una conoscenza accettabile dei
  contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento.

Testo di riferimento (qualsiasi edizione del testo è consigliata):
Herstein I.N., Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs, 15.
Mathematical Association of America,
Washington, DC, 1994. ISBN: 978-0883850152.
Testi consigliati (qualsiasi edizione dei testi è consigliata):
1) Lam T.Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate
Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag,
New York, 2001. ISBN: 978-0-387-95183-6.
2) Jacobson N., Basic algebra II. Second edition. W. H. Freeman and Company,
New York, 1989. ISBN: 978-0486471877
3) Pierce R.S., Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics, 88.
Studies in the History of Modern Sciences, 9.
Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN: 978-1475701654.

DEL MODULO
Il corso si propone di fornire una panoramica su alcune tecniche moderne proprie del Calcolo delle Variazioni, con particolare
riferimento ai metodi diretti. Per quanto possibile, gli argomenti trattati verranno presentati allo Studente come una naturale
generalizzazione dei relativi concetti di base acquisiti nei corsi di Analisi Matematica. Lo studio, delle varie tematiche
presentate durante il corso, verrà agevolato avendo cura di fornire allo studente numerosi esempi, contro esempi e
applicazioni dei concetti teorici affrontati a lezione.
DEL MODULO
Obiettivi formativi dell’insegnamento:

• dare agli studenti una preparazione culturale di base sia sulla teoria degli operatori limitati e sulle loro proprietà spettrali ed
  anche sulla teoria degli operatori non limitati;
• sviluppare la loro capacità di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti diversi;
• consolidare la capacità di analizzare e risolvere problemi non elementari, anche in contesti applicativi;
• preparare gli studenti ad un avvio all’attività di ricerca nell’ambito dell’Analisi matematica.

4 Introduzione all'analisi non lineare. Problema della brachistocrona e calcolo della superficie
minima di rotazione. Problemi di non esistenza di minimo globale. Equazione di Eulero-Lagrange.
Lemma Fondamentale del Calcolo delle Variazioni. Condizione necessaria di Eulero.
8 Calcolo differenziale in spazi normati: derivate secondo Gâteaux e secondo Fréchet, funzionali di
classe C^1, teorema del valor medio. Operatore di Nemytskii. Derivate parziali in senso debole.
Spazi di Sobolev. Formulazione variazionale di problemi differenziali non lineari: soluzioni
classiche e soluzioni deboli.
12 Metodi diretti del calcolo delle variazioni: topologia debole, funzioni semicontinue inferiormente e
debolmente semicontinue inferiormente, funzioni di tipo Carathéodory e relative proprietà.
Teorema di Tonelli-Weierstrass in spazi topologici e in spazi di Banach riflessivi. Principio
Variazionale di Ekeland. Studio dell’esistenza di una soluzione debole per problemi con operatori
differenziali di tipo Leray-Lions.
MODULO
PROPRIETÀ SPETTRALI DI OPERATORI
Prof.ssa GIORGIA BELLOMONTE
10 Operatori limitati e loro proprietà spettrali: aggiunto di un operatore limitato, operatori simmetrici e
operatori positivi, operatori normali, operatori di proiezione, operatori isometrici e unitari,
isometrie parziali. Topologia forte e topologia debole nello spazio B(H) degli operatori limitati su
uno spazio di Hilbert H.
Spettro di un operatore limitato, operatori compatti, operatori integrali, teoria spettrale degli
operatori compatti, teorema di Riesz–Schauder, operatori simmetrici compatti.
5 Operatori non limitati in uno spazio di Hilbert. Operatori chiusi e chiudibili, aggiunto di un
operatore non limitato, operazioni algebriche, operatori simmetrici e autoaggiunti, operatore A*A,
criteri di autoaggiunzione, spettro di un operatore non limitato.

6 Esercitazione sugli operatori limitati e loro proprietà spettrali.
3 Operatori non limitati in uno spazio di Hilbert.

L'esame consiste di un'unica prova orale, a partire dalla presentazione di un
argomento a scelta dello studente, uno relativo a ciascun modulo, tesa a
verificare le conoscenze teoriche acquisite e la capacità di svolgere esercizi di
tipologia simile a quelli proposti durante il corso. Saranno valutate sia la
padronanza nell’ esposizione di enunciati e dimostrazioni dei risultati presentati
a lezione, sia la capacità di sintesi e contestualizzazione della teoria appresa.
Possono essere previste delle prove intermedie alla fine delle lezioni di ciascun
modulo. Se verranno svolte delle prove in itinere, la votazione finale dell'esame
sarà la media aritmetica dei voti conseguiti in ciascuna prova in itinere.
La valutazione finale sarà effettuata sulla base dei seguenti criteri:
Conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, eccellente
capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite
per la soluzione dei quesiti proposti (30-30 e lode);
Conoscenza completa e approfondita degli argomenti, ottima capacità
interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la
soluzione dei quesiti proposti (29-27);
Conoscenza completa degli argomenti, buona capacità interpretativa e di
applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti
proposti (26-25);
Conoscenza adeguata degli argomenti, capacità interpretativa e di applicazione
autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti
(24-22);
Conoscenza di base degli argomenti, sufficiente capacità interpretativa e di
applicazione delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti
(21-18).
Conoscenza superficiale e lacunosa degli argomenti trattati a lezione
accompagnata dall'uso di un linguaggio approssimativo (valutazione
insufficiente)
Per gli studenti con disabilità e neuro diversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neuro diversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

A. Ambrosetti & G. Prodi, “A Primer of Nonlinear Analysis”, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. ISBN 0 521 48573
8.
H. Brezis, “Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations”, Springer, New York, 201. ISBN
978-0-387-70913-0
D. Costa, “An Invitation to Variational Methods in Differential Equations”, Birkhäuser, Basel, 2007. ISBN-13:
978-0-8176-4535-9
P. Drabek - J. Milota, Methods of Nonlinear Analysis, Applications to Differential Equations, Birkhäuser, 2013. ISBN:
978-3034807593
L.C. Evans. Partial Differential Equations, Second Edition, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American
Mathematical Society, Providence, RI, 2010. ISBN: 978-1-4704-6942-9
TIPO DI ATTIVITA' C
AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
PERSONALE
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
DIDATTICHE ASSISTITE
H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, qualsiasi edizione (ISBN:9788820715014)
M. Reed, B. Simon, Functional Analysis, Academic press, 1981 (ISBN:9780125850506)
TIPO DI ATTIVITA' C
AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
PERSONALE
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
DIDATTICHE ASSISTITE

Il corso si propone di fornire una panoramica su alcune tecniche proprie
dell’Analisi Funzionale, quali la teoria degli spazi di Hilbert, di Banach, degli
operatori lineari, i teoremi di Hahn-Banach, le topologie deboli e gli spazi di
Sobolev (unidimensionali). Lo studio, delle varie tematiche presentate durante il
corso, verrà agevolato avendo cura di fornire allo studente numerosi esempi,
contro esempi e applicazioni dei concetti teorici affrontati a lezione. Durante le
lezioni, ampio spazio verrà riservato per fornire allo Studente possibili ulteriori
approfondimenti sugli argomenti di suo interesse.

5 Spazi metrici - Spazi normati. Definizione di metrica, proprietà, metriche equivalenti. Spazi metrici completi.
Topologia generata da una metrica. Definizione di norma. Spazi normati. Norme equivalenti. Topologia indotta
da una norma. Insiemi limitati. Diametro di un insieme. Spazi compatti e spazi sequenzialmente compatti.
Spazi normati di dimensione finita, completezza ed equivalenza delle norme. Spazi normati di dimensione
infinita. Lemma di Riesz e caratterizzazione degli spazi di dimensione finita mediante la compattezza della
palla unitaria.
10 Spazi di Banach. Esempio di norme non equivalenti. Esempi di spazi normati di dimensione infinita: Esempi di
spazi: c0, c00, gli spazi l^p e L^p (1≤p ≤∞ ). Disuguaglianza di Hölder e di Minkowski negli spazi l^p. Operatori
lineari tra spazi normati. Operatori lineari limitati, caratterizzazione della continuità. Norma di un operatore.
Completezza dello spazio degli operatori lineari limitati L(X,Y). Spazio duale.
20 Definizione di prodotto scalare. Definizione di spazio con prodotto interno, spazi di Hilbert. Caratterizzazione
degli spazi di Hilbert: legge del parallelogramma. Teorema di rappresentazione di Riesz. Duale di uno spazio di
Hilbert. Ortogonalità negli spazi di Hilbert. Proiezione ortogonale su insiemi chiusi e convessi, teorema di
proiezione su sottospazi chiusi. Insiemi ortogonali, teorema di decomposizione ortogonale. Definizione di
operatore aggiunto in spazi di Hilbert. Teorema di Lax-Milgram. Sistemi ortonormali, definizione di serie di
Fourier, disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi (basi ortonormali), identità di Parseval.
Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di sistemi ortonormali completi in ogni spazio di Hilbert separabile.
Equivalenza tra separabilità ed esistenza di una base numerabile per spazi di Hilbert.
15 Il teorema di Hahn-Banach forma analitica. Isomorfismo canonico, riflessività e convergenza debole. Spazio
biduale e spazi riflessivi. Richiami sul Teorema di Banach-Steinhaus (Principio di uniforme limitatezza) e sui
Teorema dell’applicazione (della mappa) aperta e del grafico chiuso. Uniforme convessità. Duale degli spazi
l^p e L^p e degli spazi di Hilbert.
10 Topologia debole, (costruzione di una topologia su un insieme X a partire da una famiglia di funzioni definite da
X su spazi topologici), Topologia prodotto. Convergenza nella topologia debole e caratterizzazione della
convergenza debole . Chiusura di un insieme convesso. Teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Teorema di
Kakutani. Teoremi di rappresentazione di Riesz.
12 Derivata debole. Motivazioni. Spazi di Sobolev (unidimensionali) W^{1,p}_(I). Norma negli spazi di Sobolev.
Proprietà degli spazi di Sobolev. Operatore di prolungamento. Teorema di immersione. Lo spazio W^{1,p}_0
(I). Disuguaglianza di Poincarè.

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, volte a verificare le
conoscenze teoriche acquisite e la capacità di svolgere esercizi di tipologia
simile a quelli proposti durante il corso. Saranno valutate sia la padronanza nell’
esposizione di enunciati e dimostrazioni dei risultati presentati a lezione, sia la
capacità di sintesi che di contestualizzazione della teoria appresa.
Il voto finale sarà espresso in trentesimi, secondo il seguente schema di
valutazione:
a)(cid:9)Ottima conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Ottima capacità di
applicarli, per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove
problematiche, con rigore matematico e in piena autonomia. Ottime capacità
espositive (voto 29-30L).
b)(cid:9)Buona conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Buona capacità di
applicarli, per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove
problematiche, con rigore matematico ma non in piena autonomia. Buone
capacità espositive (voto 26-28).
c)(cid:9)Buona conoscenza degli argomenti trattati. Discreta capacità di applicarli per
risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove problematiche. Buone
capacità espositive (voto 22-25).
d)(cid:9)Conoscenza di base degli argomenti proposti e capacità limitata di applicarli
autonomamente; sufficiente capacità di portare a termine un ragionamento
rigoroso e sufficiente proprietà di linguaggio (voto 18-21).
e) Insufficiente: Manca di una conoscenza accettabile degli argomenti trattati e
dimostra un' insufficiente capacita' di applicare le conoscenze acquisite per
risolvere gli esercizi proposti.
Per gli studenti con disabilità e neuro diversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neuro diversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

H. Brezis, Analisi Funzionale- Liguori Editore (ISBN:9788820715014)
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations- Springer (ISBN: 978-0-387-70913-0)
G. Gilardi, Analisi Funzionale, argomenti scelti e applicazioni- McGraw Hill
(ISBN: 9788838674273)
W. Rudin, Functional Analysis -McGraw Hill (ISBN: 9780070542365)

DEL MODULO
Alla fine del modulo, lo studente conseguira' una solida conoscenza dei fondamenti dell'analisi matematica e dell'analisi
numerica per affrontare problemi differenziali stazionari alle derivate parziali.
DEL MODULO
Obiettivo del modulo è fornire agli studenti i concetti e gli strumenti della modellistica numerica di problemi differenziali alle
derivate parziali di tipo ellittico. I metodi basati su differenze finite ed elementi finiti verranno affrontati con particolare
attenzione agli aspetti algoritmici e implementativi al calcolatore.

2 Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: definizioni, esempi, classificazione.
6 Derivate deboli, spazi di Sobolev in n dimensioni, formulazioni variazionali di problemi ai limiti.
6 Equazioni ellittiche del second'ordine: soluzioni deboli, teoremi di esistenza, risultati di regolarita',
principi del massimo.
10 Il metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi ellittici: approssimazione, esistenza, unicita',
stabilita', convergenza. Il metodo degli elementi finiti nel caso monodimensionale. Il metodo degli
elementi finiti nel caso multidimensionale.
MODULO
CALCOLO NUMERICO MODULO 2
Prof.ssa ELENA TOSCANO
12 I metodi alle differenze finite per problemi ellittici 1D e 2D: aspetti algoritmici e implementativi al
calcolatore.
12 Il metodo di Galerkin - elementi finiti per problemi ellittici 1D e 2D: aspetti algoritmici e
implementativi al calcolatore.

L'esame consiste di una prova pratica (anche di gruppo) e di una successiva
prova orale.
La prova pratica consiste nello sviluppo di un progetto di carattere
computazionale assegnato dalle docenti.
La prova orale verte anche sull’esposizione degli argomenti del programma di
insegnamento al fine di valutare le conoscenze acquisite, la comprensione degli
argomenti trattati, la capacità di saperli applicare.
La commissione d'esame valuta la conoscenza degli argomenti, l'esposizione e
le capacita' critiche dello studente. La valutazione e' espressa in trentesimi
(soglia minima di sufficienza 18/30). Piu' precisamente, i criteri adottati per la
valutazione saranno i seguenti:
a) eccellente (29 - 30 e lode): ottima conoscenza degli argomenti, ottima
proprieta' di linguaggio, buona capacita' analitica, lo studente e' in grado di
applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
b) molto buono (26 - 28): buona padronanza degli argomenti, piena proprieta' di
linguaggio, lo studente e' in grado di applicare le conoscenze per risolvere i
problemi proposti;
c) buono (23 - 25): conoscenza di base dei principali argomenti, buona
proprieta' di linguaggio, con soddisfacente capacita' di applicare
autonomamente le conoscenze alla soluzione dei problemi proposti;
d) discreto (20 - 22): discreta padronanza degli argomenti principali
dell’insegnamento, sufficiente proprieta' di linguaggio, limitata capacita' di
applicare autonomamente le conoscenze acquisite;
e) sufficiente (18 - 19): minima conoscenza di base degli argomenti principali
dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, sufficiente capacita' di applicare
autonomamente le conoscenze acquisite;
f) insufficiente: lo studente non possiede una conoscenza minima accettabile dei
contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

• A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer Italia (ISBN: 9788847052550)
• L. C. Evans, Partial Differential Equations, Aerican Mathematical Society ( ISBN-10: 0821849743, ISBN-13:
  978-0821849743)
• D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer (ISBN: 978-3-540-41160-4)
• C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press,
  Cambridge ( ISBN-10: 048646900X, ISBN-13: 978-0486469003)
  TIPO DI ATTIVITA' C
  AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
  PERSONALE
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
  DIDATTICHE ASSISTITE
• L. Formaggia, F. Saleri e A. Veneziani, Solving Numerical PDEs: Problems, Applications, Exercises, Springer (2012). ISBN
  978-88-470-2411-3
• A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, 6a edizione, Springer (2016). ISBN: 9788847057821
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri e P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, Springer (2014). ISBN
  978-88-470-5643-5
  Testo per eventuale consultazione/Recommended books for foreign students:
• C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press,
  Cambridge. ISBN: 9780521347587
  TIPO DI ATTIVITA' C
  AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
  PERSONALE
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
  DIDATTICHE ASSISTITE

Apprendimento linguistico equiparabile al livello CEFR (Common European
Framework of Reference for Languages)

24 Il programma dell'insegnamento è consultabile nel sito web del CLA

Test scritto di Abilita' Linguistica - TAL
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Consultare il sito del CLA per le varie lingue unitamente ai facsimili dei test
linguistici
Available on the website of the CLA together with sample tests

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti i metodi di base e gli strumenti
dell'Analisi Reale, dando particolare enfasi alla teoria moderna della
integrazione e della sua applicazione alla analisi armonica. La teoria sarà
supportata da semplici esempi ed applicazioni.

7 Insieme denso, insieme mai denso, insieme di prima categoria, insieme di seconda categoria, teorema di
Egoroff, teorema di categoria di Baire, funzioni di Darboux, funzioni di classe 1 di Baire, Lemma di
Romanovski, funzioni semicontinue superiormente e inferiormente, teoremi caratterizzanti le funzioni
semicontinue, semicontinuità e derivazione superiore e inferiore.
7 Variazione debole, variazione forte, funzioni BV, BV*, BVG. BVG*, funzioni AC, AC*, ACG e ACG*, condizione
(N) di Luzin, differenziabilità per funzioni ACG, ACG*, BVG, BVG*
7 Integrale di Denjoy, confronto tra integrale di Denjoy e integrale di Lebesgue, funzioni minori e funzioni
maggiori, integrale di Perron, confronto fra integrale di Perron, di Denjoy e integrale di Lebesgue, integrale di
Perron tramite funzioni minori e maggiori continue, teorema di Hake.
6 Integrale di Henstock-Kurzweil, gauge, delta partizione, Lemma di Cousin, Saks-Henstock Lemma,
caratterizzazione descrittiva, teoremi di convergenza, integrale improprio e teorema di Hake.
6 Punti di densità, funzione con continuità approssimata, funzione con derivata approssimata, relazione tra
derivata approssimata con le funzioni di classe uno di Baire e le funzioni di Darboux, integrale di Khintchine,
alcune estensioni degli integrali di Denjoy, Perron e Henstock
5 Esempi ed esercizi su insiemi densi, insiemi di prima categoria, funzioni di Darboux, funzioni semicontinue,
derivate superiori e inferiori
5 Esempi ed esercizi su funzioni BV. AC, BVG, ACG, BVG* e ACG*, condizione di Luzin, integrali di Denjoy e di
Perron, esercizi sui teoremi di convergenza
5 Esempi ed esercizi sull’integrale di Henstock-Kurzweil proprio e improprio, punti di densità, funzioni con
derivata approssimata e continiutà approssimata, integrale di Khintchine.

La prova finale è costituita da una prova orale.
Sarà richiesto all'esaminando di presentare un argomento a piacere.
All'esaminando saranno concessi venti-trenta minuti per esporre con rigore
logico l'argomento scelto. Saranno, inoltre, poste oralmente non meno di due
domande su tale argomento, a cui l'esaminando dovrà rispondere.
La verifica finale mira a valutare se lo studente abbia acquisito conoscenza della
disciplina, comprensione degli argomenti, competenza interpretativa e
autonomia di giudizio di casi concreti. La soglia della sufficienza sarà raggiunta
quando lo studente mostri conoscenza e comprensione degli argomenti, almeno
nelle linee generali, e abbia competenze applicative minime che gli consentano
di risolvere problemi di base proposti. Sono richieste adeguate capacità
espositive e argomentative, tali da permettere all’esaminando di comunicare
efficacemente le proprie conoscenze.
In assenza di tali requisiti minimi, la prova sarà considerata insufficiente.
La valutazione avviene in trentesimi, secondo i seguenti parametri:
Eccellente (30 – 30 e lode): conoscenza completa e approfondita degli
argomenti, ottima proprietà di linguaggio, buona capacità analitica, intuitiva e di
collegamento; lo studente è in grado di applicare autonomamente e con spunti
di originalità le conoscenze per risolvere i problemi proposti. Per ottenere la
lode, lo studente deve essere in grado di rispondere ad una domanda finale
sull'intero programma (possono essere richiesti definizioni ed enunciati di
teoremi).
Molto buono (26-29): conoscenza approfondita degli argomenti, piena proprietà
di linguaggio, buona capacità analitica; lo studente è in grado di applicare le
conoscenze per risolvere i problemi proposti in modo autonomo.
Buono (24-25): Buona padronanza degli argomenti, discreta proprietà di
linguaggio; lo studente ha una buona capacità di applicare le conoscenze per
risolvere i problemi proposti.
Soddisfacente (21-23): Conoscenza di base dei principali argomenti, adeguata
proprietà di linguaggio; lo studente e' in grado di risolvere semplici problemi di
base e ha una capacità limitata di applicare le conoscenze in modo autonomo.
Sufficiente (18-20): Conoscenza minima degli argomenti, accettabile proprietà di
linguaggio; lo studente risolve problemi semplici, e ha una capacità molto
limitata di applicare le conoscenze in modo autonomo.
Insufficiente: Lo studente non possiede una conoscenza accettabile dei
contenuti del corso.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Russel A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock,
Vol. 4, American Mathematical Society, 1994. Hardcover ISBN:
978-0-8218-3805-1; eBook ISBN: 978-1-4704-2066-6
Robert G. Bartle, A Modern Theory of Integration, Graduate Studies in
Mathematics, Vol. 32, American Mathematical Society, 2001. Hardcover ISBN:
978-0-8218-0845-0; eBook ISBN: 978-1-4704-2086-4
Elliott H. Lieb, Michael Loss, Analysis, Vol. 14, Graduate Studies in
Mathematics, Vol. 14, American Mathematical Society, 2010. Hardcover ISBN:
978-0-8218-2783-3; eBook ISBN: 978-1-4704-1143-5
Reference books:
Lee Peng Lee, Rudolf Vyborny, The Integral: An easy approach after Kurzweil
and Henstock, Australian Mathematical Society Lecture series 14, 2000. ISBN:
978-0521779685
Lee Tuo Yeong, Henstock-Kurzweil integration on Euclidean spaces, World
Scientific Series in Real Analysis vol. 12, 2011. ISBN: 9789814324588
Walter Rudin, Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, 1982. ISBN:
9788833953427
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill international editions,
Mathematics Series, 1987. ISBN: 0-07-054234-1

Sviluppare una conoscenza dei concetti matematici che supportano le discipline
informatiche relative alle telecomunicazioni, quali: Codici lineari, di Reed-
Solomon, di Goppa. Crittografia a chiave pubblica su campi di Galois e su curve
ellittiche e iperellittiche: RSA, ElGamal. Firma digitale. Algoritmi crittanalitici
quali Baby step-Giant step, algoritmo rho di Pollard, crivello quadratico.

4 Elementi di Teoria dei campi
6 Codici lineari: codici di Hamming, codici di Hadamard
6 Codici perfetti. Codici ciclici.
6 Codici di Reed-Solomon, Codici BCH.
4 Crittografia simmetrica: cenni storici (codici a sostituzione, Codice di Vigenere, crittanalisi, Metodo di Kasiski).
Codice di Vernam (one-time pad).
6 Crittografia a chiave pubblica: RSA, ElGamal. Firma digitale. Hashing.
6 Baby step-Giant step, algoritmo rho di Pollard, crivello quadratico.
5 Elementi di Geometria proiettiva: curve ellittiche e iperellittiche.
5 Algoritmi crittografici mediante curve ellittiche: Algoritmo di Lenstra, ElGamal su curve ellittiche e iperellittiche.
Codice di Goppa..

La verifica finale si basa su una prova scritta e sulla discussione di un
argomento. La valutazione tiene conto di come il candidato giustifica i risultati o
gli errori della prova scritta che rappresenta pertanto solo un point d'appui per la
successiva parte orale. Essa, opportunamente graduata, sara' formulata sulla
base delle seguenti condizioni:
1) Scarsa conoscenza degli argomenti proposti e incapacità di applicarli in modo
autonomo; insufficiente rigore nel ragionamento e insufficiente proprietà di
linguaggio (respinto);
2) Conoscenza di base degli argomenti proposti e capacita' limitata di applicarli
autonomamente; sufficiente capacita' di portare a termine un ragionamento
rigoroso e sufficiente proprieta' di linguaggio (voto 18-21);
3) Conoscenza discreta degli argomenti proposti e capacita' di applicarli con
sufficiente autonomia; discreta capacita' di portare a termine un ragionamento
rigoroso e buona proprieta' di linguaggio (voto 22-25);
4) Buona conoscenza degli argomenti proposti e capacita' di applicarli con
rigore matematico e con piu' che sufficiente autonomia; possesso di buona
proprieta' di linguaggio (voto 26-28);
5) Conoscenza molto buona e ampia degli argomenti proposti; capacita' di
applicarli con rigore e in piena autonomia; possesso di ottime capacita'
comunicative (voto 29-30L).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Testo di riferimento/Main bibliographic reference: Dispensa del corso / Lecture
notes
La dispensa contiene tutti gli argomenti trattati in aula./Lecture notes contain all
the discussed topics.
Per approfondire/Deepening:
1) Elwyn R. Berlekamp, Algebraic Coding Theory, Aegean Park Press 1984
ISBN 978-0894120633
Per eventuali approfondimenti, si suggerisce la lettura dei capitoli "Basic Binary
Codes", "The Factorization of Polynomials Over Finite Fields". "The
Enumeration of Information Symbols in BCH Codes"./ Further suggested
reading are chapters "Basic Binary Codes", "The Factorization of Polynomials
Over Finite Fields". "The Enumeration of Information Symbols in BCH Codes",
2) Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot and Scott A. Vanstone; Handbook
of Applied Cryptography, CRC Press 1996 ISBN 978-0849385230
Per eventuali approfondimenti, si suggerisce la lettura dei capitoli 2, 3, 8 e 11 /
Further suggested reading are chapters 2, 3, 8 e 11.

DEL MODULO
Conoscenza e comprensione

• acquisizione di conoscenze e competenze didattiche relative alla disciplina.
• consapevolezza del ruolo del problem solving come momento fondamentale e pervasivo del fare matematica ad ogni livello
  di scolarita.
  Capacita' di applicare conoscenza e comprensione
• Capacita' di sviluppare, implementate e "criticare" attivita didattiche realizzate su misconcetti ed ostacoli matematici.
  DEL MODULO
  Conoscere le principali metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in storia della matematica, anche in
  riferimento allo specifico ruolo dell'insegnante, in relazione all'insegnamento/apprendimento della matematica.
  Saper analizzare criticamente le principali metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in storia della matematica,
  in relazione all'insegnamento/apprendimento della matematica.

3 Didattiche specifiche (disciplinari) e Didattica Generale: l’apprendimento della Matematica.
6 Quadri teorici per la Didattica della Matematica: aspetti teorici ed esempi in Ricerca in Didattica.
6 Conoscenza e Competenza in Matematica:

• Argomentare e Dimostrare in Matematica
• Errori e conoscenze matematiche
• BES e processi di apprendimento
• Artefatti e problem solving.
  3 Misconcetti, ostacoli e situazioni di apprendimento: esempi per la Scuola Secondaria.
  6 Esempi di ricerche in Didattica della Matematica. Lesson design di pratiche didattiche di
  matematica per la Scuola Secondaria di I e II grado.
  MODULO
  METODOLOGIE PER L'INSEGNAMENTO IN STORIA DELLA MATEMATICA
  Prof.ssa CINZIA CERRONI
  6 La storia della matematica nell'insegnamento negli autori del passato. J.L. Lagrange, F. Klein, F.
  Enriques, F. Severi, etc.
  5 La storia della matematica nell'insegnamento: il metodo "genetico"
  5 La storia della matematica nell'insegnamento come narrazione
  4 La storia della matematica nell'insegnamento per conferire alla disciplina la sua dimensione
  culturale e interculturale
  4 Percorsi didattici di storia della matematica nell'insegnamento

Prova orale. Valutazione in trentesimi.
L'esaminando dovra' rispondere a una domanda a piacere posta oralmente che
potrà riguardare un progetto didattico e a due/tre domande poste oralmente, su
tutte le parti oggetto del programma, con riferimento ai testi consigliati. La
verifica finale mira a valutare se lo studente abbia conoscenza e comprensione
degli argomenti, abbia acquisito competenza interpretativa e autonomia di
giudizio. Il seminario in itinere concorrera' alla valutazione finale insieme alle
domande poste oralmente. Per la valutazione, che avviene in trentesimi, si
utilizzera' la griglia seguente:
Insufficiente: Lo studente non possiede una conoscenza accettabile degli
argomenti trattati nell'insegnamento.
18-20: Lo studente mostra conoscenza e comprensione degli argomenti nelle
linee generali; ha capacita' espositive e comunicative appena adeguate a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
21-23: Lo studente mostra conoscenza e comprensione adeguata degli
argomenti; ha capacita' espositive e comunicative soddisfacenti, ma poco
articolate, a consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
24-26: Lo studente mostra una discreta conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha capacita' espositive e comunicative discrete e appena articolate,
a consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
27-29: Lo studente mostra una buona conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha buone e ben articolate capacita' espositive e comunicative, a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
30-30 e lode: Lo studente mostra una ottima conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha ottime e ben articolate capacita' espositive e comunicative, a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;

Textbooks/Papers:

• Baccagli Frank, A., Di Martino, P., Natalini, R., Rosolini, G. (2018). Didattica della matematica, Milano, Mondadori, ISBN:
  9788861845510
• D'Amore, B., Pinilla, M. F., Asenova, M., Iori, M., Santi, G. R. P., & Mateus, C. C. F. (2023). Teorie rilevanti in Didattica della
  Matematica. Bonomo, Matematica: didattica, storia e divulgazione. ISBN 9788869723179
  -Furinghetti, F., & Radford, L. (2002). Historical conceptual developments and the teaching of mathematics: from philogenesis
  and ontogenesis theory to classroom practice. In Handbook of international research in mathematics education (pp. 643-666).
  Routledge. ISBN 978-0805858761
• Loria, G.,1899, “La storia della matematica come anello di congiunzione fra l’insegnamento secondario e l’insegnamento
  universitario”. Periodico di Matematica XIV, 19-33. ISBN 88-6067-008-X
  Reference books/papers:
• Katz, V. J. (2000). Using history to teach mathematics: An international perspective (Vol. 51). Cambridge University Press.
  ISBN, 978-0883851630
• Katz, V. J., & Michalowiz, K. D. (Eds.). (2020). Historical modules for the teaching and learning of mathematics (Vol. 26).
  American Mathematical Soc. ISBN: 978-0883857410
• Niss, M., & Højgaard, T. (2019). Mathematical competencies in mathematics education. New York, NY, USA: Springer.
  ISBN: 978-3-319-03608-3
  Online resources:
  Documenti/articoli/ricerche/progetti reperibili nel sito del MIM, della AIRDM, della CIIM e del G.R.I.M., segnalati dal Docente
  durante il corso.
  TIPO DI ATTIVITA' C
  AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
  PERSONALE
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
  DIDATTICHE ASSISTITE
  G. Loria, La storia della matematica come anello di congiunzione fra l’insegnamento secondario e l’insegnamento
  universitario, Atti I Congresso, Periodico di matematica, 1899, pp. 19-33
  Furinghetti F., Radford L. (2002). Historical conceptual developments and the teaching of mathematics: from philogenesis
  and ontogenesis theory to classroom practice. English L. (Ed.). Handbook of International Research in Mathematics
  Education. 631-654. Hillsdale: Erlbaum.
  V. Katz (ed) 2000, Using history to teach mathematics: An international perspective, The Mathematical Association of
  America.
  V. Katz (ed) 2004, Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics, The Mathematical Association of
  America, CD-ROM, 2004
  TIPO DI ATTIVITA' C
  AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
  PERSONALE
  NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
  DIDATTICHE ASSISTITE

DEL MODULO
L’obiettivo del corso e' quello di fornire agli studenti
-le conoscenze della modellistica fisico-matematica basata sulle PDE;
-gli elementi fondamentali per l'analisi qualitativa del comportamento delle
soluzioni.

• le conoscenze di base della meccanica dei mezzi continui e dei primissimi
  elemnti della teoria mtematica delle equazioni di Navier-Stokes.
  DEL MODULO
  L'obiettivo del corso e' illustrare le basi della teoria classica delle EDP (equazioni del trasporto, di Laplace, del calore e delle
  onde), Il metodo delle caratteristiche e la nozione di soluzione integrale per le equazioni del primo ordine, lineari e quasi
  lineari, i problemi di buona posizione e soluzione fondamentale per le equazioni di Laplace, del calore e delle onde, i problemi
  misti in domini con frontiera, i principi di massimo per le equazioni ellittiche e paraboliche e il loro uso nell'analisi delle EDP, la
  classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine. Il modulo è parte integrante del corso di Equazione Differenziale
  della Fisica Matematica 9 CFU.

12 Leggi di conservazione. L'equazione del trasporto. Il metodo delle caratteristiche. Entropia. Il
problema di
Riemann.
8 Teoria delle distribuzioni. Derivate di una distribuzione. Convergenza. delta-sequenze.
10 Serie e Trasformate di Fourier. Applicazione alla soluzione delle PDE.
10 Equazioni .differenziali nel senso delle distribuzioni. Soluzioni fondamentali.
8 Le equazioni della fluidodinamica. Introduzione alla teoria matematica delle equazioni di Navier-
Stokes.
MODULO
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLA FISICA MATEMATICA - MODULO 1
Prof.ssa SARA DI RUZZA
2 Equazioni differenziali alle derivate parziali; derivazione della PDE del trasporto semplice;
derivazione dell’eq. delle onde; derivazione dell’eq. del calore.
10 Equazione delle onde unidimensionale, sulla retta, sulla semiretta, su un dominio limitato.
Principio di causalità. Soluzione fondamentale. Condizioni al bordo. Equazioni delle onde con
fonte.
10 Equazione del calore unidimensionale, sulla retta, sulla semiretta, su un dominio limitato.
Principio del massimo. Soluzione fondamentale. Condizioni al bordo. Diffusione con fonte.
2 Equazione di Laplace e soluzione fondamentale.

La verifica finale consiste in una prova orale. La prova finale mira a valutare
quanto profonda sia la comprensione acquisita dallo studente degli argomenti, e
la proprieta' di linguaggio nell'esporre gli elementi della teoria. Durante la prova
orale lo studente dovra' rispondere ad un minimo di due/tre domande sugli
argomenti oggetto del programma e dovra' anche discutere in maniera critica
alcuni degli esercizi proposti durante le ore di esercitazione. La valutazione della
prova orale, formulata sulla base dei seguenti criteri, verra' espresso in
trentesimi:
a) non possiede una conoscenza accettabile dei contenuti degli argomenti
trattati nell'insegnamento (insufficiente);
b) accettabile conoscenza degli argomenti principali dell'insegnamento. Basilare
capacita' di esporre le applicazioni delle conoscenze acquisite mediante la
riproduzione della risoluzione degli esercizi svolti durante le esercitazioni, e
accettabile conoscenza del linguaggio della teoria delle PDE (18-21);
c) discreta conoscenza e padronanza dei principali argomenti del corso,
soddisfacente proprieta' di linguaggio, con capacita' di applicare le conoscenze
acquisite anche a variazioni degli esercizi svolti in classe (22-25);
d) buona padronanza dei principali argomenti, buona proprieta' di linguaggio,
pienamente soddisfacente capacita' di applicare autonomamente le conoscenze
alla soluzione dei problemi proposti (25-28);
e) ottima padronanza di tutti gli argomenti e capacita' di illustrare le sottigliezze
della teoria delle PDE della Fisica Matematica, perfetta proprieta' di linguaggio,
capacita' di applicare le conoscenze per affrontare problemi anche diversi da
quelli svolti in classe (29-30 e lode).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente

Libri di testo
-- W.A.Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction, John Wiley and
Sons, 2008. ISBN-10: 9780470260715. Capitoli 1-6, 10-12.
-- S.Salsa G.Verzini, Partial Differential Equations in Action, (fourth edition),
Springer, 2022. ISBN-10: 3031218523. Capitoli 1-2, 3 (cenni), 4-5, 7(paragrafi
7.1-7.6)
-- I.Stakgold, Green’s Functions and Boundary Value Problems (Second
Edition), John Wiley and Sons 2011. ISBN: 9780470609705. Capitolo 2
-- A.Majda A.Bertozzi, Vorticity and Incompressible Flows, Cambridge University
Press, 2002. ISBN: 9780511613203, Capitoli 1,2,3,4
-- G.K.Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University
Press, 2000, ISBN-10: 8185618240. Capitoli 2 e 3
Testo di consultazione
-- L.C.Evans, Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics,
V. 19) , American Mathematical Society 1998. ISBN-10: 1470469421
-- B.M.Budak, A.A.Samarskii, A.N.Tikhonov, A Collection of Problems in
Mathematical Physics, Dover 1990. ISBN-10: 9780486658063
--A.H.Zemanian, Distribution Theory and Transform Analysis: An Introduction to
Generalized Functions, With Applications, Dove; Revised edition, 2003,
ISBN-10: 0486654796
TIPO DI ATTIVITA' B
AMBITO 84015-Formazione matematica modellistico-computazionale
avanzata
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 102
PERSONALE
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 48
DIDATTICHE ASSISTITE
W.Strauss, Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, 1992 F. John, Partial Differential Equations, Springer, 1982
Come testo di consultazione si consiglia anche S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010. Ulteriori testi di
consultazione potranno essere consigliati a principio e durante il corso
TIPO DI ATTIVITA' C
AMBITO 84016-Attività formative affini o integrative
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLO STUDIO 51
PERSONALE
NUMERO DI ORE RISERVATE ALLE ATTIVITA' 24
DIDATTICHE ASSISTITE

Gli obiettivi formativi del corso sono la comprensione e la conoscenza dei
seguenti argomenti:
1) Modelli di fenomeni fisici e biologici formulati in termini di sistemi di equazioni
paraboliche di reazione-diffusione, con applicazioni a dinamica di popolazioni,
cinetica chimica, sistemi eccitabili. Buona posizione. Equilibri e loro stabilita'.
2) Fenomeni di propagazione ondosa: soluzioni di tipo onde viaggianti e loro
stabilità.
3) Biforcazioni: studio e classificazione. Problemi di stabilita'. Formazione di
pattern stazionari e oscillanti nel tempo. Biforcazioni secondarie.
4) Teorema di Lyapunov-Schmidt. Riduzione alla varieta' centrale. Forme
normali.
5) Uso di software per la simulazione e l'analisi di sistemi dinamici in presenza
di biforcazioni. MATLAB, XPPAUT.

8 Modelli di reazione-diffusione. Richiami di teoria classica della regolarità per le soluzioni di equazioni
paraboliche: esistenza locale di soluzioni, regioni invarianti, stabilità lineare.
10 Equazioni di reazione-diffusione: autovalori, equilibri e stabilità. Minimal patch sizes. Fenomeni di biforcazione
degli equilibri e loro continuazione. Propagazione di fronti d'onda: esistenza e stabilità. L'equazione di Fisher-
Kolmogorov.
8 Sistemi di reazione-diffusione quali modelli in ambito biomatematico. Instabilità e fenomeni di biforcazione.
Biforcazione di Turing: instabilità guidata dalla diffusione. Analisi di stabilità lineare e formazione di pattern.
10 Analisi di biforcazione del meccanismo di Turing: Lyapunov-Schmidt reduction, analisi debolmente non lineare
e derivazione delle equazioni di ampiezza. Validità del formalismo delle equazioni di ampiezza. Instabilità di
Eckhaus.
6 Sistemi di reazione-diffusione con termini di diffusione non lineare. Chemotassi. Esistenza e regolarità della
soluzioni. Blow-up.
6 Simulazioni numeriche e algoritmi di continuazioni numerici per lo studio di pattern in sistemi di reazione-
diffusione. Uso dei software XPPAUT e MATLAB.

La verifica finale consiste in una prova orale. La prova finale mira a valutare
quanto profonda sia la comprensione acquisita dallo studente degli argomenti e
la proprieta' di linguaggio nell'esporre gli elementi della teoria. Durante la prova
orale lo studente dovra' rispondere ad un minimo di due/tre domande sugli
argomenti oggetto del programma e dovra' anche discutere in maniera critica
alcuni dei modelli proposti durante le ore di lezione.
La valutazione della prova orale, formulata sulla base dei seguenti criteri, verra'
espressa in trentesimi:
a) non possiede una conoscenza accettabile dei contenuti degli argomenti
trattati nell'insegnamento (insufficiente);
b) accettabile conoscenza degli argomenti principali dell'insegnamento. Basilare
capacita' di esporre le applicazioni delle conoscenze acquisite e accettabile
conoscenza del linguaggio della teoria delle PDE (18-21);
c) discreta conoscenza e padronanza dei principali argomenti del corso,
soddisfacente proprieta' di linguaggio, con capacita' di applicare le conoscenze
acquisite anche a variazioni degli esempi svolti in classe (22-25);
d) buona padronanza dei principali argomenti, buona proprieta' di linguaggio,
pienamente soddisfacente capacita' di applicare autonomamente le conoscenze
allo studio dei problemi proposti (25-28);
e) ottima padronanza di tutti gli argomenti e capacita' di illustrare le sottigliezze
della teoria delle PDE paraboliche e le loro applicazioni in ambito
biomatematico, perfetta proprieta' di linguaggio, capacita' di applicare le
conoscenze per affrontare problemi anche diversi da quelli affrontati in classe
(29-30 e lode).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Libri di testo (Textbooks):
Robert Stephen Cantrell e Chris Cosner, Spatial Ecology via Reaction-Diffusion
Equations, 1st edition, Wiley, 2007. ISBN-13: 978-0471493013
Peter Grindrod, Patterns and Waves: The Theory and Applications of Reaction-
Diffusion Equations, 1st edition, Oxford University Press,1991. ISBN-10:
0198596928
James D. Murray, Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical
Applications, 3rd edition, Springer Nature, 2011. ISBN-10:0387952284
Libri di consultazione (Reference books):
Joel Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, 2nd edition,
Springer New York, NY, 1994. ISBN 978-0-387-94259-9
Martin Golubitsky , David G. Schaeffer, Singularities and Groups in Bifurcation
Theory I, Springer New York, NY, 1985, ISBN 978-0-387-90999-8

Il corso è pensato come un'introduzione alla geometria algebrica, sia dal punto
di vista degli studi teorici sia dal punto di vista delle applicazioni.

6 Spazio affine. Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Teorema di Nullenstellensatz. Irriducibilità.
4 Varietà affini. Anelli di coordinate. Varietà affini e funzioni razionali. Esempi ed esercizi.
5 Spazio proiettivo. Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri proiettivo. Varietà proiettive e quasi-proiettive.
5 Anello delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali. Esempi e problemi.
4 Varietà algebriche. Fascio strutturale di una varietà algebrica. Morfismi di varietà algebriche.
5 Morfismo di Veronese. Corollari.
5 Esempi: sistemi lineari di ipersuperficie di
uno spazio proiettivo, proiezioni. Esempi ed esercizi
7 Prodotti di varietà algebriche. Varietà di Segre. Varietà separabili. Grafico di un morfismo.
7 Dimensione di una varietà algebrica. Grassmanniane.

L'esame finale prevede la discussione di un esercizio e di un orale sugli
argomenti del corso
La prova finale mira a valutare le capacità critiche, il rigore metodologico e le
capacità espositive. La valutazione è espressa in trentesimi: la soglia minima
per superare l'intero esame è 18/30.
Descrizione dei metodi di valutazione: Voto da 28 a 30 - 30 e lode: Livello
complessivo ottimo/eccellente. Ottima conoscenza degli argomenti, ottima
capacità critica e espositiva, ottimo rigore metodologico. Lo studente e' in grado
di applicare in modo eccellente le conoscenze acquisite durante il corso per
risolvere i problemi proposti. Voto da 25 a 27: Livello complessivo buono/molto
buono. Buona padronanza degli argomenti, buone capacità critiche ed
espositive, buono il rigore metodologico. Lo studente e' in grado di applicare con
buona padronanza le conoscenze acquisite durante il corso per risolvere i
problemi proposti. Voto da 18 a 24: Livello complessivo sufficiente/discreto.
Discreta/sufficiente conoscenza degli argomenti, discreta/ sufficiente capacità
critica ed espositiva, discreto/ sufficiente rigore metodologico. Lo studente ha
una limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze acquisite per
la risoluzione dei problemi proposti. Voto inferiore a 18: Livello complessivo
insufficiente/scarso. Insufficiente la conoscenza degli argomenti, insufficiente la
capacità critica ed espositiva, insufficiente il rigore metodologico. Lo studente
non e' in grado di applicare autonomamente le conoscenze acquisite.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente

Testo di riferimento / Main suggested book:
C. Ciliberto, An Undergraduate Primer in Algebraic Geometry, Springer (2021),
ISBN: 978-3-030-71020-0
Testi di consultazione/ Reference books:
K. Hulek, Elementary Algebraic Geometry, Amer. Math. Soc., Student
Mathematical Library Vol.20, (2003) ISBN: 0821829521
I.R.Shafarevich, Basic Algebraic Geometry Vol. 1, Springer-Verlag, qualsiasi
versione/any version (per esempio/for instance ISBN 978-3-642-42726-8)
A. Gathmann, Algebraic Geometry: https://agag-gathmann.math.rptu.de/en/
alggeom.php.

Gli obiettivi formativi del corso sono la comprensione e la conoscenza dei
seguenti argomenti:
1) Ricavare equazioni differenziali alle derivate parziali, a partire da leggi di
bilancio descriventi processi fisici ideali, quali: l'equazione del calore,
l'equazione del trasporto, i modelli di traffico, l'equazione di Burgers, le
equazioni di reazione-diffusione, l'equazione di Fischer.
2) Dare alcuni cenni sulla teoria classica delle equazioni differenziali alle
derivate parziali per dimostrare l'esistenza e la regolarita' delle loro soluzioni.
3) Implementazioni di metodi alle differenze finite e spettrali per la loro
risoluzione numerica.

10 Derivazione di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico, iperbolico e di reazione-diffusione,
a partire da leggi di bilancio descriventi processi fisici ideali. Metodi analitici per lo studio dell'esistenza e della
regolarita' delle loro soluzioni.
10 Metodi numerici alle differenze finite per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo
parabolico, iperbolico ed equazioni di reazione-diffusione.
10 Serie di Fourier e trasformata di Fourier discreta. Metodi spettrali e pseudo-spettrali di Fourier e di Chebyshev
per la risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico, iperbolico ed equazioni di
reazione-diffusione.
9 Uso del software MATLAB per l'implementazione di algoritmi alle differenze finite per la simulazione di
problemi evolutivi di tipo iperbolico, parabolico e di tipo reazione diffusione.
9 Uso del software MATLAB per l'implementazione di algoritmi con metodi spettrali per la simulazione di
problemi evolutivi di tipo iperbolico, parabolico e di tipo reazione diffusione.

La verifica delle capacita' man mano acquisite viene fatta mediante un'attiva
partecipazione dello studente alla risoluzione di problemi e questioni durante le
ore di lezione e anche attraverso l'elaborazione di progetti realizzati sia
individualmente che in gruppo. La verifica finale mira a valutare se lo studente
ha conoscenza e comprensione degli argomenti, se ha acquisito la capacita' di
applicare tale conoscenza, se ha sviluppato competenza interpretativa e
autonomia di giudizio di casi concreti, e valuta infine le abilita' comunicative e la
proprieta' di linguaggio relativamente agli argomenti trattati. La verifica finale
consistera' di una tesina nella quale gli studenti dovranno studiare e riprodurre i
risultati di un articolo scientifico di argomento attinente alle tematiche trattate nel
corso e di una prova orale. La valutazione della tesina sara' espressa in
trentesimi. Durante la prova orale lo studente dovra' rispondere correttamente
ad un minimo di due/tre domande, poste oralmente, su tutte le parti oggetto del
programma e dovra' discutere in maniera critica lo svolgimento della tesina. La
valutazione della prova orale sara' espressa in trentesimi. La valutazione finale
verra' espressa in trentesimi e verra' calcolata come media aritmetica dei voti
della tesina e della prova orale. Il voto verra' formulato sulla base delle seguenti
condizioni:
a) non possiede una conoscenza accettabile dei contenuti degli argomenti
trattati nell'insegnamento (insufficiente);
b) minima conoscenza di base degli argomenti principali dell'insegnamento e
del linguaggio tecnico, minima capacita' di applicare autonomamente le
conoscenze acquisite (18-20);
c) non ha piena padronanza degli argomenti principali dell'insegnamento ma ne
possiede le conoscenze, soddisfacente proprieta' di linguaggio, accettabile
capacita' di applicare autonomamente le conoscenze acquisite (21-23);
d) conoscenza di base dei principali argomenti, discreta proprieta' di linguaggio,
con limitata capacita' di applicare autonomamente le conoscenze alla soluzione
dei problemi proposti (24-25);
e) buona padronanza degli argomenti, piena proprieta' di linguaggio, lo studente
e' in grado di applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti (26-29);
f) ottima conoscenza degli argomenti, ottima proprieta' di linguaggio, buona
capacita' analitica, lo studente e' in grado di applicare le conoscenze per
risolvere i problemi proposti (30-30 e lode).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Libri di testo (Textbooks):
Holmes, Introduction to the Foundations of Applied Mathematics, Springer (II
ed.ISBN-10 : 3030242609);
Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer (VI
ed.ISBN-10 : 8847057809)
Libri di consultazione (Reference books):
Haberman, Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics,
and Traffic Flow (Classics in Applied Mathematics) , SIAM, (I ed. ISBN-10 :
0898714087)
Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer (III ed. ISBN-10 :8847057833)
Evans, Partial differential equations, AMS Pub. (II ed. ISBN-10 :0821849743)
Hestaven, S. Gottlieb, D. Gottlieb, Spectral Methods for Time Dependent
Problems, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics
2007 ISBN-10 : 0521792118
Morton & Meyers, Numerical solution of Partial differential equations Cambridge
University Press, 1994 ISBN-10 : 0521429226
Tveito & Whinther, Introduction to Partial differential equations: A computational
approach, Springer (II ed. ISBN-10 : 3540887040)
Trefethen, Spectral Methods in Matlab, Cambridge University Press 2001
ISBN-10 : 0898714656

Il principale obiettivo e' quello di rafforzare le conoscenze delle basi concettuali
ed epistemologiche delle matematiche moderne, esaminandole dal punto di
vista del loro sviluppo storico. Inoltre, lo studente sapra' analizzare da un punto
di vista storico epistemologico i concetti matematici anche in relazione al
processo di apprendimento/insegnamento della matematica.

6 Gli Elementi di Euclide
6 La Geometria di Cartesio
6 Le Geometrie non Euclidee
8 I Fondamenti della Geometria di Hilbert
8 Storia della Teoria dei Numeri e della Crittografia
4 Principali metodologie della storia della matematica nell'insegnamento.
8 Storia della nascita del Calcolo infinitesimale
2 Cenni storici sul Circolo Matematico di Palermo

Prova orale. Valutazione in trentesimi.
L'esaminando dovra' rispondere a una domanda a piacere posta oralmente e a
due/tre domande poste oralmente, su tutte le parti oggetto del programma, con
riferimento ai testi consigliati. La verifica finale mira a valutare se lo studente
abbia conoscenza e comprensione degli argomenti, abbia acquisito competenza
interpretativa e autonomia di giudizio. Il seminario in itinere concorrera' alla
valutazione finale insieme alle domande poste oralmente. Per la valutazione,
che avviene in trentesimi, si utilizzera' la griglia seguente:
Insufficiente: Lo studente non possiede una conoscenza accettabile degli
argomenti trattati nell'insegnamento.
18-20: Lo studente mostra conoscenza e comprensione degli argomenti nelle
linee generali; ha capacita' espositive e comunicative appena adeguate a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
21-23: Lo studente mostra conoscenza e comprensione adeguata degli
argomenti; ha capacita' espositive e comunicative soddisfacenti, ma poco
articolate, a consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
24-26: Lo studente mostra una discreta conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha capacita' espositive e comunicative discrete e appena articolate,
a consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
27-29: Lo studente mostra una buona conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha buone e ben articolate capacita' espositive e comunicative, a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
30-30 e lode: Lo studente mostra una ottima conoscenza e comprensione degli
argomenti; ha ottime e ben articolate capacita' espositive e comunicative, a
consentire la trasmissione delle conoscenze acquisite;
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, ISBN 9788806154172, 1999
Altri testi di consultazione
Gli Elementi di Euclide, edizioni UTET, ISBN 880201521X, 1999.
La Geometria di Cartesio, edizioni UTET, ISBN 9788802018713, 1999
I Fondamenti della Geometria di Hilbert, Feltrinelli, Milano, EAN
2568812354011, 1970
P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach. Storia di uomini e di numeri.
Pietro Vittorietti Edizioni, EAN 9788872310564, 2001
E. Giusti, Piccola Storia del Calcolo Infinitesimale, dall'antichita' al Novecento.
Ist. Editoriali e Poligrafici , EAN 9788881474561, 2007.

Presentare allo studente i risultati di base della teoria delle rappresentazioni dei
gruppi finiti.

5 Gruppi risolubili. Gruppi nilpotenti.
8 Rappresentazione di un gruppo. Rappresentazioni equivalenti. Riducibilità. Completa riducibilità.
8 Rappresentazione regolare. Rappresentazioni lineari. Rappresentazioni irriducibili.
8 Carattere di una rappresentazione. Relazioni di ortogonalità dei caratteri. Tavola dei caratteri di un gruppo.
3 Tavola dei caratteri del gruppo diedrale e del gruppo simmetrico.
8 Rappresentazioni di un prodotto diretto di gruppi. Rappresentazioni indotte e ristrette.
8 Applicazioni alla teoria dei gruppi. Teorema di Burnside.

L'esame consiste in una prova orale. Tale prova consiste in un colloquio, volto
ad accertare il possesso delle competenze e delle conoscenze disciplinari
previste dal corso. La valutazione viene espressa in trentesimi.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.
Descrizione dei metodi di valutazione

• Valutazione eccellente: voto 30-30 e lode. Esito: ottima conoscenza degli
  argomenti, ottima proprietà di linguaggio, buona capacità analitica, lo studente è
  in grado di applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione molto buono: voto 26-29. Esito: Buona padronanza degli
  argomenti, piena proprietà di linguaggio, lo studente è in grado di applicare le
  conoscenze per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione buono: voto 24-25. Esito: conoscenza di base dei principali
  argomenti, discreta proprietà di linguaggio, con limitata capacità di applicare
  autonomamente le conoscenze alla soluzione dei problemi proposti.
• Valutazione soddisfacente: voto 21-23. Esito: non ha piena padronanza degli
  argomenti principali dell’insegnamento ma ne possiede le conoscenze,
  soddisfacente proprietà di linguaggio, modesta capacità di applicare
  autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione sufficiente: voto 18-20. Esito: minima conoscenza di base degli
  argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, minima capacità
  di applicare autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione insufficiente. Esito: non possiede una conoscenza accettabile dei
  contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento.

Testi di riferimento (è consigliata qualsiasi edizione dei testi):

• C. W. Curtis, I. Reiner, Representation Theory of Finite Groups and
  Associative Algebras,Wiley Classics Library, 1988. ISBN: 978-0471608455.
• L. Dornhoff, Group Representation Theory, Part A Ordinary Representation
  Theory, Marcel Dekker, 1971. ISBN: 978-0824711474.
  Testi consigliati (è consigliata qualsiasi edizione dei testi):
• I.N. Herstein, Non Commutative Rings, The Carus Mathematical Monographs
  15, 1968. ISBN: 978-1470456054.
• M.J.Collins, Representations and Characters of finite groups, Cambridge
  studies in advanced mathematics 22, 1990. ISBN: 9780521234405.
• W. Fulton, J. Harris, Representation Theory A First Course, Springer-Verlag,
  1991. ISBN: 978-0-387-97495-8.
• I. M. Isaacs, Characters Theory of Finite Groups, Academic Press, 1976.
  ISBN: 978-0821842294.
• C. Polcino Milies, S. Sehgal, An Introduction to Group Rings, Springer
  Netherlands 2002. ISBN: 9781402002380.
• D.J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1996.
  ISBN: 978-0-387-94461-6.
• J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 4° ed.,
  1995. ISBN: 978-0-387-94285-8.

Lo studente imparerà alcuni approfondimenti della teoria della probabilità e delle
sue applicazioni. Egli acquisirà anche un'introduzione ai process stocastici. Lo
studente sarà in grado di descrivere e rappresentare alcuni problemi aleatori
teorici e reali attraverso l'utilizzo di opportuni modelli probabilistici e in alcuni
casi con ausilio di software (es. R, Matlab). Inoltre, lo studente sarà in grado di
dare un interpretazione probabilistica ad alcuni argomenti tipici nel campo
dell'intelligenza artificiale e del ragionamento non monotono. Infine, lo studente
sara' in grado di scrivere un breve elaborato su alcuni argomenti trattati nel
corso.

12 Richiami di Calcolo delle probabilità. Differenti approcci alla probabilità: classico, frequentista, soggettivista,
assiomatico. Somme di numeri aleatori. Funzione caratteristica. Vari tipi di convergenze e teoremi limite. Cenni
di inferenza Bayesiana. Distribuzioni coniugate. Scambiabilità
12 Introduzione ai processi stocastici. Processo di Poisson. Catene di Markov. Classificazione degli stati.
Problema della rovina di un giocatore. Processo di Bernoulli. Processi stocastici e applicazioni reali. Matrici di
transizioni e applicazioni in Matlab. Equazione di Chapman-Kolmogorov
12 Probabilità condizionata soggettiva. Principio di coerenza per famiglie di eventi condizionati. Criterio della
scommessa. Algoritmi per la verifica della coerenza e per la propagazione. Criteri di penalizzazione e proper
scoring rules. Elicitazione della probabilità. Entropia e divergenza di Bregman. Algoritmi per la verifica della
coerenza. Utilizzo del software CkC-Check Coherence package. Applicazioni in Matlab o R.
12 Ragionamento umano e logica probabilistica basata sulla coerenza. Trasmissione dell'incertezza da un
insieme di premesse ad una conclusione. Ragionamento probabilistico nonmonotono e regole di default.
Interpretazione probabilistica dei sillogismi categoriali. Gradi di fiducia sui condizionali (se A allora B),
condizionali composti e iterati. Operazioni logiche tra eventi condizionati e proprietà probabilistiche.
Applicazioni nel campo dell'intelligenza artificiale, nella rappresentazione della conoscenza e nella psicologia
del ragionamento incerto.

La verifica finale consiste nella presentazione di un elaborato breve e di una
prova orale.
Nell'elaborato gli studenti dovranno illustrare, anche mediante uso di software,
alcuni risultati teorici attinenti alle tematiche oggetto del corso. La valutazione
dell'elaborato breve sara' espressa in trentesimi. La prova orale riguarderà tutte
le parti oggetto del programma. La valutazione della prova orale sara' espressa
in trentesimi. La valutazione finale verra' espressa in trentesimi e verra'
calcolata come media aritmetica dei voti sull'elaborato breve e sulla prova orale.
Il voto verra' formulato sulla base delle seguenti condizioni:
Descrizione dei metodi di valutazione

• Valutazione eccellente: voto 30-30 e lode. Esito: ottima conoscenza degli
  argomenti, ottima proprieta' di linguaggio, buona capacita' analitica, lo studente
  e' in grado di applicare le conoscenze per risolvere i problemi proposti. -
  Valutazione molto buono: voto 26-29. Esito: Buona padronanza degli argomenti,
  piena proprieta' di linguaggio, lo studente e' in grado di applicare le conoscenze
  per risolvere i problemi proposti.
• Valutazione buono: voto 24-25. Esito: conoscenza di base dei principali
  argomenti, discreta proprieta' di linguaggio, con limitata capacita' di applicare
  autonomamente le conoscenze alla soluzione dei problemi proposti.
• Valutazione soddisfacente: voto 21-23. Esito: non ha piena padronanza degli
  argomenti principali dell’insegnamento ma ne possiede le conoscenze,
  soddisfacente proprieta' di linguaggio, modesta capacita' di applicare
  autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione sufficiente: voto 18-20. Esito: minima conoscenza di base degli
  argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, minima
  capacita' di applicare autonomamente le conoscenze acquisite.
• Valutazione insufficiente. Esito: non possiede una conoscenza accettabile dei
  contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento.
  Per gli studenti con disabilità e neurodiversita' saranno garantiti gli strumenti
  compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
  Ateneo per la disabilità e la neurodiversita', in base alle specifiche esigenze e in
  attuazione della normativa vigente.

-S. Ross, Introduction to Probability Models, Academic Press, 12th Edition,
2019, eBook ISBN: 9780128143476, Hardcover ISBN: 9780128143469 (other
editions are welcome as well).
-F. Lad, Operational Subjective Statistical Methods: A Mathematical,
Philosophical, and Historical Introduction, Wiley, 1996, ISBN 978-0-471-14329-1
-Teacher notes
Further references
-V. Kulkarni, Introduction to Modeling and Analysis of Stochastic Systems,
Springer 2011, ISBN 978-1-4419-1772-0
-G. Coletti and R. Scozzafava, Probabilistic Logic in a Coherent Setting,
Springer 2002, ISBN 978-94-010-0474-9
-B. de Finetti, Theory of Probability: A critical introductory treatment, Wiley, 2017
(reprint version), ISBN 978-1119286370

• Selected scientific articles.

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti i metodi di base e gli strumenti
dell'Analisi Non Lineare. Saranno mostrati tecniche di risoluzione per le
equazioni differenziali non lineari quali metodi variazionali, metodo di punto
fisso, metodo degli operatori pseudomonotoni, metodo delle sopra e sotto
soluzioni. La teoria sarà supportata da esempi ed applicazioni.

8 Introduzione all'analisi non lineare. Problema della brachistocrona e calcolo della superficie minima di
rotazione. Problemi di non esistenza di minimo globale. Equazione di Eulero-Lagrange. Lemma Fondamentale
del Calcolo delle Variazioni. Condizione necessaria di Eulero, Regolarità della soluzione classica
dell'Equazione di Eulero-Lagrange.
12 Calcolo differenziale in Spazi normati: derivate secondo Gâteaux e secondo Fréchet, funzionali di classe C^1,
teorema del valor medio. Operatore di Nemytskii, con relativo calcolo di derivata di Gâteaux e di Fréchet.
Derivata in senso debole, Spazi di Sobolev, Teoremi di immersione negli spazi di Sobolev, Teoremi di
compattezza in spazi di Sobolev (Teorema di Rellich-Kondrachov). Formulazione variazionale di problemi ai
limiti (Condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann). Equazioni ellittiche non lineari. Soluzioni classiche e
soluzioni deboli.
8 Metodi diretti del calcolo delle variazioni: topologia debole, funzioni semicontinue inferiormente e debolmente
semicontinue inferiormente, funzioni di tipo Carathéodory e relative proprietà. Teorema di Weierstrass in spazi
di Banach riflessivi, Teorema di Tonelli, funzioni convesse e relative proprietà, operatori completamente
continui e compatti, immersioni compatte.
8 Il teorema del Passo Montano: lemma di deformazione, proprieta' di Palais-Smale e la geometria di passo
montano. Principio Variazionale di Ekeland. Funzioni convesse. Funzioni di tipo Carathéodory. Applicazioni
del teorema di Weierstrass generalizzato a funzionali definiti su spazi di Hilbert. Applicazione dei metodi diretti
del calcolo delle variazioni allo studio di esistenza di soluzioni deboli e classiche per problemi ai limiti associati
ad equazioni differenziali non lineari ordinarie e alle derivate parziali.
12 Metodi di punto fisso e di monotonia. Teorema di Brouwer. Teorema di Schauder. Teorema di Schaefer.
Principio di Leray-Schauder. Operatori monotoni e preudomonotoni e loro proprietà. Teorema fondamentale
degli operatori pseudomonotoni. Operatori di Leroy Lions. Metodo di sopra e sotto soluzione.

La verifica finale consiste in una prova orale.
La prova orale finale avra' la finalita' di approfondire la verifica del livello di
maturazione delle conoscenze della materia, nonche' della capacita' di
esposizione dei contenuti teorici (definizioni, enunciati e dimostrazione dei
risultati proposti durante il
corso). Il voto finale sara' espresso in trentesimi, secondo il seguente schema di
valutazione:
Eccellente (30 – 30 e lode): conoscenza completa e approfondita degli
argomenti, ottima proprietà di linguaggio, buona capacità analitica, intuitiva e di
collegamento; lo studente e' in grado di applicare autonomamente e con spunti
di originalità le conoscenze per risolvere i problemi proposti.
Molto buono (26-29): conoscenza approfondita degli argomenti, piena proprietà
di linguaggio, buona capacità analitica; lo studente e' in grado di applicare le
conoscenze per risolvere i problemi proposti in modo autonomo.
Buono (24-25): Buona padronanza degli argomenti, discreta proprietà di
linguaggio; lo studente ha una buona capacità di applicare le conoscenze per
risolvere gli esercizi proposti. Soddisfacente (21-23): Conoscenza di base dei
principali argomenti, adeguata proprietà di linguaggio; lo studente e' in grado di
risolvere semplici esercizi di base e ha una capacità limitata di applicare le
conoscenze in modo autonomo. Sufficiente (18-20): Conoscenza minima degli
argomenti, accettabile proprietà di linguaggio; lo studente risolve esercizi
semplici e ha una capacità molto limitata di applicare le conoscenze in modo
autonomo.
Insufficiente: Lo studente non possiede una conoscenza accettabile dei
contenuti del corso.
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente

H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editrice, (1986).
ISBN: 978-8820715014
A. Ambrosetti, G. Prodi, A primer of nonlinear Analysis, Cambridge University
press, Cambridge 1993,
ISBN 0 521 485738
P. Drabek - J. Milota, Methods of Nonlinear Analysis, Applications to Differential
Equations, Birkhäuser, 2013.
ISBN: 978-3034807593
Testi per approfondimento
M. Struwe, Variational Methods, Springer.
ISBN: 3-540-66479-3
D. Costa, An invitation to variational Methods in differential equations,
Birkhause, Basel,2007.
ISBN: 978 0 8176 4535 9.
L.C. Evans, Partial differential equations, second edition vol. 19 graduate
studies in Mathematics. AMS, 2010.
ISBN: 978 1 4704 6942 9.

Obiettivo del corso e' quello di introdurre lo studente allo studio dei gruppi di Lie
passando attraverso una consistente introduzione alle tematiche principali
inerenti la Topologia differenziale e la Teoria dei gruppi topologici.

6 Introduzione alla teoria dei gruppi topologici
2 Il campo dei numeri p-adici.
4 Connessione di gruppi topologici classici
6 Fondamenti di topologia differenziale
6 Gruppi di Lie
6 Algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie
6 Curve integrali di un campo vettoriale e funzione esponenziale;
4 La funzione logaritmica e sue proprieta'
4 esponenziale di una matrice
6 Differenziale della mappa esponenziale, formula di Poincaré. Formula di Baker-Campbell-Hausdorff.
4 sottogruppi di Lie
4 un esempio di sottogruppo di Lie non regolare
4 azioni di gruppi di Lie su varieta'
4 il rivestimento universale di un gruppo di Lie
2 il teorema di Lie;
4 Gruppo delle simmetrie delle soluzioni di una equazione differenziale-

La verifica finale si basa su una prova orale. Essa, opportunamente graduata,
sara' formulata sulla base delle seguenti condizioni:
1) Conoscenza di base degli argomenti proposti e capacita' limitata di applicarli
autonomamente; sufficiente capacita' di portare a termine un ragionamento
rigoroso e sufficiente proprieta' di linguaggio (voto 18-21);
2) Conoscenza discreta degli argomenti proposti e capacita' di applicarli con
sufficiente autonomia; discreta capacita' di portare a termine un ragionamento
rigoroso e buona proprieta' di linguaggio (voto 22-25);
3) Buona conoscenza degli argomenti proposti e capacita' di applicarli con
rigore matematico e con piu' che sufficiente autonomia; possesso di buona
proprieta' di linguaggio (voto 26-28);
4) Conoscenza molto buona e ampia degli argomenti proposti; capacita' di
applicarli con rigore e in piena autonomia; possesso di ottime capacita'
comunicative (voto 29-30L).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

1. Lecture notes
2. Hall, B. (2016). Lie Groups, Lie Algebras and Representations. Graduate
Texts in Mathematics, Springer, New York, NY., Hardcover ISBN:
978-3-319-13466-6, eBook ISBN: 978-3-319-13467-3

Le lezioni frontali si propongono di fare acquisire i concetti basilari della teoria
degli errori per una corretta interpretazione dei dati raccolti nelle esperienze di
laboratorio. Obiettivo della parte sperimentale è quello di far acquisire agli
studenti: metodi laboratoriali per lo studio dei fenomeni fisici, anche in termini di
progettazione di attività didattiche e, in particolare, capacità di uso, anche
didattico, di strumentazione, analisi ed interpretazione di risultati di esperimenti
riguardanti la Fisica Classica.
Le esperienze di laboratorio sono di semplice attuazione e coinvolgono concetti
di base. Esse sono congegnate in modo che possano essere proponibili come
attività sperimentale rivolta agli studenti di scuola secondaria di II grado.

7 Introduzione e obiettivi del corso. Metodi di misura e caratteristiche degli strumenti. Stima delle incertezze nelle
misure dirette. Cifre significative. Confronto di due misure e compatibilita'. Confronto tra valori misurati e
accettati, discrepanza. Incertezza assoluta e incertezza relativa. Incertezza casuale e sistematica.
Propagazione delle incertezze nelle misure indirette. Formula generale della propagazione delle incertezze per
una funzione di una o piu' variabili. Esempi pratici.
6 Rappresentazione grafica di risultati sperimentali e relative incertezze. Determinazione grafica dei parametri
caratteristici di una funzione lineare, stima dell’incertezza massima. Funzioni linearizzabili e loro
rappresentazione grafica: uso delle scale logaritmiche. Esempi di applicazione. Analisi dati di un esperimento
proposto.
7 Incertezza nelle misure ripetibili: media, deviazione, deviazione standard e deviazione standard della media.
Propagazione delle deviazione standard e della deviazione standard della media, Istogrammi a barre e a
intervalli normalizzati. Funzione di distribuzione di Gauss per descrivere gli incertezze casuali. Significato della
deviazione standard e livelli di confidenza.
6 Covarianza e correlazione, incertezze dipendenti o indipendenti. Combinazione di incertezze di diverso tipo e/o
ottenuti con metodi diversi, la media pesata e la sua incertezza. Il metodo dei minimi quadrati pesato e non. Il
fitting lineare con il metodo dei minimi quadrati e incertezza sui parametri caratteristici. Il coefficiente di
correlazione lineare come test di un buon fit. Cenni sul fit non lineare.
6 Principi di funzionamento delle attrezzature usate nelle esperienze di laboratorio e descrizione dei software per
la rappresentazione grafica, per l’analisi statistica e per il fitting dei dati sperimentali.

7 Progettazione ed esecuzione di una esperienza di laboratorio. Analisi grafica in scala lineare, o in scala
logaritmica, dei dati e stima dei parametri fisici del sistema. Discussione della relazione di laboratorio.
7 Progettazione ed esecuzione di una esperienza di laboratorio. Analisi grafica in scala lineare, o in scala
logaritmica, dei dati e stima dei parametri fisici del sistema. Discussione della relazione di laboratorio.
7 Progettazione ed esecuzione di una esperienza di laboratorio. Analisi grafica in scala lineare, o in scala
logaritmica, dei dati e stima dei parametri fisici del sistema. Discussione della relazione di laboratorio.
6 Progettazione ed esecuzione di una esperienza di laboratorio. Analisi statistica avanzata dei dati e stima dei
parametri fisici del sistema. Discussione della relazione di laboratorio.
5 Progettazione ed esecuzione di una esperienza di laboratorio. Analisi statistica avanzata dei dati e stima dei
parametri fisici del sistema. Discussione della relazione di laboratorio.

La valutazione dell'apprendimento viene effettuata con prove intermedie,
individuali e di gruppo, e con la discussione collegiale delle esperienze di
laboratorio, secondo le modalità previste nel metodo di didattica innovativa
Team Based Learning (TBL). Per gli studenti che non possono svolgere le prove
intermedie è prevista una prova finale con lo svolgimento di prove scritte e la
discussione delle relazioni di laboratorio.
Le prove scritte riguardano la risoluzione, senza ausilio di libri di testo o appunti,
di quesiti e/o problemi che richiamano gli argomenti dell'insegnamento. Essa
permette di verificare, a parita' di condizioni di tutti i candidati, il grado di
conoscenza degli argomenti oggetto dell’insegnamento. In particolare, si
evidenzia la capacita' di analizzare i dati relativi a una problematica fisica,
nonche' la capacita' di ottenere valutazioni quantitative.
La prova orale riguarderà principalmente la discussione delle esperienze di
laboratorio svolte. Al candidato è richiesto di applicare le leggi e le regole della
teoria della misura, inerenti gli argomenti del corso. La prova orale vuole
valutare l'apprendimento dei metodi di analisi dei risultati ottenuti da misurazioni
e se lo studente ha acquisito le conoscenze di base sui principi di
funzionamento degli strumenti tipici di un laboratorio per scopi didattici. Nel caso
in cui durante la discussione si evidenzino lacune sui concetti o sui metodi
oggetto dell’insegnamento, si procederà mediante qualche domanda specifica
sui concetti base affrontati durante le lezioni. L’esame finale consente di
valutare, oltre alle conoscenze del candidato e alla sua capacità di applicarle,
anche il possesso di proprietà di linguaggio e capacità di esposizione chiara.
La valutazione finale, opportunamente graduata, sara' formulata sulla base delle
seguenti condizioni:
a) Sufficiente conoscenza di base degli argomenti trattati, capacita' limitata
nell'applicare autonomamente le conoscenze acquisite a situazioni specifiche,
capacita' comunicative e linguaggio tecnico appena sufficienti (18-22).
b) Buona conoscenza degli argomenti trattati, sufficiente autonomia
nell'applicare le conoscenze a situazioni specifiche, discreta capacità di
utilizzazione dei metodi di analisi dei dati, discreta capacita' di esposizione
(23-26).
c) Approfondita conoscenza degli argomenti trattati, buona autonomia
nell'applicare le conoscenze a situazioni specifiche, buona capacita' di
utilizzazione dei metodi di analisi dei dati sperimentali, buona capacita' di
esposizione (27-29).
d) Conoscenza diffusa e approfondita degli argomenti trattati e prontezza
nell'applicarli a problemi specifici e nel contesto dell’attivita' di laboratorio, alto
grado di autonomia nell'uso dei metodi di analisi dei dati sperimentali, chiarezza
e rigorosita' nell'esposizione (30-30L).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal Centro di Ateneo per la
disabilità e la neurodiversità (Ce.N.Dis.), in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente.

Testo base/Basic textbook: A. Agliolo Gallitto, Introduzione al Laboratorio di
Fisica: gli errori nelle misure sperimentali, Università di Palermo 2016, ISBN:
978-8894124590
Testo base/Basic textbook: John R. Taylor, INTRODUZIONE ALL’ANALISI
DEGLI ERRORI: Lo studio delle incertezze nelle misure fisiche, III edizione,
Zanichelli (2023), ISBN: 978-8808399663
Testo di consultazione/supplementary textbook: G. Filatrella e P. Romano,
Elaborazione statistica dei dati sperimentali con elementi di laboratorio, II Ed.
EdiSES 2022, ISBN: 978-8836230741
Testo di consultazione/supplementary textbook: A. Filipponi, Introduzione alla
fisica, Zanichelli 2006, ISBN: 978-8808070739
Il materiale didattico, curato dal docente, e' disponibile nella seguente pagina
web/The teaching material, edited by the teacher, is available on the following
web page:
https://sites.google.com/site/aurelioagliologallitto/didattica/lab_fisica

L’insegnamento si propone di fornire allo studente i concetti teorici e applicativi
per la definizione e la realizzazione di metodi e di algoritmi per l’analisi
automatica di immagini biomediche. Sviluppo delle capacita' per le applicazioni
ai diversi ambiti del mondo del lavoro.

2 La Natura delle immagini biomediche: la temperatura del corpo come immagine, immagini al microscopio,
immagini X-ray, immagini di risonanza magnetica.
2 Rimozione di Artefatti: Caratterizzazione degli artefatti, dominio spaziale e filtri basati su statistiche.
5 Image Enhancement: operazioni digitali su immagini biomediche, trasformazioni su immagini a livelli di grigio,
trasformazioni su dati istogramma, filtri basati sulla convoluzione, filtri omomorfici, filtri sullo spazio delle
frequenze, enhancement basati sul contrasto.
5 Individuazione di zone di interesse: Binarizzazione Threshold, individuazione di punti isolati, individuazione di
bordi e corner, segmentazione e region growing, metodi per il miglioramento del contorno e stima della regioni
di interesse.
4 Analisi delle forme: rappresentazione di forme e contorni, codici per la rappresentazioni di forme, modelli
polinomiali per la modellazione di contorni, skeleton, caratterizzazione delle forme attraverso parametri
essenziali, descrittori di Fourier.
4 Analisi delle tessiture: modelli per la generazione di texture analisi statistica delle texture, segmentazione e
analisi strutturale delle tuxture.
4 Ricostruzione di immagini dalle proiezioni: proiezioni geometriche, Teorema Fourier slice, tecniche di
ricostruzione algebriche, approssimazione con il metodo di Kaczmarz.
3 Processamento di immagini, Segmentazione di immagini con cluster, Segmentazione di immagini multispetrali.
4 Trasformazioni nel dominio dello spazio e delle frequenze, esperienze di laboratorio sull'applicazione, nello
spazio delle frequenze, di filtri su dati immagini.
4 Individuazione di punti isolati, bordi e corner, esperienze di laboratorio su enhancement basati sul contrasto
Exercises on Corner and spots.
4 Segmentation and region growing, laboratory experiences on the identification of areas of interest: Threshold,
Binarization.
4 Metodi e algoritmi di cluster: cluster gerarchici, cluster partizionali, software per il cluster, metodologie. Alcune
esperienze di laboratorio su algoritmi per cluster gerarchici, cluster partizionali.
3 Esperienze di Laboratorio su algoritmi di ricostruzioni di immagini 3D

La verifica finale vertera' sull'analisi dei seminari svolti, sulla discussione di un
argomento in forma orale e su domande inerenti le conoscenze di base del
corso. La prova finale ha lo scopo di valutare, oltre le conoscenze di base e il
possesso di proprieta' di linguaggio anche il rigore matematico e la capacita'
applicative del candidato.
La valutazione finale, sara' formulata sulla base delle seguenti condizioni:
a)(cid:9)Conoscenza di base degli argomenti proposti e capacita' limitata di applicarli
autonomamente; sufficiente capacita' di portare a termine un ragionamento
rigoroso e sufficiente proprieta' di linguaggio (voto 18-21);
b)(cid:9)Conoscenza discreta degli argomenti proposti e sufficiente capacita' di
applicarli autonomamente; discreta capacita' di portare a termine un
ragionamento rigoroso e buona proprieta' di linguaggio (voto 22-25);
c)(cid:9)Buona conoscenza degli argomenti proposti e capacita' di applicarli con rigore
matematico, ma non in piena autonomia; possesso di buona proprieta' di
linguaggio (voto 26-28);
d)(cid:9)Conoscenza molto buona, ampia ed elevata degli argomenti proposti;
capacita' di applicarli con rigore e in piena autonomia; possesso di ottime
capacita' comunicative (voto 29-30L).
Per gli studenti con disabilità e neurodiversità saranno garantiti gli strumenti
compensativi e le misure dispensative individuate, dal CeNDis - Centro di
Ateneo per la disabilità e la neurodiversità, in base alle specifiche esigenze e in
attuazione della normativa vigente

• R. M Rangayyan, Biomedical Image Analysis, CRC Press. eBook ISBN
  9780429209093; https://doi.org/10.1201/9780203492543
• A.Meyer-Baese - Pattern Recognition in Medical Imaging, Elsevier. ISBN
  978-0-12-409545-8; https://doi.org/10.1016/C2012-0-00347-X