Applied Mathematics

Orale

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Acquiring language and basic tools concerning functional spaces, representation theorems, operator theory and operator semigroups, with applications to some classes of partial differential equations

Recalls on topological spaces, metric spaces, Banach spaces and Hilbert spaces The Hahn-Banach Theorems. Introduction to the theory of conjugate convex functions. The uniform boundedness principle and the closed graph theorem. Weak topology and weak* topology . Reflexive spaces. Separable spaces. Uniform convexity. Linear and continuous operators Compact operators. Operators in Hilbert spaces. Hille- Yosida Theorem. Sequence spaces and functional spaces. Sobolev spaces.

Mathematical knowledge which usually is acquired during the first three years of the Mathematics degree. Especially: classical analysis of one and several variables, measure theory, normed spaces, general topology, linear algebra

• Homework assignments will be provided to support and guide individual
  study.
• In addition to the recommended textbooks, additional learning materials
  and sample exam questions will be made available to facilitate
  independent preparation. This additional material is available on the E-
  learning platform. Access is regulated by a password, which will be
  provided by the instructor during the first lecture.

Student's preparation is assessed through an oral examination. The oral examination is intended
to assess the student's understanding of the theoretical concepts presented in the course. A minimum score of 18 out of 30 is required to pass the examination.

H. BREZIS, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011. P. CANNARSA – T. D’APRILE, Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008. V. CHECCUCCI, A. TOGNOLI, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Feltrinelli, 1976 E. DIBENEDETTO, Real Analysis, Birkäuser, 2002. N. DUNFORD, J.T. SCHWARZ, Linear Operators. Part I. General Theory, J. Wiley and Sons, 1988 K.J. ENGEL - R. NAGEL, One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics 194, Springer, 2000. G. GILARDI, Analisi 3, McGraw-Hill, Milano 1994. G. GILARDI, Analisi Funzionale, McGraw-Hill, Milano 2014 J.A. GOLDSTEIN, Semigroups of Operators and Applications, Second Edition, Dover Publications, Inc. New York 2017. P.D. LAX, Functional Analysis, Wiley Interscience, 2002 M. MURATORI, F. PUNZO, N. SOAVE, Esercizi svolti di Analisi Reale e Funzionale, I Edizione, Società Editrice Esculapio, Bologna 2021

Introdurre gli studenti ai concetti di base di geometria differenziale e ad una parte della topologia algebrica

Connessione di spazi topologici.
Omotopia e deformazioni. Gruppo fondamentale. Invarianti topologiche e classificazione. Varietà differenziali. Vettori tangenti. Campi vettoriali. Generalità su fibrati. Orientabilità.

Buona conoscenza dell' algebra lineare, geometria analitica elementare, analisi reale e nozioni di base di teoria dei gruppi.
-
A good knowledge of linear algebra. elementary analytical geometry, real analysis, general topology and the basis of group theory.

Lezioni frontali ed esercitazioni.
-
Lectures and class exercises.

Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è basata sulla soluzione di esercizi. L'esito dello scritto è solo valido ai fini di accertare la presenza di competenze minime per la prova orale e non ha riflesso significativo sul voto finale. Qualora lo studente, nella prova orale, palesasse profonde lacune di base, potrà essere richiesta una nuova prova scritta.
La prova orale consiste nella descrizione delle basi teoriche, da cui provengono i metodi per la soluzione di problemi.

I. M. Singer and J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry; Springer.
L.Chiantini, Introduction to Differential Geometry, disponiobile al link
https://www3.diism.unisi.it/~chiantini/did/00BookGeoDiff.pdf

Orale

Il corso introduce i concetti fondamentali e i principali metodi della combinatoria enumerativa. Gli studenti acquisiranno gli strumenti necessari per formulare e risolvere problemi di conteggio, analizzare la struttura discreta degli oggetti combinatori e sviluppare dimostrazioni rigorose.
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:
-riconoscere e analizzare la struttura di diversi oggetti della matematica discreta;
-determinare l'esistenza e contare oggetti combinatori che soddisfano determinate proprietà;
-applicare tecniche biiettive e funzioni generatrici alla risoluzione di problemi di enumerazione;
-costruire dimostrazioni rigorose in ambito combinatorio;
-modellare e risolvere problemi combinatori provenienti dalla matematica, dall'informatica teorica e da altre discipline affini.
Il corso affronta lo studio di insiemi, permutazioni, partizioni, composizioni, alberi, insiemi parzialmente ordinati (poset) e polimini, con particolare enfasi sui metodi biiettivi e sulle funzioni generatrici.

Il corso presenta metodi formali per affrontare problemi di enumerazione e generazione di classi di oggetti combinatori e le loro applicazioni all'analisi degli algoritmi.
Saranno studiati alcuni dei principali oggetti della matematica discreta, quali permutazioni, insiemi parzialmente ordinati (poset), alberi, partizioni, cammini su reticolo e grafi.
Nella prima parte del corso verranno introdotti i metodi classici della combinatoria enumerativa, basati su relazioni di ricorrenza e tecniche biiettive, al fine di fornire agli studenti gli strumenti fondamentali per l'analisi delle strutture combinatorie. Nella seconda parte saranno presentati metodi più avanzati, basati sulle funzioni generatrici e sulla teoria delle strutture decomponibili, delle grammatiche di oggetti e dei generating trees.

Sono richieste conoscenze di base di algebra, algebra lineare e programmazione, equivalenti a quelle normalmente acquisite nei corsi del primo anno di una laurea triennale in Informatica o Matematica.

Il corso prevede lezioni frontali, lettura guidata e discussione di testi scientifici, assegnazione di esercizi e attività da svolgere a casa, nonché la partecipazione a seminari o presentazioni tenuti da ricercatori di altre università.

La verifica dell'apprendimento si articola in due parti:
-una serie di esercizi da svolgere a casa durante il corso;
-un problema di ricerca individuale da affrontare al termine del corso.
La valutazione terrà conto della correttezza e dell'originalità delle soluzioni proposte, nonché della capacità dello studente di analizzare problemi combinatori, sviluppare dimostrazioni rigorose e applicare i metodi e le tecniche presentati durante il corso.

M. Bona, Handbook of Enumerative Combinatorics, 2015 by Chapman and Hall/CRC
R. Stanley, Enumerative Combinatorics vol 1, Cambridge University press, 2012
R. Stanley, Enumerative Combinatorics vol 2, Cambridge University press, 2001.

L'insegnamento contribuisce agli obiettivi formativi del Corso di Laurea Magistrale in Applied Mathematics introducendo i fondamenti della logica matematica guidati dalle applicazioni computazionali e dell'intelligenza artificiale.
Risultati di apprendimento attesi:

• Conoscenza e capacità di comprensione: Comprensione avanzata dei fondamenti della logica classica del primo ordine, teoria dei modelli, logiche non classiche (fuzzy, modali, sottostrutturali) e loro applicazioni in AI e teoria dei database.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Capacità di formulare problemi computazionali e di intelligenza artificiale tramite formalismi logici idonei e di applicare algoritmi di dimostrazione automatica e tecniche di gestione dell'incertezza.
• Autonomia di giudizio: Capacità di valutare e selezionare il sistema logico più adeguato per modellare contesti applicativi complessi o non deterministici. - Capacità di apprendimento: Sviluppo di un rigore logico-matematico che consenta di affrontare in autonomia la letteratura scientifica avanzata nei settori della logica applicata e dell'informatica teorica.

1. Introduzione: Prospettiva storica sul ruolo della logica nella scienza e nella tecnologia, con particolare attenzione alle interazioni con l'intelligenza artificiale.
2. Fondamenti di logica matematica: Richiami di logica proposizionale e del primo ordine classica e risultati utili di teoria dei modelli (compattezza, ultraprodotti, teoremi di Löwenheim-Skolem, equivalenza elementare, teoremi di Lindström, ecc.). Breve introduzione alla teoria della complessità computazionale.
3. Dimostrazione automatica di teoremi: Tableau semantici, forme normali congiuntive, risoluzione, alberi semantici, algoritmo di Davis–Putnam, algoritmo DPLL, algoritmo di Skolem, teorema di Herbrand, unificazione.
4. Teoria dei modelli finiti: Fallimento della compattezza, teorema di Trakhtenbrot, giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé, leggi 0-1, complessità descrittiva, estensioni della logica del primo ordine.
5. Logiche intuizioniste e sottostrutturali: Motivazioni per il ragionamento non classico, semantica algebrica, logiche debolmente implicative.
6. Logiche a più valori: Il problema della vaghezza e logiche fuzzy, applicazioni, studio algebrico, complessità e teoria dei modelli.
7. Logiche modali: Motivazioni per le logiche modali classiche, principali sistemi assiomatici, semantica a mondi possibili, teoria della completezza e della corrispondenza, complessità, logiche descrittive, logica epistemica e sistemi multi-agente, logica dinamica e verifica di programmi.
8. Gestione dell'incertezza: Logica probabilistica, logiche modali a due livelli, inferenza bayesiana, reti di Markov.
9. Basi di dati: Calcolo relazionale e teorema di Codd, interrogazioni su basi di dati, semantica a borse (bag semantics) e altre semantiche su semianelli, provenienza dei dati.

Conoscenze di base di logica matematica, algebra e nozioni elementari di teoria della complessità computazionale. Non sono previste propedeuticità obbligatorie rigide tranne quelle indicate nel Regolamento Didattico del CdS.

Lezioni frontali alla lavagna focalizzate sullo sviluppo rigoroso della teoria ed esempi applicativi. Discussione attiva in aula.
Per gli studenti non frequentanti: Studio dei materiali delle lezioni che saranno resi a disposizione e uso dei riferimenti bibliografici per consentire lo studio autonomo.

L'esame finale consiste in una prova orale individuale.
La prova orale accerta l'acquisizione delle conoscenze teoriche e concettuali esposte durante il corso, la padronanza delle dimostrazioni matematiche, la capacità di effettuare collegamenti tra le diverse famiglie di logiche e l'abilità di applicarle a scenari d'Intelligenza Artificiale.
Criteri di valutazione:

• Conoscenza e rigore nell'esposizione dei teoremi e delle definizioni.
• Capacità di argomentazione e analisi critica.
• Chiarezza espositiva e proprietà di linguaggio matematico.
  Per gli studenti non frequentanti: Le modalità di esame e i criteri di valutazione per gli studenti non frequentanti sono identici a quelli previsti per gli studenti frequentanti.

S. Abiteboul, R. Hull, V. Vianu, Foundations of Databases: The Logical Level, Pearson, 1994.
M. Ben-Ari, Mathematical Logic for Computer Science, Springer, 2012.
C.C. Chang, H.J. Keisler, Model Theory, North Holland, 1990.
P. Cintula, C.G. Fermüller, P. Hájek, C. Noguera (eds), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic (vols 37, 38, 58), College Publications, 2011/2015.
P. Cintula, C. Noguera, Logic and Implication: An Introduction to the General Algebraic Study of Non-Classical Logics, Springer, 2021.
H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, Finite Model Theory, Springer, 1995.
H.B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, 2001.
D.M. Gabbay, J. Woods, The Many Valued and Nonmonotonic Turn in Logic, North Holland, 2008.
P. Hájek, Metamathematics of Fuzzy Logic, Springer, 1998.
W. Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993.
H. Lewis, C. Papadimitriou, Elements of the Theory of Computation, Prentice-Hall, 1997.
L. Libkin, Elements of Finite Model Theory, Springer, 2004.
G. Restall, An Introduction to Substructural Logics, Routledge, 1999.
S. Russell, P. Norvig, Artificial Intelligence: A Modern Approach, 2020.
N.J.J. Smith, Vagueness and Degrees of Truth, Oxford University Press, 2008.
Note per i non frequentanti: La bibliografia di riferimento è la medesima sia per gli studenti frequentanti che per i non frequentanti. Materiali integrativi saranno resi disponibili.

This course studies topics in modern descriptive set theory connecting logic, graphs, groups and algorithms.
Translations of finite problems to the infinite often have counterintuitive behaviour such as the Banach-Tarski decomposition of a sphere. The core idea of descriptive set theory is that properties such as Borel or Lebesgue measurability prevent such examples and allow analogous results to finite problems. The analysis of Borel sets uses logic and definability. In the first part of the course, we study descriptive combinatorics, where graph theoretic problems such as coloring and matching are studied for infinite graphs on the reals instead of finite ones, and links between this area and distributed algorithms. We will see some applications to uniformization problems and dichotomies. In the second part of the course, we study isomorphism problems and more generally orbit equivalence relations of group actions, or symmetries, one of the main themes in descriptive set theory.

Polish spaces, Borel sets, measures, Baire property, definability, Borel hierarchy, analytic sets, separation; graph colorings, matchings, distributed algorithms; G_0-dichotomy, uniformization, Silver's dichotomy; actions of countable groups, actions of Polish groups, countable Borel equivalence relations, Borel reducibility

Basic notions of logic, algebra and analysis.

Lectures, homework, problem solving in class.

There are two intermediate tests towards the middle and end of the course. The oral exam at the end of the course is not mandatory if both intermediate tests are passed.

Gao: Invariant descriptive set theory
Kechris: Classical descriptive set theory
Kechris, Marks: Descriptive combinatorics (https://math.berkeley.edu/~marks/papers/combinatorics20book.pdf)
More literature will be made available during the course.

Fornire le conoscenze per usare il formalismo lagrangiano nella formulazione dei modelli di sistemi meccanici. La seconda parte del corso si propone di introdurre sistemi e modellistica di interesse attuale nella ricerca fisica e matematica applicata.

Dopo un riepilogo della dinamica newtoniana, si introduce il formalismo lagrangiano applicandolo a
problemi classici come i moti centrali, il corpo rigido e le piccole oscillazioni. Nella seconda parte si introducono i sistemi
continui unidimensionali studiando la corda elastica e l'equazione delle onde, problemi di instabilità meccanica come il buckling delle aste e la transizione di Freedericksz nei cristalli liquidi nematici.

Conoscenza del calcolo differenziale ed integrale con più variabili corrispondente ai corsi di Analisi 1 e Analisi 2. Conoscenza della meccanica al livello del corso di Fisica 1. Nella seconda parte del corso risulta utile anche la conoscenza dei principali concetti di elettromagnetismo.

Lezioni frontali.

Colloquio orale su tutto il programma per verificare la comprensione dello studente degli argomenti della fisica matematica affrontati durante il corso.
In alternativa, si può tenere un breve seminario su un articolo di ricerca, riguardante uno degli argomenti del corso.

"Classical Mechanics", by H. Goldstein, C. P. Poole, Jr., John L. Safko,
ISBN-13: 978-0201657029
"Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction"
by Mark Levi
ISBN-13: 978-0821891384
"Material given during the course"

l corso si propone di introdurre i principali metodi numerici di approssimazione per la soluzione di problemi descritti da equazioni alle derivate parziali (PDE), con particolare attenzione alla loro formulazione, analisi e implementazione computazionale. La seconda parte del corso è dedicata ai concetti fondamentali, ai metodi e agli strumenti computazionali della modellazione geometrica e del Computer-Aided Geometric Design (CAGD).

Prima parte:
Richiami ai metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie.
Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Equazioni ellittiche.
Formulazione forte e formulazione debole.
Metodo di approssimazione Galerkin.
Metodi agli elementi finiti (FEM).
Problemi di diffusione-trasporto.
Tecniche di stabilizzazione.
Cenni ai metodi risolutivi per problemi parabolici (no Numerical Modeling B)
Introduzione ai metodi agli elementi di contorno (BEM) (no Numerical Modeling B)
Seconda parte:
Introduzione alla modellizzazione geometrica.
Curve polinomiali parametriche: curve di Bezier e loro proprieta'.
Curve B-splines.
Estensione razionale: NURBS. (no Numerical Modeling B)
Cenni alle superfici a prodotto tensoriale (Bezier e B-splines). (no Numerical Modeling B)
Analisi Isogeometrica e problemi aperti nella ricerca. (no Numerical Modeling B)

Conoscenze di base di analisi matematica (funzioni, derivate, integrali e loro proprieta'). Teoria delle equazioni differenziali Conoscenze di base di calcolo numerico (metodi numerici per sistemi lineari, interpolazione ed appossimazione, metodi per equazioni differenziali ordinarie) nozioni di base del linguaggio di programmazione Matlab.

Lezioni frontali e qualche esercitazione Matlab in aula informatica per l'implementazione di alcuni algoritmi.

Esame orale sugli argomenti svolti a lezione.

• A. Quarteroni: Numerical approximation of partial differential equations, Springer, Berlin, 1997. - J. Hoschek and D. Lasser, Fundamentals of computer aided geometric design, Wellesley, Peters, 1993

l corso si propone di introdurre i principali metodi numerici di approssimazione per la soluzione di problemi descritti da equazioni alle derivate parziali (PDE), con particolare attenzione alla loro formulazione, analisi e implementazione computazionale. La seconda parte del corso è dedicata ai concetti fondamentali, ai metodi e agli strumenti computazionali della modellazione geometrica e del Computer-Aided Geometric Design (CAGD).

Prima parte:
Richiami ai metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie.
Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Equazioni ellittiche.
Formulazione forte e formulazione debole.
Metodo di approssimazione Galerkin.
Metodi agli elementi finiti (FEM).
Problemi di diffusione-trasporto.
Tecniche di stabilizzazione.
Cenni ai metodi risolutivi per problemi parabolici (no Numerical Modeling B)
Introduzione ai metodi agli elementi di contorno (BEM) (no Numerical Modeling B)
Seconda parte:
Introduzione alla modellizzazione geometrica.
Curve polinomiali parametriche: curve di Bezier e loro proprieta'.
Curve B-splines.
Estensione razionale: NURBS. (no Numerical Modeling B)
Cenni alle superfici a prodotto tensoriale (Bezier e B-splines). (no Numerical Modeling B)
Analisi Isogeometrica e problemi aperti nella ricerca. (no Numerical Modeling B)

Conoscenze di base di analisi matematica (funzioni, derivate, integrali e loro proprieta'). Teoria delle equazioni differenziali Conoscenze di base di calcolo numerico (metodi numerici per sistemi lineari, interpolazione ed appossimazione, metodi per equazioni differenziali ordinarie) nozioni di base del linguaggio di programmazione Matlab.

Lezioni frontali e qualche esercitazione Matlab in aula informatica per l'implementazione di alcuni algoritmi.

Esame orale sugli argomenti svolti a lezione.

• A. Quarteroni: Numerical approximation of partial differential equations, Springer, Berlin, 1997. - J. Hoschek and D. Lasser, Fundamentals of computer aided geometric design, Wellesley, Peters, 1993

The course provides students with theoretical and practical tools for modeling and solving network optimization problems. At the end of the course students will be able to recognize, formulate and solve network optimization problems. The solution of the problems will make use of available commercial solvers. Through hands-on lessons and projects, students apply these tools to realistic applications. Contribution to Degree Program Objectives: - In-depth knowledge of network optimization models and theory - Ability to identify, formulate and solve real-world problems as network optimization problems - Rigor in communicating ideas and solutions in real-world network optimization applications - Development of critical and autonomous problem-solving skills in the network optimization field Detailed expected learning outcomes: - Recognize network optimization problems - Provide mathematical formulations of network optimization problems - Implement and solve network optimization problems using python programming language

The course covers two main aspects: a theoretical and a practical part. - In the theoretical part, models and algorithms for network optimization problems will be introduced. Specifically we will deal with Minimum Spanning Tree, Matching, Maximum Flow and Travelling Salesman Problem. In the theoretical part, emphasis will be put on the formulation of problems as network optimization and on different algorithmic approaches to solve the problems. - In the practical part, we will introduce the python programming language and the NetworkX and Gurobi libraries. Emphasis will be on practical implementation of Mixed Integer Linear Programs for network based problems. The following main topics are addressed in the course: - Introduction to optimization - Minimum Spanning Tree problem - Matching problems - Maximum flow problem - Travelling Salesman Problem - Introduction to python, NetworkX and Gurobi - Implementation of network optimization problems

Students are expected to have basic knowledge of operations research, linear programming. Python programming experience is recommended but not required. However, the course is self contained since all the needed concepts will be reviewed at the beginning of the course.

In-class time is structured into: - Lectures covering network optimization models, theory and applications. - Lab tutorial sessions and hands-on exercise in the lab. Lab sessions provide the ability to identify, formulate and solve real-world problems as network optimization problems using python. Out-of-class work consists of: - Individual study: on theory and coding - Optional group project work: Finally, If some students want an optional group project work can be organized. The optional group project work will allow students to apply the knowledge acquired during the course on a realistic problem thus developing critical thinking and communication skills.

Assessment is structured as follows: - The exam will be only oral and it concerns the knowledge of the theoretical topics introduced in the course. It evaluates the student’s ability to synthesize and discuss the key theoretical and methodological concepts. - The experiences gained in the lab are evaluated by the optional project work and the active participation during the course. They contribute with some bonus points to the final grade.

Classnotes prepared by the instructor. Additional material recorded in the previous years is available.