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Decision Theory
Università commerciale Luigi Bocconi mathematical and computing sciences for artificial intelligence 2024
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Il documento introduce le basi della teoria della decisione: relazioni binarie e preferenze, funzioni di utilità e teoria della scelta razionale. Sviluppa poi la decisione in condizioni di certezza (teoria del consumatore e dei prezzi), di rischio (lotterie, utilità attesa, avversione al rischio, problema di portafoglio ed effetti della ricchezza) e di incertezza, con gli approcci di Anscombe-Aumann e Savage. Chiude con l'ambiguità, il paradosso di Ellsberg, il maximin expected utility e il teorema omnibus.
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- Il documento apre con le relazioni binarie (riflessività, transitività, completezza, simmetria, antisimmetria), con le relazioni di equivalenza e gli ordini parziali, e costruisce su di esse il concetto di preferenza con i relativi assiomi: transitività, monotonia forte e stretta, convessità e assioma archimedeo.
- Viene introdotta la funzione di utilità come rappresentazione della preferenza, con la sua natura ordinale, le condizioni di esistenza (teorema di Cantor-Debreu e teorema di esistenza su R^n), la quasiconcavità e il caso delle preferenze lessicografiche, che non ammettono rappresentazione.
- La parte sulla scelta razionale definisce problemi di decisione, alternative ottimali, corrispondenze di scelta e condizioni di esistenza tramite compattezza, poi preferenze universali e di menu, con le proprietà di indipendenza dalle alternative irrilevanti (WARP), la funzione valore e l'analisi parametrica con il teorema del massimo.
- Nella decisione sotto certezza si studia il consumatore con vincolo di bilancio: domanda, omogeneità, legge di Walras, funzione di utilità indiretta, beni normali, inferiori e di Giffen, e l'equazione di Slutsky che separa effetto sostituzione ed effetto reddito fino alla legge normale della domanda.
- La decisione sotto rischio parte dalle lotterie e dal conseguenzialismo casuale, passa dal paradosso di San Pietroburgo e dall'utilità attesa con gli assiomi di von Neumann-Morgenstern, e analizza l'avversione al rischio tramite concavità, equivalente certo, premio per il rischio e indice di Arrow-Pratt.
- Sono presenti intermezzi di teoria della misura (spazi di Banach, sigma-algebre, misure di probabilità, integrali, teorema di Riesz) e un problema di portafoglio tra attività rischiosa e attività priva di rischio, con l'analisi degli effetti della ricchezza, della decrescente avversione assoluta al rischio e del caso di avversione costante.
- Il documento prosegue con la caratterizzazione astratta di von Neumann-Morgenstern, che fornisce un'utilità affine unica a meno di trasformazioni lineari positive, e passa all'incertezza con il modello di Anscombe-Aumann (utilità attesa soggettiva), quello di Savage con il sure thing principle e la probabilità soggettiva di de Finetti.
- L'ultima parte tratta l'ambiguità con il paradosso di Ellsberg, il maximin expected utility di Gilboa-Schmeidler con gli assiomi di avversione all'incertezza e indipendenza certa, e il teorema omnibus, che unifica i casi precedenti tramite un insieme di misure di probabilità e un massimo sulle famiglie di priori.
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Domande d'esame d'esempio
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Domanda 1 · risposta multipla
In un contesto di teoria delle decisioni, quale proprietà deve soddisfare una relazione binaria per essere definita come 'preferenza' (≿) secondo l'Axioma 1.2 e il Lemma 1.3?
La preferenza è definita come una relazione completa (Axioma 1.2) e transitiva (Lemma 1.3), caratteristiche che ne fanno un preorder e permettono l'ottimizzazione razionale.
Domanda 2 · risposta multipla
Secondo il Lemma 2.1, quale condizione necessaria deve essere soddisfetta da una relazione di preferenza ≿ affinché esista una funzione di utilità u che la rappresenti?
Il Lemma 2.1 dimostra esplicitamente che l'esistenza di una rappresentazione per utilità implica che la relazione di preferenza debba essere sia completa che transitiva.
Domanda 3 · risposta multipla
Nel contesto delle preferenze lessicografiche definite su X = R^2, perché queste preferenze non ammettono alcuna rappresentazione tramite funzione di utilità?
Il testo spiega che le preferenze lessicografiche non sono archimediane e la prova per assurdo mostra che assumere l'esistenza di una funzione di utilità porta a una contraddizione riguardo all'iniettività di una mappa da R a Q.
Domanda 4 · risposta multipla
Dato un framework decisionale convesso con una relazione preferenziale debole ≿, quale delle seguenti proprietà è garantita dalla Proposizione 3.5 se ≿ è strettamente convessa?
La Proposizione 3.5 (ii) stabilisce che se la relazione preferenziale è strettamente convessa, allora la corrispondenza di scelta σ è single-valued, rendendola una funzione.
Domanda 5 · risposta multipla
Secondo il Lemma 3.2 e la Proposizione 3.4(iv), quali proprietà devono soddisfare le alternative ottimali in un insieme di scelta X quando la relazione di preferenza ≿X è un weak order (completo e transitivo)?
Il Lemma 3.2 afferma che le alternative ottimali sono o incomparabili o indifferenti, mentre la Proposizione 3.4(iv) (WARP) garantisce che se x è ottimale in X e y non lo è (quindi x ≻ y), y non può diventare ottimale in nessun sottoinsieme Y contenente x.
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