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Inferential statistics
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Le distribuzioni campionarie descrivono il comportamento di statistiche come la media, derivando da variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite; poiché calcolare queste distribuzioni esattamente è spesso complesso, si ricorre all'approssimazione tramite teoremi limite. Il Teorema del Limite Centrale afferma che la somma o la media di molte variabili i.i.d. tende a una distribuzione normale standardizzata per campioni grandi, permettendo stime accurate anche senza conoscere il parametro della popolazione.
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- Le distribuzioni campionarie descrivono la distribuzione di una statistica Y, definita come funzione h delle osservazioni X1,...Xn i.i.d., e possono essere studiate tramite tre approcci principali: calcolo esplicito (spesso difficile), approssimazione asintotica per n grande o simulazione Monte Carlo.
- Il teorema del limite debole afferma che la media campionaria Mn converge in probabilità al valore atteso della popolazione µ quando la dimensione del campione n tende all'infinito, garantendo l'affidabilità dell'estimatore con campioni sufficientemente grandi.
- Il teorema del limite centrale stabilisce che la somma o la media di variabili aleatorie i.i.d. a varianza finita converge in distribuzione a una normale standard dopo opportuna standardizzazione, permettendo approssimazioni normali anche per distribuzioni originali non normali.
- Grazie al teorema del limite centrale è possibile costruire intervalli di confidenza basati sulla distribuzione normale N(µ, σ²/n) e valutare l'errore dell'estimatore della media, sostituendo la varianza incognita con la varianza campionaria Sn² per grandi n.
- L'approssimazione normale alla distribuzione binomiale consente di trattare problemi su proporzioni popolazionali utilizzando le stesse tecniche degli intervalli di confidenza continui, applicando una correzione per continuità quando si passa da distribuzioni discrete a continue.
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