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Teoria del rischio
Università degli studi di Firenze scienze dell'economia curriculum economia istituzioni imprese 2023
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Il documento introduce la teoria delle decisioni in condizioni di rischio, partendo dai limiti dell'aspettativa matematica e dal concetto di avversione al rischio. Illustra poi i criteri di scelta, cioè l'utilità attesa, la dominanza stocastica e il criterio media-varianza. Analizza quindi le scelte di assicurazione, con coassicurazione e franchigia, e infine le scelte di portafoglio tra due titoli, fino al portafoglio ottimo.
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- La prima parte distingue il rischio, con probabilità affidabili, dall'incertezza, e mostra con il paradosso di San Pietroburgo e con l'esempio della nave che l'aspettativa matematica non basta a descrivere le scelte, motivando l'uso dell'utilità attesa.
- Si definisce l'avversione al rischio tramite la disuguaglianza di Jensen, legandola alla concavità della funzione di utilità, e si introducono premio per il rischio, certo equivalente e l'approssimazione di Arrow-Pratt.
- Il documento distingue l'avversione assoluta da quella relativa al rischio, enuncia il teorema di Arrow-Pratt e presenta le funzioni di utilità più usate, quadratica, CARA e CRRA, con le relative proprietà IARA, CARA e DARA.
- Nel capitolo sui criteri di scelta si definiscono gli indici di preferenza con completezza e transitività, e si confrontano l'utilità attesa, con dominanza stocastica di primo e secondo ordine e mean-preserving spread, e il criterio media-varianza, con la sua dominanza e il legame con la funzione quadratica.
- Nelle scelte di assicurazione si studiano il premio equo e il fattore di carico, il tasso ottimo di coassicurazione secondo il teorema di Mossin, che dipende dal premio e dall'avversione al rischio, e la franchigia come contratto ottimo secondo il teorema di Arrow.
- Nelle scelte di portafoglio si analizzano rendimento atteso e volatilità di due titoli in funzione della correlazione, il portafoglio a varianza minima, l'insieme possibile e la frontiera efficiente nel piano volatilità-media.
- L'ultima parte chiude con il portafoglio ottimo di un investitore con avversione assoluta al rischio, che può vendere allo scoperto, mostrando come la sua composizione si avvicina al portafoglio a varianza minima al crescere dell'avversione.
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