Matematica

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base su sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, spazi affini, spazi euclidei. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo matriciale, alla teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra essi, agli spazi affini, spazi vettoriali euclidei e spazi affini euclidei. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere sistemi di equazioni lineari in un arbitrario numero (finito) di variabili, di riconoscere problemi matematici rappresentati da applicazioni lineari tra spazi vettoriali e utilizzare questo fatto per la loro risoluzione; sarà in grado di operare con le matrici e di stabilire la risolubilità di un sistema lineare e l'invertibilità di un'applicazione lineare mediante considerazioni sul rango e mediante il calcolo del determinante delle matrici associate; sarà in grado di calcolare gli autovalori di un endomorfismo lineare e determinare la decomposizione in autospazi ad esso associata; sapra' risolvere problemi in cui intervengono prodotti euclidei; sapra' risolvere problemi su spazi affini, spazi affini euclidei; acquisirà inoltre i primi rudimenti di strutture algebriche fondamentali che saranno poi approfondite nei corsi successivi, come ad esempio, il concetto di gruppo. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di teoria dei gruppi (che vedrà nel corso di Algebra 1), funzioni reali più variabili (che vedrà nel corso di Analisi 2), geometria delle quadriche e dello spazio proiettivo (che vedrà nel corso di Geometria 1). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della teoria degli operatori lineari non più limitati al caso di dimensione finita, di quella delle famiglie di spazi vettoriali (fibrati vettoriali), di quella delle decomposioni in autospazi relativa ad algebre commutative di endomorfismi, e della geometria riemanniana.

Nota: di ogni concetto vengono trattati definizioni, proprietà, relazioni e/o operazioni, esempi, eventuali rappresentazioni grafiche, teoremi; un *asterisco indica quelli completi di dimostrazione (ma non le brevi dimostrazioni di enunciati più semplici). L'ordine di trattazione degli argomenti a lezione non è necessariamente quello qui indicato. Gli argomenti in ciascuno dei capoversi saranno trattati in un numero indicativo di sette-otto ore.

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Sommatorie e produttorie: termini, indici, estremi.

Numeri naturali e principio di induzione: varie forme del principio di induzione.

Binomio di Newton: permutazioni, combinazioni semplici, coefficiente binomiale, *binomio di Newton.

Numeri complessi: campi, piano cartesiano dei numeri complessi, teorema fondamentale dell'algebra, coordinate cartesiane e polari, formula di Eulero.

Spazi vettoriali: combinazioni lineari, generatori, dipendenza lineare, basi, dimensione, *esistenza e unicità delle coordinate, teorema di estensione a base, teorema di estrazione di base, *dimensione di sottospazi vettoriali, somma e somma diretta di sottospazi vettoriali, *relazione tra somma diretta di due sottospazi vettoriali e loro intersezione, *teorema di Grassmann.

Matrici: matrici, operazioni, matrici speciali, determinante, formula di Sarrus, sviluppo di Laplace, teorema di Binet, matrice inversa, minori, rango, operazioni di riga, eliminazione di Gauss (o riduzione per righe).

Spazi affini e sistemi lineari: sottospazi affini, sottospazi vettoriali associati, dimensione, sistemi di equazioni lineari, omogeneità, risolubilità, *teorema di Rouché-Capelli, spazio delle soluzioni, teorema di Cramer.

Applicazioni lineari: applicazioni lineari, nucleo, immagine, *relazione tra iniettività e nucleo, suriettività, biiettività, *esistenza e unicità dell'applicazione lineare assegnata su una base, nullità, rango, *teorema di nullità più rango, matrici associate, cambiamenti di base, *relazione tra matrici ortogonali e basi ortonormali.

Endomorfismi lineari e loro diagonalizzazione: autovettori, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico e suoi coefficienti, *invarianza del polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica di autovalori e loro relazione, *condizioni di diagonalizzabilità di endomorfismi, diagonalizzazione di endomorfismi, endomorfismi simmetrici, teorema spettrale nel caso reale (*ortogonalità di autovettori di autovalori distinti).

Forme bilineari reali e loro diagonalizzazione: forme bilineari reali, matrici associate, cambiamenti di base, minori principali, forme bilineari speciali, criteri per il riconoscimento di forme bilineari speciali, forme quadratiche, segnatura di forme bilineari simmetriche, teorema di Sylvester, criterio di Cartesio, diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche.

Prodotti scalari: prodotti scalari, norma, *formule di polarizzazione, *identità del parallelogramma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori, proiezione ortogonale, basi ortogonali e ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt, matrici ortogonali, complemento ortogonale.

Geometria analitica di sottospazi affini di R^3: punti, rette, piani, tipologie di equazioni, conversione tra tipi di equazioni, posizioni reciproche, fasci di rette e piani, intersezioni.

L'esame di profitto consiste in una prova scritta (o due prove scritte parziali d'esonero) e una orale. La prova scritta dura dalle due alle tre ore. Per sostenere la prova orale occorre aver superato una prova scritta o entrambe le prove scritte parziali. La valutazione finale risulta da quella di entrambe le prove con pari peso, sebbene la prova orale non riceva una valutazione autonoma.

La preparazione dell'esaminando viene verificata in ciascuna prova (scritta od orale) mediante la risoluzione di esercizi sugli argomenti svolti a lezione (modalità prevalente nella prova scritta) e l'enunciazione e la dimostrazione di teoremi illustrati a lezione (modalità prevalente nella prova orale). Nella prova scritta potranno essere presenti anche quesiti a risposta chiusa; nella prova orale si discuterà anche l'elaborato della prova scritta.

Testi consigliati (ma non obbligatori):

Teoria:

• Appunti delle lezioni scaricabili dalla pagina web del corso
• M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill

Esercizi:

• Raccolta di tracce di esercizi d'esame scaricabili dalla pagina web del corso
• M. Abate, C. de Fabritiis, Esercizi di geometria, McGraw-Hill

(Qualsiasi testo di algebra lineare di livello universitario.)

Obiettivi generali: acquisire una conoscenza delle tecniche elementari del Calcolo Differenziale ed Integrale e delle principali applicazioni a problemi di massimo-minimo, allo studio del grafico di funzioni, alla convergenza delle serie numeriche, del calcolo delle primitive e degli integrali definiti. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avra' acquisito le nozioni e i risultati di base del Calcolo Differenziale ed Integrale con particolare attenzione ai concetti di funzione, limite di funzione, continuità, convergenza di serie numeriche, derivata ed integrale. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sara' in grado di risolvere semplici problemi del Calcolo Differenziale ed Integrale, quali il calcolo esplicito di derivate, il calcolo del massimo e minimo locale e globale di funzioni di una variabile, il disegno approssimativo del grafico di funzioni, il calcolo di integrali definiti ed indefiniti, la determinazione del carattere di una serie numerica.. Capacita' critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per utilizzare un grafico come strumento di analisi di una situazione concreta descrivibile matematicamente. Acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici insieme a nozioni di base necessarie nei successivi corsi di analisi matematica, analisi numerica e fisica matematica. Capacita' comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacita' di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso, relativo ad aspetti più avanzati del Calcolo Differenziale e al Calcolo Integrale.

Numeri: Numeri naturali, interi relativi e razionali, operazioni e ordinamento. Introduzione ai numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore. Induzione e combinatoria.

Funzioni reali di variabile reale: Definizione di funzione, esempi. Operazioni tra funzioni, composizione. Funzioni limitate, monotone, simmetrie e periodicità. Iniettività, suriettività, funzioni invertibili. Funzioni di base: potenze e radici, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche.

Limiti: Limiti finiti al finito. Strumenti per il calcolo dei limiti. Limiti infiniti e/o all’infinito, forme indeterminate. Asintoti. Confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti, principi di sostituzione.

Successioni e serie: Limiti di successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio di Cauchy. Caratterizzazione sequenziale dei limiti. Successioni monotone, il numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Serie numeriche. Serie a termini non negativi: regolarità, Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, Criterio della radice e Criterio del rapporto. Convergenza semplice e assoluta, Criterio di Leibniz.

Continuità: Definizione e prime proprietà. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weiestrass, Teorema degli zeri, Teorema dei valori intermedi.

Calcolo differenziale: Definizione di derivata e strumenti di calcolo. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze dirette, proprietà di Darboux delle derivate, Teorema di Cauchy e di L’Hopital. Derivate successive e Formula di Taylor, convessità. Studio di funzioni.

Integrazione: Primitive, integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Altri metodi di integrazione. Integrali definiti. Definizione e proprietà generali. Classi di funzioni integrabili. Teorema della Media Integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Alcune applicazioni del calcolo integrale. Integrali impropri.

Equazioni differenziali del primo e del secondo ordine: cenni alla risoluzione.

• Struttura del corso: Il corso è articolato in tre blocchi tematici, ciascuno della durata di circa 28 ore. Un blocco è dedicato agli insiemi numerici (dai numeri naturali ai numeri reali), alle loro proprietà, alle funzioni di una variabile e alle successioni e serie numeriche. Verranno insegnate le tecniche di dimostrazione per assurdo e per induzione.
• Modulo 2: Il secondo modulo è dedicato allo studio dei limiti di funzione e al concetto di continuità e ai risultati fondamentali per questa classe di funzioni (Teorema di Weierstrass e Teorema dei valori Intermedi)
• Modulo 3: Nel terzo modulo verrà introdotto il concetto di derivata di una funzione e presentato il polinomio di Taylor, strumento fondamentale per l’approssimazione di funzioni in un intorno di un punto e che è uno strumento molto utile nelle applicazioni. Si studierà inoltre la teoria dell'integrazione secondo Riemann, e si accennerà alle equazioni differenziali del primo e secondo ordine.

Il superamento del corso prevede una prova scritta e una orale, entrambe obbligatorie. Durante lo svolgimento del corso si terranno due prove in itinere il cui superamento esonera dalla prova scritta.

Prova scritta: esercizi simili a quelli svolti a lezione.

Prova orale: discussione di alcuni risultati compresi nel programma del corso e loro applicazione.

Tutti gli argomenti del corso sono contenuti in una serie di note redatte dal docente e disponibili per gli studenti fin dall'inizio del corso.

Il materiale fornito e' sufficiente per una preparazione completa

Un qualsiasi testo di analisi di base

Obiettivi generali: Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base su argomenti fondazionali (teoria ingenua degli insiemi, numeri naturali) e introdurre le principali strutture algebriche (gruppi, anelli, moduli, campi). Saranno poi sviluppati gli elementi basilari della teoria dei gruppi e delle azioni di gruppi su insiemi. Conoscenza e capacità di comprensione: Comprensione matematica degli argomenti proposti e conoscenze della teoria svolta. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Conoscenza e capacità di comprensione applicate: Lo studente dovrà essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici e risoluzioni di problemi non conosciuti, ma chiaramente correlati a quanto svolto nella teoria. Autonomia di giudizio: L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Abilità comunicative: Lo studente acquisirà una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti gli argomenti trattati, in forma sia scritta che orale. Capacità di apprendimento: Lo studente sarà in grado di leggere consapevolmente una monografia specialistica di algebra di livello universitario "undergraduate" relativamente agli argomenti sopra esposti. Sarà poi in grado al termine del corso di seguire senza lacune preliminari il corso di Algebra I.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base dell'Analisi Matematica. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito alcune nozioni e risultati di base relativi agli spazi metrici, agli spazi di Banach e ad alcuni operatori che agiscono su di essi. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l'uso del principio delle contrazioni, di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e del secondo ordine, studiare la convergenza di successioni e serie di funzioni, le proprietà di continuità e differenziabilità di funzioni vettoriali. Capacità critiche e di giudizio: nel corso lo studente verrà in contatto con i primi elementi della moderna Analisi Matematica, ottenendo le conoscenze/competenze necessarie ad riconoscere le strutture astratte che permettono di affrontare e risolvere alcuni problemi di matematica (pura o applicata). Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di esporre i contenuti teorici appresi nel corso e di organizzare e comunicare i ragionamenti necessari a risolvere quesiti teorici proposti nello svolgimento del corso. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite sono necessarie per affrontare i corsi di Analisi Matematica successivi.

Obiettivi generali: acquisire le tecniche di diagonalizzazione delle forme quadratiche e conoscenze di base di geometria affine, euclidea e proiettiva. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito i risultati di base sulla diagonalizzabilità delle forme quadratiche e degli operatori simmetrici, e le nozioni elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva, e delle trasformazioni naturali in ciascuno di questi ambiti. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso della diagonalizzabilità delle forme quadratiche, e di risolvere problemi elementari di geometria affine, euclidea e proiettiva. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà acquisito la maturità necessaria a riconoscere le strette relazioni tra algebra lineare e geometria, con riferimento in particolar modo a quanto acquisito nel primo corso di Algebra Lineare; avrà inoltre acquisito gli strumenti per formulare e risolvere in un linguaggio moderno problemi classici della geometria. Capacità comunicative: capacità di esporre con chiarezza le nozioni, definizioni, teoremi e soluzioni di problemi durante la parte scritta e la parte orale dell’esame. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di affrontare con sicurezza lo studio successivo di teorie geometriche più astratte e tecniche quali la topologia e la geometria differenziale.

Obiettivi generali: Il corso mira a fornire agli studenti le competenze fondamentali di programmazione necessarie per affrontare e risolvere problemi di natura matematica mediante strumenti computazionali. Attraverso lezioni frontali ed esercitazioni di laboratorio, gli studenti saranno guidati nell’apprendimento di un linguaggio di programmazione di base, come il C, e delle principali tecniche algoritmiche. Molti degli esempi proposti riguarderanno problemi matematici trattati in parallelo negli altri corsi, così da creare un collegamento diretto tra teoria e implementazione. Gli studenti svilupperanno così la capacità di comprendere come problemi teorici possano essere affrontati e risolti attraverso procedure numeriche e tradotti in codice corretto ed efficiente. Il laboratorio favorirà inoltre la comprensione operativa dei contenuti trattati nei corsi di base dell’area matematica, permettendo di esplorarli da una prospettiva computazionale. Al termine del percorso gli studenti avranno acquisito autonomia nell’analisi, progettazione e implementazione di codici, maturando un metodo di lavoro sistematico e orientato alla verifica dei risultati. Attraverso lo studio di un linguaggio di programmazione di base, sarà poi possibile passare agevolmente ad un linguaggio di programmazione di più alto livello come Python o Matlab.

Obiettivi generali: raggiungere il livello B1 relativo al Quadro Comune Europeo di riferimento per la conoscenza delle lingue.
Obiettivi specifici
Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le abilità linguistiche previste per il livello B1: • riesce a comprendere gli elementi principali di un discorso chiaro in lingua standard; • riesce a comprendere testi scritti relativi all’ambito lavorativo o alla sfera quotidiana; • è in grado di affrontare e partecipare a conversazioni familiari, relative alla vita quotidiana o di interesse personale attraverso semplici espressioni; • è in grado di scrivere testi semplici in merito a argomenti conosciuti e di interesse personale.
Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di conoscere le strutture grammaticali, il vocabolario e comprendere testi scritti e orali relativi al livello B1.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente sarà in grado di analizzare testi, scritti e orali, relativi al livello B1 in maniera autonoma.
Capacità comunicative: lo studente sarà in grado di comunicare in modo semplice e indipendente in situazioni familiari, affrontare situazioni comunicative in un paese straniero e parlare di argomenti di interesse personale.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di consolidarle in un corso successivo per raggiungere il livello B2.

Il corso si concentra sulle competenze linguistiche richieste dal livello B1 del QCER. Gli studenti e le studentesse ripasseranno i tempi verbali principali (presente, passato e futuro), la forma passiva e i causativi, i condizionali di tipo 1-2-3, le proposizioni relative, i modali di deduzione e speculazione, le abitudini al presente e al passato (used to, be used, get used to, would). Un aspetto importante del corso è il lavoro sulla formazione delle parole: la formazione di nuove parole da quelle esistenti e l'identificazione di come le parole cambiano a seconda del contesto utilizzando prefissi, suffissi, nuove parole o modificando la categoria grammaticale di una parola. Questa pratica permette agli studenti e alle studentesse di ampliare il loro vocabolario e di comprendere meglio il concetto di famiglie di parole, ovvero come una singola radice possa avere molte forme diverse. Il vocabolario relativo all'argomento e i verbi frasali faranno anch'essi parte del programma. Conoscere i verbi frasali permette di esprimersi in modo più naturale, di parafrasare efficacemente e di esprimere concetti più complessi in modo conciso.

L'esame è scritto e dura 45 minuti. Ci sono 30 domande. Gli studenti e le studentesse ottengono la sufficienza con un punteggio compreso tra 18 e 30. L'esame riflette il programma del corso con vari tipi di esercizi. Formazione delle parole: modificare le parole fornite in una serie di frasi. Verbi frasali e vocabolario: una serie di frasi con spazi vuoti che gli studenti devono riempire con un verbo, una particella o una parola a loro scelta. Formazione dei verbi: una serie di frasi in cui viene fornita la forma base del verbo e in cui gli studenti devono identificare e scrivere il tempo e la forma corretti del verbo.

Tutto i materiale didattico è reperibile in Google Classroom

Non prevista

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Analisi I e trattati nel corso di Fondamenti di Analisi Reale). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Obiettivi generali: Il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base della teoria degli anelli, delle estensioni di campi e un'introduzione alla teoria di Galois. Conoscenza e capacità di comprensione: Comprensione matematica degli argomenti proposti e conoscenze della teoria svolta. Conoscenza e capacità di comprensione applicate: Lo studente dovrà essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici e risoluzioni di problemi non conosciuti, ma chiaramente correlati a quanto svolto nella teoria. Autonomia di giudizio: L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Abilità comunicative: Lo studente acquisirà una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti gli argomenti trattati, in forma sia scritta che orale. Capacità di apprendimento: Lo studente sarà in grado di leggere consapevolmente una monografia specialistica di algebra di livello universitario "undergraduate" relativamente agli argomenti sopra esposti. Sarà poi in grado al termine del corso di seguire corsi più avanzati di algebra e corsi di ambito geometrico (topologia generale, topologia algebrica, geometria differenziale) in cui il linguaggio algebrico è indispensabile.

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire i principali strumenti dell’Analisi Matematica riguardanti le funzioni di più variabili reali. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: gli studenti che supereranno l'esame di fine corso avranno una conoscenza approfondita dei principali concetti dell'analisi matematica relativi a funzioni di più variabili, con particolare attenzione al calcolo differenziale, all'invertibilità, alla teoria dell'integrazione, ai risultati di integrabilità di forme differenziali, a teoremi fondamentali, quali quello della divergenza e di Stokes . Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che supereranno l'esame di fine corso saranno in grado di applicare varie tecniche di calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. In particolare saranno in grado di calcolare integrali di funzioni di due e tre variabili, e applicare le tecniche del calcolo alla soluzione di vari tipi di problemi quali ad esempio la ricerca di massimi e minimi vincolati e non, il calcolo della primitiva di una forma differenziale o l'area di una superficie. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e quelli relativi alla teoria delle funzioni di una sola variabile reale (acquisiti nel corso di Calcolo I) e alla teoria generale degli spazi metrici (acquisiti nel corso di Analisi I); avrà anche un primo approccio alla teoria della misura che verrà approfondita nel successivo corso di Analisi Reale. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici di teoria della misura e spazi funzionali.

Successioni e serie di funzioni (in particolare serie di potenze). Spazi metrici, elementi di topologia, completezza e spazi di Banach/Hilbert

Funzioni di più variabili. Limiti, funzioni continue, derivate direzionali, differenziabilità e formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor in più variabili. Massimi e minimi liberi e vincolati per funzioni di più variabili.

Misura di Lebesgue e integrale di Lebesgue. Passaggio al limite sotto il segno di integrale (Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue). Integrali dipendenti da parametro e derivazione sotto il segno di integrale. Formule di riduzione (Fubini). Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Spazi L^p.

Curve parametrizzate. Integrali curvilinei di una funzione scalare.

Lavoro di un campo vettoriale. Campi vettoriali irrotazionali. Campi vettoriali conservativi. Forme differenziali lineari chiuse ed esatte. Insiemi semplicemente connessi.

Superfici regolari parametrizzate e integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale.

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e può essere sostituita (a discrezione del docente) da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso.

Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 con lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito un’ottima conoscenza di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di usarli in modo logico e coerente, oltre a saper svolgere correttamente gli esercizi assegnati.

Testi adottati

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli 2020

P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due (vlumi 1-2), Zanichelli 2017

Bibliografia di riferimento

E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri 1989.

F. Lanzara, E. Montefusco, Esercizi svolti di Analisi Vettoriale e complementi di teoria, Edizioni LaDotta 1999

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in teoria della misura e dell'integrazione, spazi L^p, serie di Fourier. Obiettivi specifici: acquisire la capacita’ di utilizzare le definizioni ed i teoremi contenuti nel corso. Conoscenza e comprensione: lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla Teoria della Misura Astratta, alla costruzione della Misura di Lebesgue, alla Teoria dell'Integrazione, agli spazi L^p, agli spazi di Hilbert, alle serie di Fourier. Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di intendere il concetto di misura ed integrale in spazi astratti, di integrare funzioni discontinue, di operare con diverse nozioni di convergenza in L^p, di usare la serie di Fourier in L^2. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per affrontare alcuni problemi della matematica pura ed applicata, inerenti la Teoria della Misura, gli spazi L^p, gli spazi di Hilbert, le serie di Fourier. Capacità comunicative: lo studente sara’ in grado di esporre i contenuti del corso in maniera chiara e comprensibile, sia nella parte scritta che nella parte orale. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di laurea magistrale, relativo ad aspetti più specialistici riguardanti la Teoria della Misura, gli spazi L^p, gli spazi di Hilbert, le serie di Fourier.

Introduzione ai concetti fondamentali della Meccanica e della Termodinamica. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare argomenti di base concernenti la meccanica e la termodinamica, avendo raggiunto una buona familiarità con concetti fondamentali quali lavoro, energia e leggi di conservazione. Saranno inoltre in grado di affrontare e risolvere problemi di meccanica e termodinamica applicando le principali leggi della Fisica. Per ottenere tali finalità, e affinché lo studente sviluppi le capacità di comunicare quanto appreso e di proseguire lo studio in modo autonomo, si intende coinvolgerlo, durante le lezioni ed esercitazioni, attraverso quesiti di natura generale e specifica, legati agli argomenti trattati e attraverso la presentazione, in aula, di approfondimenti concordati col docente.

Obiettivi Formativi Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base in topologia generale, con un’introduzione alla topologia algebrica e alla geometria differenziale. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base della topologia generale, con i vari possibili approcci alle nozioni di spazio topologico, applicazione continua, omeomorfismo; quindi costruzioni delle topologie su sottospazi, prodotti e quozienti, proprietà topologiche di separazione, di numerabilità, di compattezza, connessione e connessione per archi. Lo studente avrà anche acquisito la nozione di gruppo fondamentale e il suo utilizzo insieme alle relative tecniche di calcolo, e gli elementi fondamentali della teoria dei rivestimenti topologici. Lo studente avrà infine acquisito le nozioni di base della geometria differenziale delle curve e superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Applicare conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di topologia, anche con l’uso di topologia algebrica elementare. Saprà altresì utilizzare la nozione di curvatura nei contesti della geometria differenziale delle curve e delle superfici. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e le nozioni fondamentali della teoria della continuità e differenziabilità, anche con strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative: Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso successivo di laurea triennale o magistrale, relativo ad aspetti più avanzati di geometria.

Obiettivi generali Acquisire conoscenze di base relativamente al progetto di algoritmi di base, iterativi e ricorsivi, ed alla valutazione della loro efficienza computazionale. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti conosceranno le metodologie di base per la progettazione e l'analisi di algoritmi iterativi e ricorsivi, le principali strutture dati, alcuni modi per scandire tali strutture, i principali algoritmi di ordinamento e le implementazioni più elementari dei dizionari. Avanno una buona conoscenza del linguaggio C, compresi aspetti avanzati come allocazione dinamica di memoria, aritmetica dei puntatori e compilazione separata dei programmi. Applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso gli studenti avranno acquisito familiarità con le principali strutture dati di base, in particolare quelle che implementano i dizionari. Sapranno spiegarne gli algoritmi e analizzarne la complessità, evidenziando come le prestazioni dipendano dalla struttura dati utilizzata. Saranno in grado di progettare nuove strutture dati e i relativi algoritmi, rielaborando quelli esistenti; sapranno spiegare i principali algoritmi di ordinamento, illustrando le strategie di progetto sottostanti e le relative analisi di complessità; saranno in grado di confrontare i comportamenti asintotici dei tempi di esecuzione degli algoritmi studiati; saranno in grado di progettare soluzioni ricorsive di problemi e di analizzare asintoticamente gli algoritmi risultanti. Sapranno infine implementare gli algoritmi e le strutture dati apprese in linguaggio C, con attenzione anche all’analisi di correttezza, alla chiarezza e all’efficienza concreta dei programmi. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà le basi per analizzare la qualità di un algoritmo e delle relative strutture dati, sia dal punto di vista della effettiva risoluzione del problema che da quello della efficienza computazionale con la quale il problema viene risolto. Capacità comunicative: Lo studente acquisirà la capacità di esporre in modo chiaro ed organizzato le proprie conoscenze, capacità che verrà verificata sia mediante i quesiti presentati nelle prove scritte che durante la prova orale. Lo studente sarà in grado di esprimere un’idea algoritmica in modo rigoroso sia ad alto livello, tramite l’uso dello pseudocodice, che in linguaggio C. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno allo studente, una volta concluso il ciclo di studi, di affrontare lo studio, individuale o previsto nell’ambito di un corso di laurea magistrale, di tecniche algoritmiche, di strutture dati più avanzate e di metodologie avanzate di programmazione.

Obiettivi generali: Il corso introduce i principali metodi numerici per la soluzione di alcuni problemi fondamentali dell’analisi e dell’algebra lineare, con particolare attenzione alla loro implementazione in un linguaggio di alto livello e alla valutazione della complessità computazionale. Un aspetto essenziale del corso sarà il confronto costante fra la costruzione degli algoritmi e lo studio delle loro proprietà di convergenza, stabilità ed efficienza computazionale. Le lezioni teoriche sono affiancate da esercitazioni di laboratorio, finalizzate alla programmazione dei metodi studiati, alla rappresentazione grafica dei risultati e alla costruzione di problemi test per valutare quantitativamente le caratteristiche dei metodi.

L’insegnamento prevede 60 ore complessive di didattica tra lezioni ed esercitazioni pratiche, per un totale di 6 CFU. Le lezioni e le esercitazioni sono in italiano. I contenuti sono articolati nei seguenti moduli tematici:

Fondamenti di calco numerico (2 ore): Errori di arrotondamento e loro propagazione; errore di troncamento; condizionamento di un problema matematico; stabilità di un .

Equazioni non lineari (4 ore): Metodi iterativi per la soluzione di equazioni non lineari; sistemi di equazioni non lineari.

Algebra lineare numerica (8 ore): metodi diretti e iterativi per la soluzione di sistemi lineari; calcolo del determinante, dell’inversa, del rango di una matrice.

Approssimazione di dati e funzioni (6 ore): interpolazione polinomiale e convergenza del polinomio interpolatore; approssimazione ai minimi quadrati.

Introduzione a Matlab (40 ore): l’ambiente di calcolo integrato; elementi base di programmazione in Matlab, implementazione di algoritmi numerici.

• Consultare il registro delle lezioni sulla pagina elearning del corso
• Testi di riferimento: https://elearning.uniroma1.it/enrol/index.php?id=19868

La valutazione ha lo scopo di verificare se lo/la studente/essa abbia raggiunto gli obiettivi prefissati e consiste nella soluzione di esercizi di calcolo numerico: gli studenti devono identificare il metodo numerico adatto a risolvere un determinato problema, illustrarne le caratteristiche e discuterne le questioni numeriche di base (accuratezza, convergenza, stabilità), eseguire alcuni test numerici e analizzare criticamente i risultati ottenuti. Questa parte si svolge attraverso una prova pratica in cui verrà richiesto agli/alle studenti/esse di implementare al computer l’algoritmo risolutivo, eseguire alcuni test numerici e analizzare criticamente i risultati.

L. Gori, Calcolo Numerico, Ed. Kappa, 2006

L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico, Ed. Kappa, 2007

Materiale integrativo disponibile sulla pagina di e-learning del corso

S.D. Conte, C. de Boor: Elementary Numerical Analysis. An Algorithmic Approach. McGraw-Hill, 1980

A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Calcolo Scientifico. Springer, 2017

S.C. Chapra, R. P. Canale: Numerical Methods For Engineers. McGraw-Hill, 2010

Obiettivi generali: Acquisire conoscenze di base in meccanica classica. Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di formulare modelli matematici di problemi di natura meccanica ed impiegare nella loro trattazione i metodi analitici e qualitativi delle equazioni differenziali ordinarie, secondo quanto esposto nel corso. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di: i) condurre l’analisi qualitativa nel piano delle fasi per sistemi unidimensionali conservativi ed effettuare stime quantitative; ii) studiare problemi di stabilità dell’equilibrio con i metodi (elementari) della teoria di Liapunov; iii) calcolare frequenze di modi normali relativamente a posizioni di equilibrio stabile; iv) operare una scelta appropriata di coordinate lagrangiane nel caso di particolari varietà configurazionali (in particolare angoli di Eulero per SO(3), coordinate sferiche, etc), riconoscere la natura variazionale delle equazioni di Lagrange e sfruttare le conseguenze che da essa discendono; v) utilizzare criteri particolari nella ricerca di integrali primi delle equazioni di Lagrange ed operare la conseguente riduzione ad un numero inferiore di gradi di libertà. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno le basi per analizzare le analogie tra gli argomenti trattati e le conoscenze già acquisite di analisi e geometria; acquisiranno inoltre importanti strumenti e idee che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi fondamentali della meccanica classica. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della meccanica analitica. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite consentiranno agli studenti che abbiano superato l'esame di affrontare lo studio, a livello individuale o in un corso di laurea magistrale, di aspetti specialistici della meccanica classica e, più in generale, della teoria dei sistemi dinamici.

Si studia la descrizione e la determinazione del moto di corpi rigidi,

nell'ambito del formalismo matematico Lagrangiano. Si analizza in un

certo dettaglio la geometria delle masse dei corpi rigidi e la sua

rilevanza per il moto, e anche la struttura delle equazioni del moto.

Si considerano anche sistemi di riferimento mobili.

Una descrizione più dettagliata del programma può essere trovata nel Diario del corso, su

http://www.dmmm.uniroma1.it/~daniele.andreucci/didattica/meccraz/meccraz_index.html

Moti come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (25 ore):

Questa parte del programma introduce generalità necessarie nel resto

del corso, e alcuni argomenti di rilevanza intrinseca come le forze

conservative, il piano delle fasi, le equazioni globali della

dinamica. Serve anche a addestrare lo studente in alcune tecniche di

base per equazioni differenziali.

Esempi di moti.

Velocità e accelerazione; traiettorie regolari.

Sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

Leggi di moto.

Energia cinetica e lavoro.

Sistemi autonomi.

Equilibrio e stabilità.

Il caso conservativo.

Potenziale.

Integrali primi.

Sistemi unidimensionali.

Rappresentazioni nel piano delle fasi.

Moti centrali.

Rappresentazione in coordinate polari del moto.

Velocità areolare.

Sistemi di punti.

Forze interne e esterne.

Equazioni globali della dinamica.

Cinematica e dinamica di sistemi olonomi (25 ore):

Questa parte rappresenta una delle componenti essenziali del

corso. L'obiettivo è l'introduzione dei vincoli olonomi, dal punto di

vista geometrico (teorema del Dini), cinematico (spazio degli

spostamenti virtuali) e dinamico (ipotesi dei lavori virtuali). Si

premette una parte introduttiva sui vincoli elementari (curve e

superfici).

Moto di un punto vincolato a una curva o a una superficie con vincolo

scabro o liscio.

Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea.

Curvatura e torsione di una curva.

Terna intrinseca di un curva.

Le formule di Frenet Serret.

Vettori coordinati tangenti a una superficie regolare.

Moto geodetico.

Modelli di Coulomb-Morin per l'attrito dinamico e statico.

Vincoli per sistemi di punti.

Il teorema del Dini e condizioni di non degenerazione.

Coordinate indipendenti e gradi di libertà.

Coordinate lagrangiane.

Quantità meccaniche in coordinate lagrangiane.

Atti di moto.

Spostamenti virtuali.

Concetto elementare di vincoli lisci e proiezione dell'equazione di

moto sullo spazio tangente.

L'ipotesi dei lavori virtuali.

Determinazione del moto.

Equazioni di Lagrange.

Sistemi di riferimento mobili. Le forze fittizie.

Equazioni di Lagrange in sistemi di riferimento mobili.

Componenti lagrangiane della forza di Coriolis.

Lagrangiane equivalenti.

Il caso conservativo. La funzione lagrangiana.

Equilibrio e stabilità.

Cinematica relativa (10 ore):

Questa parte del corso è una componente usata nelle altre; differisce

dalla teoria elementare dei cambiamenti di base perché le basi

vettoriali e i sistemi di riferimento dipendono dal tempo.

Cambiamento di sistemi di riferimento.

Terne ortonormali mobili.

Velocità angolare.

Derivata relativa a una terna mobile.

Cinematica relativa.

Teorema di Coriolis sulle accelerazioni.

Velocità angolare di una terna mobile rispetto a un'altra.

Composizione di velocità angolari.

Corpi rigidi (30 ore):

In questa parte essenziale del corso introduciamo i corpi rigidi,

anche estesi (cioè continui, invece che formati di singoli punti

materiali). Questo argomento a rigore rientra nei sistemi soggetti a

vincoli olonomi, ma merita una trattazione specifica per la sua

importanza. È la prima delle grandi famiglie di modelli matematici

della meccanica dei solidi e dei fluidi che lo studente incontrerà nel

seguito degli studi.

Coordinate locali per i corpi rigidi.

Sistema di riferimento solidale.

Densità e distribuzione di massa.

Il tensore d'inerzia.

Momenti d'inerzia e deviatori.

Assi principali d'inerzia.

Distribuzioni di forze.

Ipotesi dei lavori virtuali per sistemi di corpi rigidi.

Equazioni di Lagrange per sistemi di corpi rigidi.

Equazioni globali (o cardinali) per un corpo rigido.

Equazioni di Eulero.

Moti di un rigido con un punto fisso.

Moti polari per inerzia.

Ellissoide d'inerzia e moto alla Poinsot.

Rotazioni.

Campo della velocità di trascinamento.

Asse istantaneo di moto.

Rigate del moto.

Moti rigidi piani.

• Sistemi di riferimento, terne mobili, moti.(settimane 1-2)
• Testi di riferimento: Capitoli 1, 9, 10.
• Moti, piano delle fasi, moto su curve (settimane 3-4)
• Testi di riferimento: Capitoli 1, 2, 3.
• Dinamica dei sistemi liberi e vincolati (settimane 5-6)
• Testi di riferimento: Capitoli 5, 6, 7.
• Dinamica dei sistemi vincolati (settimane 7-8)
• Testi di riferimento: Capitoli 7, 8, 10, 12.
• Piccole oscillazioni, moti centrali, corpi rigidi (settimane 9-10)
• Testi di riferimento: Capitoli 2, 9, 14, 15, 16.
• Dinamica dei corpi rigidi (settimane 11-12)
• Testi di riferimento: Capitoli 11, 15, 16.

+ Strumenti e metodi di accertamento:

L'esame scritto consiste di una prova scritta in due parti.

La prima di natura teorica rileva la conoscenza e la comprensione da

parte dello studente della struttura logico-deduttiva della parte

teorica del corso.

La seconda di natura tecnica rileva le capacità dello studente di

risolvere problemi di meccanica razionale sul moto di punti materiali,

corpi rigidi e sulla modellazione relativa applicando i metodi e le

tecniche apprese nel corso.

La prova orale è destinata ad approfondire il giudizio sulla

comprensione delle strutture fondamentali della meccanica razionale da

parte del candidato.

L'esame è tenuto dopo il termine dell'insegnamento.

+ Criteri di valutazione:

Conoscenza minima (valutazione tra 18 e 20); conoscenza media (21-23);

capacità di applicare la conoscenza in maniera sufficiente (24-25);

buona capacità di applicare la conoscenza (27-28); ottima capacità di

applicare la conoscenza con senso critico (29-30 con lode).

Meccanica Razionale. Modelli matematici per l'Ingegneria.

D.Andreucci

Esercizi con risoluzioni

D.Andreucci

reperibili in:

https://www.sbai.uniroma1.it/~daniele.andreucci/didattica/mmmecc/materiale_mm/materiale_mm_index.html

La corrispondenza tra testi e lezioni è indicata nella parte analitica del Programma.

E.N.M. Cirillo, Appunti delle Lezioni di Meccanica Razionale per l'Ingegneria.

E. DiBenedetto, Classical Mechanics: Theory and Mathematical Modeling.

Obiettivi generali: aumentare le conoscenze della Teoria dei Gruppi e dei Campi ed acquisire quelle inerenti la Teoria di Galois, colle ovvie applicazioni alla risoluzione delle equazioni algebriche.
Obiettivi specifici: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni ed i risultati di base relativi alla Teoria dei Galois.
Applicare conoscenza e comprensione: lo studente sarà in grado di risolvere problemi di tipo algebrico-combinatorio che richiedano l’uso di tecniche legate alle Teorie presentate.
Capacità critiche e di giudizio: al termine del corso lo studente avrà le basi per condurlo con ragionevolezza verso temi più complessi nell'ambito dell'Algebra moderna. Acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici.
Capacità comunicative: lo studente avrà la capacità di comunicare in maniera rigorosa le idee ed i contenuti esposti nel corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze e le tecniche acquisite permetteranno di portare avanti uno studio autonomo in un contesto interdisciplinare.

Obbiettivi generali: acquisire conoscenze in algebra commutativa e teoria algebrica dei numeri Obbiettivi specifici Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso gli studenti avranno acquisito le principali nozioni base di Algebra Commutativa, riguardanti anelli commutativi con o senza divisori dello zero, estensioni intere di anelli, prodotti tensoriali e piattezza, anelli e moduli Artiniani e Noetheriani, compresa la teoria della dimensione per k-algebra finitamente generate, decomposizione primaria, domini di Dedekind, ramificazioni, numero di classe Capacità di applicare conoscenza e comprensione Al termine del corso gli studenti saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite in modo competente e riflessivo e risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate all’Algebra Commutativa e alla teoria algebrica dei numeri. Autonomia di giudizio Lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di Geometria o di Teoria Algebrica dei Numeri ed avrà un’idea di come queste importanti branche della Matematica siano anche storicamente profondamente legate. Abilità comunicative • Lo studente sarà in grado di esporre i principali teoremi con le loro dimostrazioni nell’ambito della prova orale di verifica e sarà in grado di comunicare ai non specialisti le idee chiave dell’Algebra Commutativa e della teoria algebrica dei numeri. . Capacità di apprendimento Lo studente sarà in grado di mettere a frutto gli argomenti di Algebra Commutativa e teoria algebrica dei numeri appresi nei numerosi contesti matematici in cui sono utilizzati, sia nell’ambito degli insegnamenti della Laurea Magistrale, sia in una futura attività di ricerca

Conoscenza e capacità di comprensione Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base dell'Analisi Convessa in spazi finito dimensionali, con particolare attenzione agli aspetti analitici della convessità e al loro utilizzo in problemi geometrici e di ottimizzazione. Capacità applicative Al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che coinvolgono vari aspetti della convessità, quali: caratterizzazioni varie della nozione convessità, disuguaglianze convesse, proprietà di monotonia e di regolarità delle funzioni convesse, proprietà del sottodifferenziale, separazione di insiemi convessi, ottimizzazione convessa. Autonomia di giudizio Avere gli strumenti essenziali per successivi approcci a tematiche di analisi funzionale, equazioni alle derivate parziali, teoria del controllo e programmazione matematica. Integrare le conoscenze acquisite al fine di saper affrontare autonomamente nuovi problemi, applicando gli strumenti matematici appresi a fenomeni o processi che si incontreranno nel corso di studi e nelle attività lavorative successive. Abilità nella comunicazione Saper comunicare utilizzando propriamente il linguaggio matematico. Capacità di apprendere Approfondire in modo autonomo alcuni argomenti introdotti durante il corso.

Scopo del corso è di fornire una trattazione di base delle principali tecniche numeriche relative ai seguenti problemi: 1. Soluzione di sistemi lineari 2. Soluzione di sistemi non lineari 3. Interpolazione di funzioni e dati 4. Quadratura numerica 5. Integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie Il corso prevede anche attività di laboratorio per la realizzazione di programmi in MATLAB. 1. Conoscenza e capacità di comprensione Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche relative ai temi trattati. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicata Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in base al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di implementare gli algoritmi in MATLAB. 3. Autonomia di giudizio Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. 4. Capacità comunicative Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. 5. Capacità di apprendimento le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi numerica e del calcolo scientifico. Gli studenti prenderanno familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso.

Obiettivi generali: acquisire le competenze di base per il trattamento numerico delle equazioni differenziali ordinarie ed alle derivate parziali legate allo studio di modelli matematici per alcune applicazioni quali traffico, trattamento delle immagini e visione.
Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno una buona conoscenza di base dei metodi numerici trattati sia dal punto di vista teorico che della loro implementazione e saranno capaci di capire come strutturare gli algoritmi di base per la simulazione dei modelli matematici differenziali.
Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di fare delle simulazioni su problemi differenziali stazionari ed evolutivi ottenendo risultati quantitativi per i problemi trattati. Sarà anche capace di progettare e implementare codici che interagiscano in modo appropriato con un potenziale utente attraverso la grafica.
Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi teoriche per analizzare gli algoritmi matematici trattati dal punto di vista della efficienza computazionale, la stabilità e la accuratezza. Da una parte, sarà in grado di applicare le competenze acquisite nei corsi di Algebra lineare, Analisi Matematca per analizzare metodi numerici elementari e da l’altra potrà risolvere numericamente problemi proposti in vari ambiti applicativi.
Capacità comunicative: capacità di esporre e motivare la risoluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe, in sessioni di esercitazioni in aula/laboratorio ed nella prova orale prevista alla fine del corso.
Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o guidato, in un corso avanzato di analisi numerica per problemi differenziali, relativo ad aspetti più specialistici che richiedono ulteriori conoscenze matematiche. Inoltre lo studente avrà familiarità con diversi elementi informatici come il linguaggio di programmazione, le librerie, i compilatori, i diversi software disponibili in rete che offrono un ambiente di sviluppo integrato sotto diversi sistemi operativi. Queste abilità gli permetteranno sicuramente di imparare con più facilità l’utilizzo di altri software di interesse per il calcolo scientifico e il mondo del lavoro.

Risultati dell'apprendimento – Conoscenze acquisite: Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie (EDO): si porterà lo studente a conoscere le condizioni perché esistano le soluzioni e quelle perché si possano calcolare più o meno esplicitamente, a prevedere le proprietà dell'insieme delle soluzioni e quale sia l'intervallo massimale di esistenza.La conoscenza delle dimostrazioni dei risultati relativi alle EDO permetterà allo studente di comprendere più a fondo la materia e il ruolo delle ipotesi che vengono utilizzate. Risultati dell'apprendimento – Competenze acquisite: Tecniche per la determinazione esplicita delle soluzioni per le più comuni EDO e per i sistemi lineari di equazioni differenziali a coefficienti costanti. Analisi qualitativa di semplici equazioni e sistemi di EDO. Applicare conoscenza e comprensione: I metodi acquisiti permettono di prevedere il comportamento delle soluzioni di semplici equazioni differenziali che possono intervenire in svariate applicazioni. La conoscenza dei metodi di dimostrazione permette di intravvedere eventuali generalizzazioni e apre la strada alla comprensione dei metodi numerici di risoluzione. Capacità comunicative: L'esame orale sviluppa la capacità di comunicare in maniera rigorosa un ragionamento matematico. Capacità di apprendimento: La conoscenza dei metodi di base utilizzati nel corso favorisce la comprensione delle generalizzazioni di questi, che si utilizzano per risolvere problemi più complessi. La dimostrazione del teorema di esistenza favorisce la comprensione dei metodi numerici di approssimazione delle soluzioni delle EDO.

Lo scopo del corso è quello di introdurre le nozioni teoriche fondamentali per lo studio e la comprensione dell'elettromagnetismo classico. Risultati di apprendimento: la capacita' di impostare e risolvere esercizi standard basati su elettrostatica, magnetostatica, campi elettrici e magnetici lentamente variabili. Conoscenze acquisite: dopo aver superato l'esame gli studenti potranno seguire corsi avanzati di fisica teorica. Competenze acquisite: oltre ad apprendere le leggi fisiche fondamentali che governano i fenomeni elettromagnetici, gli studenti svilupperanno doti di ragionamento tecnico-scientifico e abilita' di risoluzione analitica dei problemi, utili per studiare, modellizzare e comprendere i principi fondamentali dell'elettromagnetismo classico. Queste doti e abilità saranno verificate periodicamente durante il corso grazie alla discussione in aula di una vasta gamma di esempi applicativi, e alla risoluzione di problemi-tipo durante le esercitazioni.

Obiettivi generali acquisire conoscenze di base sulla modellizzazione e risoluzione di problemi classici di fisica del continuo. Obiettivi specifici Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente conoscerà le equazioni fondamentali della fisica matematica (trasporto, onde, Laplace, calore), la loro derivazione da problemi fisici concreti e le tecniche classiche di risoluzione. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di risolvere l'equazione del trasporto e di Liouville, risolvere semplici problemi ai valori iniziali e al contorno per le equazioni delle onde e del calore e problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson, utilizzando le tecniche classiche della fisica matematica, quali funzioni di Green e metodo di Fourier. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di riconoscere un approccio di tipo fisico-matematico ai problemi, collegando le proprietà matematiche dei modelli basati sulle equazioni alle derivate parziali alla descrizione concreta dei problemi di fisica del continuo. Capacità comunicative: Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno maturato la capacità di comunicare concetti, idee e metodologie della fisica matematica legata alla fisica del continuo. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in altri insegnamenti, relativo ad aspetti più specialistici dei metodi della fisica matematica.

RISULTATO DELL'APPRENDIMENTO - CONOSCENZE ACQUISITE: -conoscere i concetti di base della geometria differenziale delle varieta' differenziabili di R^n e del calcolo differenziale su di esse. -conoscere i risultati di base su curve e superfici. -conoscere la nozione di superficie e varieta' riemanniane astratte, ed i due teorema fondamentali di Gauss e di Gauss-Bonnet. -conoscere gli elementi di base della geometria sferica e iperbolica.

Obiettivo formativo principale è un’introduzione agli strumenti fondamentali della statistica, sia negli aspetti teorici che in quelli computazionali. Attraverso l’uso di software adeguati, tali strumenti verranno applicati nell’analisi di set di dati reali e simulati.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze e competenze di base in logica matematica e saperle applicare in vari contesti, anche di carattere didattico. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi agli argomenti trattati: calcolo delle proposizioni, calcolo dei predicati, aritmetica di Peano e risultati di incompletezza. Applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di risolvere esercizi e problemi di logica matematica; esercizi e problemi si riferiscono agli argomenti trattati, ad altre aree della matematica, all'insegnamento della matematica, al linguaggio naturale. Saprà riconoscere varie tipologie di formule nei casi più semplici (tautologie, formule valide, ...). Sarà in grado di riconoscere ed applicare le regole di deduzione. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà acquisito abitudine al rigore e al formalismo matematico. Avrà riflettuto sui contenuti matematici noti e sulla traduzione di concetti nell'ambito di teorie assiomatiche con opportuni linguaggi. Sarà in grado di discutere il ruolo dell'intuizione e del rigore nell'insegnamento della matematica, in varie situazioni. Capacità comunicative: Lo studente sarà in grado di esporre i contenuti nella prova orale e di spiegare quanto appreso. Capacità di apprendimento: Le conoscenze acquisite permetteranno lo studio di temi più specialistici. Lo studente sarà motivato ad approfondire le conoscenze acquisite.

1 Logica Proposizionale

1.1 Senso e Denotazione

1.2 Connettivi booleani

1.3 Sintassi:Formule e induzione

1.4 Semanticaper la logica proposizionale

1.4.1 Tavole di Verità, Interpretazioni

1.4.2 Soddisfacibilità, Insoddisfacibilità e Tautologie

1.4.3 Implicazione Logica e Deduzione semantica

1.5 Formalizzazioni

1.6 Decidiblità della Logica Proposizionale

1.7 Teorema di Compatezza

1.8 Equivalenza Semantica e Forme normali

1.9 Basi complete e Completezza funzionale

2 Sistemi deduttivi per la Logica Proposizionale

2.1 Proprietà intuitive dei sistemi deduttivi

2.2 Sistemi Assiomatici

2.3 Calcolo dei sequenti

2.4 Deduzioni

2.5 Sistemi Refutazionali : Risoluzione

2.6 Eliminazione del Taglio

2.7 Correttezza e Completezza

2.8 Il problema della soddisfaciblità, l’algoritmo Davis-Putnam e i SAT-solvers

3 Logica Predicativa

3.1 Limitazioni dellaLogica proposizionale

3.2 Sintassi

3.2.1 Quantificatori

3.2.2 Variabili libere e legate

3.2.3 Formule e Sostituzioni

3.3 Semantica

3.3.1 Intepretazioni

3.3.2 Soddisfaciblità,validità e modelli

3.4 Forme normali prenessa e diSkolem

3.5 Esempi di Linguaggi del primo ordine

3.5.1 Uguaglianza

3.5.2 Relazioni di Ordinamento

3.5.4 Stack

4 Sistemi deduttivi per la Logica del primo ordine 1

4.1 Sistemi Assiomatici

4.2 Calcolo dei sequenti

4.3 Correttezza, completezza, compattezza

4.4 Applicazioni della Completezza: il problema della decisione

5 Teoria formale Aritmetica e Teoremi di Gödel

5.1 Teoria dei numeri

5.2 Paradossi

5.3 I Teorema di Gödel: cenni

5.4 II Teorema di Gödel: cenni

6. Soddisfaciblità proposizionale e il problem P vs NP

• Argomento 1: Logica Proposizionale
• Testi di riferimento: Connettivi, Formule, Semantica,Tavole di Verità
• Argomento 1: Logica Proposizionale
• Testi di riferimento: Conseguenza Logica, Formalizzazione di Relazioni, Teoremi e Proprietà in Logica Proposizionale
• Argomento 1: Logica Proposizionale
• Testi di riferimento: SAT, TAUT, UNSAT. Deduzione Naturale, Calcolo dei Sequenti.
• Argomento 1: Logica Proposizionale
• Testi di riferimento: Correttezza e Completezza del Calcolo dei Sequenti. Algoritmo per la ricerca di dimostrazioni in Calcolo dei Sequenti
• Argomento 2: SAT solvers e Risoluzione e AI
• Testi di riferimento: Sistemi Refutazionali. Risoluzione. Algoritmo Davis-Putnam per SAT. Struttura dei SAT solver. Theorem Proving in AI
• Argomento 3: Logica Del I ordine
• Testi di riferimento: Sintassi. Semantica, Modelli interpretezione, Soddisfacibilità e Validità
• Argomento 3: Logica Del I ordine
• Testi di riferimento: Calcoli del I ordine: Calcolo dei Sequenti
• Argomento 3: Logica Del I ordine
• Testi di riferimento: Completezza del Calcolo dei Sequenti
• Argomento 3: Logica Del I ordine
• Testi di riferimento: Semidecidibilità del problema della decisione
• Argomento 4: Teorie del I ordine
• Testi di riferimento: Aritmetica di Peano.
• Argomento 4: Teorie del I ordine
• Testi di riferimento: Altre Teorie del I ordine (Ordini, Gruppi, Pile)
• Argomento 5: Teoremi di Gödel (Intro)
• Testi di riferimento: I e II Teorema di Gödel's. Enunciati, idea dimostrativa e conseguenze.
• Argomento 6: Complessità di dimostrazioni Logiche (intro)
• Testi di riferimento: il Problema P vs NP e la complessità delle dimostrazioni logiche

Il docente deciderà di anno in anno la modalità precisa di valutazione.

In generale in fase di valutazione dell'esame scritto si terrà conto dei seguenti aspetti:

(1) la logica seguita dallo studente nella risoluzione dei quesiti dell'esame scritto;

(2) la correttezza della procedura individuata per la soluzione dei

quesiti;

(3) l'adeguatezza della soluzione proposta in relazione alle competenze che lo studente

si presuppone abbia acquisito alla fine del corso;

(4) l'impiego di un linguaggio Italiano (o inglese se l'esame è in Inglese) appropriato.

L'esame orale è a discrezione del docente e non è sempre obbligatorio.Il docente si riserva l'opzione di introdurlo a sua scelta o in casi particolari.

In fase di valutazione dell'esame orale, li dove previsto, si terrà conto

(1) della capacità di elaborare una risposta

adeguata alle domande poste,

(2) nonché alla capacità di prontezza dello studente di rispondere correttamente alle domande.

(3) Verranno valutate inoltre la capacità dello studente di inferire nuova conoscenza a partire dalle nozioni acquisite nel corso

1. Dispense Docente

2. Introduzione alla Logica Matematica. E. Mendelson. Ed. Boringhieri

3. Logica Matematica. C.otffalori, P. Cintoli. Mc Graw-Hill

4. Logica, vol. 1, V. M. Abrusci, L. Tortora De Falco Springer 2014

5. Logica a informatica. A. Apserti, A. Ciabattoni. Mc Graw Hill

Il corso si propone di fornire un'introduzione alla teoria matematica del machine learning, inclusi algoritmi di apprendimento e analisi di dati ad alta dimensionalità. L'obiettivo principale è fornire allo studente il linguaggio e gli strumenti di base del machine learning, da una prospettiva di teoria dell'apprendimento statistico.
Al termine del corso la/o studentessa/e avrà familiarità con gli algoritmi più conosciuti e, in particolare, sarà in grado di:

• Formulare un problema di machine learning come problema stocastico inverso e padroneggiare le nozioni matematiche di base e gli strumenti ad esso collegati - Individuare il modello e/o algoritmo più adatto tra quelli discussi durante il corso per un dato problema di machine learning - Implementare algoritmi semplici e applicarli a dati sintetici e/o reali - Analizzare le prestazioni di vari algoritmi dal punto di vista della complessità computazionale e dell'accuratezza statistica

Il corso intende presentare i principali metodi numerici di approssimazione per la soluzione di alcuni problemi applicativi. I contenuti del corso variano di anno in anno tra i seguenti temi: Algebra lineare numerica Metodi numerici di ottimizzazione Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie Teoria della approssimazione Verranno affrontati gli aspetti teorici ed algoritmici relativi ai temi trattati. Il corso prevede attività pratiche di Laboratorio per lo sviluppo dei codici in C++ o MATLAB. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame conosceranno le principali tecniche numeriche sui temi trattati. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di decidere quale tipo di metodo numerico sia opportuno utilizzare in rapporto al problema da risolvere. Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di realizzare praticamente gli algoritmi in C++ o MATLAB. Capacità critiche e di giudizio: Gli studenti saranno in grado di valutare i risultati prodotti dai loro programmi, effettuare test e simulazioni. Capacità comunicative: Capacità di esporre e motivare la soluzione proposta per alcuni problemi scelti in classe sia alla lavagna che su computer. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno di costruire le basi per uno studio relativo ad aspetti più specialistici della analisi e della simulazione numerica. Lo studente prenderà familiarità con diverse nozioni e tecniche relative ai temi presentati nel corso.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze in teoria della Probabilità e sviluppare abilità nel problem solving Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base di teoria ergodica, teoria dell’informazione, dominazione stocastica e teoria della percolazione. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente potrà risolvere problemi su campi aleatori discreti, riguardanti teoria ergodica, teoria dell’informazione, dominazione stocastica e teoria della percolazione. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e la probabilità discreta sviluppata nel primo corso di probabilità. Acquisirà familiarità con alcuni concetti chiavi in teoria della Probabilità, utili anche in altri contesti. Capacità comunicative: lo studente dovrà mostrare capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e nella soluzione di problemi nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno allo studente di approfondire individualmente alcuni aspetti delle teorie presentate nel corso e faciliteranno lo studio di argomenti ricerca attualmente molto attivi.

L'esame finale per il conseguimento della Laurea triennale consiste nella preparazione e nella discussione, davanti ad un'apposita commissione, di un elaborato scritto individuale, redatto dallo studente sotto la supervisione di almeno un docente.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze generali delle tappe principali dello sviluppo storico della matematica dall'epoca greca agli inizi del diciassettesimo secolo. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame avranno acquisito le conoscenze di base e gli strumenti metodologici adeguati per approfondire lo studio della storia della matematica. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di affrontare la lettura e la comprensione di alcuni dei brani più significativi delle opere di Euclide, Archimede, Cavalieri, Torricelli, Cartesio, Fermat, Newton e Leibniz (in traduzione italiana) e di confrontare i metodi utilizzati da questi autori con quelli della matematica contemporanea. Saranno anche in grado di apprezzare la valenza didattica di un approccio storico alla matematica e di applicarla in futuro alla progettazione di percorsi didattici di insegnamento nella scuola. Capacità critiche e di giudizio: lo studente riceverà le basi necessario per apprezzare lo sviluppo storico dei concetti e delle tecniche elementari della geometria e dell'analisi e per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati nel corso e quelli trattati nei corsi di Calcolo I, Analisi Matematica I e Geometria I. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti del corso nella parte orale della verifica e di sintetizzare le conoscenze acquisite nello svolgimento del tema proposto nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di Laure Magistrale, relativo ad aspetti più specialistici di storia della matematica.

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria di una variabile complessa. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alle funzioni olomorfe e meromorfe, al problema del calcolo dei residui e delle numerose applicazioni, allo studio dei prodotti infiniti e di alcune funzioni fondamentali. Applicare conoscenza e comprensione: al temine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi che richiedano l’uso di tecniche legate alla variabile complessa; sarà in grado di calcolare integrali impropri e di studiare alcuni esempi speciali di funzioni olomorfe e meromorfe. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi (acquisiti nel corso di Analisi II) o Geometria (acquisibili nel corso di Geometria II); acquisirà anche gli strumenti che hanno storicamente portato alla soluzione di problemi classici. Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso di LM, relativo ad aspetti più specialistici della variabile complessa e della teoria analitica dei numeri.