matematica

L'obiettivo principale dell’insegnamento consiste nel fornire agli studenti le conoscenze di base nell’ambito della teoria degli insiemi e di alcune strutture algebriche, per poter poi affrontare studi successivi. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Conoscenze e comprensione: Comprensione matematica degli argomenti proposti e conoscenze della teoria svolta su insiemi, funzioni, cardinalità, congruenze, monoidi e degli esempi fondamentali della teoria svolta. Modalità di verifica delle conoscenze: Esame scritto e orale Capacità: Essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Algebra. Collegare gli argomenti, trovare esempi e controesempi Essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici e risoluzioni di problemi non conosciuti, ma chiaramente correlati a quanto svolto nella teoria e a lezione Modalità di verifica delle capacità: Esame scritto e orale Autonomia di giudizio: L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Abilità comunicative: La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Algebra, sia in forma scritta che orale.

Insiemi numerici classici: numeri naturali; interi relativi; numeri razionali; numeri reali; numeri complessi. Numeri primi. Dimostrazioni per induzione. Dimostrazioni per assurdo. Insiemi finiti e infiniti: proprietà e operazioni. Relazioni. Applicazioni. Permutazioni. Cardinalità di un insieme. Numerabilità. Calcolo combinatorio. L’anello delle classi resto modulo un intero n. Il teorema cinese dei resti. Gruppi. Azioni di gruppo

L'algebra elementare che si studia al biennio delle scuole medie superiori.

Lezioni frontali. Il rigore metodologico (tutti i risultati teorici saranno dimostrati) sarà accompagnato da numerosi esercizi.

Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R. Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. La radice di un numero primo è un numero irrazionale. L'insieme C dei numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Numeri complessi coniugati. Reciproco di un numero complesso. Rappresentazione cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo e anomalia di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolo delle radici n-me dell'unità nel campo dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Operazioni elementari tra insiemi. Prodotto cartesiano. L'insieme delle parti di un insieme. Un insieme X con n elementi ha 2n parti (dimostrazione per induzione e dimostrazione con l'uso della funzione caratteristica di X: vi è corrispondenza biunivoca tra P(X) e {0,1}n). Coefficienti binomiali e loro significato. Triangolo di Tartaglia. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Relazioni. Relazioni d'ordine. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. L'insieme delle parti di un insieme X ha cardinalità strettamente superiore a quella di X. Numeri primi. La divisione euclidea. Algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore tra due interi. L'identità di Bezout. Lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto di due interi, allora p divide almeno uno dei due interi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dell'insieme dei numeri primi. Congruenze in Z. Proprietà elementari. Equazioni congruenziali di primo grado. Cenni sulle equazioni diofantee. Sistemi di equazioni congruenziali. Il Teorema Cinese dei resti. La dimostrazione dei criteri di divisibilità per 3, 4, 9, 11. Il piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero phi. Calcolo di phi(n) per ogni intero positivo n. Il Teorema di Eulero. Strutture algebriche con una o più operazioni. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Esempi di gruppi abeliani e non abeliani. Il gruppo delle matrici invertibili ad elementi in R. Il gruppo simmetrico Sn di grado n. il gruppo booleano dell'insieme delle parti di un insieme X rispetto all'operazione di differenza simmetrica. Sottogruppi di un gruppo. Criterio per stabilire se un sottoinsieme S di un gruppo G è un sottogruppo di G. Ordine (o periodo) o(x) di un elemento x di un gruppo G. Il sottogruppo generato da x. Se o(x)=n, allora xh ha ordine n/MCD(n,h). Per qualunque elemento x di un gruppo moltiplicativo G di ordine n, si ha xn=1. Laterali destri e laterali sinistri. Teorema di Lagrange: se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, allora l'ordine di H è un divisore dell'ordine di G. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow

L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta verifica l’abilità di produrre dimostrazioni rigorose di problemi e affermazioni correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. Tutte le prove scritte hanno la durata di circa due ore e consistono nel risolvere problemi che possono anche essere piccole parti di teoria e servono a controllare il livello di comprensione degli argomenti trattati e la capacita' di collegarli. La prova scritta di ciascun appello contiene quattro esercizi, uno su relazioni di equivalenza, uno su relazioni d'ordine, uno su congruenze e uno su principio di induzione e/o numeri complessi. La prova orale, della durata di circa 30 minuti, tende a confermare il livello di comprensione degli argomenti trattati e di studio critico e rielaborazione personale. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

Dikran N. Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra. Liguori Editore.

L’obiettivo principale dell’insegnamento è fornire agli studenti una solida conoscenza di base delle strutture algebriche, necessaria per affrontare con successo studi matematici successivi. Particolare attenzione è dedicata alla comprensione delle argomentazioni teoriche e al rigore nella presentazione dei concetti e dei procedimenti logici. Conoscenze e capacità di comprensione Comprensione matematica dei principali concetti relativi a gruppi, anelli e campi. Conoscenza della teoria sviluppata a lezione e dei relativi esempi fondamentali. Modalità di verifica: prova scritta e prova orale. Capacità di applicare conoscenza e comprensione Capacità di leggere e comprendere in autonomia testi di base di Algebra. Capacità di collegare argomenti teorici tra loro e di identificare esempi e controesempi. Capacità di produrre semplici dimostrazioni rigorose e risolvere problemi nuovi, purché chiaramente collegati alla teoria trattata. Modalità di verifica: prova scritta e prova orale. Autonomia di giudizio L’esposizione dei contenuti è finalizzata a sviluppare la capacità critica dello studente, in particolare: nel riconoscere dimostrazioni corrette; nell’individuare ragionamenti errati o non giustificati logicamente. Abilità comunicative La metodologia didattica mira a far acquisire agli studenti: una buona capacità di comunicare idee, problemi e soluzioni in ambito algebrico; sia in forma scritta che orale; con precisione, chiarezza e rigore.

Gruppi, anelli, campi.

Per affrontare con profitto il corso è richiesta una buona conoscenza degli argomenti trattati nel corso di Algebra I. In particolare, è necessario possedere familiarità con: le proprietà dei numeri naturali e interi, inclusa la divisione euclidea e le classi di resto modulo un intero; le proprietà fondamentali delle funzioni, in particolare la nozione di invertibilità; le relazioni e le cardinalità finite e infinite, comprese le nozioni di base della combinatoria.

Lezioni frontali e tutoraggio svolto da studenti meritevoli Didattica Assistita, che si svolge parallelamente alle lezioni e consiste nel proporre agli studenti Esercizi da prove scritte di esami o di esoneri e di aiutarli nell'impostazione o in punti che essi trovano particolarmente critici e serve da allenamento e preparazione alla prova scritta o agli esoneri.

Strutture algebriche. Permutazioni. Omomorfismi. Prodotti diretti. Gruppi ciclici. Normalita' e coniugio. Teorema di Cauchy e teoria di Sylow. Teorema fondamentale degli omomorfismi per gruppi e anelli. Ideali primi e massimali. Anelli euclidei, principali e fattoriali. Caratteristica di anelli e campi. Anelli di polinomi. Estensioni di anelli e di campi.

L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta verifica l’abilità di produrre dimostrazioni rigorose di problemi e affermazioni correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. Si valuterà la possibilità di introdurre due prove intermedie, in tal caso si può ottenere l'esonero dalla prova scritta superando (con una valutazione media di almeno 18/30 e con una valutazione non inferiore a 15/30 in ciascuna prova) due prove scritte intermedie che si svolgono durante la lezioni. Tutte le prove scritte (incluse quelle intermedie) hanno la durata di circa due ore e consistono nel risolvere tre problemi che possono anche essere piccole parti di teoria e servono a controllare il livello di comprensione degli argomenti trattati e la capacità di collegarli. La prova scritta di ciascun appello contiene tre esercizi, uno su gruppi, uno su anelli e uno su campi. E' sconsigliato sostenere la prova orale con una valutazione inferiore a 18/30. La prova orale, della durata di circa 45-60 minuti, tende a confermare il livello di comprensione degli argomenti trattati e di studio critico e rielaborazione personale. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta o entro l'appello di novembre 2025 per chi ha ottenuto l'esonero. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa. Il docente è in ogni caso a disposizione per valutare personalmente, nei casi specifici eventuali misure compensative e/o percorsi personalizzati nel caso di studenti con disabilità e/o DSA. Il docente è a disposizione anche per valutare eventuali percorsi personalizzati per studenti lavoratori o non frequentanti.

Dikranjan-Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori (2007) Herstein, Topics in Algebra, Wiley (1975) Eventuale materiale integrativo reperibile in Unistudium

L'insegnamento ha il ruolo di introdurre lo studente alle strutture portanti ed ai procedimenti dimostrativi ed argomentativi della disciplina. Al termine del corso lo studente possiede le conoscenze fondamentali dell'Analisi Matematica per funzioni di una variabile reale. Dispone di buone abilità di congetturare, argomentare e dimostrare. Ha acquisito competenze base di modellizzazione elementare.

Corso base di Analisi Matematica per funzioni di una variabile reale.

Analisi Matematica 1 è un corso impegnativo ed intensivo (9 CFU - 13 settimane). Per poter seguire le lezioni in modo proficuo, oltre ad una buona preparazione sulle conoscenze base (vedi più oltre), è indispensabile aver acquisito in modo solido almeno le due competenze fondamentali (cfr. competenze chiave di cittadinanza): • Imparare ad imparare: organizzare il proprio apprendimento utilizzando varie fonti e varie modalità di informazione. • Comunicare: comprendere e utilizzare messaggi di diverso tipo (di carattere principalmente tecnico, scientifico) e di complessità diversa, trasmessi utilizzando linguaggi diversi (naturale, matematico, simbolico, ecc.) mediante diversi supporti (cartacei, informatici e multimediali) Conoscenze base. Algebra dei polinomi. Elementi di geometria analitica. Elementi di goniometria e trigonometria. Funzioni elementari e loro inverse o inverse parziali. Trasformazioni di una funzione (traslazioni e riscalamenti) ed effetto sul grafico. Equazioni e disequazioni elementari. Elementi di logica delle proposizioni (le congiunzioni and, or, not, Leggi di De Morgan).

Il corso è organizzato nel modo seguente: - lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso - esercitazioni in aula con il coinvolgimento degli studenti - due esercitazioni scritte in aula come simulazione della prova scritta d'esame

Struttura di ordine in R. Massimo e minimo di un insieme. Estensione secondo Dedekind (estremo superiore ed inferiore). Successioni. Principio di induzione. Struttura topologica di R ed R ampliato. Concetto di limite. Proprietà del limite, forme indeterminate e limiti fondamentali. Infiniti e infinitesimi. Continuità e continuità uniforme. Conservazione della compattezza. Teorema di Weierstrass. Conservazione della connessione. Teorema degli zeri. Operatore derivata. Funzioni derivabili: proprietà locali e globali (Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, l'Hospital). Derivate successive. Metodi di linearizzazione. Approssimazione polinomiale. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Problemi di ottimizzazione. Integrazione alla Riemann. Criteri di integrabilità. Funzioni primitive. Teorema di Torricelli-Barrow. Teorema di Darboux. Funzione integrale. Tecniche di integrazione. Integrali generalizzati e serie numeriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche. Serie di Taylor.

L'esame prevede una prova scritta ed un colloquio orale. Prova scritta - durata: 2 ore - tipologia: risoluzione di alcuni quesiti a risposta aperta; è concesso l'uso di dispense, manuali, strumenti di calcolo grafico-simbolico rigorosamente off-line; - obiettivo: verifica delle conoscenze, abilità e competenze nell’argomentare, congetturare e dimostrare. Sarà particolarmente apprezzata non solo la correttezza delle procedure, ma anche la qualità delle argomentazioni portate a supporto dello svolgimento. Colloquio orale - durata 30-45 minuti obiettivo: valutazione della capacità di comunicazione dello studente, della sua proprietà di linguaggio e dell'abilità nell'organizzare l'esposizione dei contenuti. La prova nel suo insieme consiste nel valutare la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite nell’ambito dei procedimenti dimostrativi e argomentativi della disciplina. La valutazione finale avverrà sulla base dei risultati della prova scritta e dell'esito del colloquio orale. Tempistica: le date delle prove scritte sono fisse (stabilite dal Consiglio di Corso di Studio); quella del colloquio, necessariamente successiva alla correzione della prova scritta Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa.

P.Brandi - A.Salvadori, Prima di iniziare, Aguaplano Officina del Libro (2015) - [testo di riferimento per i prerequisiti] P.Brandi - A. Salvadori, Percorsi di Matematica, 2 volumi, Aguaplano-Officina del libro, Passignano s.T. (PG), (2015) (testo base) William F. Trench, Andrew G. Cowles, Introduction to real analysis, Department of Mathematics Trinity University, San Antonio, Texas, USA, http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, Moscow State University, Universitext, Springer http://math.univ-lyon1.fr/~okra/2011-MathIV/Zorich1.pdf G.C. Barozzi G.Dore E. Obrecht, Elementi di analisi matematica, Zanichelli Ed. (2011)

Comprensione del significato fisico dei concetti base in Meccanica e Termodinamica. Capacità di saper risolvere problemi di meccanica e termodinamica. Capacità di saper esporre, in modo chiaro, gli argomenti trattati durante le lezioni.

Meccanica del punto materiale e dei sistemi. Meccanica dei fluidi. Termodinamica.

Vettori ed operazioni fra vettori. Derivate ed integrali di funzioni ad una variabile.

Lezioni frontali ed esercitazioni. Gli argomenti del corso verranno trattati nel corso di lezioni frontali, le quali verranno alternate ad esercitazioni per facilitare l'acquisizione di abilità relative alla risoluzione di problemi.

Introduzione al metodo della Fisica. Cinematica del punto materiale. I principi della dinamica. Lavoro ed energia. Forze in natura. Meccanica dei sistemi. Sistemi rigidi. Oscillatore armonico. Proprietà elastiche dei solidi. Meccanica dei fluidi. Calore e temperatura. I principi della termodinamica. Teoria cinetica dei gas.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta è volta a verificare la capacità di sapere risolvere problemi e consiste in 3/4 esercizi. La prova scritta si intende superata se si ottiene un punteggio minimo di 15/30. Lo studente che ha superato la prova scritta deve sostenere una prova orale durante la quale gli verrà richiesto di esporre alcuni degli argomenti trattati durante il corso. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa.

Halliday, Resnick, Krane - Fisica 1 - Casa Editrice Ambrosiana

Conoscenza delle nozioni di base in algebra lineare. Capacità di risolvere problemi di geometria analitica lineare del piano e dello spazio.

Geometria analitica lineare del piano e dello spazio. Sistemi lineari. Elementi di algebra lineare: spazi vettoriali, basi, matrici, determinanti, applicazioni lineari, operatori lineari, autovalori e autovettori prodotto scalare, prodotto vettoriale.

Buona attitudine allo studio della matematica. Conoscenza effettiva della matematica oggetto di insegnamento nelle scuole secondarie di secondo grado.

Il corso è organizzato in lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso. In ogni lezione circa metà del tempo sarà dedicata alla soluzione di problemi ed esercizi.

Geometria analitica lineare del piano e dello spazio. Sistemi lineari. Elementi di algebra lineare: spazi vettoriali, basi, sottospazi, prodotto scalare e prodotto vettoriale, matrici, applicazioni lineari e matrici a loro associate, cambiamenti di base, operatori lineari. Autosaloni e Autovettori.

La prova consta di tre parti -TEST riguardante definizioni ed enunciati -PROVA SCRITTA riguardante la risoluzione di esercizi -PROVA ORALE riguardante nozioni teoriche La prova scritta è volta a verificare le capacità dello studente nella risoluzione di esercizi. La prova orale è finalizzata all'accertamento delle conoscenze teoriche acquisite e alla capacità di esprimere correttamente i concetti. Le tre prove devono essere fatte in uno stesso appello. Il superamento del TEST è necessario alla prosecuzione della prova. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

Appunti del docente.

L'obiettivo principale dell’insegnamento consiste nel fornire agli studenti le conoscenze di base nell’ambito delle forme bilineari e quadratiche, della geometria proiettiva e della topologia generale, per poter poi affrontare studi successivi. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Conoscenze e comprensione: Comprensione matematica degli argomenti proposti e conoscenze della teoria svolta su endomorfismi, forme bilineari, spazi euclidei, forme quadratiche, topologia generale e degli esempi fondamentali della teoria svolta. Modalità di verifica delle conoscenze: Esame scritto e orale. Capacità: Essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Geometria e Topologia. Collegare gli argomenti, trovare esempi e controesempi Essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici e risoluzioni di problemi non conosciuti, ma chiaramente correlati a quanto svolto nella teoria e a lezione Modalità di verifica delle capacità: Esame scritto e orale Autonomia di giudizio: L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci e di adottare strategie ottimali per risolvere problemi ed esercizi. Abilità comunicative: La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la Geometria e la Topologia, sia in forma scritta che orale.

Forme bilineari. Forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei. Operatori unitari, simmetrici e teorema spettrale. Classificazione coniche. Spazi proiettivi. Coniche proiettive. Spazi topologici. Funzioni continue. Spazi compatti e connessi. Spazi prodotto e spazi quoziente.

Per comprendere i contenuti e raggiungere gli obiettivi relativi all'insegnamento di Geometria II, è importante che lo studente abbia superato l'esame di Geometria I. In particolare è importante che lo studente possegga le conoscenze di base su spazi vettoriali, applicazioni lineari e matrici, spazi affini, equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini,diagonalizzazione, numeri complessi. Sono suggerite anche nozioni base di Analisi Matematica (Limiti, Successioni, Numeri Reali, Numeri Razionali) Conoscenza delle nozioni di Matematica delle scuole superiori (ad es. Teoria degli Insiemi. Funzioni e Applicazioni. Relazioni di equivalenza e partizioni. Operazioni elementari: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenze. Operazioni binarie. Numeri complessi. Polinomi: divisione, radici, scomposizione e riducibilità. Calcolo Algebrico e Letterale. Geometria elementare: punti, segmenti, rette, distanze. Figure geometriche elementari e formule di area e perimetro: triangolo, quadrato, poligoni regolari, trapezi, circonferenza).

Il corso è organizzato in lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso ed esercitazioni con svolgimento di quesiti atti a preparare gli studenti alla prova scritta di esame.

Forme bilineari. Forme quadratiche. Spazi vettoriali euclidei. Operatori unitari, simmetrici e teorema spettrale. Forme canoniche di forme quadratiche e di coniche. Spazi proiettivi e coniche del piano proiettivo. Classificazione coniche Spazi topologici. Funzioni continue. Spazi compatti e connessi. Spazi prodotto e spazi quoziente.

L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta verifica l’abilità di produrre dimostrazioni rigorose di problemi e affermazioni correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. La prova scritta consiste nel risolvere problemi che possono anche essere piccole parti di teoria e serve a controllare il livello di comprensione degli argomenti trattati e la capacità di collegarli. La prova orale tende a confermare il livello di comprensione degli argomenti trattati e di studio critico e rielaborazione personale. Per essere ammessi alla prova orale occorre ottenere un punteggio non inferiore a 16/30 nella prova scritta. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visitare la pagina di ateneo: https://www.unipg.it/disabilita-e-dsa . Studenti con esigenze particolari (ad esempio studenti disabili, studenti DSA, studenti lavoratori, studenti non-frequentanti) sono pregati di contattare il docente almeno 15 giorni prima dell'esame. Eventuali strumenti compensativi sono a cura degli studenti stessi.

Testi consigliati: 1. Edoardo Sernesi “Geometria 1” Bollati Boringhieri 2. Edoardo Sernesi “Geometria 2” Bollati Boringhieri Altri Testi: 1. Marco Abate "Geometria" McGraw-Hill 2. Marco Abate, Chiara de Fabritiis "Esercizi di Geometria" McGraw-Hill 3. Marco Manetti “Minitopologia” (dispense online) 4. Gianluca Occhetta “Note di Topologia Generale e primi elementi di Topologia Algebrica” (dispense online) 5. Marius Stoka “Corso di geometria per matematici” CEDAM Gli studenti sono incoraggiati a dotarsi di un testo tra quelli elencati, o che trattino argomenti relativi all'insegnamento. Il docente non fornisce alcun testo o dispense. Eventuali strumenti compensativi sono a cura degli studenti stessi.

L'insegnamento rappresenta il primo corso di Informatica ed esamina i concetti di base dell'informatica. L'obbiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti gli strumenti e le conoscenze necessarie ad un utilizzo avanzato dei computer, in particolare in ambito scientifico. Le principali conoscenze acquisite saranno * elementi di base delle architetture software e hardware * problemi computazionali e algoritmi * elementi di base della programmazione Le principali abilita' acquisite saranno * risoluzione di problemi computazionali * essere in grado di scrivere piccoli programmi in Python * utilizzo di un linguaggio di programmazione come metodo per la risoluzione di problemi scientifici

Introduzione ai concetti di base dell'informatica Introduzione all'algoritmica e alla programmazione La programmazione imperativa in linguaggio Python

semplici conoscenze dei corsi di matematica

Il corso è organizzato come segue: lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso svolgimento di alcuni esercizi in aula esercitazioni in laboratorio di informatica per lo svolgimento di esercizi di programmazione in Python con l'uso del computer

Prima parte: Introduzione ai concetti di base dell'informatica Architettura degli elaboratori. Sistemi operativi. Rappresentazione dell'informazione. Software applicativi per la matematica. Seconda parte: Introduzione all'algoritmica e alla programmazione Algoritmi e loro proprieta'. Algoritmi e programmi. Programmazione e strumenti per la programmazione. Introduzione al costo computazionale Terza parte: Linguaggio di programmazione Python Variabili, espressioni e assegnamento. Istruzioni condizionali e iterative. Liste, vettori, matrici e dataclass Definizione di funzioni e parametri. Gestione per riferimento. Alcune librerie Python per il calcolo scientifico.

L'esame è diviso in due prove: Una prima prova di tipo scritto/pratico in cui si richiede nel tempo massimo di due ore di svolgere al computer alcuni esercizi di programmazione in Python, riguardanti i vari aspetti del linguaggio visti nel corso. Tale prova ha la finalità di accertare le capacita' di risoluzione dei problemi e di produzione di codice in linguaggio Python. Una seconda prova di tipo scritto da svolgere su carta della durata di circa 30 minuti riguardante l'intero programma svolto a lezione: oltre ad un esercizio di programmazione, sarà richiesto allo studente di approfondire, mediante alcune domande a risposta aperta, alcuni argomenti teorici visti nel corso. Tale prova ha la finalità di accertare il livello di conoscenza, la capacità di comprensione e la proprietà di linguaggio raggiunti dallo studente. Gli studenti non di madre lingua italiana possono sostenere l'esame anche in lingua francese o inglese. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

dispense a carico del docente Concetti di informatica e fondamenti di Python / Cay S. Horstmann, R. D. Necaise ; edizione italiana a cura di M. Dalpasso. Maggioli 2014

L'insegnamento rappresenta il secondo corso di Analisi Matematica ed esamina gli elementi di base relativi alle funzioni di più variabili con particolare attenzione alla loro differenziazione e integrazione alla Lebesgue e gli elementi di base relativi ai campi conservativi e alla loro integrazione. L'obiettivo principale dell'insegnamento consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio di argomenti come quello delle equazioni differenziali ordinarie o delle equazioni differenziali alle derivate parziali e gli argomenti che interessano la geometria differenziale. Inoltre la presentazione della teoria di integrazione alla Lebesgue ha come obiettivo quello di gettare le basi di alcuni argomenti che verranno presentati nello studio della probabilità. Alla fine del corso gli studenti dovrebbero: - aver acquisito le proprietà di continuità, differenziabilità, ottimizzazione (sia libera che vincolata) e integrazione (sia sui domini che sulle curve) per funzioni di più variabili e aver acquisito i principali elementi sullo studio dei campi conservativi e sulla loro integrazione sulle curve. - possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso. - saper esporre con un linguaggio appropriato le proprietà e le dimostrazioni sul calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e sui campi conservativi. - saper comunicare agli altri le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse. - comprendere le procedure che permettono di applicare i contenuti del corso con le altre discipline, in particolare alla Fisica. - acquisire un metodo analitico nell'affrontare i problemi e gli esercizi - essere in grado di fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici pertinenti agli argomenti affrontati nel corso - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti non corretti; - pensare in modo critico ed esprimere concetti matematici con precisione per iscritto - avere le basi per affrontare il corso di Analisi Matematica III - saper leggere e comprendere un qualunque testo di Analisi Matematica che tratti gli argomenti descritti in programma - saper applicare le conoscenze acquisite nel corso in altre situazioni e discipline. - applicare le conoscenze e le abilità acquisite nell'analisi matematica per analizzare e gestire nuove situazioni in modo critico. - saper comunicare le conoscenze matematiche acquisite nel corso. Le competenze enunciate sono a mio avviso indispensabili per un matematico che si voglia dedicare all'insegnamento ma anche per un matematico che desideri svolgere un' attività professionale di tipo tecnico e/o industriale.

Funzioni di più variabili: continuità, differenziazione, ottimizzazione e Lebesgue integrazione. Integrali su curve. Forme differenziali e loro integrazione.

Al fine di comprendere e saper applicare la maggior parte delle tecniche descritte nell'insegnamento è opportuno aver sostenuto con successo l'esame di Analisi Matematica I in quanto gli argomenti trattati nel corso richiedono la capacità di saper studiare disequazioni, limiti, di saper derivare ed anche di essere in grado di risolvere integrali di funzioni di una variabile. La conoscenza di queste tecniche rappresenta un prerequisito indispensabile per lo studente che voglia seguire il corso con profitto. Tali prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nel corso base di matematica sopra indicato ma anche, come si deduce dai programmi di matematica delle scuole secondarie di secondo grado, nella formazione scolastica pre-universitaria. Per gli studenti non frequentanti i prerequisiti sono lo studio delle disequazioni, studio dei limiti, proprietà di derivazione e di integrazione per funzioni di una variabile, argomenti che sono presenti nei programmi di matematica delle scuole secondarie di secondo grado, nella formazione scolastica pre-universitaria.

Il corso è organizzato nel seguente modo: - Lezioni frontali ed esercitazioni su tutti gli argomenti del corso (73 ore frontali: 63 ore per lo svolgimento del programma del corso e 10 ore in aula per lo svolgimento delle esercitazioni) - il docente presenterà gli argomenti del corso utilizzando slides curate dal docente finalizzate al miglior raggiungimento dei risultati attesi. - ricevimento studenti presso lo studio del docente o online su Teams: saranno dedicate due ore alla settimana per un ricevimento personalizzato al quale gli studenti sono invitati a partecipare anche in piccoli gruppi (il discuterne insieme aiuta anche lo studente, che pensa di saper svolgere l'esercizio o conoscere l'argomento proposto, attraverso il confronto con il docente e con gli altri studenti). Inoltre, per il supporto alla didattica le lezioni saranno integrate con attività di Studio Assistito svolto dal docente che consentirà al docente di svolgere un'attività formativa per l'apprendimento dei concetti presentati a lezione. Durante le ore dedicate allo Studio Assistito, che si svolgeranno per l'intera durata del corso, gli studenti sono invitati a chiarire con il docente gli argomenti trattati nella settimana precedente e a confrontarsi tra loro e con il docente sugli argomenti svolti a lezione. Queste ore sono finalizzate ad una maggiore comprensione ed approfondimento delle proprietà, definizioni e dimostrazioni presentate a lezione. Per ogni argomento il docente illustrerà durante le ore di Studio Assistito esercizi, che saranno quelli proposti nelle prove scritte di esame degli anni precedenti. (Vedi: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/) - un'altra strategia utilizzata come supporto alla didattica è l'attività di Tutorato che verrà svolta da uno studente capace e meritevole, come stabilito dal Consiglio di Intercorso, in ore aggiuntive alle lezioni svolgerà, sotto la guida del docente, ulteriori esercizi in preparazione delle prove di esonero e delle prove di esame. - infine, è intenzione del docente predisporre due prove di esonero che invitino gli studenti a studiare gli argomenti in modo calibrato e ad avere anche la possibilità con uno studio distribuito lungo tutto il corso di poter sostenere l'esame più facilmente e negli appelli d'esame fissati nell'anno accademico in corso. - il libro di testo utilizzato risponde alle esigenze del corso che sono quelle di presentare una parte dei contenuti riformati di Analisi Matematica indicati per un corso di secondo livello per le lauree triennali in matematica italiane. - gli argomenti presentati sono accompagnati da esempi e controesempi allo scopo per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi. - al termine di uno o più argomenti affini verranno svolti dal docente degli esercizi tratti dalle prove di esame che permettano di approfondire gli argomenti svolti e di relazionarli. - Se al corso verrà affiancata anche un'attività di stage, allora il corso potrà essere supportato anche dalla presenza di uno studente, che ha già superato con profitto il corso, che si occuperà di svolgere un ulteriore attività di supporto sugli argomenti trattati a lezione. Preciso però che tale attività al momento non è stata deliberata. - Numerosi esercizi e materiale didattico sono reperibili nella pagina web curata dal docente (o all'indirizzo: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/) e per essi è fornito anche lo svolgimento. Ulteriore materiale per la preparazione della prova scritta, oltre quello segnalato in bibliografia, si può trovare in tutti gli eserciziari aventi come argomento l'Analisi Matematica 2 che sono consultabili in biblioteca. - Nel caso ci siano studenti lavoratori, studenti non frequentanti o disabili e/o con DSA il docente ha preparato slides e delle dispense in italiano , disponibili sulla piattaforma Unistudium. In ogni modo consiglio gli studenti non frequentanti di segnalarlo al docente all'inizio delle lezioni per decidere insieme la strategia più adatta per arrivare ad una buona preparazione dell'esame. Alcuni consigli: 1. Leggi gli esercizi svolti sul testo o dal docente attentamente, completando gli eventuali passaggi mancanti (chiedi aiuto durante l'orario di ricevimento al docente se non è chiaro lo svolgimento dell'esercizio). 2. In un secondo momento prova a risolvere da solo/a gli esercizi con soluzione senza guardare lo svolgimento, 3. Tieni presente che a volte uno stesso esercizio può essere svolto con diversi metodi, quindi non dedurre che il procedimento da te seguito sia sicuramente non corretto. Se non ti è chiaro se i due procedimenti sono equivalenti o se uno dei due è sbagliato chiedi aiuto al docente.

Calcolo infinitesimale per le curve: funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità; curve regolari; lunghezza di un arco di curva e rettificabilità; integrali di linea di prima specie. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili: grafici e insiemi di livello; limiti e continuità per funzioni di più variabili; proprietà delle funzioni continue; derivate parziali, piano tangente, differenziale; derivate di ordine superiore, differenziale secondo, matrice Hessiana; ottimizzazione; estremi liberi. Problema delle funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati per funzioni scalari di più variabili. Misura e integrazione secondo Lebesgue in R^n . Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi, metodo di riduzione, cambiamento di variabili; calcolo degli integrali tripli. Campi vettoriali: campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie; formula di Gauss-Green nel piano; Teorema della divergenza e Teorema di Stokes per funzioni in R^2.

L'esame prevede una prova scritta con domande a risposta aperta e una prova orale. La prova scritta consiste nella soluzione di tre problemi a carattere computazionale, ma anche volti a valutare le capacità logico-deduttive dello studente. La prova scritta ha la durata di tre ore ed è finalizzata a verificare le capacità di applicare correttamente le conoscenze teoriche, la capacità di comprensione delle problematiche proposte e la capacità di comunicare in modo scritto. E' consigliato sostenere l'esame orale se sull'elaborato scritto si è raggiunto un punteggio maggiore o uguale a 15/30. La prova scritta può essere sostituita da due prove in itinere, la prima delle quali avrà luogo nel periodo fine novembre primi di dicembre (da concordare con gli studenti che seguono il corso o durante la settimana di interruzione delle lezioni, qualora essa sia stabilita dal Consiglio di Corso di Laurea proprio per svolgere le prove in itinere), la seconda avrà luogo invece al termine delle lezioni. Gli studenti che hanno conseguito in media sui due elaborati delle prove in itinere una votazione maggiore o uguale a 18/30 possono accedere alla prova orale. Altrimenti la prova scritta potrà avere luogo in uno degli 8 appelli d'esame fissati nel Calendario Esami. Si può sostenere la prova orale nello stesso appello della prova scritta se su quest'ultima si è conseguita una votazione maggiore o uguale a 15/30. Si può sostenere la prova orale nell'appello successivo a quello in cui si è sostenuta la prova scritta se su quest'ultima si è conseguita una votazione maggiore o uguale a 18/30. Qualora la prova orale non sia sufficiente il docente deciderà se è necessario ripetere anche la prova scritta, dipende dalle motivazioni che hanno portato ad una valutazione non sufficiente della prova orale (ad esempio: una prova orale non sufficiente che avviene a seguito di una prova scritta con votazione 14/30): Se il voto prova scritta di 18/30 e di 20/30 e la prova orale è SODDISFACENTE (cioé L'ESAME E' DA CONSIDERARSI SUPERATO ANCHE PER QUANTO RIGUARDA LA PARTE DI TEORIA), il voto finale dell'esame può essere al massimo valutato 30/30 e lode. Nell'eventualità fosse necessario in base alle normative di Ateneo gli esami e le prove parziali potrebbero svolgersi su piattaforma online. Per le esigenze della programmazione didattica, essendo un insegnamento senza obbligo di frequenza, in base a quanto richiesto nelle indicazioni stabilite nel Syllabus (Rev. 3 dell'11 marzo 2022) si precisa quanto segue: “Nel caso in cui lo studente intenda anticipare l’esame in un anno precedente a quello programmato nel piano di studio, si raccomanda di frequentare il ciclo delle lezioni e di sostenere l’esame nel primo appello utile dopo che le lezioni medesime siano terminate, nel rispetto quindi del semestre di programmazione dell’insegnamento”. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

1) C. CANUTO, A. TABACCO Analisi Matematica II, Springer-Verlag , 1nd 2008 o 2nd Ed., 2014 o la versione in inglese: 1)' C. CANUTO, A. TABACCO Mathematical Analysis II, Springer-Verlag , 2nd Ed., 2015 Sull'argomento: Integrazione alla Lebesgue in R^n. Esercizi sul programma svolto saranno resi disponibili sulla piattaforma Unistudium. Altri testi consigliati: M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Analisi matematica 2, Zanichelli, 2009. M. BRAMANTI, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Ed. Esculapio, Bologna, 2012. G. BUTTAZZO, V. COLLA, Temi di esame di Analisi Matematica II, Pitagora, 2001. M. AMAR, A. M. BERSANI, Esercizi di Analisi Matematica per i Nuovi Corsi di Laurea, Progetto Leonardo Ed. Esculapio, 2002. Gli studenti lavoratori, gli studenti non frequentanti , disabili e/o con DSA sono invitati a farlo presente al docente titolare del corso al fine di poter interagire al meglio con lo studente.

Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari delle successioni e serie di funzioni e della teoria sulle equazioni differenziali. Capacità di svolgere esercizi sugli integrali superficiali. La materia costituisce parte del contenuto riformato di un secondo corso di Calcolo per le lauree triennali di primo livello delle facoltà scientifiche italiane. Anche l'impostazione è riformata, e i libri di testo adottati, di taglio essenziale, sono ricchi di esempi e controesempi, e dunque ottimali per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi. Il corso ha l’obiettivo di trattare in modo diffuso la disciplina come si insegna da anni in ambito nazionale e internazionale. Le principali conoscenze acquisite saranno: - conoscere gli elementi base della teoria delle equazioni e sistemi differenziali e come essa si applichi in ogni campo della scienza e della tecnica, - possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi vari, - avere gli strumenti per poter individuare gli elementi essenziali di un problema (anche di natura molto pratica e concreta) e saperlo studiare in modo sistematico, in tutta la sua generalità, Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno: - leggere e comprendere testi di Analisi Matematica per le lauree triennali, - fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, - comunicare in lingua italiana e con un linguaggio appropriato le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse, - lavorare in gruppo, ma anche in autonomia. Le competenze e le abilità enunciate sono indispensabili sia in ambito delle professioni tradizionali del matematico, sia per le attività del matematico in ambito lavorativo che di tipo tecnico e/o industriale.

Successioni e serie di funzioni. Serie di Fourier. Teoria generale delle equazioni e dei sistemi di equazioni differenziali ordinari, sia lineari che non lineari. Integrali di superficie. La funzione Gamma e sue applicazioni.

Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno aver superato gli esami di Analisi Matematica I e II. Inoltre si richiede allo studente una certa familiarità con i concetti di spazio metrico, autovalori, autovettori e con la rappresentazione delle quadriche.

Lezioni ed esercitazioni frontali svolte mediante l'utilizzo della lavagna luminosa. Il corso è di 73 ore suddivise in 43 ore di teoria con diversi esempi e 30 ore rivolte allo svolgimento di esercizi. Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato.

1. Successioni e serie di funzioni, serie di potenze. 2. Serie di Fourier: serie trigonometriche, vari tipi di convergenza delle serie di Fourier e teoremi principali, integrabilità termine a termine delle serie di Fourier, applicazioni. 3. Equazioni differenziali ordinarie: definizione e problemi, teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità delle soluzioni. Lemma di Gronwall. Soluzioni locali e massimali. Alcune equazioni differenziali del I ordine e loro risolubilità esplicita. Teoremi: di confronto, di monotonia e dell'asintoto; analisi qualitativa di alcuni problemi di Cauchy del I ordine. Equazioni e sistemi differenziali di ordine superiore. 4. Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali lineari: teoria generale; sistemi omogenei e sistemi completi. 5. Integrali di superficie 6. Funzione Gamma di Eulero e sue applicazioni

L'esame prevede una prova scritta, che precede quella orale, ed entrambe concorrono al voto finale. La durata della prova scritta è di 2 ore circa e prevede lo svolgimento di al più 4 esercizi allo scopo di evidenziare le capacità risolutiva di problemi pratici/teorici su tutto il programma svolto. La prova scritta si considera superata se la valutazione riportata è uguale o superiore a 18. Successivamente viene svolta una prova orale della durata media di 30 minuti su argomenti relativi a tutto il programma che evidenzia le capacità espositive dello studente, le sue capacità d'utilizzo appropriato di tecniche e nozioni fondamentali e l'approfondimento dello studio. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Seconda edizione Zanichelli, ISBN: 978-88-08-63708-6 A. Ambrosetti e S. Ahmad, Differential Equations, DE Gruyter, 2019 G. Buttazzo e V. Colla, Temi d'esame di Analisi Matematica 2, Pitagora

L’insegnamento ha l’obiettivo di fornire agli studenti una conoscenza di base dell’elettromagnetismo classico e delle onde, sviluppando allo stesso tempo la capacità di usare strumenti matematici elementari per descrivere fenomeni fisici. Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di: conoscere le principali grandezze elettriche e magnetiche; comprendere il concetto di campo elettrico e campo magnetico; applicare la legge di Coulomb e la legge di Gauss in situazioni semplici; calcolare il potenziale elettrico in configurazioni elementari; descrivere il comportamento di condensatori e circuiti elettrici semplici; comprendere il significato fisico della corrente elettrica, della resistenza e della legge di Ohm; calcolare la forza magnetica su cariche e correnti; applicare le leggi di Ampère e Faraday in casi semplici; comprendere il significato dell’induzione elettromagnetica; riconoscere il ruolo delle equazioni di Maxwell nella descrizione unificata dei fenomeni elettromagnetici; comprendere in modo elementare la natura delle onde elettromagnetiche; risolvere esercizi di base, controllando unità di misura, segni e ordini di grandezza.

Il corso introduce i concetti fondamentali dell’elettromagnetismo classico e delle onde, con particolare attenzione alla formulazione matematica delle leggi fisiche e alla risoluzione di problemi semplici. Saranno trattati: campo elettrico, potenziale elettrico, legge di Gauss, condensatori, corrente elettrica, circuiti in corrente continua, campo magnetico, forza di Lorentz, legge di Ampère, induzione elettromagnetica, equazioni di Maxwell in forma elementare, onde elettromagnetiche e cenni di ottica fisica.

Sono richieste conoscenze di base di fisica generale e matematica, in particolare: cinematica e dinamica elementare; energia, lavoro e conservazione dell’energia; algebra e trigonometria; funzioni elementari; derivate e integrali in una variabile; nozioni elementari di vettori; elementi di geometria analitica. È utile, ma non indispensabile, una conoscenza introduttiva di integrali multipli, campi vettoriali e operatori differenziali elementari.

Il corso sarà svolto mediante lezioni frontali ed esercitazioni. Le lezioni teoriche introdurranno i concetti fisici fondamentali, cercando di collegarli alla loro formulazione matematica. Le esercitazioni saranno dedicate alla risoluzione guidata di problemi semplici e progressivi. Durante il corso saranno utilizzati: esempi fisici elementari; schemi e rappresentazioni grafiche dei campi; esercizi numerici; esercizi simbolici; richiami matematici quando necessari; discussione degli errori più comuni nella risoluzione dei problemi. Particolare attenzione sarà dedicata alla comprensione concettuale, evitando un approccio puramente mnemonico alle formule.

1. Richiami matematici e fisici Grandezze scalari e vettoriali. Operazioni con i vettori. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Campi scalari e campi vettoriali. Cenni a gradiente, divergenza e rotore, introdotti in modo operativo. Integrali di linea, di superficie e di volume in casi semplici. Richiami di energia, forza e lavoro. 2. Campo elettrico Carica elettrica. Proprietà della carica. Conduttori e isolanti. Legge di Coulomb. Principio di sovrapposizione. Campo elettrico generato da una carica puntiforme. Campo elettrico prodotto da distribuzioni discrete di carica. Cenni a distribuzioni continue di carica. Linee di campo elettrico. Interpretazione fisica del campo elettrico. Moto di una carica in un campo elettrico uniforme. 3. Legge di Gauss Flusso del campo elettrico. Superfici chiuse. Legge di Gauss in forma integrale. Significato fisico della legge di Gauss. Applicazioni semplici a distribuzioni simmetriche di carica: sfera, piano infinito, filo infinito, conduttore in equilibrio elettrostatico. Relazione tra legge di Gauss e legge di Coulomb in casi semplici. 4. Potenziale elettrico ed energia elettrostatica Lavoro della forza elettrica. Energia potenziale elettrica. Potenziale elettrico. Differenza di potenziale. Relazione tra campo elettrico e potenziale. Superfici equipotenziali. Potenziale generato da una carica puntiforme e da semplici distribuzioni di carica. Energia di un sistema di cariche. Moto di una carica tra punti a diverso potenziale. 5. Conduttori e condensatori Conduttori in equilibrio elettrostatico. Campo elettrico all’interno di un conduttore. Distribuzione della carica sulla superficie. Capacità elettrica. Condensatore piano. Condensatori in serie e in parallelo. Energia immagazzinata in un condensatore. Cenni ai dielettrici. 6. Corrente elettrica e circuiti Corrente elettrica. Densità di corrente. Resistenza elettrica. Legge di Ohm. Resistività e conducibilità. Potenza elettrica ed effetto Joule. Circuiti in corrente continua. Resistenze in serie e in parallelo. Generatori ideali e reali. Leggi di Kirchhoff. Circuiti RC: carica e scarica del condensatore, costante di tempo e andamento qualitativo delle grandezze nel tempo. 7. Campo magnetico Introduzione al campo magnetico. Forza di Lorentz su una carica in moto. Moto di una carica in un campo magnetico uniforme. Forza magnetica su un filo percorso da corrente. Momento magnetico di una spira. Linee del campo magnetico. Differenze tra campo elettrico e campo magnetico. 8. Sorgenti del campo magnetico Campo magnetico prodotto da correnti. Legge di Biot-Savart in casi semplici. Campo prodotto da un filo rettilineo indefinito. Campo al centro di una spira circolare. Legge di Ampère. Applicazioni elementari della legge di Ampère: filo rettilineo, solenoide lungo, toroide ideale. 9. Induzione elettromagnetica Flusso del campo magnetico. Legge di Faraday-Neumann. Legge di Lenz. Forza elettromotrice indotta. Correnti indotte. Esempi semplici di induzione: spira in campo magnetico variabile, variazione dell’area, moto di un conduttore in campo magnetico. Cenni ad autoinduzione e induttanza. Energia immagazzinata in un campo magnetico. Circuiti RL in modo qualitativo. 10. Equazioni di Maxwell Richiamo delle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo. Legge di Gauss per il campo elettrico. Legge di Gauss per il campo magnetico. Legge di Faraday. Legge di Ampère-Maxwell. Corrente di spostamento. Presentazione delle equazioni di Maxwell in forma integrale. Significato fisico generale: unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici. Cenni alla forma differenziale, solo come collegamento con l’analisi vettoriale. 11. Onde elettromagnetiche Origine delle onde elettromagnetiche. Propagazione nel vuoto. Velocità della luce. Relazione tra campo elettrico, campo magnetico e direzione di propagazione. Energia trasportata da un’onda elettromagnetica. Spettro elettromagnetico. Cenni a polarizzazione, intensità e pressione di radiazione. 12. Cenni di ottica fisica Natura ondulatoria della luce. Interferenza. Diffrazione. Esperimento della doppia fenditura. Reticolo di diffrazione in forma introduttiva. Collegamento tra lunghezza d’onda, frequenza e colore. Applicazioni semplici e interpretazione qualitativa dei fenomeni osservati. 13. Esercitazioni e applicazioni Risoluzione di problemi semplici su campo elettrico, potenziale, legge di Gauss, condensatori, circuiti, campo magnetico, induzione e onde elettromagnetiche. Gli esercizi saranno scelti per rafforzare la comprensione dei concetti fondamentali e l’uso corretto degli strumenti matematici di base.

La verifica dell’apprendimento consisterà in una prova scritta, eventualmente integrata da una prova orale, se richiesta. La prova scritta sarà composta da esercizi e domande teoriche di base, finalizzati a verificare: la conoscenza delle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo; la capacità di impostare correttamente un problema fisico; l’uso appropriato delle formule; la corretta gestione di grandezze vettoriali e scalari; la capacità di effettuare calcoli semplici; il controllo delle unità di misura; la comprensione del significato fisico dei risultati ottenuti. La prova orale, se richiesta, servirà a verificare la comprensione dei concetti principali, la chiarezza espositiva e la capacità di collegare tra loro i diversi argomenti del corso. La valutazione finale terrà conto della correttezza scientifica, della capacità di ragionamento, della chiarezza nell’esposizione e dell’uso corretto del linguaggio fisico e matematico.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di Fisica, Casa Editrice Ambrosiana / Zanichelli. Materiale didattico fornito dal docente

Conoscenze di base della geometria proiettiva e di concetti classici relativi alle curve algebriche. Sviluppo della capacita' di affrontare argomenti con rigore e sviluppo delle capacita' espositive di argomenti matematici sia a fini didattici che divulgativi. Invito alla riflessione su definizioni e risultati attraverso l'uso di esercizi e quesiti. Sviluppo di competenze per la risoluzione di problemi usando le nozioni acquisite.

Curve algebriche piane, introduzione alle varietà algebriche.

Algebra lineare. Geometria affine.

Lezioni frontali.

Anello di polinomi, Risultanti. Curve algebriche piane: numeri di intersezione, singolarita', tangenti principali. Th Bezout. Campo delle funzioni Razionali. DVR. Rami di curve.

La prova consta di tre parti -TEST riguardante definizioni ed enunciati -PROVA SCRITTA riguardante la risoluzione di esercizi -PROVA ORALE riguardante nozioni teoriche La prova scritta è volta a verificare le capacità dello studente nella risoluzione di esercizi. La prova orale è finalizzata all'accertamento delle conoscenze teoriche acquisite e alla capacità di esprimere correttamente i concetti. Le tre prove devono essere fatte in uno stesso appello. Il superamento del TEST è necessario alla prosecuzione della prova. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

E. Sernesi, Geometria 1, Bollati-Boringhieri, 2000. M.C. Beltrametti, E. Carletti, G. Monti Bragadin, D. Gallarati, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati-Boringhieri, 2002. C. G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves, An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press,1998. E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Projective Geometry: Solved Problems and Theory Review, Springer 2016.

Comprensione dei concetti riguardanti la programmazione orientata agli oggetti ed agli eventi. Capacità di realizzare applicazioni. Capacità di comparare più soluzioni possibili per poter scegliere la migliore. Capacità di applicare schemi di soluzione classici a nuovi problemi. Capacità di progettare la gerarchia di oggetti adatta al problema specifico. Capacità di realizzare programmi con interfacce di tipo professionale.

PROGRAMMAZIONE AD OGGETTI Modello degli oggetti per riferimento; Incapsulamento; Ereditarietà; Polimorfismo. INTRODUZIONE AL LINGUAGGIO JAVA Istruzioni strutturate; Array; Classi e metodi; Programmi stand-alone; Applet; Librerie Java; Eccezioni; Multithreading; Input ed Output; Istruzioni, espressioni, operazioni; Programmazione orientata agli eventi. Socket; Applicazioni client-server. ESEMPI DI ALGORITMI Ricorsione

E' utile aver sostenuto l'esame di Programmazione procedurale. In particolare è importante avere familiarità con i seguenti concetti: puntatori, gestione dinamica della memoria, algoritmi elementari.

lezioni frontali, esercitazioni al calcolatore.

Compilazione ed interpretazione. PROGRAMMAZIONE ORIENTATA AGLI OGGETTI Modello di oggetti per riferimento. Ereditarietà Incapsulazione. Polimorfismo dati. Typecasting. Polimorfismo metodi. Eary e late binding. Sovraccarico (overloading) e riscrittura metodi. Costruttori. Classi astratte INTRODUZIONE AL LINGUAGGIO JAVA Tipi di dato. Espressioni, Istruzioni Istruzioni semplici blocco Istruzioni condizionali if switch ? : Istruzioni iterative while for do while Istruzioni di interruzione return break continue Array. Classi e metodi; Librerie Java; Modificatore final e costanti. Metodi e campi statici. Ricorsione Gestione memoria in ricorsione. Ricorsione di coda. Parametri main. Garbage collection e finalizzazione. Programmazione orientata agli eventi. Eventi mouse e tastiera Listener e Adattatori Realizzazione applicazioni grafiche Metodi di disegno. Font e Colori. Componenti grafici principali: etichette, bottoni, campi di testo. Evento azione. Disposizione componenti. Classe JDialog, Menu Eccezioni, definizione e gestione eccezioni definite dall'utente. Flussi di input e flussi di output Thread e multithreading Scheduling thread. Gruppi di thread. Sincronizzazione thread. Applicazioni client-server Produzione di documentazione Javadoc. ESEMPI DI ALGORITMI Introduzione complessità Ricerca binaria ricorsiva e iterativa e loro complessità. Complessità Fibonacci esponenziale Fibonacci lineare. Liste concatenate Algoritmi elementari su liste ed array ricerca conteggio somma elementi media massimo e minimo Pile e code. Algoritmi di ordinamento Bubblesort e sua complesstità Quicksort ricorsivo e sua complessità Quiksort non ricorsivo. Torri di Hanoi. NOTA In particolare i seguenti argomenti sono descritti nei testi indicati che sono reperibili in biblioteca: Passaggio dei parametri Java1 I fondamenti C. S. Horstmann - G. Cornell cap 4 (Parametri dei metodi) Thread Java2 Tecniche avanzate C. S. Horstmann - G. Cornell cap 1 (fino a sincronizzazione inclusa) Programmazione in rete Java2 Tecniche avanzate C. S. Horstmann - G. Cornell cap 3 (Connessione a Server, Implementazione server, Programmazione avanzata dei socket)

Prova scritta e prova orale. Sono previste prove in itinere esoneranti per lo lo scritto finale. La prova scritta prevede la soluzione di tre esercizi a stimolo chiuso e risposta aperta ed è finalizzata a verificare la capacità di applicare correttamente le conoscenza teoriche e la capacità di comprensione delle problematiche proposte. Il tempo di svolgimento previsto è di tre ore. La prova orale consiste in una discussione della durata di circa 30 minuti finalizzata a accertare il livello di conoscenza e di comprensione sui contenuti teorici del corso raggiunto dallo studente. Inoltre la prova orale consentirà di verificare la capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell'esposizione. Su richiesta dello studente l'esame può essere sostenuto anche in lingua Inglese. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

Libri di testo: Concetti di informatica e fondamenti di Java settima edizione per Java 8, 9, 10 e 11 di Cay Horstmann Maggioli Editore Core Java 2 vol.2 di Cay S. Horstmann, Gary Cornell - Pearson - 2005 Di questo libro tratteremo solo due capitoli: Multithreading e Programmazione di rete; Altri libri che possono essere consultati: Java 2 Guida completa - L.Lemay, C.L. Perkins, Edizioni Sams net Java 2 i fondamenti - Cay S. Horstmann e Gary Cornell - Mc Graw Hill 2005; in Inglese: Core Java Volume I--Fundamentals, 9th Edition, Cay S. Horstman, Prentice Hall. Part of the Pearson Custom Library: Computer Science series. Core Java, Volume II--Advanced Features, 9th Edition, Cay S. Horstman, Prentice Hall. Part of the Pearson Custom Library: Computer Science series. Tutti i testi sono disponibili in Biblioteca.

Conoscenza e capacità d'utilizzo nozioni base di probabilità, statistica descrittiva ed inferenziale. Gli studenti saranno in grado di di affrontare e risolvere problemi sia pratici che teorici relativi alla statistica descrittiva, la regressione lineare e i test d'ipotesi. Essi saranno anche in grado di esporre con cognizione di causa le nozioni apprese.

Il modulo rappresenta il primo insegnamento di Probabilità e si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna teoria del Calcolo delle Probabilità attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi, alcuni dei quali con dimostrazioni complete, altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L'obiettivo principale del modulo è far acquisire agli studenti la capacità di ragionare in modo probabilistico e di utilizzare con competenza i fondamentali modelli del calcolo delle probabilità. Lo studente dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso e di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d'esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

Nozione di base di statistica descrittiva. Regressione lineare semplice. Stima parametrica. Stima intervallare. Verifica di ipotesi. Principio di coerenza.

Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni.

Nozioni base di analisi matematica, con particolare attenzione al calcolo differenziale e integrale. Nozioni base di algebra e calcolo combinatorio e di alfabetizzazione informatica. Per poter al meglio comprendere gli argomenti del corso sono fondamentali le nozioni sviluppate negli insegnamenti Analisi Matematica I e II e Informatica I.

Nozioni base di analisi matematica, con particolare attenzione al calcolo differenziale e integrale, successioni e serie numeriche. Nozioni base di algebra e calcolo combinatorio. Per poter al meglio comprendere gli argomenti del corso sono fondamentali le nozioni sviluppate negli insegnamenti Analisi Matematica I e II.

Lezioni teoriche in aula su tutti i contenuti & svolgimento esercizi pratici anche con software R.

Il modulo è organizzato nel modo seguente: - lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del programma; - risoluzione in aula di problemi proposti riguardanti tutti gli argomenti del programma.

Statistica descrittiva: distribuzioni statistiche unitarie, di frequenze e in classi; rappresentazioni grafiche distribuzioni; valori medi: moda, mediana, media aritmetica, medie alla Chisini; proprietà valori medi; indici di variazione; quantili; Boxplots; distribuzione campionaria doppia: frequenze congiunte, marginali, condizionate, indice di dipendenza chi-quadro (assoluto e relativo).Regressione lineare semplice: metodo dei minimi quadrati; previsioni; indice di accostamento lineare R2. Principali distribuzioni di probabilità: binomiale, geometrica, Poisson, uniforme, esponenziale, normale. Distribuzioni di statistiche campionarie: chi-quadro e t-student. Stima parametrica: principali stimatori e loro proprietà. Stima intervallare: tecnica generale individuazione intervalli di confidenza, casi particolari per la media e la varianza popolazione normale. Verifica di ipotesi: test parametrici con loro definizioni generali, casi particolari campionamento da popolazione normale; test non parametrici: test binomiale, di adattamento, d’indipendenza.

Nozioni teoriche della probabilità: eventi, probabilità condizionata, indipendenza. Il teorema di Bayes. Variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, funzione di ripartizione e funzione densità, variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e relative proprietà. Valore atteso e varianza. Funzioni di variabili aleatorie.Distribuzioni congiunte di variabili aleatorie. Disuguaglianze di concentrazione. Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. Funzione generatrice dei momenti.Valore atteso, varianza, momenti. Leggi congiunte di variabili aleatorie: distribuzione congiunta e distribuzione marginale, distribuzioni condizionate. Relazioni tra variabili aleatorie; trasformazioni di variabili aleatorie; distribuzioni congiunte di funzioni di variabili aleatorie.

Prova pratica R per verificare le capacità ad affrontare e risolvere problemi pratici di statistica di base e prova orale, congiunta con il modulo II parte, atta a verificare la padronanza delle nozioni e dei risultati teorici. La prova pratica in R consta di 3 o 4 punti da sviluppare su base di dati simulati o direttamente forniti. Deve essere svolta entro un'ora. Per poter essere ammessi alla prova orale bisogna raggiungere il punteggio complessivo di 18/30 insieme alla prova scritta del modulo II parte . PER GLI STUDENTI FREQUENTANTI: sono previste due prove parziali con le stesse modalità di verifica complessiva relativa alla prova pratica in R, ma su argomenti pertinenti solo la prima o la seconda parte del corso. Il voto medio delle due parti concorrerà a stabilire il voto di ammissione o meno alla prova orale che dovrà essere sostenuta entro l'ultimo appello della prima sessione di esami utile. Per lo svolgimento della prova pratica in R il materiale di riferimento è principalmente quello all'interno del primo testo consigliato (laboratorio di statistica in R) e il materiale presente in Unistudium. Per la prova orale si fa riferimento a quanto contenuto nei restanti testi consigliati. Nel giudizio complessivo, la parte pratica e la prate orale hanno pari rilevanza. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa

L'esame prevede una prova scritta e una prova orale: - La prova scritta, della durata di durata, di norma, compresa fra una e due ore, consta di esercizi volti a verificare le capacità risolutive di problemi pratico/teorici e verte su tutti gli argomenti del programma. - Alla prova orale, della durata orientativa di 30 minuti, accedono gli studenti che abbiano ottenuto, nella prova scritta, una votazione non inferiore a 18/30. La prova verte su tutto il programma del corso ed è volta a verificare le capacità espositive, quelle d'utilizzo appropriato di tecniche e nozioni fondamentali e l'approfondimento dello studio. Su richiesta dello studente, l'esame può essere sostenuto in lingua Inglese. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa.

Iacus S.M., Masarotto G.: Laboratorio di statistica con R. McGraw-Hill. Erto P.: Probabilita' e Statistica per le scienze e l'ingegneria, Mc-Graw-Hill, ed. 2004 Scozzafava R.: Incertezza e Probabilità,Zanichelli Ed. S. Ross, Introduction to probability and Statistics for Engineers and Scientists, Academic Press, 2009.

Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità Un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni, Springer P. Baldi, Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, seconda edizione, 2011. S. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo, Maggioli Editore (traduzione della versione inglese "A First Course in Probability") Per ulteriori esercizi si consiglia: F. Biagini, M. Campanino: Elementi di Probabilità e Statistica, Springer, 2006. Alternativa: S. Antonelli, G. Regoli: Probabilità discreta; esercizi con richiami di teoria, Liguori Ed., 2005. Ulteriore materiale didattico, come note aggiornate del docente e svolgimento di esercizi proposti e di prove d'esame passate, è disponibile su Unistudium.

Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi reale e degli spazi di Hilbert. La materia costituisce parte del contenuto riformato di un corso di secondo livello per le lauree triennali in Matematica italiane. Anche l'impostazione è riformata, e i libri di testo adottati sono ricchi di esempi e controesempi, e dunque ottimali per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi. Il corso ha l’obiettivo di analizzare gli argomenti base di analsi reale e della teoria degli spazi di Hilbert, trattando in modo diffuso la disciplina come si insegna da anni in ambito nazionale e internazionale. In tal senso, al termine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di: - conoscere gli elementi base di analisi reale e come essi si applichino alle scienze della natura, - possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi vari, - leggere e comprendere testi di Analisi Reale, - fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento, - comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse, - lavorare in gruppo, ma anche in autonomia. Le competenze enunciate sono indispensabili sia in ambito delle professioni tradizionali del matematico, sia per le attività del matematico in ambito lavorativo di tipo tecnico e/o industriale.

Il corso intende introdurre alcuni aspetti fondanti dell'analisi reale, presentando problemi e applicazioni che derivano da mondo fisico, biologico, chimico ed economico. Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno aver superato gli esami di Analisi Matematica I, II e III. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'integrazione e l'analisi funzionale in spazi di Hilbert. Pertanto, i prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nei corsi base di matematica ma, sempre più frequentemente, anche nella formazione scolastica pre-universitaria. Il corso si articola in lezioni frontali, nelle quali vengono svolti vari esercizi esemplificativi. Gli argomenti essenziali vengono riassunti in dispense fornite dal docente. Il corso è di 63 ore di teoria ed è ricco di diversi esempi e controesempi (quasi 20 ore sono rivolte allo svolgimento di esercizi). Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato. Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno aver superato gli esami di Analisi Matematica I, II e III. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'integrazione e l'analisi funzionale in spazi di Hilbert. Pertanto, i prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nei corsi base di matematica ma, sempre più frequentemente, anche nella formazione scolastica pre-universitaria. Spazi di Lebesgue: definizione, completezza, separabilità e dualità. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenze: in misura, quasi uniforme. Teorema di Vitali e diagrammi di convergenza. Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue: derivazione e integrazione. Spazi di Hilbert: spazi Euclidei, identità del parallelogramma, teorema della proiezione, dualità, sistemi ortonormali, serie trigonometriche. Teoremi di convergenza forte in Lp(X). Sottoinsiemi densi in Lp(X).

L'esame prevede una o due prove con lo svolgimento di alcuni esercizi. La prova orale consiste in una discussione su tre argomenti ognuno articolato in più domande ed è della durata di circa 30 minuti. La prova orale è finalizzata ad accertare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e sulle metodologie trattate nel corso (teoremi fondamentali del corso, definizioni, esempi e controesempi). La prova orale consente infine di verificare la capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio e la sua abilità di organizzare l'esposizione in modo autonomo. Le prove orali di esame si articolano in 8 sessioni e il calendario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-triennale/calendario-esami Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa Gli Studenti con disabilità devono informare il docente del proprio stato con una nota all'atto della prenotazione dell'esame (almeno una settimana prima) al fine di permettere una organizzazione opportuna della prova scritta

P. Cannarsa & T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, UNITEXT, Springer, 2008, xii+268 pp. R.G. Bartle, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, Wiley-Interscience Publ., New York, 1995, xii+179 pp. F.S. Botelho, Real analysis and applications, Springer, Cham, 2018. xiii+567 pp. H.D. Junghenn, Principles of analysis. Measure, integration, functional analysis, and applications, CRC Press, Boca Raton, FL, 2018, xx+520 pp. Le slides delle lezioni sono pubblicate settimanalmente su Unistudium