Dispense VERIFICATO
schemi di algebra lineare
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Di cosa parla
- Funzioni: Vengono definite le funzioni, il loro dominio, codominio, immagine e antiimmagine. Si distinguono le funzioni iniettive, suriettive e biiettive, con un focus sulle funzioni inverse e la composizione. Sono inclusi esempi illustrativi.
- Insiemi Numerici: Presenta gli insiemi fondamentali (numeri naturali, interi, razionali, reali, irrazionali e complessi) e le loro gerarchie.
- Campi: Introduce il concetto di operazione binaria e definisce formalmente un campo attraverso i suoi assiomi. Vengono esaminati esempi come (R, +, ·) e (Q, +, ·), e proprietà essenziali come l'annullamento del prodotto.
- Matrici: Dettaglia la definizione di matrici e le operazioni fondamentali: matrice opposta, somma, prodotto scalare e prodotto tra matrici. Si analizzano le proprietà associative, commutative e distributive, le matrici identità, le matrici invertibili e i divisori di zero. È fornita la formula per l'inversa di una matrice 2x2 e la regola per l'inversa di un prodotto.
- Numeri Complessi: Sono introdotti come coppie di numeri reali (R²), con operazioni specifiche che li rendono un campo. Si esplorano la forma algebrica (a+ib), l'unità immaginaria i (con i²=-1), il modulo, l'argomento, il coniugato e la rappresentazione geometrica nel piano di Gauss. Vengono trattate le formule di Eulero, il teorema di De Moivre e il calcolo delle radici n-esime, oltre al Teorema Fondamentale dell'Algebra.
- Polinomi: Viene introdotto il teorema di Ruffini e le sue implicazioni sulla fattorizzazione dei polinomi. Si analizzano le proprietà dei polinomi a coefficienti reali, inclusa la coniugazione delle radici complesse.
- Spazi Vettoriali: Il documento copre le relazioni di equivalenza e le classi, applicandole alla similitudine tra matrici e all'equipollenza dei vettori geometrici. Definisce formalmente uno spazio vettoriale attraverso i suoi assiomi e fornisce numerosi esempi (Rⁿ, matrici, funzioni continue, polinomi).
- Sottospazi, Basi e Dimensione: Si definiscono i sottospazi e le condizioni per la loro esistenza. Vengono esaminate la somma e l'intersezione di sottospazi, e il concetto di somma diretta. Si introduce la dipendenza e indipendenza lineare, i sistemi di generatori, le basi (inclusa la base canonica) e la dimensione di uno spazio vettoriale. Sono presentati teoremi chiave come quello dello scambio, del completamento della base e la formula di Grassmann.