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insiemistica
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Il testo introduce i concetti fondamentali della teoria degli insiemi, definendo le operazioni come unione, intersezione e differenza, oltre alle relazioni di inclusione. Vengono poi analizzati gli insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali) evidenziando la loro struttura algebrica e l'ordine tra i numeri. Infine, si studiano intervalli su retta reale, il valore assoluto e le definizioni rigorose di massimo, minimo, maggiorante e estremo superiore/inferiore, con particolare attenzione alle proprietà della completezza dei numeri reali che garantiscono l'esistenza degli estremi per insiemi limitati.
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- Un insieme può essere rappresentato per elencazione dei suoi elementi se finito o mediante predicati logici quando contiene un numero infinito di oggetti.
- Le operazioni fondamentali tra insiemi includono l'unione che raggruppa tutti gli elementi presenti in almeno uno degli insiemi e l'intersezione che ne considera solo quelli comuni, mentre la differenza B\A include i soli elementi di B non appartenenti ad A.
- I numeri razionali sono definiti come frazioni p/q con q diverso da zero e possono essere rappresentati tramite allineamenti decimali limitati o periodici, ma non riescono a coprire biunivocamente tutti i punti della retta reale.
- L'insieme dei numeri reali R introduce il concetto di completezza attraverso gli estremi superiore ed inferiore definiti rispettivamente come il minimo tra i maggioranti e il massimo tra i minoranti di un dato insieme limitato.
- La distinzione concettuale tra massimo, minimo ed estremo supremo/inferiore risiede nel fatto che solo il primo e il secondo appartengono necessariamente all'insieme considerato, mentre gli estremi possono non farne parte se l'intervallo è aperto in corrispondenza del valore.
- Il valore assoluto di un numero reale x viene definito come la funzione che restituisce x stesso se positivo o zero, e -x nel caso negativo, soddisfacendo proprietà algebriche quali il prodotto dei moduli uguale al modulo del prodotto.
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Di cosa parla l'insegnamento
ANALISI MATEMATICA 1 · 1° anno · 8 CFU · MATH-03/A
Al termine dell’insegnamento, lo studente o la studentessa avrà acquisito conoscenze e competenze fondamentali di calcolo differenziale e integrale in una variabile reale. In particolare sarà in grado di: comprendere e argomentare in modo rigoroso le proprietà topologiche della retta reale, con particolare attenzione…