Appunti VERIFICATO
Sistemi dinamici
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Di cosa parla
- Sistemi Dinamici: Il testo inizia definendo i sistemi dinamici come modelli matematici che descrivono situazioni che cambiano nel tempo. Si distinguono in:
- Continui: Regolati da equazioni differenziali ordinarie vettoriali del tipo dX/dt = F(X), dove X(t) è lo stato e W ⊂ R^n è lo spazio degli stati. Un'orbita è una funzione t ↦ X(t) che soddisfa l'equazione.
- Discreti: Regolati da relazioni ricorsive del tipo X_{k+1} = f(X_k), dove X_k è una successione di stati.
- Punti di Equilibrio: Un punto X₀ ∈ W è di equilibrio se l'unica orbita corrispondente al dato iniziale X₀ è la costante X(t) = X₀.
- Sistemi Dinamici Lineari: Un sistema è lineare se il campo vettoriale F(X) è della forma F(X) = AX, dove A è una matrice n × n a coefficienti costanti. La soluzione generale è data da X(t) = e^(At)X₀, dove e^(At) è l'esponenziale di matrice definito dalla serie e^B = Σ (B^i)/i!.
- Classificazione dei Sistemi Lineari 2x2: Il comportamento qualitativo dipende dagli autovalori di A.
- Autovalori Reali Distinti (diagonalizzabili):
- Nodi Attrattivi: Entrambi gli autovalori < 0. Le orbite tendono all'origine.
- Nodi Repulsivi: Entrambi gli autovalori > 0. Le orbite divergono all'infinito.
- Punti di Sella: Autovalori di segno opposto. Le orbite tendono all'origine lungo una direzione e divergono lungo un'altra.
- Autovalori Complessi Coniugati (semisemplici): A = [a -b; b a]. La soluzione coinvolge funzioni esponenziali e trigonometriche.
- Fuochi Attrattivi: Parte reale degli autovalori < 0. Le orbite sono spirali che tendono all'origine.
- Fuochi Repulsivi: Parte reale degli autovalori > 0. Le orbite sono spirali che divergono all'infinito.
- Centri: Parte reale degli autovalori = 0. Le orbite sono periodiche (circonferenze/ellissi) attorno all'origine.
- Matrici Nilpotenti (non semisemplici): Una matrice N è nilpotente se N^m = 0 per qualche m. In questo caso, A può essere decomposta in A = S + N (S semisemplice, N nilpotente, SN=NS), e la soluzione è e^(At) = e^(St)e^(Nt). Portano a ‘nodi impropri’.
- Autovalori Reali Distinti (diagonalizzabili):
- Teoria Qualitativa: Studia il comportamento limite delle orbite senza una soluzione esplicita.
- Stabilità: Definizioni di punto attrattivo, bacino di attrazione, stabile, asintoticamente stabile e instabile.
- Metodo di Linearizzazione: Vicino a un punto di equilibrio X_l, il sistema non lineare X = F(X) è approssimato dal sistema lineare Y = AY, dove A è la matrice Jacobiana di F in X_l. Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa, X_l è un 'pozzo' e asintoticamente stabile.
- Funzionali di Lyapounov: Una funzione V(X) con V(X_l)=0 e V(X)>0 (X≠X_l). Se la derivata totale V̇(X(t)) ≤ 0 lungo le orbite, il punto è stabile. Se V̇(X(t)) < 0, è asintoticamente stabile.
- Applicazioni:
- Sistemi Newtoniani: ẍ = f(x). L'energia totale E(x,y) = ½y² - ∫f(ξ)dξ è un integrale primo (costante). L'equilibrio è stabile ma non asintoticamente stabile. Con attrito (ẍ = f(x) - γẋ, γ>0), l'energia si dissipa (V̇ ≤ 0) e l'equilibrio può essere asintoticamente stabile.
- Modello Preda-Predatore di Lotka-Volterra: Ċ = αC - βCV, V̇ = -γV + δCV. Ammette un integrale primo, e i punti di equilibrio portano a oscillazioni periodiche.