Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Exam exercitation
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Il testo presenta un esame di matematica con otto esercizi che coprono la definizione e le proprietà delle matrici inverse, l'omogeneità di grado tre per funzioni specifiche, il calcolo dei punti critici e della classificazione degli estremi (massimi, minimi o selle), nonché la determinazione del piano tangente a una superficie. Vengono inoltre richiesti esercizi sulla stabilità locale degli stati stazionari in equazioni alle differenze lineari e non lineari.
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- La matrice inversa è definita come la matrice che, moltiplicata per una data matrice quadrata non singolare, produce l'identità e possiede proprietà di unicità e simmetria rispetto alla transposizione.
- Euler's Theorem stabilisce che se una funzione omogenea differenziabile ha grado k, allora la somma dei prodotti delle variabili per le rispettive derivate parziali è uguale a k volte il valore della funzione stessa.
- Una funzione definita come f(x,y) = 3x^c - m^m risulta essere omogenea di terzo grado poiché raddoppiando tutte le variabili l'output si moltiplica per otto, soddisfacendo la condizione matematica dell'omogeneità.
- Nel caso della funzione differenziale f(x,m) = (x^c - m^c), il punto (0,0) rappresenta un punto critico che non è né massimo né minimo locale ma costituisce invece una sella a causa del segno indefinito delle derivate seconde.
- L'equazione del piano tangente alla superficie definita da f(x,m)=4x+m-6x nel punto P(2,3,13) si ottiene calcolando il gradiente in quel punto e applicando la formula lineare che approssima localmente la funzione.
- Per le equazioni alle differenze di primo ordine come x_{t+1} = f(x_t), lo stato stazionario è stabile se il valore assoluto della derivata prima della funzione nello stato stazionario è minore di uno, condizione necessaria per garantire che piccole perturbazioni decadano nel tempo.
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