Domande d'esame VERIFICATO
Terzo Appello Estivo 16-07-2019
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(a) Utilizzando la disuguaglianza di Tchebychev si può ricavare la "legge debole dei grandi numeri". Per valutare le lotterie in base al valore atteso, bisogna considerare il teorema di Rabin. La "fallacia dei grandi numeri" di Samuelson suggerisce che i risultati a lungo termine non garantiscono benefici certi.
(b) Il portafoglio ottimo per un individuo con ricchezza iniziale W0=4 è determinato dalla funzione di utilità u(W)=−e^(-W). Se la ricchezza iniziale fosse W0=2, il portafoglio ottimo si modificherebbe.
(c) Per u(W)=Wa, l'individuo ha preferenze monotone e avverso al rischio se a>1. Il premio di probabilità è crescente in a e tende a 0 quando
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- (a) Utilizzando la disuguaglianza di Tchebychev, ricavare matematicamente la "legge debole dei grandi numeri". Spiegare quando può avere senso valutare le lotterie in base al valore atteso. Discutere la "fallacia dei grandi numeri" di Samuelson e commentare il teorema (dicalibrazione) di Rabin.
- (b) Individuare il portafoglio ottimo di un individuo con una ricchezza iniziale \(W_0=4\) e preferenze sulle sue ricchezze future descritte dalla funzione di utilità \(u(W)=-e^{-W}\). Senza fare calcoli, dire come varierebbe il suo portafoglio ottimo se la sua ricchezza iniziale fosse \(W_0=2\).
- (c) Considerare un individuo con una ricchezza iniziale \(W_0=1\) e preferenze sulle sue ricchezze future descritte dalla funzione di utilità \(u(W)=W^a\). Individuare i valori di \(a\) che assicurano che l'individuo abbia preferenze monotone e avverso al rischio. Definire poi calcolare il premio di probabilità nel caso in cui \(h=1\). È crescente o decrescente in \(a\)? Che cosa succede quando aspetta uno? Giustificare le due risposte al punto di vista economico.
- (d) Considerare un individuo con preferenze monotone e avverso al rischio la cui ricchezza iniziale sia \(W_0=8\). Sul mercato sono presenti due titoli, A e B, i cui prezzi siano \(p_A=2\) e \(p_B=2\). Sia A e B pagano 1 euro con probabilità 0.5 e 4 euro con probabilità 0.5. I due titoli sono quindi uguali, ma tradono un rischio stocasticamente indipendente. Mostrare che l'individuo sceglierà razionalmente acquistare 2 unità del titolo A e 2 unità del titolo B.
- (e) Verificare che c’è dominanza stocastica seconda ordine del portafoglio ottimo rispetto a un portafoglio costituito solo dal titolo A. Ipotizzare che le preferenze dell'individuo sulle sue ricchezze future possano essere descritte dalla funzione di utilità \(u(W)=\ln W\). Verificare che l'individuo in esame è indifferente a investire tutta la sua ricchezza nel titolo A o rimanere con la sua ricchezza iniziale. A quanto ammonta in questo caso il «premio per il rischio» dell'individuo? Giustificare la risposta.
- (f) Scrivere l'approssimazione tra premi per il rischio e varianza di una lotteria caratterizzata d
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