appunti algebra lineare

Indice dei Contenuti

• Capitolo 1: Spazi Vettoriali
  • Introduzione allo spazio Rⁿ e agli spazi vettoriali su R.
  • Concetti di combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
  • Definizione di sottospazi e operazioni tra essi (intersezione e somma).
• Capitolo 2: Matrici
  • Introduzione all'algebra delle matrici, inclusi tipi speciali (quadrate, rettangolari, diagonali, triangolari).
  • Operazioni su matrici: somma, prodotto scalare, trasposizione e prodotto tra matrici.
  • Determinante di una matrice, suo calcolo e proprietà (teoremi di Laplace, Binet).
  • Invertibilità di una matrice e calcolo dell'inversa.
  • Rango di una matrice e suoi metodi di calcolo (minori, orlati).
• Capitolo 3: Applicazioni Lineari
  • Definizione e proprietà delle applicazioni lineari (additività, omogeneità).
  • Concetti di nucleo (Ker) e immagine (Im) di un'applicazione lineare.
  • Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a basi date.
  • Cambiamenti di base nello spazio Rⁿ e matrici di passaggio.
• Capitolo 4: Proiezioni
  • Definizione di prodotto interno e norma indotta.
  • Vettori ortogonali e ortonormali, processo di Gram-Schmidt.
  • Problema della miglior approssimazione e complemento ortogonale.
  • Proiettori ortogonali: rappresentazione matriciale e applicazioni.
• Capitolo 5: Sistemi di Equazioni Lineari
  • Sistemi lineari nella forma Ax=b e loro risoluzione.
  • Criteri di esistenza e unicità delle soluzioni (teorema di Rouché-Capelli, regola di Cramer).
  • Struttura delle soluzioni per sistemi omogenei e non omogenei.
• Capitolo 6: Diagonalizzazione
  • Autovalori e autovettori di un'applicazione lineare e di una matrice.
  • Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica e geometrica.
  • Criteri di diagonalizzabilità (teorema spettrale per matrici simmetriche).
  • Procedimento dettagliato per la diagonalizzazione di una matrice.
• Capitolo 7: Forme Quadratiche
  • Definizione di forme quadratiche e loro classificazione (definita positiva/negativa, semidefinita, indefinita).
  • Relazione tra forme quadratiche e autovalori della matrice associata.
  • Metodi per riconoscere il segno di una forma quadratica (minori principali).
  • Generalizzazioni del Teorema Spettrale e applicazioni alla statistica:
  • Decomposizione ai Valori Singolari (SVD) e sue proprietà.
  • Decomposizione QR.
  • Decomposizione di Cholesky.