Appunti VERIFICATO
Prodotto vettore
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Di cosa parla
Distanza di un punto dal piano passante per l'origine
- **Metodo Generale:** Si considera un punto 'x' come combinazione lineare di vettori generatori 'u' e 'v' del piano (x = αu + βv). La proiezione di 'x' sul piano si ottiene imponendo la condizione di ortogonalità tra il vettore differenza (x - x_proj) e i vettori 'u' e 'v'. Questo porta a un sistema di equazioni.
- **Formula Rapida (solo in R³):** Il vettore che rappresenta la distanza minima è perpendicolare al piano. Si può proiettare il vettore 'x' sulla normale al piano, calcolata come il prodotto vettore 'u × v'. La distanza è data dalla norma della proiezione ortogonale di 'x' sulla direzione normale, ovvero |x · (u × v)| / |u × v|.
Distanza tra rette sghembe
- **Metodo:** Si cercano due punti (uno per retta) che minimizzano la distanza tra le rette. Il vettore che congiunge questi due punti deve essere perpendicolare a entrambi i vettori direzionali delle rette.
- **In R³:** Utilizzando il prodotto vettore, si può definire un vettore 'v' ortogonale a entrambi i vettori direzionali 'u' e 's' delle rette (v = u × s). La distanza minima è calcolata come |(x₀ - y₀) · v| / |v|, dove 'x₀' e 'y₀' sono punti arbitrari sulle due rette.
Distanza di un punto dal piano non passante per l'origine
- **Metodo:** Per calcolare la distanza di un punto 'x' da un piano che non passa per l'origine, si sposta l'origine in un punto 'x₀' che appartiene al piano. A questo punto, il problema si riconduce al calcolo della distanza del vettore (x - x₀) dal piano passante per la nuova origine.
- **Formula:** La distanza è data da |(x - x₀) · (u × v)| / |u × v|, dove 'u' e 'v' sono i generatori del piano e 'x₀' è un punto noto sul piano.
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