Dispense VERIFICATO
Dispense di di Analisi Matematica 1 - primo semestre
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Di cosa parla
- **Premessa:** Il documento funge da dispense per la prima parte del corso di Analisi Matematica 1 (prime 24 ore) tenute dal docente Montefalcone. Viene adottato come libro di testo "Analisi Matematica 1" di E. Giusti. La sezione include anche il calendario dettagliato delle lezioni da ottobre a novembre 2018.
- **Capitolo 1: Teoria (ingenua) degli Insiemi:**
- Introduzione ai concetti di insieme, elementi e sottoinsiemi.
- Operazioni fondamentali sugli insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano.
- Elementi di logica matematica: proposizioni, connettivi logici (negazione, congiunzione, disgiunzione), implicazione ed equivalenza.
- Predicati e quantificatori (universale ed esistenziale), esempi e risoluzione di equazioni/disequazioni.
- Numeri naturali, assiomi di Peano, e il principio di induzione con esempi applicativi.
- Calcolo combinatorio: fattoriale, coefficiente binomiale, disposizioni semplici e con ripetizione.
- Relazioni e funzioni: definizioni, proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica), relazioni d'equivalenza e d'ordine.
- **Capitolo 2: Numeri e Funzioni:**
- Numeri reali: assiomi di un campo totalmente ordinato e completo, definizione di modulo o valore assoluto con proprietà.
- Intervalli: aperti, semiaperti, chiusi, limitati e illimitati.
- Completezza di R e assioma degli intervalli dimezzati (teorema di Bolzano-Weierstrass).
- N, Z e Q come sottoinsiemi di R: proprietà, densità di Q e R\Q in R.
- Radice n-esima: definizione e proprietà (unicità ed esistenza).
- Funzioni esponenziali (in Q) e loro proprietà.
- Cardinalità di insiemi e numerabilità: insiemi equipotenti, finiti e infiniti, insiemi numerabili (Z, ZxZ, unione numerabile di insiemi numerabili, Q).
- L'insieme [0,1[ non è numerabile (dimostrazioni di Cantor). Numeri algebrici e trascendenti.
- Numeri complessi: definizione assiomatica, operazioni (somma, prodotto), coniugato, modulo, argomento, disuguaglianza triangolare e inverso. Radici n-esime complesse e Teorema Fondamentale dell’Algebra.
- **Capitolo 3: Funzioni elementari:**
- Funzioni esponenziali (su R), logaritmiche, trigonometriche (seno, coseno, tangente e le loro inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente) e iperboliche (seno iperbolico, coseno iperbolico). Grafici e proprietà fondamentali.
- **Capitolo 4: Topologia di R:**
- Strutture metriche in Rn: prodotto scalare, norma (o modulo), distanza euclidea. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
- Intorni, frontiera, insiemi aperti e chiusi, punti interni ed esterni, punti di accumulazione.
- Teoremi chiave: unione di aperti è aperta, intersezione finita di aperti è aperta. Teorema di Bolzano-Weierstrass (per R e Rn).
- **Capitolo 5: Limiti per funzioni f: R → R:**
- Definizioni formali di limite per funzioni, inclusi i casi di limiti all'infinito e infiniti.
- Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, località, limiti di restrizioni, teorema dei due carabinieri, caratterizzazione di Cauchy.
- Limiti di funzioni monotone.
- Limiti notevoli, tabelle riassuntive per somma, prodotto, quoziente e potenza. Precisazioni su simboli senza senso e forme indeterminate.
- **Capitolo 6: Appendice:**
- Asintoti per funzioni di 1 variabile: orizzontali, obliqui e verticali.
- Richiami sulle disequazioni irrazionali con schemi risolutivi per casi pari e dispari.
- Esempi elementari di funzioni f: Rn → Rm, con focus su paraboloide circolare, semisfera e elica circolare.
- **Capitolo 7: Esercitazioni:**
- Numerosi esercizi svolti su calcolo combinatorio, principio di induzione, studio del dominio di funzioni, inf/sup/min/max di insiemi e limiti notevoli.
- Esercizi di ripasso (senza soluzioni) su insiemi, funzioni, disuguaglianze.
- Lista dettagliata di esercizi "consigliati" dal libro di Giusti, suddivisi per settimane di studio.
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