Appunti VERIFICATO
Equazioni differenziali a variabili separabili
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Di cosa parla
- Le equazioni differenziali a variabili separabili sono del tipo y'(x) = g(x)f(y(x)) e si risolvono formalmente dividendo per f(y) e integrando entrambi i membri rispetto alla variabile corrispondente.
- Se f(y0) è diverso da zero, l'equazione ammette una ed una sola soluzione definita in un intorno di x0 che soddisfa la condizione iniziale y(x0) = y0, mentre se f(y0) = 0 la funzione costante y(x) = y0 è anch'essa una soluzione.
- La formula generale per le soluzioni implicite si ottiene eguagliando una primitiva F di 1/f(y) con una primitiva G di g(x) più una costante arbitraria c, ovvero F(y(x)) = G(x) + c.
- Nel caso dell'equazione logistica y' = ry(1 - y/K), la soluzione tende alla capacità portante K quando x tende all'infinito, indipendentemente dalla condizione iniziale positiva scelta.
- È fondamentale verificare l'esistenza di soluzioni singolari o costanti che soddisfano f(y) = 0, come nel caso dell'equazione y' = √y dove la funzione non è derivabile in y=0 e esistono infinite soluzioni passanti per l'origine.
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