Dispense VERIFICATO
Appunti Lezione Analisi 1
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Di cosa parla
- Logica Proposizionale:
- Proposizione: Frase con un valore di verità (vero o falso) ben definito.
- Connettivi Logici:
- Congiunzione (∧, "e"): Vera se entrambi gli operandi sono veri.
- Disgiunzione (∨, "o"): Vera se almeno uno degli operandi è vero.
- Implicazione (⇒, "se... allora..."): Vera in tutti i casi tranne quando l'antecedente è vero e il conseguente è falso. P è condizione sufficiente per Q, Q è condizione necessaria per P.
- Doppia Implicazione (⇔, "se e solo se"): Vera se entrambi gli operandi hanno lo stesso valore di verità.
- Negazione (¬, "non"): Inverte il valore di verità dell'operando.
- Tavole di Verità: Tabelle che mostrano tutti i possibili valori di verità per una proposizione composta.
- Equivalenza Logica: Due proposizioni sono equivalenti se hanno le stesse tavole di verità.
- Quantificatori:
- Universale (∀, "per ogni"): Indica che una proprietà vale per tutti gli elementi di un insieme.
- Esistenziale (∃, "esiste"): Indica che esiste almeno un elemento che soddisfa una proprietà.
- Esistenziale Unico (∃!, "esiste un unico"): Indica che esiste uno e un solo elemento che soddisfa una proprietà.
- Negazione: La negazione di un quantificatore universale è un quantificatore esistenziale con la negazione della proprietà, e viceversa (es. ¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x ¬P(x)).
- Teoria degli Insiemi:
- Insieme: Una collezione ben definita di oggetti distinti (elementi).
- Notazione: Insiemi con lettere maiuscole (A, B), elementi con minuscole (a, b).
- Appartenenza (∈): Un elemento appartiene a un insieme (es. a ∈ A).
- Rappresentazione: Per elencazione (es. {1, 2, 3}) o per proprietà caratteristica (es. {x | P(x)}).
- Insieme Vuoto (∅): L'unico insieme senza elementi.
- Sottoinsieme (⊆): B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche in A.
- Operazioni tra Insiemi:
- Unione (∪): A ∪ B contiene tutti gli elementi che sono in A o in B.
- Intersezione (∩): A ∩ B contiene tutti gli elementi che sono sia in A che in B. Insiemi disgiunti se A ∩ B = ∅.
- Differenza (\ o -): A \ B contiene gli elementi di A che non sono in B.
- Complementare (Aᶜ o Bᶜ): Se B ⊆ A, il complementare di B rispetto ad A è A \ B.
- Leggi di De Morgan: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ e (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ.
- Insieme delle Parti (P(A)): L'insieme di tutti i sottoinsiemi di A.
- Prodotto Cartesiano (×): A × B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.
- Relazioni:
- Definizione: Un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A × B. Si scrive aRb se (a,b) ∈ R.
- Relazione d'Ordine (su un insieme A):
- Riflessiva: Ogni elemento è in relazione con se stesso (aRa).
- Simmetrica: Se aRb, allora bRa (nota: il documento originale menziona "simmetrica" in questa sezione, ma per una relazione d'ordine è generalmente richiesta la proprietà "antisimmetrica").
- Transitiva: Se aRb e bRc, allora aRc.
- Relazione d'Ordine Totale: Una relazione d'ordine in cui ogni coppia di elementi è confrontabile.