Domande d'esame VERIFICATO
Esami scritti 2017-2018
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Il documento contiene cinque esami di Analisi Matematica I dal 2017 al 2018. Le prove vertono sull'analisi approfondita di funzioni reali, coprendo dominio, limiti, asintoti, derivabilità (identificando punti di cuspide o flesso a tangente verticale), studio di monotonia, massimi e minimi. Include l'applicazione di teoremi di confronto, analisi della funzione mantissa, calcolo integrale con i teoremi fondamentali e della media. Vengono trattate anche equazioni differenziali lineari, con lo studio delle loro soluzioni e limitatezza, e operazioni con numeri complessi, come il calcolo delle radici e la risoluzione di equazioni.
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- **Analisi di Funzioni Reali:** Le prove richiedono un'analisi completa di diverse funzioni, inclusa la determinazione del dominio, il calcolo di limiti agli estremi, l'identificazione di asintoti (orizzontali, verticali, obliqui) e la parte principale. Viene studiata la derivabilità, il calcolo della derivata e l'analisi di punti di non derivabilità (es. cuspidi, flessi a tangente verticale). Sono richiesti gli intervalli di monotonia, la classificazione di massimi e minimi relativi e assoluti, e il tracciamento di grafici qualitativi.
- **Teoremi di Confronto e Funzione Mantissa:** Il documento presenta l'enunciazione e l'applicazione dei teoremi del confronto per limiti finiti e infiniti. Vengono risolti esercizi che coinvolgono la funzione mantissa M(x), dimostrando proprietà sui limiti di prodotti e somme con essa.
- **Calcolo Integrale e Teoremi:** Sono inclusi esercizi sul calcolo integrale, con l'enunciazione del Teorema della Media Integrale e del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Si valuta la convergenza di integrali impropri e si analizza l'esistenza di asintoti orizzontali per le funzioni integrali.
- **Equazioni Differenziali:** Vengono affrontate equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Si richiede la definizione di soluzione, la dimostrazione della linearità delle soluzioni e la determinazione di parametri (es. α) che influenzano la limitatezza delle soluzioni complete.
- **Numeri Complessi:** Le prove coprono la definizione delle rappresentazioni algebrica e trigonometrica (o polare) dei numeri complessi. Vengono richiesti il calcolo e la rappresentazione grafica delle radici cubiche di numeri complessi specifici (es. -1), oltre alla risoluzione di equazioni algebriche nel campo complesso.
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Di cosa parla l'insegnamento
Analisi matematica I · 1° anno · 1° semestre · 10 CFU · MAT/05
Capacità di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprietà essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualità di calcolo.