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Dispensa Analisi 2 - Guidetti
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Di cosa parla
- Capitolo 1: Funzioni di più variabili reali
- Rn e la metrica euclidea: introduzione al prodotto cartesiano, prodotto scalare e norma euclidea.
- Insiemi aperti e chiusi: definizioni di palla aperta, interno, frontiera e chiusura.
- Limiti: concetto di punto di accumulazione e definizione formale di limite per funzioni a più variabili.
- Funzioni continue: estensione della definizione di continuità a funzioni di più variabili e proprietà.
- Una generalizzazione del teorema di Bolzano: introduce gli insiemi connessi per archi e convessi.
- Capitolo 2: Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
- Derivate rispetto a un vettore e derivate parziali: definizioni, base canonica e relazione con la continuità.
- Funzioni di classe C1: introduzione del gradiente e del differenziale totale.
- Derivate di ordine superiore: definizioni di derivate seconde, terze e teorema di Schwarz.
- La formula di Taylor: polinomio di Taylor e resto.
- Estremanti relativi, punti critici, punti di sella: criteri per l'identificazione, forme quadratiche.
- Derivate di funzioni a valori vettoriali: definizioni e matrice jacobiana.
- Derivate di funzioni composte ("chain rule"): teorema di derivazione per funzioni composte.
- Teorema di Dini, invertibilità locale, moltiplicatori di Lagrange: risultati sulla descrizione locale di insiemi e estremanti vincolati.
- Capitolo 3: Equazioni differenziali ordinarie
- Generalità: definizioni di equazione e soluzione locale.
- Sistemi del primo ordine: problemi di Cauchy, teoremi di Picard e Peano, soluzioni massimali.
- Sistemi di ordine superiore: generalizzazione dei problemi di Cauchy.
- Alcune classi di equazioni differenziali risolubili elementarmente: variabili separabili, omogenee.
- Equazioni differenziali ordinarie lineari: definizione, proprietà, wronskiano e metodo della variazione delle costanti.
- Capitolo 4: Misura e integrazione in Rn
- Aritmetica di [0, +∞]: estensione delle operazioni aritmetiche.
- Intervalli n-dimensionali e loro volumi: definizione di lunghezza e volume n-dimensionale.
- Misura esterna: definizione e proprietà.
- Gli insiemi misurabili secondo Lebesgue: definizioni di misurabilità e misura di Lebesgue.
- Funzioni semplici: definizioni e proprietà dell'integrale.
- Funzioni misurabili e sommabili: estensione dell'integrale a funzioni più generali.
- Il caso unidimensionale. Integrali generalizzati: confronto con l'integrale di Riemann.
- I teoremi di riduzione: teoremi di Tonelli e Fubini per il calcolo di integrali multipli.
- Il teorema di cambiamento di variabile: formula di integrazione in coordinate diverse (polari, cilindriche, sferiche).
- Capitolo 5: Integrali curvilinei e campi vettoriali
- Cammini e loro lunghezza: definizioni di cammino, rettificabilità e lunghezza.
- Integrali curvilinei: introduzione di integrali di prima e seconda specie, con interpretazione fisica.
- Campi vettoriali e loro potenziali: definizioni di campo vettoriale, potenziale, campo chiuso, esatto e conservativo.
- Capitolo 6: Integrali di superficie, formule di Gauss-Green e di Stokes
- Le formule di Gauss-Green nel piano: definizioni di dominio regolare e versore normale esterno.
- Il prodotto vettoriale in R3: definizione e proprietà.
- Superfici, area e integrali di superficie: definizioni di superficie regolare, parametrizzazione, area e integrale di superficie.
- Le formule di Gauss-Green in R3: teorema della divergenza.
- La formula di Stokes: introduzione del rotore e del teorema di Stokes.
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