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Asintoticità in limiti di funzioni: definizione, proprietà e esempi. Si dice che \(f(x)\sim g(x)\) per \(x\to c\) se \(\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\). Proprietà: riflessiva, transitiva, con costanti, prodotti/quozienti. Esempi: \(\sin x \sim x\), \(1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}\), ecc. Attenzione alle condizioni di applicazione e all'operazione di composizione/somma.
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- Definizione di asintoticità: due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) sono asintotiche per \(x \to c\) se \(\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\), notando che si scrive anche \(f(x) \sim g(x)\).
- Proprietà dell'asintoticità: è riflessiva e transitiva, e una funzione asintotica a una costante \(l\) tende a \(l\) per \(x \to c\); operazioni come prodotti, quozienti e potenze preservano l'asintoticità.
- Avvertenze: è importante specificare il punto di asintoticità, non confondere l'asintoticità con l'uguaglianza, e in generale l'asintoticità non si conserva per la composizione o la somma di funzioni.
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