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LEZIONI DI CALCOLO NUMERICO
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Di cosa parla
- Introduzione: Il corso fornisce un'introduzione al calcolo scientifico, illustrando metodi numerici per risolvere approssimativamente problemi matematici di interesse applicativo che non possono essere risolti analiticamente. Si concentra sul calcolo di zeri di funzioni, sistemi lineari, autovalori, integrazione e approssimazione di funzioni, con un'attenzione particolare al condizionamento, stabilità e complessità degli algoritmi, supportato da esercitazioni MATLAB.
- L'Aritmetica del Calcolatore: Esplora la rappresentazione dei numeri in virgola mobile (floating-point), i numeri di macchina, la precisione di macchina (IEEE 754), e la gestione di underflow e overflow, oltre alle proprietà delle operazioni aritmetiche in macchina.
- Analisi degli Errori: Differenzia tra errore inerente (legato al problema, condizionamento), errore algoritmico (legato all'implementazione, stabilità) ed errore totale, introducendo tecniche di analisi in avanti e all'indietro.
- Problemi dell'Algebra Lineare Numerica: Tratta norme vettoriali e matriciali, il condizionamento di sistemi lineari (numero di condizione) e il calcolo degli autovalori, includendo teoremi di localizzazione come i cerchi di Gershgorin.
- Metodi Diretti per Sistemi Lineari: Illustra la risoluzione di sistemi triangolari tramite sostituzione all'indietro e il metodo di eliminazione gaussiana, con la fattorizzazione LU e le tecniche di pivoting per la stabilità numerica.
- Metodi Iterativi per Sistemi Lineari: Presenta i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel per sistemi sparsi o di grandi dimensioni, analizzando i criteri di convergenza basati sul raggio spettrale e la predominanza diagonale.
- Metodo delle Potenze: Descrive l'algoritmo per il calcolo dell'autovalore e dell'autovettore dominante, le varianti come il metodo delle potenze inverse e con shift, e il quoziente di Rayleigh.
- L'algoritmo di PageRanking: Spiega il funzionamento dell'algoritmo PageRank, basato su un modello iterativo per quantificare l'importanza relativa delle pagine web.
- Problemi Numerici nell'Approssimazione: Introduce l'approssimazione di zeri, polinomiale di funzioni e integrale definito, discutendo le sfide computazionali e il condizionamento.
- Metodi Numerici per Zeri di Funzioni: Dettaglia il metodo di bisezione, i metodi di iterazione funzionale (punto fisso, convergenza lineare/quadratica) e il metodo di Newton (delle tangenti), oltre all'algoritmo di Horner per equazioni algebriche.
- Interpolazione Polinomiale e Integrazione Numerica: Copre l'interpolazione polinomiale (esistenza/unicità, forme di Lagrange e Newton), l'errore di interpolazione (teorema del resto, fenomeno di Runge) e le formule di quadratura di Newton-Cotes (trapezi, Simpson) per l'integrazione numerica.
- Politiche di Vaccinazione e Modelli Epidemiologici: Introduce il modello SIR per la diffusione delle malattie, illustrando la risoluzione numerica dei sistemi di equazioni differenziali tramite formule di quadratura, come la formula dei trapezi.
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