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Formula di Taylor
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Forma di Taylor: Per un punto \(x_0\), la formula di Taylor è data da:
\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) \]
Esempio:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \text{ per } x \to 0 \]
Forma compatta:
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n) \]
Esempio con \( x \to 0 \):
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \]
Limiti:
\[ \lim_{x \to 0} \left( e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2}) \right) = 0 \]
Leggi il riassunto completo
- Formula di Taylor per una funzione \( f \) in un punto \( x_0 \):
P\(_{A} = L'f(x_0)(x-x_0)^0 + \frac{L'f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1 + \frac{L'f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{L'f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o(x-x_0)^n\) - Forma compatta del polinomio di Taylor:
P\(_{A} = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\) - Esempio di sviluppo di Taylor per \( e^x \) in \( x=0 \):
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + o(x^n)\)
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ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA · 1° anno · 12 CFU · MATH-03/A
Al termine dell'insegnamento, lo studente o la studentessa avrà acquisito: Conoscenza e comprensione dei concetti fondamentali dell’analisi matematica, in particolare delle proprietà dei numeri reali e del concetto di limite. Capacità di applicare conoscenza e comprensione al calcolo di limiti di funzioni reali di…