Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi 2
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Esercizio 1: Calcolato il prodotto scalare di tutti i possibili paari tra i vettori unitari ~i, ~j e ~k. Risultato indipendente dall'ordine, operazione commutativa.
Esercizio 2: Trovata l'espressione della norma di un vettore ~u utilizzando le sue componenti.
Esercizio 3: Bisettrice nel primo ortante di spazio; angolo con l'asse x ≈ 55°.
Esercizio 4: Verificato ~j × ~k = ~i, ~i × ~k = −~j, ~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = ~0.
Esercizio 5: Dimostrazione della formula del prodotto vettoriale.
Esercizio 6: Se ~u, ~v e ~w sono piani, il volume del parallelepipedo formato da essi è zero; se ~u × ~v · ~w = 0, allora i vettori sono coplanari.
Leggi il riassunto completo
- Calcolo del prodotto scalare tra i vettori unitari \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\): il risultato non dipende dall'ordine di scelta, quindi l'operazione è commutativa.
- Calcolo della norma di un vettore \(\mathbf{u} = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}\): \(k\mathbf{u}k = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}\).
- Calcolo dell'angolo tra la bisettrice del primo ortante e l'asse x in spazio: \(arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 55^\circ\), più grande di quello bidimensionale.
- Prodotti vettoriali: \(\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}\), \(\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}\); \(\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{0}\), analogamente per \(\mathbf{j} \times \mathbf{j}\) e \(\mathbf{k} \times \mathbf{k}\).
- Formula del prodotto vettoriale: \(\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}) \times (w_x\mathbf{i} + w_y\mathbf{j} + w_z\mathbf{k})\).
- Dimostrazione della formula del prodotto misto: se \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\) sono piani, il volume della cassetta formata da essi è 0; viceversa, se il prodotto misto è 0, i vettori sono coplanari.
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Linear algebra and geometry · 1° anno · 2° semestre · 10 CFU · MAT/03
This course wants to develop the student's ability to understand logical arguments stressing the role of the hypothesis, for example by building examples and counterexamples. The student acquires tools and techniques to work with geometrical objects (vectors in the plane and i the space, lines, planes, conics and…