Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi 2
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Di cosa parla
- Calcolo del prodotto scalare tra i vettori unitari \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) e \(\mathbf{k}\): il risultato non dipende dall'ordine di scelta, quindi l'operazione è commutativa.
- Calcolo della norma di un vettore \(\mathbf{u} = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}\): \(k\mathbf{u}k = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}\).
- Calcolo dell'angolo tra la bisettrice del primo ortante e l'asse x in spazio: \(arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 55^\circ\), più grande di quello bidimensionale.
- Prodotti vettoriali: \(\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}\), \(\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}\); \(\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{0}\), analogamente per \(\mathbf{j} \times \mathbf{j}\) e \(\mathbf{k} \times \mathbf{k}\).
- Formula del prodotto vettoriale: \(\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}) \times (w_x\mathbf{i} + w_y\mathbf{j} + w_z\mathbf{k})\).
- Dimostrazione della formula del prodotto misto: se \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\) sono piani, il volume della cassetta formata da essi è 0; viceversa, se il prodotto misto è 0, i vettori sono coplanari.
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