Dispense VERIFICATO
Algebra e geometria
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Di cosa parla
- Spazi Vettoriali: Definizione di spazio vettoriale (V, +, •) su un campo K (numeri reali), con proprietà di gruppo commutativo per la somma e distributività/associatività per il prodotto esterno. Elementi chiamati scalari e vettori.
- Sottospazi Vettoriali: Insiemi U ⊆ V chiusi rispetto a somma e prodotto esterno. Esempi includono R², Rⁿ, spazi di matrici e rette/piani passanti per l'origine.
- Combinazioni e Indipendenza Lineare: Un vettore è combinazione lineare di altri. L'indipendenza lineare si verifica se l'unica combinazione lineare che produce il vettore nullo ha tutti i coefficienti a zero. Il rango di una matrice è fondamentale per determinare l'indipendenza.
- Basi e Dimensione: Una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio. La dimensione è il numero di vettori in una base. Importante la base canonica.
- Prodotto Scalare e Basi Ortonormali: Il prodotto scalare (dot product) definisce l'ortogonalità tra vettori. Le basi ortonormali hanno vettori di norma 1 e ortogonali tra loro. Il processo di Gram-Schmidt permette di ortogonalizzare una base.
- Applicazioni Lineari: Funzioni tra spazi vettoriali che preservano le operazioni di somma e prodotto per scalare. Concetti chiave sono l'immagine (Im f) e il nucleo (Ker f), entrambi sottospazi. Il teorema delle dimensioni (Rank-Nullity Theorem) lega le dimensioni di dominio, immagine e nucleo.
- Matrice Associata: Ogni applicazione lineare può essere rappresentata da una matrice, le cui colonne sono le immagini dei vettori della base di partenza espresse nella base di arrivo. Il rango della matrice associata coincide con la dimensione dell'immagine.
- Autovalori e Autovettori: Gli autovettori sono vettori che, trasformati da un'applicazione lineare, cambiano solo di scala (l'autovalore). Gli autovalori si trovano risolvendo l'equazione caratteristica det(A - hI) = 0. Gli autospazi sono gli spazi vettoriali formati dagli autovettori relativi a un dato autovalore.
- Molteplicità Algebrica e Geometrica: La molteplicità algebrica di un autovalore è quante volte è radice del polinomio caratteristico; la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio corrispondente. Un autovalore è "regolare" se le sue molteplicità algebrica e geometrica coincidono.
- Diagonalizzazione: Una matrice è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale. Questo è possibile se e solo se l'applicazione lineare associata ammette una base di autovettori, il che accade quando tutti gli autovalori sono regolari.
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