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Di cosa parla
- Un punto a \in \mathbb{R} è l'estremo superiore di un insieme A \subseteq \mathbb{R} se e solo se è il maggiorante di A e in ogni intorno sinistro di A ci sono elementi di A.
- L'estremo inferiore si caratterizza con gli intorni destri sostituendo gli intorni sinistri.
- Dato A = (0,1), allora \sup A = 1 e per ogni e > 0 esiste x \in A tale che x > 1 - e.
- Il prodotto cartesiano di insiemi è definito come l'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con a \in A, b \in B. Per A \times A si ha lo stesso concetto.
- R2 rappresenta il piano cartesiano e una coppia ordinata (x, y) è un vettore. Le sottosezioni di R2 come l'asse verticale A = {(0, y) : y \in \mathbb{R}} e l'asse orizzontale B = {(x, 0) : x \in \mathbb{R}} sono definiti.
- R3 rappresenta lo spazio tridimensionale con le operazioni di somma vettoriale e prodotto per uno scalare che definiscono un spazio vettoriale. Il prodotto scalare è definito come la somma ponderata delle componenti.
- In Rn, l'addizione e il prodotto per uno scalare sono distributivi e soddisfano le proprietà dell'elemento neutro e dell'opposto. L'ordine parziale in Rn è definito componentemente.
- Le disuguaglianze strette o forti in Rn sono definite componentemente, mantenendo le proprietà riflessiva, transitiva e indipendente ma non complete.
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