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ESAMI METODI E SOLUZIONI
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Questo documento contiene due prove d'esame per Metodi Quantitativi per Economisti, incentrate sull'analisi matematica e l'algebra lineare. Si affrontano l'analisi di funzioni reali di una variabile (dominio, asintoti, derivata, grafico, codominio) e di più variabili (dominio, punti stazionari, estremi assoluti su domini ristretti, limitatezza). Vengono inoltre risolti sistemi lineari omogenei e non omogenei con parametri. Un esercizio facoltativo esplora la tangenza di curve di livello o la monotonia di funzioni parametriche. Essenziale per la preparazione all'esame.
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- Esame del 11 Febbraio 2020:
- Esercizio 1 (Analisi di funzione f(x) = log((1+3x)/(2x))):
- Calcolo del dominio, intersezioni con gli assi, studio del segno ed eventuali asintoti orizzontali e verticali.
- Determinazione della derivata prima e rappresentazione grafica della funzione.
- Indicazione del codominio della funzione.
- Esercizio 2 (Sistemi lineari con parametro h):
- Risoluzione del sistema lineare non omogeneo A·x = b, variando il parametro h.
- Risoluzione del sistema lineare omogeneo A·x = 0, variando il parametro h.
- Esercizio 3 (Analisi di funzione multivariata f(x, y) = 2^(x^2y-4y+x)):
- Disegno del dominio e dimostrazione che la funzione non è limitata superiormente.
- Identificazione degli eventuali punti stazionari della funzione.
- Determinazione dei punti di massimo e minimo assoluto di f su un rettangolo R specificato, e indicazione del codominio di f ristretta a R.
- Esercizio 4 (Facoltativo - Tangenza): Dimostrazione dell'inesistenza di k ∈ R tale che la retta y - x - k = 0 sia tangente alla curva di livello 1 della funzione f(x, y) = √y - √x.
- Esercizio 1 (Analisi di funzione f(x) = log((1+3x)/(2x))):
- Esame del 13 Gennaio 2020:
- Esercizio 1 (Analisi di funzione f(x) = x / (4x - 3) * e^(3x)):
- Calcolo del dominio, intersezioni con gli assi, studio del segno ed eventuali asintoti orizzontali e verticali.
- Determinazione della derivata prima e rappresentazione grafica della funzione.
- Indicazione del codominio della funzione.
- Esercizio 2 (Sistemi lineari con parametro k):
- Risoluzione del sistema lineare non omogeneo A·x = b, variando il parametro k.
- Risoluzione del sistema lineare omogeneo A·x = 0, variando il parametro k.
- Esercizio 3 (Analisi di funzione multivariata f(x, y) = log(xy - 2y) + 2):
- Disegno del dominio, specificandone la convessità, e della curva di livello 2.
- Dimostrazione che la funzione non è limitata superiormente.
- Determinazione dei punti di massimo e minimo assoluto di f su un triangolo T specificato, e indicazione del codominio di f ristretta a T.
- Esercizio 4 (Facoltativo - Monotonia): Studio della monotonia della funzione f(x) = √(e^(tx - 2tx^2)) e del suo comportamento a +∞ e -∞, al variare del parametro t.
- Esercizio 1 (Analisi di funzione f(x) = x / (4x - 3) * e^(3x)):
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