Domande d'esame VERIFICATO
exam december 2018
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Riassunto AI · si legge in un minuto
Questo documento, un esame di Quantitative Finance and Derivatives, tratta argomenti chiave nella modellazione finanziaria. Include problemi sui modelli di Bachelier per le distribuzioni dei prezzi degli asset, opzioni put americane con modelli binomiali e pricing di opzioni Black-Scholes. Ulteriori sezioni approfondiscono la derivazione dei prezzi delle opzioni tramite valutazione risk-neutral, la verifica della soddisfazione della PDE e la comprensione dell'hedging A-neutral. Esplora anche il modello di Vasicek per i tassi di interesse, confrontando probabilità storiche e risk-neutral per media e varianza di lungo periodo, applicandoli alla valutazione dei bond zero-coupon. L'attenzione è sulla derivazione teorica e applicazione pratica dei modelli quantitativi finanziari.
Leggi il riassunto completo
- Applicazione del Modello di Bachelier:
- Esamina due modelli di Bachelier indipendenti per i prezzi degli asset (Xt, Yt) con drift e volatilità specificati.
- Calcola la distribuzione, la media e la varianza per portafogli come (Xt + 3Yt) e (2Xt - 3Yt), sfruttando le proprietà delle variabili casuali Gaussiane.
- Modello Binomiale per Opzioni Americane:
- Analizza un'opzione Put americana con prezzo iniziale S0=10, strike K=12 e scadenza T=1 anno, sotto un modello binomiale a due semestri con probabilità storica del 50% di aumento del 25% o diminuzione del 20%, e un tasso di interesse risk-free del 4%.
- Determina l'ottimalità dell'esercizio anticipato e calcola il prezzo iniziale dell'opzione.
- Spiega che il prezzo dell'opzione rimane costante indipendentemente dalle probabilità storiche, poiché è calcolato utilizzando probabilità risk-neutral.
- Modello Black-Scholes per Pricing di Opzioni e Hedging:
- Deriva il prezzo dell'opzione al tempo t per un payoff di St sotto un modello Black-Scholes utilizzando la valutazione risk-neutral.
- Verifica che il prezzo dell'opzione ottenuto soddisfi l'equazione differenziale parziale (PDE) di Black-Scholes.
- Affronta l'hedging A-neutral per un'opzione cash-or-nothing (payoff 100 se St ≥ 100) sotto Black-Scholes, calcolando il prezzo iniziale e il numero di unità dell'asset sottostante necessarie per l'hedging.
- Modello di Vasicek per i Tassi di Interesse:
- Descrive il processo del tasso di interesse spot (rt) sotto il modello di Vasicek con parametri (velocità a, livello b, volatilità σ) sotto probabilità storica e un prezzo di mercato del rischio λ costante.
- Formula il modello sotto la probabilità risk-neutral.
- Confronta la media e la varianza di lungo periodo sotto probabilità storiche e risk-neutral, evidenziando che la varianza rimane la stessa ma la media cambia.
- Calcola il prezzo di un bond zero-coupon con un valore nominale e una scadenza dati, utilizzando i parametri del modello di Vasicek sotto probabilità risk-neutral.
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QUANTITATIVE FINANCE AND DERIVATIVES · 1° anno · 1° semestre · 9 CFU · STAT-04/A
DD1. Conoscenza e capacità di comprensione. Al termine del corso, lo studente avrà acquisito conoscenze avanzate e sistematiche nell’ambito della finanza quantitativa, con particolare riferimento ai modelli per gli asset finanziari, la valutazione delle opzioni, la copertura dal rischio. Saranno inoltre consolidate…