Domande d'esame VERIFICATO
exam december 2018
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Di cosa parla
- Applicazione del Modello di Bachelier:
- Esamina due modelli di Bachelier indipendenti per i prezzi degli asset (Xt, Yt) con drift e volatilità specificati.
- Calcola la distribuzione, la media e la varianza per portafogli come (Xt + 3Yt) e (2Xt - 3Yt), sfruttando le proprietà delle variabili casuali Gaussiane.
- Modello Binomiale per Opzioni Americane:
- Analizza un'opzione Put americana con prezzo iniziale S0=10, strike K=12 e scadenza T=1 anno, sotto un modello binomiale a due semestri con probabilità storica del 50% di aumento del 25% o diminuzione del 20%, e un tasso di interesse risk-free del 4%.
- Determina l'ottimalità dell'esercizio anticipato e calcola il prezzo iniziale dell'opzione.
- Spiega che il prezzo dell'opzione rimane costante indipendentemente dalle probabilità storiche, poiché è calcolato utilizzando probabilità risk-neutral.
- Modello Black-Scholes per Pricing di Opzioni e Hedging:
- Deriva il prezzo dell'opzione al tempo t per un payoff di St sotto un modello Black-Scholes utilizzando la valutazione risk-neutral.
- Verifica che il prezzo dell'opzione ottenuto soddisfi l'equazione differenziale parziale (PDE) di Black-Scholes.
- Affronta l'hedging A-neutral per un'opzione cash-or-nothing (payoff 100 se St ≥ 100) sotto Black-Scholes, calcolando il prezzo iniziale e il numero di unità dell'asset sottostante necessarie per l'hedging.
- Modello di Vasicek per i Tassi di Interesse:
- Descrive il processo del tasso di interesse spot (rt) sotto il modello di Vasicek con parametri (velocità a, livello b, volatilità σ) sotto probabilità storica e un prezzo di mercato del rischio λ costante.
- Formula il modello sotto la probabilità risk-neutral.
- Confronta la media e la varianza di lungo periodo sotto probabilità storiche e risk-neutral, evidenziando che la varianza rimane la stessa ma la media cambia.
- Calcola il prezzo di un bond zero-coupon con un valore nominale e una scadenza dati, utilizzando i parametri del modello di Vasicek sotto probabilità risk-neutral.