matematica

Conoscenze e capacità di comprensioneAl termine del corso, lo studente/la studentessa avrà acquisito una comprensione approfondita della Teoria dei Gruppi e dei metodi fondamentali dell’algebra astratta. Sarà in grado di riconoscere, descrivere e confrontare queste strutture, comprendendone le proprietà e le relazioni tra di esse. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente/la studentessa sarà in grado di applicare i concetti teorici appresi per risolvere problemi di algebra, sia attraverso esercizi di routine che in contesti più complessi che richiedano una rielaborazione autonoma della teoria. Sarà in grado di utilizzare metodi algebrici per formalizzare e affrontare problemi in contesti matematici e, dove opportuno, interdisciplinari. Autonomia di giudizioLo studente/la studentessa svilupperà la capacità di analizzare problemi algebrici in modo critico, valutando diverse strategie risolutive e scegliendo gli strumenti più adeguati. Sarà in grado di formulare congetture e di argomentarne la validità attraverso ragionamenti logici rigorosi. Abilità comunicativeLo studente/la studentessa sarà in grado di esprimere concetti, definizioni, teoremi e dimostrazioni in modo chiaro e rigoroso, utilizzando il linguaggio formale dell’algebra. Sarà anche in grado di discutere soluzioni e strategie con colleghi e docenti, sia oralmente che per iscritto. Capacità di apprendereIl corso fornirà agli studenti/gli studentesse gli strumenti concettuali e metodologici necessari per proseguire in modo autonomo lo studio dell’algebra e di aree matematiche affini. Saranno incoraggiati a sviluppare un approccio attivo all’apprendimento, attraverso la risoluzione di problemi, la consultazione di testi avanzati e la riflessione personale sul significato e sull’applicazione dei concetti.

Divisione con resto per numeri interi e polinomi. Massimo comun divisore e Algoritmo di Euclide per numeri interi e polinomi. Equazioni diofantee lineari in Z. Numeri primi e irriducibili. Primo se e solo se irriducibile in Z. Teorema Fondamentale dell'Artimetica. Teorema di Euclide sui numeri primi. Congruenza modulo n. Classi di resto. Insieme quoziente Z/nZ. Congruenze lineari e Teorema cinese del resto in Z. Teoria elementare dei gruppi. Operazioni binarie. Definizione di gruppo ed esempi notevoli. Sottogruppi. Esempi notevoli. Criterio per i sottogruppi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Sottogruppi di Z. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Un gruppo ciclico finito ha uno e un solo sottogruppo di ordine d, per ogni divisore d dell'ordine del gruppo. Funzione di Eulero. Generatori di un gruppo ciclico finito. Permutazioni, cicli, scrittura di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti. Ordine di una permutazione. Parita' di una permutazione. Il gruppo alterno. Teorema di Lagrange. Piccolo Teorema di Fermat. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Morfismi. Nucleo e immagine. Teoremi di omomorfismo. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Caratterizzazione del prodotto diretto. Azione di un gruppo su un insieme. Orbita e stabilizzatore. Relazione orbita-stabilizzatore. Esempi notevoli di azioni (rappresentazione regolare, coniugio sugli elementi e sui sottogruppi, normalizzante di un sottogruppo). Teorema di Cayley.Gruppi diedrali. Formula di Burnside. Collane di perline. Teoremi di Sylow. Applicazioni alla semplicita' di un gruppo finito.

Prova scritta obbligatoria e prova orale facoltativa a richiesta dello studente o del docente. Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30. Nella prova scritta si valutano la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite, mediante la risoluzione di problemi. Verranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e la chiarezza dell'esposizione. Sono previste 2 prove intermedie. La prova orale consiste in un’interrogazione sul programma svolto e può essere richiesta solo in caso di sufficienza (18/30) nella prova scritta. Per verbalizzare un voto maggiore di 27/30 e' obbligatorio sostenere anche la prova orale. Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame e 2 prove intermedie.

Testo di riferimento:I. N. Herstein, Algebra, Editori RiunitiSaranno fornite, su questa piattaforma, agli studenti/studentesse delle note integrative su alcuni argomenti del corso. Altri testi consigliati:Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985

Conoscenza e capacità di comprensioneAl termine del corso, lo studente avrà acquisito le conoscenze fondamentali relative all'architettura dei sistemi informatici e delle reti di calcolatori, nonché una comprensione critica dei principali paradigmi di programmazione, con particolare focus sul paradigma imperativo.Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di analizzare problemi computazionali di complessità elementare, progettare algoritmi risolutivi appropriati e implementarli efficacemente utilizzando il linguaggio di programmazione Java, dimostrando padronanza delle tecniche di programmazione imperativa.Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di valutare criticamente l'appropriatezza di diverse soluzioni algoritmiche, confrontare l'efficienza di approcci alternativi e selezionare le strategie di programmazione più adeguate in relazione al contesto del problema da risolvere.Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di documentare il proprio codice in modo chiaro e professionale, spiegare le scelte implementative adottate e comunicare efficacemente i risultati del proprio lavoro di programmazione utilizzando il linguaggio tecnico appropriato.Capacità di apprendimentoLo studente acquisirà le competenze metodologiche necessarie per approfondire autonomamente nuovi linguaggi di programmazione, tecnologie informatiche e paradigmi di sviluppo software, costruendo le basi per un apprendimento continuo nel campo dell'informatica applicata alla matematica.Obiettivi di sviluppo sostenibileIstruzione di qualità

Programma: Architettura dei sistemi informatici Cenni di architettura dei calcolatori e codifica dell'informazione Cenni di sistemi operativi Cenni di reti di telecomunicazioni Programmazione strutturata in Java Gerarchia dei linguaggi di programmazione, compilatori e interpreti La Java Virtual Machine Algoritmi e programmi Tipi di dati primitivi. Strutture di controllo selettive e iterative Array di tipi primitivi Metodi, definizione ed invocazione Ricorsione

Modalità dell’esame Prova scritta e prova orale facoltativa (a richiesta dello studente che abbia ottenuto valutazione dello scritto almeno pari a 26/30). Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30. La prova orale, che può riguardare sia domande teoriche che svolgimento di esercizi pratici di programmazione, ha peso inferiore alla prova scritta, determinando un incremento massimo di 4 punti rispetto al risultato della prova scritta ed è necessaria per l'ottenimento della lode. La prova scritta è divisa in due parti: nella prima si valutano, attraverso una serie di domande a risposta chiusa, le conoscenze dei fondamenti teorici della programmazione strutturata; nella seconda, si valuta, attraverso l'implementazione di un semplice programma software, la capacità di realizzare in pratica un programma in grado di risolvere correttamente un semplice problema applicativo, rispondendo alle specifiche del problema da risolvere e rispettando i principi della programmazione presentati a lezione, senza generare errori (di compilazione, a runtime o logici).La media aritmetica (eventualmente pesata) dei voti conseguiti nelle due parti definisce il voto proposto allo studente, che, se sufficiente, ha la facoltà di accettarlo o modificarlo attraverso lo svolgimento di un orale integrativo (eventualmente peggiorandolo nel caso la prova orale non sia soddisfacente). La prova orale può essere sostenuta solo in caso di voto allo scritto pari ad alemo 26/30. Il docente si riserva la facoltà di richiedere un supplemento di indagine, attraverso una prova orale obbligatoria, nei casi in cui la prova scritta, pur essendo valutata sufficiente, presenti delle criticità: ad esempio, insufficienza nella parte teorica e parte pratica molto soddisfacente, o viceversa. Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame nei seguenti periodi: uno nel mese di giugno, uno a luglio, uno a settembre, uno a gennaio e due a febbraio. Durante il periodo del corso si tengono due prove scritte parziali che, in caso di esito complessivo positivo, permetteranno di verbalizzare il voto al temrine del corso (6 prova d'esame).

Tutte le informazioni sul corso, le slide presentate a lezione e le esercitazioni da svolgere in laboratorio verranno fornite tramite la piattaforma elearning di ateneo all’indirizzo elearning.unimib.it. Testo di riferimento: W. Savitch: "Programmazione di base e avanzata con Java", a cura di Daniela Micucci, 3° edizione, Pearson

In linea con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, lo scopo di questo insegnamento è trasmettere conoscenze basilari nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi, sviluppare competenze utili ad analizzare e comprendere risultati fondamentali e tecniche dimostrative tipiche della teoria, maturare abilità nella risoluzione di esercizi e nell'affrontare problemi. Più precisamente gli obiettivi, secondo i Descrittori di Dublino, sono i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza nell'ambito della topologia generale e della geometria degli spazi euclidei e proiettivi,. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa, affiancata da esempi e applicazioni concrete. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi topologici, analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni. Sarà affinata la capacità di riconoscere e utilizzare modelli topologici. .Autonomia di giudizio: l'insegnamento mira a sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico; selezionare autonomamente metodi risolutivi appropriati a seconda del problema. Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di esprimere concetti matematici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto. Capacità di apprendimento: l''insegnamento fornisce agli studenti gli strumenti per proseguire in autonomia lo studio in diversi aspetti della matematica.

Spazi topologici e applicazioni continue. Spazi metrici e loro topologia. Strutture topologiche. Base di una topologia. Sottoinsiemi di uno spazio topologico. Funzioni continue e omeomorfismi. Esempi di spazi topologici. Sottospazi. Prodotti. Quozienti. Proprietà topologiche. Proprietà di separazione e spazi di Hausdorff. Compattezza. Compattezza e completezza in spazi metrici. Connessione. Connessione per archi. Locale euclideità e cenni alle varietà topologiche. Spazi euclidei e spazi proiettivi. Cenni sulla geometria degli spazi euclidei e degli spazi proiettivi.

L'esame è strutturato in tre prove. Prova teorica - Si deve rispondere a dieci domande a risposta multipla. La valutazione avviene assegnando 3 punti per una risposta corretta, -1 punto per una risposta errata, 0 punti per una domanda lasciata senza risposta. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15. Prova scritta - Si devono risolvere alcuni esercizi (simili a quelli svolti nelle esercitazioni) in 120 minuti. Di ogni soluzione saranno valutati la completezza, la correttezza, il rigore e la chiarezza. La prova è valutata in trentesimi. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio non inferiore a 15. La prova teorica e la prova scritta si svolgono nello stesso giorno, una di seguito all'altra. Prova orale - Si deve rispondere a domande su argomenti trattati durante il corso o su esercizi simili a quelli assegnati settimanalmente e discussi negli incontri di tutorato. Per essere ammessi alla prova orale è necessario avere ottenuto almeno 15 punti sia nella prova teorica che nella prova scritta. Di ogni risposta saranno valutati la completezza, la correttezza, il rigore e la chiarezza. Il voto proposto al termine della prova orale terrà conto del punteggio ottenuto nella prova teorica e costituirà il voto finale dell'esame. Sono previsti esoneri dalle prove Esonero dalla prova orale - Chi nella prova teorica e scritta ottiene punteggi T e S non inferiori a 20 può evitare la prova orale e verbalizzare direttamente il voto minimo tra (T+S)/2 e 24. Si noti che senza la prova orale non è possibile verbalizzare un voto maggiore di 24, anche se per esempio T=S=30. Esonero dalle prove teorica e scritta - Durante il corso sono previste due prove parziali che, se superate, permettono di sostenere direttamente la prova orale in uno dei primi due appelli d'esame. Per ogni prova parziale sono assegnati un punteggio per la parte teorica (T1, T2) ed uno per la parte scritta (S1, S2). Chi avrà superato entrambe le prove si troverà nella condizione di chi ha sostenuto le prove scritte in un appello ordinario ottenendo T=T1+T2 e S=S1+S2. Questo esonero non è compatibile con l'esonero dalla prova orale. Il fallimento della prova orale o non accettare il voto finale comporta di dover ripetere l'esame comprese le prove teorica e scritta. La prova scritta, se superata, permette di sostenere la prova orale nell'appello in cui è stata affrontata o in quello immediatamente successivo.

i di riferimento: E. Sernesi, Geometria, vol. I-II. Bollati-Boringhieri (1989, 1994). M. Manetti, Topologia, 2a edizione. Springer-Verlag (2014). Letture consigliate: C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli (1988). J. R. Munkres, Topology, 2nd edition. Prentice Hall (2000).

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti. Più precisamente gli obiettivi, secondo i Descrittori di Dublino, sono i seguenti:(1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza dei concetti di base dell'algebra lineare e della geometria, con particolare riferimento agli spazi vettoriali, alle applicazioni lineari, alla diagonalizzazione di endomorfismi, alle forme bilineari simmetriche e prodotti scalari, alle strutture geometriche in spazi euclidei. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa, affiancata da esempi e applicazioni concrete.(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi algebrici e geometrici, analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni. Saranno proposte attività ed esercitazioni volte ad affinare la capacità di riconoscere e utilizzare modelli algebrici e geometrici.(3) Autonomia di giudizio: l'insegnamento mira a sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico e individuare eventuali errori logici; selezionare autonomamente metodi risolutivi appropriati a seconda del problema. Tali competenze saranno coltivate anche mediante la discussione di più metodi risolutivi per lo stesso problema e la riflessione sulla scelta di definizioni o approcci alternativi.(4) Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di esprimere concetti matematici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto e esporre una dimostrazione in maniera coerente e comprensibile. Si promuove l’uso del linguaggio matematico formale, ma anche l’abilità di tradurre concetti in termini più accessibili.(5) Capacità di apprendimento: l''insegnamento intende fornire agli studenti gli strumenti per proseguire in autonomia lo studio dell’algebra e della geometria a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, facendo uso delle conoscenze pregresse, utilizzare fonti diverse (libri di testo, appunti, articoli) per approfondire e aggiornare le proprie competenze. L'insegnamento contribuisce a costruire una solida base teorica su cui poggiare l'intero percorso formativo della laurea in matematica.

Sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo: metodo di riduzione di Gauss, teorema di Rouchè-Capelli. Calcolo matriciale: prodotto matriciale, rango di matrici, anello delle matrici quadrate e matrici invertibili. Spazi vettoriali: generatori, basi e dimensione; sottospazi; teorema di Grasmann. Applicazioni lineari: nucleo e immagine, teorema di nullità +rango, rappresentazione matriciale, isomorfismi. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà; teoremi di Laplace e Binet. Autovalori e autovettori di un endomorfismo; polinomio caratteristico di endomorfismi di spazi vettoriali finitamente generati; diagonalizzabilità di endomorfismi. Spazio duale e base duale. Prodotti scalari, basi ortogonali e teorema di Sylvester; spazi euclidei e processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Operatori autoaggiunti e teorema spettrale. Spazi affini, riferimenti affini, sottospazi affini e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità. Cenni alla classificazione euclidea delle coniche.

La verifica del profitto si articola in due prove, una scritta ed una orale, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore del linguaggio matematico e della chiarezza delle risposte fornite. La Prova scritta prevede: una prima parte che consiste di quesiti a risposta multipla, il cui superamento è necessario per la valutazione della parte rimanente; una seconda parte che consiste di esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, utili a valutare la capacità di applicare i risultati teorici nella risoluzione di problemi e di quesiti teorici, in cui è richiesto di fornire definizioni ed enunciati di teoremi, di discutere esempi e aspetti di argomenti trattati nel corso, di riprodurre verifiche o semplici dimostrazioni, allo scopo di valutare le conoscenze delle nozioni e concetti fondamentali presentati nel corso.Il punteggio massimo è di 33 punti, di cui fino a 24 per la risoluzione degli esercizi e fino a 9 per i quesiti teorici. La prova si intende superata ottenendo un punteggio complessivo non inferiore a 18. Prova orale. L'ammissione a questa prova è subordinata al superamento della prova scritta. L'orale inizia con la discussione della prova scritta e prosegue con la richiesta di definizioni, di esempi e/o controesempi dei concetti introdotti nel corso, di enunciati e dimostrazioni dei Teoremi presentati a lezione, al fine di verificare la conoscenza e padronanza dei contenuti del corso e la capacità di rielaborare i concetti appresi e di esporli in modo rigoroso. L'esame si intende superato solo se la prova orale è sufficiente.Il voto proposto al termine della prova orale tiene conto anche del punteggio della prova scritta e costituisce il voto finale dell'esame. L'esame è superato se il voto finale è pari a 18 o superiore. È possibile essere esonerati dalla prova orale. Gli studenti che hanno superato la prova scritta con punteggio S, hanno due possibilità: sostenere la prova orale; registrare il punteggio minimo tra S e 27. Si noti altresì che per verbalizzare un voto maggiore di 27 è necessario sostenere la prova orale.E' discrezione dei docenti richiedere un orale obbligatorio qualora la parte teorica nella prova scritta dimostri gravi lacune. Sono previsti 6 appelli d'esame, le date saranno pubblicate alla pagina e-leerning del corso.

Testi consigliati: M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002. S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione. E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017 G. Catino e S. Mongoli, Esercizi svolti di Geometria e Algebra Lineare, Società Editrice ESCULAPIO. Alla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili dispense su alcuni argomenti.

**Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)Lo studente acquisirà la conoscenza dei concetti fondamentali dell'Analisi Matematica per funzioni reali di una variabile, sviluppati con rigore logico-deduttivo. Saranno compresi i fondamenti teorici del calcolo differenziale e integrale, dei limiti, delle successioni e delle serie, in coerenza con la tradizione dell’Analisi Matematica moderna. **Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding) Lo studente sarà in grado di applicare in modo autonomo e flessibile le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi, problemi matematici e situazioni applicative elementari, anche in contesti diversi da quello puramente teorico, sviluppando tecniche e strategie risolutive appropriate. **Autonomia di giudizio (Making judgements) Lo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente i concetti appresi e di valutare in modo autonomo la correttezza e la coerenza logica di definizioni, teoremi, dimostrazioni e procedimenti risolutivi. Verrà incentivata l’elaborazione personale dei contenuti e il riconoscimento dei collegamenti tra diversi ambiti dell’Analisi. **Abilità comunicative (Communication skills) Lo studente acquisirà la capacità di esporre in maniera chiara, rigorosa ed efficace i contenuti teorici, utilizzando correttamente il linguaggio matematico e logico-formale, sia in forma scritta che orale. Sarà anche in grado di presentare la soluzione di problemi ed esercizi in modo articolato e giustificato, dimostrando padronanza del lessico specialistico. **Capacità di apprendere (Learning skills) Il corso fornirà allo studente gli strumenti concettuali e metodologici necessari per affrontare con successo i successivi insegnamenti dell’area matematica. Verrà stimolata la capacità di studio autonomo e l’acquisizione di un metodo di apprendimento fondato sulla comprensione profonda, sull’argomentazione logica e sulla pratica ragionata degli esercizi.

I numeri reali. Campi e campi ordinati. Estremo superiore e estremo inferiore. Assioma di continuità. Definizione di R come campo ordinato verificante l’assioma di continuità. Insieme dei numeri naturali come più piccolo sottoinsieme induttivo di R. Simboli di sommatoria, produttoria e fattoriale. Principio di induzione. Proprietà di Archimede. Numeri interi e razionali. Irrazionalità di radice di 2. Parte intera di un numero reale, valore assoluto di un numero reale. Densità di Q in R. Potenze a esponente reale. Costante di Nepero. I numeri complessi. Definizione, forma algebrica, modulo, complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, disuguaglianza triangolare. Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso, prodotto e potenza in forma trigonometrica/esponenziale. Esponenziale complesso. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato). Funzioni. Definizione, grafico, immagine, composizione. Funzioni iniettive, funzione inversa, restrizioni di funzioni. Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Funzioni monotone, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo. Funzioni elementari e loro grafici. Successioni e sottosuccessioni. Limiti. Punti di accumulazione e punti isolati per sottoinsiemi di R. Definizione di limite. Unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto (dei due carabinieri). Limite della somma, del prodotto, del rapporto e della funzione composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Limiti destro e sinistro. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Confronti asintotici, simboli di o piccolo e O grande. Infiniti, infinitesimi e loro confronto. Successioni reali. Successioni e limiti di successioni. Limitatezza delle successioni convergenti. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano–Weierstrass. Successioni monotone; il limite della successione $(1+1/n)^n$ è il numero e (costante di Nepero). Criterio di Cauchy. Limite inferiore e limite superiore. Continuità. Definizione di funzione continua. Continuità della funzione composta. Teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa. Continuità delle funzioni elementari. Teorema ponte. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Continuità uniforme di funzioni continue su intervalli chiusi e limitati (Heine–Cantor). Punti di discontinuità. Funzioni Lipschitziane. Serie. Definizione. Serie convergenti, divergenti e oscillanti. Serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie assolutamente convergenti e criterio della convergenza assoluta. Serie a termini positivi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e criterio del rapporto. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Calcolo differenziale. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivabilità. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi. Continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente e derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Punti di massimo e di minimo, relativi e assoluti. Teoremi di Fermat e di Rolle. Teorema di Lagrange e suoi corollari: le funzioni a derivata nulla su intervalli sono costanti, lipschitzianità delle funzioni a derivata limitata, relazioni tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Teorema di Cauchy. Teorema di De l’Hôpital (solo enunciato). Teorema del limite della derivata. Derivate successive. Convessità/concavità di una funzione. Relazione tra il segno della derivata seconda e concavità/convessità di una funzione. Punti di flesso. Formule di Taylor e di McLaurin con resto in forma di Peano. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange. Calcolo integrale. Funzioni a scala (o costanti a tratti o semplici) e integrale di funzioni a scala. Proprietà dell’integrale delle funzioni a scala. Integrale inferiore e integrale superiore su un intervallo limitato. Definizione di integrabilità secondo Riemann. Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità. Linearità e monotonia (confronto) dell’integrale di Riemann. Integrabilità della parte positiva/negativa e del modulo di una funzione integrabile. Integrabilità della restrizione di una funzione integrabile, integrale su intervalli orientati e additività rispetto al dominio. Integrabilità delle funzioni con un numero finito di punti di discontinuità e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. La funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Primitive, integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte. Integrali impropri.

Prova scritta obbligatoria e prova orale facoltativa. Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30. Nella prova scritta si valutano la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite, mediante sia la risoluzione di problemi sia l'esposizione degli enunciati e delle dimostrazioni dei teoremi, delle definizioni, degli esempi/controesempi e delle tecniche di calcolo introdotte. Verranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e la chiarezza dell'esposizione. La prova orale facoltativa consiste in un’interrogazione sul programma svolto e può essere sostenuta solo in caso di sufficienza nella prova scritta. Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame.

Testo di riferimento: E. Giusti. Analisi Matematica I. Bollati Boringhieri. Altri testi consigliati: G. De Marco: Analisi Uno, Zanichelli Decibel. C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli. Eserciziari consigliati: E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica, volume 1, Bollati Boringhieri. G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di calcolo in una variabile, Zanichelli Decibel. S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica 1, Zanichelli. E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo: Problemi scelti di analisi matematica. Vol. 1, Liguori.

1. Conoscenza e capacità di comprensioneAl termine del corso si acquisiranno:• Conoscenze approfondite dei concetti fondamentali della meccanica classica (punto materiale, sistemi di particelle, corpi rigidi), della termodinamica classica, della gravitazione, della fisica dei fluidi, e delle onde meccaniche e della relatività ristretta.• Comprensione delle leggi fisiche e dei principi di conservazione alla base dei fenomeni osservabili.• Familiarità con gli strumenti matematici e geometrici per la descrizione del moto, con particolare attenzione all’uso del formalismo vettoriale e delle trasformazioni di sistemi di riferimento.2. Conoscenza e capacità di comprensione applicateSi acquisiranno capacità di :• Impostare e risolvere problemi fisici di meccanica e termodinamica utilizzando strumenti matematici appropriati, individuando le leggi della inerenti al caso in esame.• Sviluppare modelli semplificati per descrivere fenomeni fisici complessi, valutando la validità delle approssimazioni utilizzate.• affrontare problemi di relatività elementari ( applicazione delle trasformazioni di Lorentz, collisioni di particelle, diagrammi spazio-tempo).3. Autonomia di giudizioSi sarà capaci di:• Interpretare correttamente le previsioni teoriche e valutare i risultati numerici ottenuti nella risoluzione di problemi4. Abilità comunicativeSi saprà:• Esporre con chiarezza e precisione i concetti oggetto del corso, utilizzando correttamente il linguaggio scientifico e matematico.• Presentare e argomentare in modo chiaro, ordinato e rigoroso la soluzione di esercizi, sia in forma scritta che orale.5. Capacità di apprendimentoVerranno fornite:• Le competenze metodologiche per affrontare lo studio degli insegnamenti degli anni successivi• La capacità di consultare testi specialistici per approfondire in autonomia i concetti presentati durante le lezioni

Definizione operativa di grandezza fisica. Unità di misura nel Sistema Internazionale. Proprietà dei vettori e relative operazioni. Equazione del moto, vettori posizione, velocità ed accelerazione per un punto materiale. Moto rettilineo, moto circolare, moto parabolico e moto armonico. Coordinate polari e coordinate intrinseche, Relatività Galileiana, sistemi di riferimento inerziali, sistemi di riferimento rotanti. Principia di Newton, forze reali ed apparenti, forza elastica, peso, forze di attrito, esempi di semplici sistemi dinamici, momento di una forza e momento assiale, momento angolare. Lavoro di una forza, teorema delle forze vive, forze conservative, energia potenziale e conservazione dell'energia meccanica. Centro di massa e sue proprietà, teoremi di Koenig, teorema dell'impulso, urti elastici ed anelastici nel laboratorio e nel sistema del centro di massa, sistemi a massa variabile. Corpo rigido, moto rotatorio intorno ad asse fisso, momento di inerzia, moto di puro rotolamento, urti tra corpi rigidi, statica del corpo rigido. Pendolo semplice, pendolo fisico, pendolo di torsione, trottola e moto di precessione. Oscillatore armonico libero, smorzato e forzato. Risonanza. Leggi di Keplero e gravitazione universale, orbite stabili, problema a due corpi, velocità di fuga, connessione tra energia ed orbite. Fenomeni propagatori, equazione delle onde, corda vibrante, onde di pressione, velocità di propagazione. Equilibrio termodinamico, termometria, trasformazioni quasi-statiche, reversibilità, scambi di calore, calori specifici, transizioni di fase, primo principio della termodinamica ed energia interna, meccanismi di scambio del calore. Equazione di stato del gas ideale, trasformazioni isocore, isobare, adiabatiche, espansione libera di Joule, cicli termici e frigoriferi. Secondo principio della termodinamica, integrale di Clausius, entropia ed aumento dell'entropia dell'universo. Teoria cinetica del gas ideale, distribuzione delle velocità di Maxwell, interpretazione microsopica delle variabili di stato termodinamiche. Statica dei fluidi, pressione e principio di Pascal, spinta idrostatica, legge di Stevino. Dinamica dei fluidi ideali, equazione di Bernoulli, fluidi reali. I principi della relatività speciale, l'esperimento di Michelson-Morley. Le trasformazioni di Lorentz, simultaneità e causalità, dilatazione del tempo e contrazione dello spazio. La metrica di Minkowski, quadri-vettore spazio-tempo e quadri-vettore energia-momento, invarianti relativistici.

È prevista una prova scritta (risoluzione di esercizi e problemi) e una prova orale (discussione sugli argomenti del corso), dopo il superamento della prova scritta. La prova scritta può essere sostituita da quattro prove parziali, due a semestre. Gli studenti del CdL in Matematica che seguono solo i primi 12 crediti devono sostenere solo le prime tre prove parziali. La prova scritta si intende superata se si ottiene un esito non insufficiente in 3/4 delle prove [o 2/3 delle prove per gli studenti del CdL in Matematica]. L'assenza conta come una prova non sufficiente. Dopo il superamento della prova scritta è possibile sostenere l'orale in qualsiasi appello, entro l'anno accademico. ll superamento della prova scritta rimane valido anche a seguito di un non superamento della prova orale. Gli orali vengono effettuati a partire dal giorno dello scritto e nei giorni successivi. Di norma dopo la data di chiusura dell'appello verrà comunicato un calendario con le convocazioni per l'orale tramite il sito di e-learning. L'esito finale non è una media con pesi degli esiti delle prove scritta e orale, ma viene determinato da una valutazione globale basata su: esattezza e precisione nella soluzione degli esercizi (prova scritta); conoscenza degli argomenti, capacità di applicarli a casi concreti, proprietà di linguaggio, chiarezza, completezza e prontezza nell’esposizione (prova orale).

I testi di riferimento sono: Mazzoldi, Nigro, Voci, "Fisica - volume 1", EdiSES Halliday, Resnick, Krane, "Fisica 1", Casa Editrice Ambrosiana Resnik, "Introduzione alla Relatività Ristretta", Casa Editrice Ambrosiana

Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà conoscenze fondamentali dell'Algebra, con particolare riferimento a: estensioni di campi, in particolare campi finiti. fondamenti di teoria degli anelli; la teoria dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali (PID).Queste conoscenze ampliano e consolidano quelle già acquisite nel corso di Algebra I e forniscono una solida base teorica e concettuale, anche in vista di studi matematici più avanzati. Conoscenza e capacità di comprensione applicateLo studente sarà in grado di applicare le conoscenze teoriche a problemi specifici, sviluppando competenze tecniche e operative, come: la determinazione di polinomi minimi di numeri algebrici; il riconoscimento e l'analisi di omomorfismi fra strutture algebriche quali gruppi e anelli; l'applicazione della teoria dei moduli a problemi concreti quali le forme normali delle matrici. Autonomia di giudizioL’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analisi critica e autonoma di concetti astratti, favorendo: il riconoscimento della struttura logica di un problema matematico; la scelta appropriata degli strumenti algebrici per affrontarlo; l’interpretazione rigorosa dei risultati ottenuti. Abilità comunicativeLo studente sarà incentivato a esprimere con chiarezza argomentazioni matematiche complesse, utilizzando: il linguaggio formale dell’Algebra; una esposizione logica e coerente; la capacità di spiegare concetti anche a interlocutori non specialisti, se richiesto. Capacità di apprendereIl corso rafforzerà l’attitudine all’apprendimento autonomo e continuo, fornendo: strumenti teorici e metodologici per lo studio di testi avanzati; competenze per affrontare successivi corsi specialistici di algebra e di altre discipline matematiche; l’abitudine alla formalizzazione e alla generalizzazione, essenziali per il lavoro matematico.

(Il programma sara un sottoinsieme del seguente: qualche argomento potra essere omesso a seconda del tempo disponibile.) CAMPIEstensioni di campi: estensioni algebriche e trascendenti, grado di un'estensione, formula dei gradi.Campo di spezzamento di un polinomio.Campi finiti: costruzione, sottocampi, automorfismi, ciclicita` del loro gruppo moltiplicativo.Polinomi ciclotomici. ANELLIComplementi di teoria degli anelli.Il teorema cinese dei resti (per i polinomi, per anelli commutativi).La decomposizione in fratti semplici delle funzioni razionali.Domini a fattorizzazione unica e il Lemma di Gauss.Localizzazioni di un dominio. Anelli locali.L'anello delle serie formali a coefficienti in un campo, con qualche applicazione. MODULIModuli su un anello e algebra lineare. Moduli liberi: basi, rango, proprietà universale. Torsione.Moduli su domini a ideali principali: moduli finitamente generati; equivalenza di matrici e riduzione a forma normale.Teorema di struttura per i moduli finitamente generati.Moduli di torsione e decomposizione primaria.Fattori invarianti e divisori elementari.Applicazione ai gruppi abeliani: teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati.Applicazione alle forme canoniche per le matrici: companion matrix, forma canonica razionale, forma canonica di Jordan.

Prova scritta seguita da prova orale. La prova scritta comprende domande aperte sulla teoria, ed esercizi da risolvere. La prova orale e` un colloquio sugli argomenti svolti a lezione, puo' comprendere lo svolgimento di esercizi, e fare riferimento alla prova scritta. Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e controesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.

Sono disponibili delle Note del corso in PDF, che presentano il materiale del corso. La principale sorgente per tale materiale e` il classico testo N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman Co, 1985, che puo` essere utilizzato per approfondimenti.

Obiettivo principale dell'insegnamento è l'acquisizione da parte dello studente delle competenze, abilità pratiche e strategie di problem solving per la progettazione e implementazione di sistemi software secondo il paradigma della programmazione ad oggetti.Per il conseguimento di tali obiettivi, verranno fornite le competenze necessarie per la modellazione di semplici domini attraverso il linguaggio UML e la loro codifica secondo il paradigma della programmazione a oggetti con il linguaggio di programmazione Java.Al termine dell’insegnamento, lo studente:• Conoscerà i principi della modellazione, progettazione e implementazione di sistemi software secondo il paradigma della programmazione a oggetti (Conoscenza e capacità di comprensione)• Saprà applicare tali conoscenze alla modellazione di semplici domini utilizzando il linguaggio UML e alla loro implementazione in linguaggio Java, seguendo i principi della programmazione a oggetti (Conoscenza e capacità di comprensione applicate)• Saprà integrare diverse strategie di problem-solving per affrontare criticamente scelte progettuali e implementative in un contesto software orientato agli oggetti (Autonomia di giudizio)• Saprà descrivere in modo motivato le soluzioni progettuali adottate, utilizzando correttamente il lessico tecnico della programmazione a oggetti e degli strumenti di modellazione (Abilità comunicative)• Avrà appreso come acqiure in autonomia ulteriori tecniche e strumenti relativi alla progettazione e sviluppo di software object oriented (Capacità di apprendimento)

Introduzione ai concetti fondamentali del paradigma a oggetti (incapsulamento, ereditarietà, polimorfismo) Introduzione al linguaggio UML (Unified Modeling Language) Cenni al ciclo di vita del software Java come linguaggio e come piattaforma Il paradigma a oggetti base nel contesto Java: classi e oggetti, attributi e metodi Il paradigma a oggetti avanzato nel contesto Java: ereditarietà e polimorfismo Eccezioni, ArrayList, Generics

Prova scritta e prova orale facoltativa (a richiesta dello studente che abbia ottenuto valutazione dello scritto almeno pari a 26/30). Valutazione con voto in trentesimi 18-30 e lode. La prova orale, che può riguardare sia domande teoriche che svolgimento di esercizi pratici di programmazione, ha peso inferiore alla prova scritta, determinando un incremento massimo di 4 punti rispetto al risultato della prova scritta.La prova scritta è divisa in due parti: nella prima si valutano, attraverso una serie di domande a risposta chiusa, le conoscenze dei fondamenti teorici della programmazione a oggetti; nella seconda si valuta, attraverso l'implementazione di un semplice sistema software, la capacità di realizzare in pratica un programma in grado di risolvere correttamente un semplice problema applicativo, rispondendo alle specifiche del problema da risolvere e rispettando i principi della programmazione a oggetti presentati a lezione, senza generare errori (di compilazione, a runtime o logici).Il docente si riserva la facoltà di richiedere un supplemento di indagine, attraverso una prova orale obbligatoria, nei casi in cui la prova scritta, pur essendo valutata sufficiente, presenti delle criticità: ad esempio, insufficienza nella parte teorica e parte pratica molto soddisfacente, o viceversa.Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame secondo il calendario previsto dal corso di studi. Inoltre, durante il periodo di svolgimento del corso si svolgeranno due prove scritte parziali per glis tudenti frequentanti che, in caso di esito complessivo positivo, permetteranno di verbalizzare il voto al termine del corso.

Tutte le informazioni sul corso, le slide presentate a lezione e le esercitazioni di laboratorio saranno disponibili tramite la piattaforma elearning di Ateneo [https://elearning.unimib.it]) Testo di riferimento per il corso: Programmazione di base e avanzata con Java 3/Ed.Walter Savitch, Daniela MicucciISBN Cartaceo: 9788891916020 – ISBN Digitale: 9788891916037Link alla pagina di catalogo: https://he.pearson.it/bundle/818?isbn=9788891916037 In particolare i contenuti relativi ai capitoli 8-13 (come prosecuzione dei contenuti dei capitoli 1-7 trattati al corso Laboratorio di Matematica e Informatica, I anno)

L’insegnamento si propone di presentare le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton alle formulazioni lagrangiana e hamiltoniana, e di fornire gli strumenti matematici necessari alla loro comprensione e applicazione nello studio dei sistemi dinamici. I risultati di apprendimento attesi sono declinati secondo i Descrittori di Dublino. Conoscenza e capacità di comprensione Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno conoscere e comprendere: le definizioni, i principi e gli enunciati fondamentali delle diverse formulazioni della Meccanica Classica;il rapporto tra formulazione newtoniana, formulazione lagrangiana e formulazione hamiltoniana;gli strumenti qualitativi elementari per lo studio dei sistemi dinamici, con particolare riferimento a punti di equilibrio, stabilità, linearizzazione e sistemi a un grado di libertà;alcuni esempi fondamentali, quali sistemi isolati, oscillatore armonico, problema a due corpi, problema di Keplero, corpo rigido e trottola di Lagrange;il ruolo delle simmetrie e delle leggi di conservazione nella riduzione e nell’analisi dei sistemi meccanici.Capacità di applicare conoscenza e comprensione Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno essere in grado di: dedurre le equazioni del moto di sistemi meccanici semplici, sia nella formulazione lagrangiana sia in quella hamiltoniana;scegliere coordinate generalizzate adeguate alla descrizione di un sistema vincolato;applicare il principio di D’Alembert e le equazioni di Eulero-Lagrange a sistemi con vincoli olonomi;utilizzare simmetrie e quantità conservate per ridurre il numero di gradi di libertà;discutere qualitativamente il moto in esempi significativi, anche mediante curve di livello dell’energia e ritratti di fase;ridurre, in casi semplici, la soluzione delle equazioni del moto a quadrature;svolgere esercizi e problemi che richiedono la composizione di strumenti analitici, geometrici e meccanici.Autonomia di giudizio L’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico e la sua interpretazione nel modello meccanico considerato; selezionare autonomamente il metodo risolutivo più adatto al problema affrontato. Tali competenze saranno sviluppate attraverso la discussione di esempi, il confronto tra diverse formulazioni dello stesso problema, la soluzione guidata di esercizi e la riflessione sulle ipotesi necessarie per applicare correttamente i risultati teorici. Abilità comunicative Gli studenti dovranno acquisire la capacità di discutere modelli matematici di sistemi dinamici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente sia per iscritto. Dovranno inoltre essere in grado di esporre una dimostrazione in maniera coerente e comprensibile, motivare i passaggi principali di una soluzione e utilizzare in modo appropriato il linguaggio matematico e meccanico. Quando opportuno, dovranno anche saper tradurre il contenuto matematico di un risultato in una descrizione qualitativa del fenomeno meccanico corrispondente. Capacità di apprendimento L’insegnamento intende fornire agli studenti strumenti concettuali e tecnici per proseguire autonomamente lo studio della dinamica dei sistemi classici a livelli più avanzati. Al termine del corso gli studenti dovranno essere in grado di affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, utilizzando conoscenze pregresse, appunti, libri di testo e altro materiale didattico per approfondire e aggiornare le proprie competenze. Il carattere interdisciplinare dell’insegnamento, nel quale strumenti analitici e geometrici vengono utilizzati per studiare sistemi dinamici astratti e concreti, contribuisce alla costruzione di una solida base teorica per il percorso formativo in matematica.

Richiami di equazioni differenziali e sistemi dinamici Campi vettoriali e sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Sistemi autonomi. Punti di equilibrio e stabilità. Teorema di Lyapunov. Linearizzazione di sistemi non lineari vicino a un punto di equilibrio. Sistemi a un grado di libertà. Curve di livello dell’energia e studio qualitativo del moto in esempi rilevanti. Meccanica lagrangiana Equazioni di Eulero-Lagrange. Punto materiale vincolato a una curva regolare. Punto materiale vincolato a una superficie regolare. Vincoli olonomi e principio di D’Alembert. Punti di equilibrio e piccole oscillazioni. Formulazione variazionale delle equazioni di Eulero-Lagrange. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e simmetrie. Teorema di Noether. Problema a due corpi. Leggi di Keplero. Corpo rigido Gruppo delle rotazioni nello spazio tridimensionale e velocità angolare. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Meccanica del corpo rigido. Operatore di inerzia. Teorema di König. Equazioni di Eulero per il corpo rigido. Angoli di Eulero. Trottola di Lagrange. Meccanica hamiltoniana Trasformata di Legendre. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e loro proprietà. Struttura di algebra di Lie associata alle parentesi di Poisson. Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica hamiltoniana. Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche e condizioni equivalenti di canonicità. Teorema di Liouville.

L’esame è individuale ed è finalizzato a verificare sia la capacità di risolvere esercizi e problemi, sia la conoscenza e la comprensione dei contenuti teorici dell’insegnamento. La prova finale è costituita da una prova scritta e, di norma, da una prova orale. Nei casi indicati sotto, la prova scritta può essere considerata sufficiente per la registrazione dell’esito complessivo, previa valutazione da parte del docente. Prova scritta La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi e problemi. Tipicamente comprende un esercizio di meccanica lagrangiana e un esercizio di meccanica hamiltoniana, oppure problemi che richiedano l’uso integrato di strumenti presentati durante il corso. La durata della prova scritta è di tre ore. La prova scritta valuta in particolare: la capacità di impostare correttamente un problema meccanico;la capacità di scegliere coordinate e variabili adeguate;la capacità di dedurre le equazioni del moto;la correttezza dei calcoli e dell’argomentazione;la capacità di interpretare qualitativamente il risultato ottenuto;la chiarezza e completezza dell’esposizione scritta. Risposte corrette ma prive di adeguate spiegazioni, motivazioni o passaggi intermedi non saranno valutate a pieni voti. L’ammissione alla prova orale richiede una valutazione della prova scritta non inferiore a 15/30. Prova orale La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione. Essa richiede la conoscenza delle definizioni, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali risultati del corso, nonché la capacità di illustrarne il significato mediante esempi rilevanti. La prova orale valuta in particolare: la conoscenza dei contenuti teorici dell’insegnamento;la comprensione del significato matematico e meccanico dei risultati;la capacità di esporre dimostrazioni in modo chiaro e coerente;la capacità di collegare tra loro argomenti diversi del corso;l’uso appropriato del linguaggio disciplinare;la consapevolezza teorica nell’interpretazione degli esercizi e dei modelli. Rapporto tra prova scritta e prova orale Se la prova scritta ottiene una valutazione di almeno 18/30, essa potrà essere considerata sufficiente per l’esito complessivo dell’esame e potrà dare luogo alla possibilità di rinunciare alla prova orale, comunque a seguito di valutazione da parte del docente. Il docente può richiedere in ogni caso lo svolgimento della prova orale qualora ritenga necessario un ulteriore accertamento della preparazione. In assenza della prova orale, la votazione finale non potrà superare 25/30, indipendentemente dalla valutazione ottenuta nella prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d’esame in cui è stata sostenuta la prova scritta con l'eccezione degli appelli di giugno e luglio, per i quali è consentito di spostare l'esame orale rispettivamente a luglio o settembre Nel caso in cui sia sostenuta anche la prova orale, il voto finale tiene conto dell’esito di entrambe le prove. La prova scritta valuta principalmente la capacità di applicazione e di problem solving; la prova orale valuta principalmente la conoscenza teorica, la capacità argomentativa e la padronanza concettuale. Prove in itinere Durante lo svolgimento del corso saranno offerte due prove scritte in itinere, relative rispettivamente alla prima e alla seconda parte del programma. Le prove in itinere sono individuali e consistono nella risoluzione di esercizi e problemi analoghi, per struttura e finalità, a quelli della prova scritta finale. Le prove in itinere valutano la comprensione progressiva degli argomenti trattati, la capacità di applicare gli strumenti introdotti a lezione e nelle esercitazioni, la correttezza del procedimento risolutivo e la chiarezza dell’esposizione scritta. Gli studenti che superano entrambe le prove in itinere con una valutazione non inferiore a 15/30 sono ammessi all’eventuale prova orale. In questo caso la prova orale deve essere sostenuta entro l’appello di luglio compreso. Come per la prova scritta completa, se le prove in itinere ottengono una valutazione media di almeno 18/30, esse potranno essere considerate sufficienti per l’esito complessivo dell’esame e potranno dare luogo alla possibilità di rinunciare alla prova orale, comunque a seguito di valutazione da parte del docente. Il docente può richiedere in ogni caso lo svolgimento della prova orale. In assenza della prova orale, la votazione finale non potrà superare 25/30, indipendentemente dalla valutazione ottenuta nelle prove scritte. Criteri di valutazione e graduazione dei voti La valutazione complessiva tiene conto della correttezza tecnica, della comprensione concettuale, della capacità di applicare i metodi del corso, della chiarezza espositiva e della padronanza del linguaggio matematico e meccanico. La graduazione indicativa dei voti è la seguente: 18-19: preparazione limitata a un numero ridotto di argomenti del programma; capacità di trattazione e analisi parziali; competenza espositiva e lessico non sempre corretti; limitata capacità di elaborazione autonoma. 20-23: preparazione sufficiente su una parte significativa degli argomenti del programma; capacità di applicazione prevalentemente esecutiva; uso di un lessico generalmente corretto, anche se non sempre preciso; esposizione talvolta incerta. 24-27: preparazione buona su un numero ampio di argomenti trattati nel corso; capacità di svolgere in modo autonomo argomentazioni e analisi; buona capacità di applicare le conoscenze a esercizi e problemi; uso corretto del linguaggio disciplinare. 28-30 e lode: preparazione completa ed esaustiva sugli argomenti del programma; piena padronanza delle tecniche e dei contenuti teorici; capacità di trattazione autonoma e di analisi critica; chiarezza e rigore espositivo; capacità di collegare temi diversi del corso e, quando opportuno, di metterli in relazione con altri ambiti della matematica e della fisica.

Testi consigliati: V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri, 2002.L. D. Landau, E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.N. M. J. Woodhouse, Introduction to Analytical Dynamics, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1987.G. Dell’Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, Napoli, 1996. Altro materiale complementare, incluse eventuali note del docente, sarà reso disponibile attraverso la piattaforma e-learning dell’insegnamento. Per esempi ed esercitazioni si consigliano inoltre: F. Talamucci, Esercizi svolti sul formalismo lagrangiano e hamiltoniano con brevi richiami di teoria, Edizioni Nuova Cultura, 2014.A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, 2003.G. Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova, 2017, disponibile liberamente dalla pagina web dell’autore.

Lo scopo dell'insegnamento è introdurre la teoria e l'utilizzo delle forme differenziali e della loro integrazione nel contesto degli spazi euclidei e dei loro sottoinsiemi aperti, come premessa della generalizzazione alle varietà differenziali. Le forme differenziali sono uno strumento pervasivo e di importanza fondamentale in Geometria, Topologia Differenziale e Analisi; sono inoltre uno strumento imprescindibile nella formulazione della Fisica moderna. In particolare, la teoria conduce all'introduzione dei gruppi di coomologia di de Rahm, che legano le proprietà topologiche di uno spazio alle sue proprietà differenziali. La teoria verrà sviluppata dai suoi principi primi algebrici, ossia dalla nozione di tensore in algebra lineare. A tale scopo, nella prima parte del corso si insisterà su alcuni contenuti fondazionali di algebra lineare e tensoriale, quali per esempio la dualità, il ruolo del del determinante nella teoria dei tensori alternanti, l'orientazione di uno spazio vettoriale reale, gli elementi di volume in uno spazio vettoriale orientato euclideo. Questi concetti, oltre a essere pervasivi in Geometria, illustrano, arrichiscono e approfondiscono il bagaglio delle conoscenze di Algebra Lineare del primo anno. La seconda parte del corso introdurrà la teoria delle forme differenziali su un aperto Euclideo, intese come tensori alternanti che dipendono in modo liscio da un punto base. In questa seconda parte i concetti algebrici introdotti nella prima verranno messi a contatto con gli strumenti dell'Analisi, introducendo in particolare il differenziale esterno e le sue proprietà funtoriali, l'integrazione di una k-forma differenziale su certi sottoinsiemi parametrizzati e gli spazi di coomologia di de Rham. Particolare enfasi verrà data al concetto di forma d'area e alle tecniche di calcolo dell'area, di spazio tangente e alla sua determinazione. L'approdo del corso è il Teorema di Stokes, anche noto come Teorema della Divergenza, che è cruciale in moltissimi ambiti della Matematica (e della Fisica). I concetti introdotti in questo insegnamento saranno inoltre ulteriormente sviluppati in Geometria III (nell'ambito delle varietà differenziali), nonché in svariati insegnamenti della Laurea Magistrale in Matematica. I risultati di apprendimento attesi includono: Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate nella teoria delle forme differenziali; la conoscenza e la comprensione di alcune sue applicazioni, in particolare allo studio di mappe lisce proprie tra aperti in spazi euclidei e del loro grado; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria. Tali conoscenze verranno sviluppate attraverso la discussione approfondita dei concetti e degli enunciati chiave della teoria, nonché l'analisi critica delle relative dimostrazioni e delle tecniche soggiacenti. Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di semplici esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di maneggiare il calcolo algebrico, differenziale e integrale delle forme differenziali e di utilizzarlo nello studio di alcune semplici situazioni concrete, quali lo studio di mappe proprie; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso. Predette capacità verranno acquisite attraverso la discussione di esempi salienti in cui i risultati teorici appresi verranno messi in luce in modo operativo, oltre alla soluzione di esercizi suggeriti agli studenti, sia di natura teorica che computazionale. Competenze trasversali: autonomia di giudizio, capacità comunicative e capacità di apprendere. Queste competenze verranno stimolate e sviluppate evidenziando i collegamenti concettuali e tecnici con i contenuti di altri insegnamenti (di algebra, algebra lineare e analisi) e valorizzando la chiarezza espositiva sia dei contenuti teorici che delle applicazioni computazionali (esercizi).

Algebra esterna di uno spazio vettoriale e sue operazioni; prodotto esterno e contrazioni; spazi vettoriali orientati euclidei e loro elementi di volume; campi vettoriali e forme differenziali; differenziale esterno; forme chiuse e forme esatte; ; gradiente, rotore, divergenza; forme differenziali e mappe lisce: tirato-indietro; integrazione; integrazione e omotopia; formula del cambiamento di variabili; integrazione su sottovarietà orientate; Teoremi di Gauss-Green e Stokes.

L'esame può sostenuto o utilizzando le due prove parziali in itinere, ovvero negli appelli regolari. Le prove parziali scritte consistono in una combinazione flessibile di esercizi e di domande teoriche, ciascuna delle quali verte su una parte del programma (la prima e la seconda). L'esatta suddivisione per argomenti verrà comunicata con congruo anticipo durante lo svolgimento del corso. Quando opportuno, in casi specifici e a discrezione dei docenti, le prove parziali potranno essere integrate da una prova orale. L'esame negli appelli regolari consiste sempre di due prove scritte, ma di tipologia diversa: una prova 'pratica' e una prova 'teorica'; quando opportuno, in casi specifici e a discrezione dei docenti, le prove scritte potranno essere integrate da una prova orale. La prova pratica è propedeutica alla prova teorica. Ciascuna delle due prove scritte di ogni appello regolare verte sull'intero programma del corso. Nella prova pratica verranno sottoposti agli studenti degli esercizi computazionali, mentre nella prova teorica verranno proposte delle domande su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici. Sia nel caso delle prove parziali in itinere sia in quello degli appelli regolari, lo scopo della discussione conclusiva è di norma esporre allo studente la correzione dei suoi elaborati; in casi particolari, in cui lo svolgimento non permetta di evincere appieno la qualità della preparazione dello studente, la discussione può concorrere anch'essa alla valutazione finale. Nelle prove pratiche verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente. Nelle prove teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale. Per superare l'esame, lo studente deve prima sostenere una prova pratica, ottenendo una votazione di almeno 18/30, quindi ottenere la sufficienza di 18/30 anche nella prova teorica del medesimo appello ovvero, a sua scelta, dell'appello immediatamente successivo. La prova pratica e quella teorica concorrono in egual misura al voto finale. A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento. Gli studenti, prima della verbalizzazione, hanno la facoltà di chiedere una discussione orale delle prove scritte.

Testi di riferimento: appunti del docente su e-learning Letture consigliate: un testo particolarmente attinente al contenuto del corso è il seguente: V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019 Altre letture consigliate sono: M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996; V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974; W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995.

L'obiettivo di questo insegnamento è di presentare sia dal punto di vista teorico sia algoritmico gli argomenti di base del Calcolo Numerico che devono far parte del bagaglio culturale di qualunque laureato in matematica. I risultati di apprendimento attesi comprendono: Conoscenze Conoscenza e comprensione dei metodi fondamentali del Calcolo Numerico che comprendono sia enunciati sia teoremi e relative dimostrazioni. Conoscenza e comprensione delle problematiche che intervengono nell'ambito numerico. Capacità Capacità di tradurre la teoria studiata in esempi concreti tramite la costruzione di algoritmi e relativa implementazione. Capacità di scegliere il metodo numerico più adeguato in relazione al problema. Capacità di analizzare in modo critico i risultati degli esempi ed esercizi proposti. Capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso sia le loro applicazioni a situazioni specifiche. Indicatori di Dublino Conoscenza e comprensioneLo studente dimostra di conoscere i principi fondamentali del calcolo numerico, inclusi metodi per la risoluzione numerica di equazioni, interpolazione, integrazione numerica e approssimazione di funzioni. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente è in grado di scegliere e applicare metodi numerici appropriati per risolvere problemi matematici di base, analizzare i risultati e valutare l’accuratezza e l’efficacia dei metodi utilizzati. Capacità di giudizioLo studente è capace di valutare criticamente la validità delle soluzioni numeriche ottenute, comprendendo i limiti dei metodi numerici e la sensibilità degli algoritmi rispetto ai dati di input. Abilità comunicativeLo studente è in grado di presentare in modo chiaro e strutturato i risultati ottenuti, utilizzando un linguaggio tecnico appropriato, e di documentare correttamente le procedure numeriche adottate. Capacità di apprendimento autonomoLo studente sviluppa le competenze per approfondire autonomamente ulteriori metodi numerici, utilizzando risorse bibliografiche e strumenti software, al fine di migliorare e ampliare le proprie conoscenze nel campo del calcolo numerico.

Aritmetica floating point: Rappresentazione dei numeri reali, Numeri rappresentabili in un calcolatore, Approssimazione dei numeri reali su un calcolatore, Operazioni tra numeri floating point, Il rounding to even, Calcolo delle funzioni elementari; L'algoritmo di eliminazione di Gauss e la decomposizione PA=LU: Sistemi lineari, Algoritmo di eliminazione di Gauss, La decomposizione PA=LU; Richiami di algebra lineare: Prodotti scalari e norme, Norme su Rⁿ, Norme di matrici; Stabilità dell'algoritmo di Gauss: Analisi delle perturbazioni di un sistema lineare, Applicazione all'algoritmo di Gauss; Decomposizione di Cholesky: Matrici simmetriche e definite positive, Decomposizione di Cholesky, Applicazione alla soluzione di un sistema lineare; Metodi iterativi per i sistemi lineari: Motivazioni, Metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari, Criteri di arresto; Autovalori: Cerchi di Gershgorin, Dipendenza degli autovalori dalle perturbazioni di A, Metodo delle potenze; Zeri di Funzione: Il metodo di bisezione, Il metodo di Newton e sue varianti, Valutazione sperimentale dell'ordine di convergenza, Il metodo di Brent, algoritmo di MATLAB; Interpolazione polinomiale: Il teorema di Weierstrass, Interpolazione, Analisi degli algoritmi di interpolazione, Condizionamento dell'interpolazione, Interpolazione di funzioni; Funzioni spline Minimi quadrati e fattorizzazione QR: Sistemi sovradeterminati, Interpretazione geometrica, Decomposizione QR, Regressione lineare, Uso della decomposizione A=QR per risolvere un sistema lineare; Formule di quadratura: Formule di quadratura di tipo interpolatorio, Formula del trapezio, Formula di Simpson, Formule di quadratura di Newton-Cotes, Metodi di quadratura adattivi.

Prova pratica al calcolatore seguita da prova teorica/orale. Valutazione finale con voto in trentesimi 18-30/30. Nella prova pratica al calcolatore si valuta la conoscenza degli algoritmi sviluppati durante il corso e la capacità di scrivere programmi in MATLAB per la risoluzione di semplici problemi numerici. Nella prova teorica/orale dapprima viene discussa la prova pratica al calcolatore e poi si valuta la conoscenza e la comprensione delle definizioni, dei teoremi e delle tecniche di calcolo introdotte nel corso e la capacità di esporre quanto richiesto in modo chiaro, con rigore e con linguaggio matematico appropriato anche fornendo esempi e controesempi. La prova pratica viene valutata con voto in trentesimi 18-30/30 e per accedere alla prova teorica/orale è necessario ottenere la sufficienza. La valutazione finale complessiva tiene conto di entrambe le prove. La prova pratica e la prova teorica/orale devono essere tenute nello stesso appello.

Note a cura del docente e videoregistrazione delle lezioni disponibili sul sito del corso.

Lo scopo di questo insegnamento è duplice: trasmettere allo studente alcune conoscenze fondamentali nell'ambito dell’Analisi matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali, alle equazioni differenziali ordinarie e a elementi introduttivi relativi agli spazi normati; migliorare la capacità di comprensione da parte dello studente di argomenti astratti e sviluppare la sua capacità di applicazione delle conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi. Declinazione secondo i Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà conoscenze fondamentali dell'Analisi Matematica avanzata, con particolare riferimento a:-successioni e serie di funzioni;-calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali;-equazioni differenziali ordinarie;-lementi introduttivi relativi agli spazi normati.Queste conoscenze ampliano e consolidano quelle già acquisite nel corso di Analisi I e forniscono una solida base teorica e concettuale, anche in vista di studi matematici più avanzati. 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze teoriche a problemi specifici, sviluppando competenze tecniche e operative, come:-la manipolazione di serie e successioni di funzioni con relativi criteri di convergenza;-il calcolo di derivate e integrali multipli;-la risoluzione di equazioni differenziali;-l’uso di strumenti propri degli spazi normati in contesti semplici. 3. Autonomia di giudizioL’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analisi critica e autonoma di concetti astratti, favorendo:-il riconoscimento della struttura logica di un problema matematico;-la scelta appropriata degli strumenti analitici per affrontarlo;-l’interpretazione rigorosa dei risultati ottenuti. 4. Abilità comunicativeLo studente sarà incentivato a esprimere con chiarezza argomentazioni matematiche complesse, utilizzando:-il linguaggio formale dell’Analisi;-una esposizione logica e coerente;-la capacità di spiegare concetti anche a interlocutori non specialisti, se richiesto. 5. Capacità di apprendereIl corso rafforzerà l’attitudine all’apprendimento autonomo e continuo, fornendo:-strumenti teorici e metodologici per lo studio di testi avanzati;-competenze per affrontare successivi corsi specialistici di analisi e di altre discipline matematiche;-l’abitudine alla formalizzazione e alla generalizzazione, essenziali per il lavoro matematico.

Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Serie di potenze: criterio di Hadamard e disco di convergenza. La funzione esponenziale. Serie di Taylor: condizioni sufficienti di sviluppabilità. Metriche e norme. Richiami su spazi metrici, completezza, mappe lipschitziane. Spazi normati. Norme in Rn. Richiami sugli operatori lineari e loro continuità.Lo spazio C([a,b]) e sue varianti. Convergenza di serie in spazi di Banach e Criterio di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Derivate direzionali, differenziabilità, regola della catena. Analisi locale di polinomi. Funzioni di classe C1. Derivate e differenziali di ordine superiore. Formula di Taylor. Teorema della funzione inversa. Applicazioni del calcolo differenziale. Forme quadratiche definite positive e analisi di massimi e minimi liberi. Funzioni implicite: teoremi di esistenza in piccolo e in grande. Massimi e minimi vincolati: moltiplicatori di Lagrange. Funzioni convesse. Integrazione di funzioni limitate su insiemi limitati di Rn. Definizione di integrale. Condizioni sufficienti di integrabilità. Formule di riduzione. Teorema di cambio di variabili. Integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili e problema di Cauchy relativo: esistenza e/o unicità. Equazioni del primo ordine in forma normale: soluzioni approssimate, Teorema di Ascoli-Arzelà e Teorema di esistenza di Peano. Unicità. Prolungabilità delle soluzioni. Sistemi ed equazioni di ordine superiore. Alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari. Equazione differenziale lineare del primo ordine: esistenza, unicità e prolungabilità. Esponenziale di un operatore lineare. Sistemi lineari omogenei e non omogenei: struttura dello spazio delle soluzioni. Ricerca di una soluzione particolare di sistemi non omogenei: annichilatori e variazione delle costanti. A tempo debito verrà reso disponibile sulla pagina e-learning del corso un programma assai dettagliato nel quale saranno descritti con precisione i contenuti richiesti in sede di esame.

L’esame si articola in una prova scritta e in una prova orale obbligatoria, che si svolgerà di norma a pochi giorni di distanza dalla prova scritta: si accede alla prova orale avendo conseguito un certo punteggio minimo, che sarà reso noto all’inizio delle lezioni, nella prova scritta. Sono previste due prove scritte in itinere (non obbligatorie), la prima delle quali si svolgerà indicativamente nel mese di novembre; si accede alla seconda, che si svolgerà in concomitanza con il primo appello a fine corso, solo se si supera la prima. Il superamento di entrambe le prove dà diritto allo studente di accedere direttamente alla prova orale. La valutazione delle prove scritte è omologa a quella delle prove scritte ed è dettagliata di seguito. Lo studente si potrà presentare alla prova orale solo dopo aver superato l’esame di Analisi matematica I. La valutazione di ciascuna delle prove (e delle prove parziali) si baserà sui criteri seguenti : conoscenza della materia contenuta nel programma d’esame, incluse le tecniche di risoluzione degli esercizi; rigore nello svolgimento degli esercizi scritti e nell’esposizione orale; capacità espositiva (esaustività, precisione, compattezza, uso appropriato e fluido del linguaggio matematico). Prova scritta: contiene esercizi di tipo A (di semplice applicazione della teoria svolta) ed esercizi di tipo B (problemi di natura più articolata e/o complessa) e avrà la durata di tre ore. Prova orale: il candidato dovrà rispondere a quesiti di tipo teorico e di applicazione della teoria relativi al programma d’esame. Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame nei seguenti periodi: due distribuiti tra i mesi di gennaio e febbraio, uno tra aprile e maggio, due tra giugno e luglio e uno a settembre. Sono previste due prove parziali scritte (aperte a tutti gli studenti): la prima approssimativamente a metà del corso, la seconda in concomitanza con l’esame scritto del primo appello. Per accedere alla seconda prova parziale sarà necessario aver conseguito nella prima un punteggio minimo che verrà reso pubblico all’inizio del corso.Il voto complessivo delle prove parziali è la media dei voti di entrambe.Gli studenti che avranno ottenuto un voto finale maggiore o uguale a una soglia che sarà resa pubblica all’inizio del corso potranno accedere direttamente a uno qualunque degli esami orali di gennaio o febbraio 2026.

Verranno rese disponibili sulla pagina e-learning del corso dispense, che conterranno il materiale esposto durante le lezioni, ed elenchi di esercizi simili a quelli discussi durante le esercitazioni. Per una migliore comprensione dei concetti fondamentali è buona prassi procedere allo studio degli argomenti comparando testi di diversi autori. Tra quelli in commercio segnaliamo, in ordine alfabetico, i seguenti in lingua italiana: E. Acerbi e G. Buttazzo, Secondo corso di Analisi matematica, Pitagora ed., Bologna, 2016. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Ed. Levrotto & Bella /Torino. E. Giusti, Analisi Matematica II, ed. Bollati Boringhieri. C. Pagani; S. Salsa, Analisi Matematica 1, Ed. Zanichelli (per la parte relativa al calcolo differenziabile in più variabili). C. Pagani; S. Salsa, Analisi Matematica 2, Ed. Zanichelli (per la parte rimanente del programma). Segnaliamo altresì i seguenti testi in lingua inglese di celebri autori, ormai diventati riferimenti irrinunciabili per gli argomenti trattati nel corso di Analisi II: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, MacGraw-Hill. R.S. Strichartz, The Way of Analysis, revised Ed., Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, Massachusetts, 2000. T. Tao, Analysis II, Texts and Readings in Mathematics, Volume 38, Third Ed., Springer Verlag, 2016. L’eventuale difficoltà linguistica, comunque modesta, che eventualmente lo studente dovrà superare per consultare questi testi, sarà ampiamente compensata dalla conseguita maggiore profondità di comprensione della materia. Durante il corso verranno pubblicati su questa pagina elenchi di esercizi. Un eserciziario che potrebbe essere utile agli studenti è il seguente recente testo: S. Salsa e A. Squellati. Esercizi di Analisi matematica 2, Ed Zanichelli, 2024.

Obiettivi del corso – Teoria della Misura Conoscenza e capacità di comprensioneIl corso fornisce una solida introduzione ai concetti fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione, come misure, σ-algebre, misura di Lebesgue, funzioni misurabili e integrali. Gli/le studenti acquisiranno una comprensione rigorosa di questi strumenti, essenziali per lo studio avanzato dell'analisi matematica e della probabilità. Conoscenza e capacità di comprensione applicateGli/le studenti saranno in grado di applicare i concetti appresi per risolvere problemi concreti relativi alla misura e all'integrazione, dimostrando la capacità di trattare con rigore matematico risultati fondamentali e di effettuare calcoli legati all’integrale di Lebesgue, anche in contesti semplici di probabilità e analisi funzionale. Autonomia di giudizioIl corso mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente definizioni e teoremi, valutare la correttezza logica delle dimostrazioni, e scegliere gli strumenti teorici più adatti per affrontare problemi in contesti matematici più generali. Abilità comunicativeGli/le studenti saranno in grado di esporre con chiarezza e rigore i contenuti teorici del corso, utilizzando correttamente il linguaggio matematico, sia oralmente che per iscritto, in particolare nella stesura di dimostrazioni e nella discussione di esempi. Capacità di apprendereIl corso stimola lo sviluppo di capacità di apprendimento autonome attraverso lo studio individuale e la risoluzione di esercizi, fornendo le basi per affrontare corsi successivi in analisi reale, probabilità, statistica matematica e ambiti applicati.

Misure.σ-algebre. Misure, misure esterne, Teorema di Carathéodory. Misura di Lebesgue sulla retta reale. Integrazione.Funzioni misurabili. Integrale di funzioni non negative. Teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou. Integrale di funzioni reali, Teorema della convergenza dominata. Modi di convergenza per successioni di funzioni reali misurabili: convergenza in L¹, convergenza quasi-ovunque, convergenza quasi-uniforme, convergenza in misura, Teorema di Severini-Egorov. Misure prodotto, Teoremi di Tonelli e Fubini. Integrale di Lebesgue n-dimensionale. Cambiamento di variabili.

L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (esposizione di enunciati, dimostrazioni, definizioni, esempi/controesempi discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.

Testo di riferimento: G. B. Folland, Real Analysis, Wiley. Altri testi consigliati: L. Ambrosio, G. Da Prato, A. Mennucci: Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale. T. Tao: An introduction to measure theory, American Mathematical Society.

(1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza dei concetti di base della teoria di Galois, con particolare riferimento allo studio di estensioni algebriche, e alla teoria di gruppi, allo studio di estensioni ciclotomiche, e ai costruzioni con riga e compasso. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa che include anche congetti fondamentali della matematica, e.g., il Lemma di Zorn, affiancata da esempi e applicazioni concrete. (2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi algebrici e geometrici concreti usando i risultati principali della teoria di Galois. Saranno proposte attività per imparare l’uso di tecnici algebrici e geometrici elementari. (3) Autonomia di giudizio: l'insegnamento intende stimolare e sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; viene posta l’enfasi sulla capacità di riconoscere la situazione in quale risultati particolari sono applicabili e spiegare la motivazione di diversi definizioni e congetti. (4) Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di spiegare e discutere oralmente i concetti e nozioni principali della teoria di Galois in modo chiaro e rigoroso usando il linguaggio matematico formale; comprende anche dimostrazoni dei risultati principali e degli applicazioni principali della teoria di Galois. (5) Capacità di apprendimento: l'insegnamento intende fornire agli studenti gli strumenti per proseguire lo studio dell’algebra a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti e problemi con metodo e rigore, facendo uso delle conoscenze pregresse, utilizzare fonti diverse (libri di testo, appunti, ...) per approfondire e aggiornare le proprie competenze.

La chiusura algebrica di un campo,estensioni normali e separabili,il teorema dell'elemento primitivo diestensioni finiti separabili. Il teorema fundamentale della teoria di Galois,estensioni ciclotomicheGruppi finiti, gruppi risolubili,equazioni polinomiali di grado almeno 5 non sonorisolubili in generale,Il campo dei elementi costruibili con compasso e riga,C è algebricamente chiuso

Modalità d'esame: esame orale (ca. 20 minuti) su i contenuti del corso. Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e contraesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.

N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985. Ulteriori testi di riferimento: S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.

Obiettivi formativi (Descrittori di Dublino) Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza chiara e sistematica dei principali concetti dell’analisi complessa in una variabile: funzioni olomorfe, teorema di Cauchy e sue applicazioni, singolarità isolate e zeri, mappe conformi, funzioni armoniche, serie di potenze e prodotti infiniti, funzione Gamma e funzione Zeta. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di esercizi e problemi, anche in contesti applicativi semplici, mostrando padronanza delle tecniche di calcolo e comprensione delle strutture matematiche di base. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di comprendere e valutare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni, riconoscendo gli strumenti concettuali più adatti per l’analisi e la risoluzione dei problemi proposti. Abilità comunicativeLo studente saprà esporre i concetti fondamentali del corso con chiarezza e rigore, utilizzando correttamente il linguaggio matematico. Capacità di apprendimentoLo studente svilupperà le competenze necessarie per proseguire in autonomia lo studio dell’analisi complessa e delle discipline affini, con capacità di consultazione di testi scientifici e risorse didattiche adeguate.

Parte 1. Preliminari. Funzioni olomorfe: definizione ed esempi. Funzioni intere. Condizioni di Cauchy–Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie di McLaurin per le principali funzioni elementari. Integrazione lungo curve. Curve parametriche, curve parametriche regolari a pezzi. Orientazione. Integrazione lungo curve e sue proprietà. Parte 2. Il teorema di Cauchy e applicazioni. Il lemma di Goursat. Esistenza di primitive locali e il teorema di Cauchy per un disco. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un disco. Teorema di Cauchy in un disco. Calcolo di alcuni integrali. Esempi di calcolo di integrali utilizzando il teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Teorema del massimo modulo e Lemma di Schwarz. Disuguaglianze di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono localmente somma di serie di potenze. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di identità delle funzioni olomorfe e prolungamento analitico. Ulteriori applicazioni. Il teorema di Morera. Convergenza uniforme sui compatti di successioni di funzioni olomorfe. Funzioni olomorfe definite mediante integrali. Il principio di simmetria e il principio di riflessione di Schwarz. Il problema dell’approssimazione mediante polinomi e il teorema di Runge. Parte 3. Funzioni meromorfe e il logaritmo. Zeri e poli. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo zero. Molteplicità di uno zero, zeri semplici. Polo di una funzione olomorfa. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo polo. Ordine del polo, parte principale e residuo. Formula per il residuo di un polo di ordine n. Formula dei residui. Il teorema dei residui. Esempi di applicazione del teorema dei residui. Singolarità e funzioni meromorfe. Singolarità rimovibili. Il teorema di Riemann sulle singolarità rimovibili. Caratterizzazione dei poli. Singolarità essenziali. Comportamento di una funzione in un intorno di una singolarità essenziale: il teorema di Casorati–Weierstrass. Funzioni meromorfe in una regione. Singolarità all’infinito. Caratterizzazione delle funzioni meromorfe nel piano complesso esteso. Il principio dell’argomento e applicazioni. Il principio dell’argomento. Il teorema di Rouché. Teorema della mappa aperta. Il logaritmo complesso. Esistenza del logaritmo in una regione semplicemente connessa. Determinazione principale del logaritmo. Serie di potenze del logaritmo. Esistenza del logaritmo di una funzione che non si annulla in una regione semplicemente connessa. Parte 4. Funzioni intere. La formula di Jensen. Teorema di Jensen. Funzioni di ordine finito. Ordine di una funzione intera. Relazione tra ordine di una funzione intera e suoi zeri. Prodotti infiniti. Definizione di convergenza di un prodotto infinito. Condizione sufficiente di convergenza. Convergenza di prodotti di funzioni olomorfe. La formula prodotto della funzione seno. Prodotti infiniti di Weierstrass. Esistenza di una funzione intera con zeri prescritti. Il teorema di fattorizzazione di Hadamard. Fattorizzazione di funzioni intere di ordine finito. Parte 5. La funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. La funzione zeta di Riemann: suo prolungamento analitico e connessione con il teorema dei numeri primi

Non sono previste prove in itinere. L'esame consiste di unaprova scritta e di una prova orale. La prova scritta, contenente esercizi e problemi di applicazione della teoria, se superata,da accesso alla prova orale nella quale lo studente darà prova della conoscenza degli aspetti fondamentali della teoria, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali teoremi. Supera l'esame chi dimostra di possedere le conoscenze teoriche richieste e le abilità necessarie a svolgere gli esercizi proposti. La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.

Ci sono molti ottimi testi di Analisi complessa. Il docente segnala i classici : Ahlfors: "Complex Analysis", McGraw-Hill Nevanlinna, Patero: "Introduction to Complex Analysis", Chelsea Publishing e, i più recenti: Stein and Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton University Press Ullrich: "Complex made simple", American Mathematical Society. Il docente metterà a disposizione, sul sito e-learning del corso, propri appunti ed esercizi.

L'insegnamento ha lo scopo di introdurre la teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti topologici e la teoria delle varietà differenziali. I risultati di apprendimento attesi includono:(1) Conoscenza e comprensione: lo studente dovrà acquisire la conoscenza delle definizioni e dei risultati basilari nell'ambito della teoria del gruppo fondamentale e delle varietà differenziali, così come di importanti esempi illustrativi della teoria discussa durante il corso. Dovrà comprendere le principali tecniche dimostrative presentate.(2) Capacità di applicare conoscenze: lo studente acquisisce la capacità di applicare le conoscenze assimilate nella risoluzione di problemi e nello studio di esempi concreti.(3) Autonomia di giudizio: lo studente dovrà essere capace di riconoscere dimostrazioni fallaci e nessi logici errati, nonchè di elaborare collegamenti con altre discipline in cui compaiono gli argomenti del corso.(4) Abilità comunicative: lo studente dovrà essere in grado di esprimere concetti matematici relativi alla geometria differenziale e alla topologia algebrica con la massima chiarezza e con elevato rigore espositivo. Lo studente dovrà maneggiare con disinvoltura anche il linguaggio e le nozioni precedentemente assimilate in altri corsi valutati come prerequisiti.(5) Capacità di apprendimento: lo studente dovrà assimilare le basilari tecniche di apprendimento per poter poi sviluppare le conoscenze acquisite nel proprio percorso futuro.

Il corso si suddivide in 3 moduli distinti da 16 ore ciascuno. I: Gruppo fondamentale, rivestimenti e proprietà. Definizione di gruppoide fondamentale e gruppo fondamentale puntato. Funzione indotta sui gruppi fondamentali da una funzione continua. Dipendenza dal punto base. Invarianza per equivalence omotopica del gruppo fondamentale. Spazi contraibili e 1-connessi. Definizione di rivestimento topologico. Esempi e proprietà. Teorema di sollevamento per funzioni continue puntate. Sollevamento di cammini e omotopie. Gruppo fondamentale del cerchio. Equivalenze di rivestimenti. Corrispondenza fra sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti. Rivestimento universale. Teorema di Seifert Van-Kampen e presentazione di gruppi. Azioni propriamente discontinue. II: Varietà differenziali e campi vettorialiDefinzione di varietà topologica e atlante differenziale. Definizione di funzioni lisce. Spazio tangente associato a una varietà differenziale. Derivazioni puntuali e velocità di curve. Il differenziale di una mappa liscia. Definizione di valore critico e valore regolare per funzioni lisce. Immersioni ed embedding. Sottovarietà di una varietà liscia. Teorema del valore regolare e del rango costante. Definizione di gruppo di Lie e sottogruppi di Lie. Esempi notevoli. Fibrato tangente a una varietà liscia. Campi vettoriali e derivazioni globali. Il commutatore fra campi vettoriali. Curve integrali e problemi di Cauchy. Completezza di campi vettoriali. Flusso di un campo vettoriale. Campi vettoriali invarianti su un gruppo di Lie. L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie. III: Forme differenziali su varietà lisce.Fibrato cotangente a una varietà e sue potenze esterne. Forme differenziali su una varietà liscia. Coomologia di De Rham: forme chiuse e forme esatte. Orientazione per varietà lisce. Varietà orientate e integrazione di forme a supporto compatto. Partizione dell'unità e integrazione. Il teorema di Stokes. Coomologia in grado massimo per varietà orientate compatte. Grado di una mappa liscia fra varietà orientate compatte. Formula del grado. Invarianza per omotopia della coomologia di De Rham e lemma di Poincarè. Successioni esatte di spazi vettoriali. Succesione esatta di Mayer Vietoris. Calcoli espliciti su teorema di Stokes e coomologia di De Rham.

La verifica del profitto si basa su due prove, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite. Prova scritta - conta di 4 esercizi che copriranno 3 possibili tipologie, precisamente esercizi di calcolo, definizioni ed esempi, piccole dimostrazioni. Il punteggio massimo ottenibile è 28 punti. Per poter accedere alla prova orale è necessario totalizzare un punteggio minimo di 14 punti.Prova orale - Si deve rispondere a due domande su argomenti trattati durante il corso o sugli esercizi della prova scritta, insistendo sui punti poco chiari.Il voto finale corrisponderà alla somma del punteggio totalizzato nelle due prove, entrambe obbligatorie. L'esame mira a verificare le conoscenze e le compentenze sviluppate, oltre che ad esaminare la chiarezza espositiva del candidato. Non sono previste prove in itinere.

Testi di riferimento Per il modulo relativo a gruppo fondamentale e rivestimenti: G. Bredon - Topology and Geometry (Capitolo 3) J. Munkres - Topology (Capitolo 9-11-13) A. Hatcher - Introduction to algebraic topology (Capitolo 3) Per i moduli relativi alla nozione di varietà differenziabili e di coomologia di De Rham la bibliografia suggerita è la seguente: L. Tu - An introduction to Manifolds. J. Lee - Introduction to Smooth Manifolds. R. Bott, L.Tu - Differential forms in algebraic topology. (Capitolo 1). A queste referenze si aggiungono le note del corso.

L'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base per lo studio di problemi di analisi matematica avanzata.Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere le tecniche dimostrative per risolvere esercizi e affrontare problemi di analisi matematica. In dettaglio, secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:(1) Conoscenza e capacità di comprensione. Gli studenti acquisiranno conoscenze di base dell' analisi matematica avanzata, con particolare riferimento a Spazi di Banach e di Hilbert, spazi Lp, convoluzione, operatori lineari tra spazi normati, Teorema di Baire e sue conseguenze, serie di Fourier, trasformata di Fourier.Lo studio di tali nozioni si basa sulle conoscenze acquisite negli insegnamenti precedenti e pone le basi per studi più avanzati. Viene incrementata la capacità di comprensione della teoria attraverso un'analisi profonda degli argomenti trattati e attraverso lo studio di esempi e applicazioni.(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione.Gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese nella risoluzioni di problemi di analisi matematica. Durante lo svolgimento del corso si richiederà di dimostrare enunciati di analisi matematica utilizzando tecniche dimostrative analoghe a quelle dei teoremi in programma.(3) Autonomia di giudizio.L’insegnamento ha l’obiettivo di sviluppare nello studente la capacità di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni, prestando anche particolare attenzione al modo in cui le ipotesi intervengono nel processo dimostrativo. Sarà inoltre incentivata l’autonomia nella selezione dei metodi risolutivi più adatti a seconda del tipo di problema. Queste abilità verranno potenziate anche attraverso il confronto tra diverse strategie risolutive per uno stesso problema.(4) Abilità comunicative.Gli studenti acquisiranno la capacità di comunicare concetti matematici in modo rigoroso e di presentare una dimostrazione in maniera schematica e comprensibile. Verrà incentivato l’utilizzo del linguaggio matematico formale, sottolineando nel contempo l’importanza di saper tradurre le idee in termini intuitivi.(5) Capacità di apprendimento.L'insegnamento si propone di fornire agli studenti gli strumenti necessari per proseguire in modo autonomo lo studio dell’analisi matematica a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, valorizzando le conoscenze già acquisite. Saranno inoltre stimolati ad attingere a fonti diverse per approfondire e aggiornare le proprie competenze.

Definizione ed esempi di spazi di Banach. Definizione di L^p (X, μ). Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Completezza di L^p (X, μ). Inclusioni di spazi L^p (X, μ), μ finita. Inclusioni di spazi L^p(Z). Relazioni tra convergenze in norma p, in misura e puntuale. Convoluzione. Identità approssimata. Densità di Cc (Rn ) e dello spazio di Schwartz in L^p (Rn ). Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Spazio Duale. Enunciato del teorema di Hahn Banach. Dualità degli spazi Lp (solo enunciato). Definizione degli spazi di Sobolev. Definizione di prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di spazio di Hilbert. Punti di minima distanza da un chiuso convesso. Teorema delle proiezioni. Disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. Formula di Parseval. Ortogonalizzazione di GramSchmidt. Serie di Fourier per funzioni in L^1(T), T toro. Nucleo di Dirichlet. Nucleo di Fejer. Convergenza in L2, uniforme e puntuale delle serie di Fourier. Definizione e prime proprietà della trasformata di Fourier. Cenni alla teoria delle distribuzioni.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Prove facoltative in itinere.Durante il corso verranno proposti alcuni titoli di argomenti da approfondire in gruppi di 3-4 studenti. Ogni gruppo dovrà scrivere un breve elaborato (di alcune pagine) e presentare il lavoro oralmente, con un intervento individuale della durata di circa 15 minuti a testa. Il progetto sarà valutato con un punteggio massimo di 4 punti per il contenuto scritto e fino a 2 punti per la presentazione orale.In tal modo ogni studente può accumulare fino ad un massimo di 6 punti da sommare al voto dello scritto, qualora questo sia maggiore di 12. Prova scritta La prova scritta consiste in domande aperte volte a verificare la comprensione dei contenuti del corso, l'abilità di applicare alla risoluzione di problemi le tecniche dimostrative apprese , la chiarezza espositiva. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento. Il punteggio massimo per lo scritto è 33. Gli esercizi proposti sono in linea con quelli svolti durante le lezioni. L'ammissione alla prova orale avviene con una valutazione dello scritto maggiore o uguale a 16. La durata della prova scritta è di due ore. Prova orale L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in domande di carattere teorico (definizioni e teoremi con dimostrazione) sugli argomenti trattati a lezione. Nella prova orale verranno valutate la conoscenza e la comprensione del contenuto del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale.Il voto finale è dato dal punteggio della prova scritta a cui vengono sommati o sottratti punti in sede di orale..

G.B. Folland "Real Analysis"L. Grafakos "Classical Fourier Analysis"W. Rudin "Real and Complex Analysis"W. Rudin "Functional Analysis"E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis" Note del docente

Il corso si propone di mostrare come fenomeni fisici di primaria importanza siano descritti tramite equazioni differenziali alle derivate parziali, di insegnarne i metodi di soluzione e le proprietà delle stesse. In termini dei descrittori di Dublino, gli obiettivi sono: 1 (Conoscenza e capacità di comprensione) Lo studente acquisirà la conoscenza di quali siano le proprietà fondamentali delle soluzioni delle equazioni delle onde, del calore e di Laplace, oltre alla nozione di distribuzione. 2 (Conoscenza e capacità di comprensione applicate) Lo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di problemi di interesse fisico-matematico e a relative semplici applicazioni, acquisendo padronanza delle tecniche di soluzione e dei differenti comportamenti qualitativi delle soluzioni. 3 (Autonomia di giudizio) Una particolare attenzione è rivolta ad assicurarsi che lo studente apprenda a interpretare le proprietà qualitative delle soluzioni dei problemi proposti e sia in grado di discernere in autonomia se costituiscano una rappresentazione plausibile del fenomeno descritto. 4 (Abilità comunicative) Lo studente dovrà essere in grado di descrivere con chiarezza e rigore i concetti fondamentali, utilizzando il linguaggio matematico in maniera corretta. 5 (Capacità di apprendere) Lo studente arriverà ad essere capace di estendere le analisi in autonomia, facendo ricorso a testi scientifici adeguati, a differenti fenomeni fisici, tramite equazioni alle derivate parziali, con il rigore proprio della fisica matematica.

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: equazioni di Maxwell, equazione del trasporto ed equazione di Eulero. Equazione del trasporto: soluzione del problema ai dati iniziali e metodo delle caratteristiche. Equazione delle onde: deduzione dal modello di corda vibrante e dalla catena di oscillatori armonici, soluzioni in 1 dimensione, caratteristiche e cono causale, invarianza di Lorentz, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura, dipendenza dalla dimensione dello spazio, principio di Huygens e soluzione di Kirchhoff, potenziali di Liénard-Wiechert. Equazione del calore: giustificazione fisica, soluzioni autosimilari, soluzione fondamentale e soluzione del problema ai dati iniziali, principio del massimo debole, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura. Soluzioni in domini limitati dell'equazione delle onde e del calore, operatori simmetrici e dipendenza dalle condizioni al contorno. Confronto tra equazione delle onde e del calore, relazione di dispersione. Equazione di Laplace: soluzioni radiali, identità di Green, proprietà delle funzioni armoniche, principio di Dirichlet, condizioni al bordo e condizioni di compatibilità. Equazione di Poisson: formula di rappresentazione e soluzione generale, funzioni di Green, metodo delle cariche immagine. Distribuzioni: definizione e proprietà fondamentali, delta di Dirac e funzioni di Green, soluzioni deboli, distribuzioni temperate e trasformate di Fourier.

L'esame è individuale e consiste di due parti, una scritta ed una orale, entrambe obbligatorie. Nello scritto si valuta la capacità di risolvere problemi ed esercizi di tipo analogo a quelli presentati in classe, nell'orale si valuta la comprensione dei concetti matematici e la loro derivazione, con la richiesta di enunciati e dimostrazioni di teoremi, esempi importanti e deduzioni di equazioni da problemi fisici.

Testo di riferimento: W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons Saranno fornite anche alcune note dal docente. Ulteriori testi consigliati: S.Salsa Partial differential equations in action, Springer L.C. Evans, Partial differential equations, AMS G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons

Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una solida conoscenza dei principali concetti della statistica inferenziale, con particolare attenzione alla teoria degli stimatori, all'informazione di Fisher, agli intervalli di confidenza e ai test di ipotesi. Verranno approfonditi i modelli statistici formali e i fondamenti teorici alla base della stima e dell'inferenza, sviluppando una comprensione rigorosa dei metodi statistici dal punto di vista matematico. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di applicare in modo critico le tecniche statistiche a problemi concreti, selezionando modelli adeguati e utilizzando strumenti computazionali (in particolare il software R) per l’analisi di dati reali o simulati. Sarà inoltre in grado di valutare l’efficienza e le proprietà degli stimatori all’interno di modelli specifici. Autonomia di giudizioLo studente svilupperà la capacità di analizzare in modo autonomo problemi inferenziali, valutando criticamente le assunzioni dei modelli e le implicazioni delle scelte metodologiche. Saprà confrontare diversi metodi inferenziali e motivare le scelte operate in contesti teorici e applicati. Abilità comunicativeLo studente sarà in grado di esporre con chiarezza e rigore argomenti teorici e applicativi della statistica matematica, utilizzando un linguaggio tecnico appropriato. Saprà redigere relazioni sull’analisi statistica dei dati e presentare i risultati ottenuti sia a interlocutori specialisti che non specialisti. Capacità di apprendimentoLo studente svilupperà le competenze necessarie per affrontare in modo autonomo lo studio di testi avanzati di statistica e per approfondire in maniera indipendente aspetti teorici e applicativi del campo, anche in vista di un eventuale percorso di studi magistrale o attività di ricerca.

Il programma è uguale per frequentanti e non frequentanti. Richiami di Calcolo delle Probabilità● Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, con relative densità.● Analisi dettagliata delle distribuzioni discrete notevoli: Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Poisson e Uniforme discreta.● Analisi delle distribuzioni continue notevoli: Uniforme, Esponenziale, Gamma e Normale (Gaussiana).● Calcolo dei momenti di ordine n, del valore atteso, della varianza e introduzionealle funzioni caratteristiche.● Studio dei vettori gaussiani: definizione tramite combinazioni lineari, vettore delle medie, matrice di covarianza e proprietà di indipendenza stocastica legata all'incorrelazione. Teoria del Campionamento e Statistiche Sufficienti● Definizione di campione statistico estratto da una popolazione e formalizzazione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.).● Struttura probabilistica del campione: densità congiunta.● Studio delle statistiche campionarie fondamentali: media campionaria e varianzacampionaria, con verifica analitica delle loro proprietà e dei rispettivi valori attesi.● Definizione formale di statistica sufficiente per un parametro incognito e applicazione del criterio di fattorizzazione per l'identificazione della sufficienza. Teoria della Stima Puntuale● Definizione di stimatore puntuale e studio sistematico della proprietà di consistenza● Richiami operativi sulla Legge Debole dei Grandi Numeri (LDGN) e sui principali concetti di convergenza (in probabilità e in legge).● Errore Quadratico Medio (MSE) come misura di accuratezza: scomposizione in varianza e distorsione (bias) dello stimatore.● Criteri di ottimalità nella stima: ricerca di stimatori non distorti a varianza minima (Best Unbiased Estimators - BUE).● Metodologie classiche per la costruzione degli stimatori puntuali: approfondimento sul metodo dei momenti. Stima per Intervalli (Intervalli di Confidenza)● Inquadramento del problema della stima intervallare: definizione di coppia di statistiche per delimitare il parametro d'interesse.● Definizione formale del livello di confidenza e del coefficiente di confidenza minimale.● Metodi costruttivi per intervalli di confidenza esatti ed esempi applicativi su modelli notevoli (es. stima della frequenza in modelli Bernoulliani o parametri di modelli Gamma). Test di Ipotesi Statistiche (Teoria Esatta)● Formulazione logico-matematica delle ipotesi statistiche: partizione dello spazio deiparametri in ipotesi nulla (H0) e ipotesi alternativa (H1).● Definizione della regione di rifiuto e formalizzazione degli errori decisionali: Errore di Prima Specie (rifiutare H0 quando è vera) ed Errore di Seconda Specie (accettare H0 quando è falsa).● Definizione e studio della funzione di potenza del test statistico e ampiezza del test.● Struttura del test del rapporto di verosimiglianza (Likelihood Ratio Test - LRT) in contesti esatti e ruolo delle statistiche sufficienti nella riduzione dello spazio campionario. Teoria Asintotica e Grandi Campioni● Analisi del comportamento delle famiglie di stimatori al tendere dell'ampiezza campionaria all'infinito: proprietà di consistenza e normalità asintotica.● La teoria della Massima Verosimiglianza: definizione della funzione di log-verosimiglianza e costruzione degli Stimatori di Massima Verosimiglianza (MV).● Studio dell'Informazione di Fisher (attesa e osservata) e legame con l'efficienza asintotica degli stimatori di massima verosimiglianza.● Proprietà di consistenza locale e globale del punto di massimo della log-verosimiglianza sotto opportune condizioni di regolarità. Test Asintotici● Costruzione di test statistici basati su approssimazioni per grandi campioni.● Comportamento asintotico della statistica del rapporto di verosimiglianza: il Teorema sulla convergenza della statistica -2 log(λ) a una distribuzione Chi-quadro sotto l'ipotesi nulla.● Il Test di Wald basato sull’asintotica normalità dgli stimatori di MV. Introduzione a R

L'esame si compone di due parti (Scritto obbligatorio e Orale opzionale)Lo scritto è obbligatorio, ed è superato solo se si ottiene una valutazione maggiore o uguale a 16.L'orale è obbligatorio se si desidera una valutazione superiore a 28 o se si è conseguita alla scritto una valutazione inferiore a 20.L'orale può comunque sempre essere richiesto sia dal docente che dallo studente e deve essere sostenuto nella stessa sessione dello scritto. Lo scritto consiste di2. domande a risposta aperta (sui concetti teorici descritti nel corso, ivi comprese le richieste di enunciare una definizione e/o enunciare e dimostrare teoremi)2. esercizi scritti: applicazione dei concetti teorici e di tecniche analoghe agli esercizi proposti a lezione e per casa.presentazioneDurante lo scritto non è consentito tenere materiale didattico,eccetto un formulario fonito su moodle L'orale è a richiesta del docente e/o dello studente ed è un colloquio sullo scritto, sugli argomenti svolti a lezione e sulla relazione. Nell'orale sono valutate le stesse qualità delle risposte che sono valutate nello scritto.

Dispense del DocenteStatistical inference / George Casella, Roger L. Berger. https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&opi=89978449&url=https://pages.stat.wisc.edu/~shao/stat610/Casella_Berger_Statistical_Inference.pdf&ved=2ahUKEwjJjq7Bk4yVAxUp1wIHHQmmCQYQFnoECA4QAQ&usg=AOvVaw3vA7hSUPxpugJ-ZDtidArd Introduzione alla statistica di A.M.Mood, F.A.Graybill, D.C.Boes, 1991, McGraw-Hill Italia,ISBN: 9788838606618An Introduction to Mathematica Statistics: F. Bijma, M. Jonker, A. van der Vart, Amsterdam University Press Altro materiale: slide delle lezioni e degli esercizi su elearning.unimib.it

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base, con un profondo supporto teorico, riguardanti le tematiche del corso (principalmente ottimizzazione, e anche discretizzazione di equazioni ordinarie). Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere, analizzare e confrontare con senso critico i vari metodi proposti, nonché implementarli al calcolatore. Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino Conoscenza e capacità di comprensioneLo studente acquisirà una conoscenza di base, ma solida, degli strumenti dell’analisi numerica applicata all’ottimizzazione e alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Verranno forniti sia i fondamenti teorici sia esempi concreti di applicazione. Particolare attenzione sarà posta alla comprensione del comportamento e dei limiti dei metodi numerici. Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente sarà in grado di applicare i metodi studiati per risolvere problemi semplici di ottimizzazione (con e senza vincoli) e per discretizzare e risolvere equazioni differenziali ordinarie. Sarà inoltre in grado di implementare gli algoritmi in un ambiente di calcolo (come MATLAB) e di verificarne l’efficacia su esempi pratici. Autonomia di giudizioIl corso stimola la capacità di valutare in modo critico i metodi numerici proposti, selezionando quelli più appropriati in base al problema specifico. Gli studenti svilupperanno un atteggiamento riflessivo nell’interpretare i risultati ottenuti numericamente, anche alla luce delle possibili instabilità o scelta di parametri coinvolti. Abilità comunicativeGli studenti apprenderanno a descrivere con chiarezza le tecniche numeriche utilizzate e i risultati ottenuti, utilizzando una corretta terminologia matematica e tecnica. Saranno in grado di presentare oralmente i risultati delle attività svolte, anche di laboratorio al calcolatore. Capacità di apprendimentoAl termine del corso, gli studenti avranno acquisito le competenze necessarie per affrontare autonomamente lo studio di metodi numerici più avanzati e per applicare quanto appreso in altri ambiti.

Tutti gli argomenti svolti in aula avranno anche una parte di sviluppo dei codici in laboratorio informatico (MATLAB). Alcuni laboratori consisteranno nell'approssimazione di problemi al continuo e dunque comporteranno anche un passaggio di "discretizzazione". Metodi iterativi di punto fisso, proprietà di convergenza locale e globale. Ricerca degli zeri, metodi quasi-Newton con diversi esempi, convergenza locale. Ricerca di minimi, metodi line search con diversi esempi, proprietà varie di convergenza, applicazione al caso della ricerca degli zeri. Ricerca di minimi vincolati, gradiente proiettato, condizioin Kuhn-Tucker, lagrangiana, metodo di Uzawa. Equazioni differenziali ordinarie, metodi a un passo con diversi esempi, teoria di convergenza e di stabilità asintotica.

L' esame di compone di un singolo orale, diviso in due parti. In una prima parte si discuterà un progetto di laboratorio (svolto individualmente), scelto dal docente tra quelli che lo studente ha deciso di portare all'esame (devono essere 3, a scelta dello studente tra quelli svolti in laboratorio durante l'anno). La seconda parte di tratta di un esame orale su tutte le tematiche svolte nel corso, per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e operativa delle definizioni, dei risultati e delle loro dimostrazioni. Il peso relativo, sul voto finale, delle due parti, progetto e parte teorica, sono circa pari a 30% e 70% (entrambe dovendo essere sufficienti per passare l'esame). Nella discussione del progetto viene valutata la correttezza dei risultati e la comprensione dello studente circa gli aspetti pratici/computazionali del metodo utilizzato. Nella parte di esame teorico, vengono valutate principalmente la comprensione dell'argomento e il rigore matematico nel esporre i metodi e le relative dimostrazioni. Non sono previste prove in itinere.

• C.T. Kelley, “Iterative methods for linear and nonlinear equations”, SIAM • J. Nocedal, S.J. Wright, “Numerical Optimization”, Springer • P.G. Ciarlet, “Introduction to numerical linear algebra and optimizations”, Cambridge Texts in Applied Math • Dispense della parte su Eq. Diff. Ord.

Conoscenza e capacità di comprensioneGli studenti acquisiranno una comprensione di base delle equazioni di Maxwell e della relatività ristretta, con particolare attenzione agli aspetti concettuali e al legame tra i fenomeni elettrici, magnetici e relativistici. Conoscenza e capacità di comprensione applicateGli studenti saranno in grado di applicare i principi dell'elettromagnetismo alla risoluzione di semplici problemi di elettrostatica, magnetostatica, induzione elettromagnetica, e circuiti RLC. Autonomia di giudizioGli studenti svilupperanno la capacità di analizzare criticamente i risultati ottenuti, valutando la coerenza fisica delle soluzioni e la validità dei modelli utilizzati. Abilità comunicativeGli studenti saranno in grado di esporre in modo chiaro e rigoroso i concetti fondamentali dell’elettromagnetismo e della relatività, utilizzando una terminologia scientifica appropriata. Capacità di apprendereGli studenti acquisiranno gli strumenti metodologici per approfondire autonomamente i contenuti del corso e affrontare lo studio di discipline affini nell’ambito della fisica classica e moderna.

Elettrostatica. Legge di Coulomb; campo e potenziale elettrico. Legge di Gauss. Equazione di Poisson e Laplaciano. Energia del campo elettrico. Rotore del campo elettrico. Funzioni armoniche. Conduttori. Condensatori. Calcolo esterno. Cariche in moto. Corrente elettrica; legge di Ohm. Circuiti RC. Relatività ristretta. Trasformazioni di Lorentz, quadrivettori. Magnetostatica. Inevitabilità del campo magnetico; sua divergenza e rotore. Potenziale vettore. Induzione magnetica. Circuiti in moto in campo magnetico; legge di Faraday. Induttanza. Energia del campo magnetico. Circuiti LRC. Applicazioni: linee di alta tensione, radio. Equazioni di Maxwell. Correnti dipendenti dal tempo. Onde elettromagnetiche. Vettore di Poynting. Notazione relativisticamente covariante per il campo elettromagnetico e per le equazioni di Maxwell. Calcolo esterno e spaziotempo.

Esame scritto. Quattro esercizi, tre ore.È possibile svolgere lo scritto in due compiti parziali. Ciascuno di essi consisterà di tre esercizi, in due ore.Sia per il compito scritto ordinario che per i compiti parziali sarà valutata soprattutto la correttezza del ragionamento e dell'impostazione.Su richiesta, l'esame può essere sostenuto in lingua inglese.

Dispense disponibili pressohttps://www.dropbox.com/s/s2kvegmy9t0xc5t/EM.pdf?dl=0 D. J. Griffiths, Introduction to electrodynamics. Prentice Hall, 1999. E. M. Purcell and D. J. Morin, Electricity and magnetism. Cambridge University Press, 2013.

Conoscenza e capacità di comprensione (DdD 1)Al termine del corso, lo studente conosce il linguaggio formale della teoria della probabilità, i principali concetti (spazio di probabilità, variabili aleatorie, distribuzioni, indipendenza, valore atteso, varianza), nonché i risultati fondamentali (legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale, regole di calcolo delle probabilità). Conoscenza e capacità di comprensione applicate (DdD 2)Lo studente è in grado di applicare i concetti e i teoremi appresi per risolvere problemi elementari di probabilità, analizzare semplici modelli stocastici, e affrontare esercizi standard sia in contesti teorici che applicati. Autonomia di giudizio (DdD 3)Lo studente sviluppa capacità critiche nel riconoscere l’approccio probabilistico più adatto per modellare fenomeni semplici, valutando ipotesi, assunzioni e limiti dei modelli utilizzati. L'autonomia è favorita dalla discussione in aula e dalla redazione di elaborati o esercizi guidati. Abilità comunicative (DdD 4)Lo studente acquisisce la capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso argomentazioni probabilistiche, sia in forma scritta che orale, utilizzando il linguaggio matematico appropriato, anche all’interno di lavori di gruppo o brevi presentazioni. Capacità di apprendere (DdD 5)Il corso fornisce le basi metodologiche per lo studio autonomo della probabilità e delle sue applicazioni, favorendo la capacità di approfondire argomenti correlati (statistica, processi stocastici, machine learning) in percorsi successivi.

1. Spazi di probabilità Introduzione alla probabilità Assiomi della probabilità Proprietà di base della probabilità Calcolo combinatorio e spazi uniformi Probabilità condizionale Indipendenza di eventi 2. Variabili aleatorie Richiami di teoria della misura Distribuzioni notevoli discrete e assolutamente continue Variabili aleatorie Leggi marginali e legge congiunta Indipendenza di variabili aleatorie Trasformazioni di variabili aleatorie Valore medio, momenti, varianza e covarianza Spazi Lᵖ e disuguaglianze Correlazione e regressione lineare (cenni) 3. Convergenza e teoremi limite Richiami sui teoremi di convergenza Lemma di Borel-Cantelli Legge debole e forte dei grandi numeri Nozioni di convergenza per variabili aleatorie Convergenza debole di probabilità Legge dei piccoli numeri Teorema limite centrale e approssimazione normale Legge 0-1 di Kolmogorov 4. Catene di Markov Introduzione ai processi stocastici Catene di Markov e proprietà di base Stati ricorrenti e transitori Misure invarianti e reversibili Teoremi di convergenza (cenni) Probabilità di assorbimento (cenni) Passeggiate aleatorie su grafi (cenni) 5. Modelli e applicazioni (presentati in parallelo alla teoria, tempo permettendo) Paradossi classici (compleanni, Monty-Hall, ...) Permutazioni aleatorie e punti fissi Il teorema di approssimazione di Weierstrass Simulazione di variabili aleatorie Passeggiata aleatoria semplice Rovina del giocatore

Prova scritta - o prove parziali - e prova orale, con le modalità descritte qui sotto. Gli aspetti valutati in ciascuna prova sono l'esattezza delle risposte, la creatività, la precisione, la chiarezza espositiva. Ci saranno 6 appelli d'esame. La prova scritta ha una durata di tre ore e riceve una valutazione in trentesimi. Nella prova vengono valutate sia conoscenze e competenze teoriche (definizioni, esempi e controesempi) sia abilità pratiche (soluzione di esercizi). La prova scritta risulta superata col punteggio minimo di 15/30 e permette di accedere alla prova orale. A metà e alla fine dell'insegnamento sono previste due prove parziali, con struttura analoga alla prova scritta, della durata di un'ora e mezza ciascuna, valutate in trentesimi. Il superamento di entrambe le prove parziali col punteggio minimo di 15/30 equivale al superamento della prova scritta (con la media dei punteggi ottenuti) e permette di accedere alla prova orale. La prova orale ha una durata di 30-45 minuti e riceve una valutazione in trentesimi. Può essere sostenuta in un appello qualsiasi dell'anno accademico (dopo avere superato la prova scritta). Nella prova viene valutata la conoscenza di una selezione di dimostrazioni e la conoscenza operativa delle nozioni presentate. La prova orale risulta superata col punteggio minimo di 15/30. La valutazione finale risulta dalla media delle valutazioni della prova scritta e della prova orale. L'esame risulta superato col punteggio minimo di 18/30. Esonero dalla prova orale. Chi supera la prova scritta con un punteggio compreso tra 20/30 e 27/30 può rinunciare a sostenere la prova orale, registrando il voto ottenuto nella prova scritta; con un punteggio superiore a 27/30 è ancora possibile rinunciare a sostenere la prova orale, ma in questo caso il voto registrato sarà di 27/30; infine, con un punteggio inferiore a 20/30, è necessario sostenere la prova orale.

Libri di riferimento F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità. Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni. Seconda Edizione (2021), Springer-Verlag Italia. D. F. Anderson, T. Seppäläinen, B. Valkó. Introduction to Probability. Cambridge University Press (2018). J. Jacod, P. Protter. Probability Essentials. 2nd Edition, Springer (2003). P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill (2007, 2011). Altro materiale didattico (disponibile sulla pagina e-learning) Dispense del docente su argomenti specifici Fogli di esercizi settimanali (con soluzioni dettagliate) Testi delle prove scritte degli anni passati (con soluzioni dettagliate) Elenco delle dimostrazioni per la prova orale