matematica per l'ingegneria

L’insegnamento vuole sviluppare la capacità da parte dello/a studente/ssa di visualizzare un problema usando un approccio geometrico per la soluzione, e di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo/a studente/ssa acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) e algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Lo/a studentessa acquisisce inoltre la capacità di collegare aspetti geometrici ed algebrici dello stesso problema. Infine egli/ella acquisisce le competenze necessarie per trattare numericamente, anche mediante l’utilizzo di un calcolatore, tutte quelle situazioni in cui i metodi algebrici non sono applicabili con “carta e penna� (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare con un numero elevato di incognite ed equazioni). In particolare, lo/a studente/ssa impara a identificare un ente geometrico/algebrico, a riconoscerne le proprietà teoriche e a individuare e applicare il metodo algebrico/numerico più opportuno per il suo trattamento. L’implementazione e l’applicazione dei metodi numerici viene effettuata tramite il software MATLAB, di cui verrà appresa la sintassi di base.

L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, usando la geometria come motivazione, educando lo studente a pensare in modo geometrico, e quindi sviluppare l'intuizione, e a seguire il ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici: PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici: potenze, potenze inverse, QR (cenni). Decomposizione ai valori singolari di matrici e sue principali applicazioni.

E' possibile sostenere l?esame in anticipo rispetto all?acquisizione della frequenza

Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare�, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria�, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam v1 and v2, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.

Capacità di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprietà essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualità di calcolo.

L’insegnamento di Analisi Matematica I costituisce la cerniera tra la scuola media superiore e l’università . Lo scopo principale dell’insegnamento è di abituare gli studenti a seguire la concatenazione di semplici argomentazioni e di insegnare loro gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile, con applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici. Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze. Funzioni: iniettività e suriettività ; funzioni composte e inverse. Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. (Circa 15 ore) Limiti e continuità : Limiti di funzioni e successioni; continuità . Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale rispetto a un campione. Asintoti. Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. (Circa 24 ore) Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e continuità . Punti di non derivabilità , punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hôpital. Formula di Taylor e sviluppi di Maclaurin fondamentali. Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità . Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. (Circa 23 ore) Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale definito. Proprietà dell’integrale. Media integrale, teorema della media e Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Relazione tra primitive e integrazione definita. Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. (Circa 21 ore) Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica, forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici dei numeri complessi. Teorema Fondamentale dell'Algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero. Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. (Circa 17 ore)

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I testi di seguito elencati sono da considerarsi indicativi. Maggiori dettagli verranno forniti dal docente in aula. C. Canuto, A. Tabacco. Analisi Matematica I. Pearson, 2021. S. Lancelotti. Lezioni di Analisi Matematica 1. Celid, 2013. F. Nicola. Analisi Matematica I. Appunti delle lezioni. CLUT, 2018.

Al termine dell’insegnamento lo studente - Sarà in grado di utilizzare un linguaggio tecnico-scientifico appropriato - conoscerà la struttura atomica e le configurazioni elettroniche, comprendendone il ruolo nella determinazione delle proprietà periodiche degli elementi. - Conoscerà le diverse tipologie di legame chimico, sapendone definire le caratteristiche principali (es. energia di legame, lunghezza di legame, ordine di legame). - Saprà ricavare formule di struttura di molecole e ioni. - Sarà in grado di interpretare e bilanciare le reazioni chimiche, comprendendo le relazioni ponderali tra reagenti e prodotti. - Conoscerà struttura e proprietà dei solidi (ionici, covalenti, metallici e molecolari), nonché le proprietà chimiche e fisiche di gas, liquidi e soluzioni. - Saprà interpretare gli aspetti termodinamici e cinetici delle reazioni chimiche - Saprà interpretare gli aspetti energetici relativi a sistemi chimici ed elettrochimici. - Saprà applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi di calcolo relativi alle leggi dei gas, alle proprietà colligative delle soluzioni, agli equilibri chimici, alla termochimica, al pH, alle celle galvaniche e ai processi elettrolitici.

L'insegnamento si propone di fornire le basi necessarie per l'interpretazione di fenomeni chimici, per la conoscenza della struttura e delle proprietà dei solidi cristallini e per la comprensione ed il calcolo dei fenomeni energetici relativi a sistemi chimici ed elettrochimici. L'insegnamento intende fornire allo studente una solida preparazione scientifica, volta alla conoscenza, alla comprensione e alla descrizione della struttura e delle proprietà della materia, contribuendo, contestualmente agli altri insegnamenti del primo anno, al consolidamento dei fondamenti culturali tecnico-scientifici propri di ogni ingegnere. L’insegnamento di Chimica costituisce pertanto uno strumento efficace per l’accrescimento sia della capacità di ragionamento critico che dell’uso appropriato del linguaggio scientifico.

ATOMO Costituzione del nucleo, struttura dell'atomo di idrogeno e modelli atomici di Bohr e quantistico-ondulatorio. Numeri quantici, principio di esclusione e regola di Hund Forma spaziale degli orbitali s,p,d CLASSIFICAZIONE DEGLI ELEMENTI E TAVOLA PERIODICA Configurazione elettronica degli elementi e periodicità nelle loro proprietà chimiche e fisiche Raggio atomico, energia di ionizzazione ed affinità elettronica. Suddivisione in metalli, nonmetalli e semimetalli. Generalità sui gruppi principali della tavola periodica e su alcuni metalli di transizione. LEGAME CHIMICO Il legame ionico, covalente, metallico. Legame semplice, doppio e triplo. Geometria molecolare, teoria dell'ibridazione e della risonanza. Cenni sulla teoria degli orbitali molecolari. INTERAZIONI INTERMOLECOLARI Interazioni di van der Waals e legame a idrogeno. NOMENCLATURA, FORMULE E STECHIOMETRIA Massa atomica e molecolare, mole, numero di Avogadro; definizioni ed unità di misura. Reazioni acido-base e formazione di sali. Stato di ossidazione e bilanciamento di reazioni redox. Relazioni ponderali in una reazione, reagente limitante. Reazioni di combustione. STATO GASSOSO Leggi dei gas ideali. Equazione di stato dei gas ideali. Distribuzione statistica delle energie (Boltzmann). Equazione di stato dei gas reali. STATO LIQUIDO Tensione di vapore di liquidi puri. Soluzioni e modi di esprimere la loro concentrazione. Dissociazione elettrolitica e grado di ionizzazione. Proprietà colligative di soluzioni elettrolitiche e non. Definizione di acido e base secondo Arrhenius, Brönsted e Lewis. Prodotto ionico dell'acqua. pH, pOH e idrolisi dei sali. STATO SOLIDO Cella elementare e struttura dei più semplici solidi cristallini. Reticoli cristallini. Classificazione dei solidi. EQUILIBRI TRA FASI Liquefazione dei gas. Diagramma di stato di sostanze pure (acqua e anidride carbonica). CINETICA CHIMICA E CATALISI Velocità e ordine di reazione. Equazione di Arrhenius. Energia di attivazione. Catalisi e catalizzatori. EQUILIBRIO CHIMICO Legge di azione di massa. Equilibri chimici omogenei ed eterogenei. Principio di le Chatelier ed influenza della temperatura sull'equilibrio. TERMODINAMICA CHIMICA Primo, secondo e terzo Principio. Entalpia di reazione e legge di Hess. Energia libera ed entropia in una reazione. Criterio di spontaneità . ELETTROCHIMICA Potenziale normale ed effettivo di un elettrodo. Celle elettrochimiche ed equazione di Nernst. Forza elettromotrice di una pila. Reattività di metalli con acidi ossidanti e non. Elettrolisi e leggi di Faraday. CHIMICA ORGANICA Nomenclatura e proprietà dei principali composti organici. I gruppi funzionali più comuni e le loro principali reazioni. Isomeria strutturale.

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I testi consigliati, scelti tra quelli elencati, saranno comunicati a lezione dal Docente titolare dell'insegnamento. ' P. Atkins, L. Jones, Principi di Chimica, Zanichelli ' Giannoccaro, Doronzo, Elementi di stechiometria, EdiSES ' Manfredotti-Lanfredi, Tiripicchio, Fondamenti di Chimica, Casa Editrice Ambrosiana ' R. Michelin A. Munari, Fondamenti di Chimica per l'ingegneria, Cedam ' Petrucci-Harwood, Chimica generale,Principi e moderne applicazioni,Piccin ' Schiavello, Palmisano, Fondamenti di Chimica, EdiSES ' M.S.Silberberg, Chimica, Mc Graw-Hill Materiale utile si trova anche sul sito della didattica online del Politecnico di Torino o nelle pagine web dei singoli corsi.

Conoscenza del principio di induzione e suo utilizzo nella teoria e nelle applicazioni. Conoscenza dei principali strumenti combinatori e di conteggio. Capacità di impostare, formalizzare e risolvere alcuni tipici problemi di conteggio e combinatoria. Conoscenza, utilizzo e risoluzione esplicita delle ricorsioni lineari. Conoscenza delle serie numeriche e dei concetti base di convergenza per successioni di funzioni. Capacità di risolvere problemi che coinvolgono la rappresentazione di funzioni in serie di potenze o di Fourier. Conoscenza degli elementi di base di teoria dei grafi. Capacità di modellizzare problemi concreti (ad esempio la pianificazione di eventi sotto determinati vincoli, l'ottimizzazione del percorso tra due località , l'analisi di strategie di gioco) mediante grafi con opportune proprietà . Capacità di tradurre alcune istanze di problemi concreti (ad esempio procedure ricorsive o semplici problemi di tassellamento e di combinatoria enumerativa) nell'equivalente oggetto matematico/combinatorio.

Scopo dell'insegnamento è quello di fornire le nozioni fondamentali su serie numeriche, successioni e serie di funzioni e di introdurre alcune nozioni e tecniche di base della matematica combinatoria e della teoria delle strutture discrete quali grafi ed alberi. Viene posto l'accento sulle serie di potenze e di Fourier e su diverse questioni (quali ad esempio problemi di tassellamento e di conteggio, alberi decisionali, stime di complessità per le procedure ricorsive) che ammettono una formulazione naturale nel contesto della matematica discreta.

2CFU Corrispondenze ed applicazioni. Relazioni di equivalenza ed ordine. Cardinalità (cenni). Principio di induzione e buon ordinamento di N. Primi problemi di conteggio. Alberi decisionali e processi ricorsivi. Funzioni e conteggio, il principio dei cassetti, il principio moltiplicativo e quello additivo. Selezioni con o senza ordine, con o senza ripetizioni. Permutazioni, coefficienti binomiali e multinomiali, formula del binomio. Esempi classici. Il principio di inclusione-esclusione ed applicazioni. 4 CFU. Ricorsioni lineari e non lineari ed applicazioni. Definizioni e criteri di convergenza per le serie numeriche. Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme, scambio dell’ordine dei limiti (limiti e derivate, limiti e integrali). Serie di potenze, serie di Taylor e funzioni analitiche (raggio di convergenza, derivazione per serie). Serie di Fourier: definizioni e criteri di convergenza (cenni). 2 CFU. Grafi non orientati, passeggiate, cammini e cicli. Passeggiate Euleriane e cicli Hamiltoniani. Alberi. Combinatoria dei grafi. Grafi planari, la formula di Eulero e i suoi corollari, problemi di colorazione ed applicazioni. Grafi bipartiti. Matrice di adiacenza, cenni sulla teoria spettrale per i grafi, esempi di spettro. Esempi e applicazioni, in particolare ai problemi di tassellamento e agli algoritmi di ordinamento. Cenno ai grafi diretti e con peso.

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Il contenuto del corso è coperto per intero da dispense e altro materiale (comprendente esempi ed esercizi svolti) e reso disponibile online agli/alle studenti iscritti al corso. Per possibili approfondimenti, è adatto allo scopo qualsiasi testo dal titolo "Discrete Mathematics", "Graph Theory" o analoghe varianti. Alcuni esempi specifici sono i seguenti: L. Lovász e K. Vesztergombi , "Lecture Notes on Discrete Mathematics" (disponibile online). N. L. Biggs, "Discrete Mathematics". Clarendon Press, Oxford, 1985. A. E. Brower e W. H. Haemers, "Spectra of graphs". Springer, New York, 2012 K.H. Rosen. Discrete mathematics and its applications (7th edition) A. Bacciotti, F. Ricci, Lezioni di analisi matematica 2, Levrotto & Bella 1991 http://www.integr-abile.unito.it/Libri/Analisi2/Analisi2.pdf G. Gilardi, Analisi due, seconda edizione, McGraw-Hill 2014

• Conoscenza e capacità di comprensione (acquisizione delle basi teoriche e sperimentali della meccanica e della termodinamica e comprensione critica delle loro leggi; avvio alla comprensione del metodo scientifico, della natura e delle modalità della ricerca in Fisica). - Applicazione pratica delle conoscenze acquisite (capacità di identificazione degli elementi essenziali di un fenomeno, in termini di ordine di grandezza e di livello di approssimazione necessario; capacità di applicazione delle leggi e delle teorie a situazioni concrete mediante la risoluzione di problemi). - Apprendimento delle nozioni propedeutiche agli insegnamenti comuni e di indirizzo dei Corsi di Laurea di riferimento.

L’obiettivo principale dell'Insegnamento di Fisica I è di fornire allo studente una solida preparazione scientifica di base volta alla conoscenza, alla comprensione e alla descrizione quantitativa delle leggi fondamentali della natura, per quanto principalmente attiene alla meccanica e alla termodinamica. A tale scopo, l'insegnamento mira a dotare gli studenti dei necessari strumenti culturali e metodologici.

INTRODUZIONE I ll metodo sperimentale e le grandezze fisiche. L’operazione di misurazione. Dimensioni delle osservabili fisiche e unità di misura. Tipi di incertezze sperimentali e propagazione delle incertezze. CINEMATICA del punto. Richiami di calcolo vettoriale. Sistemi di riferimento. Posizione e spostamento, velocità , accelerazione in una e più dimensioni. Moto uniforme. Moto uniformemente accelerato. Moto vario. Moto in coordinate polari e cilindriche. Coordinate intrinseche (accelerazione tangenziale e normale). Moto circolare ed altri esempi. Cinematica dei moti relativi: leggi di composizione delle velocità e delle accelerazioni. DINAMICA del punto. Leggi di Newton. Forza e massa. Sistemi di riferimento inerziali. Forze in natura. Forze centrali. Forza di gravità . Forza elastica. Forze vincolari. Attrito statico e dinamico. Attrito viscoso. Sistemi di riferimento non inerziali: forze d’inerzia o apparenti. Lavoro ed energia cinetica: definizione di lavoro, teorema dell’energia cinetica. Energia potenziale e conservazione dell’energia: campi conservativi di forze ed energia potenziale. Conservazione dell’energia meccanica. Esempi ed applicazioni. Oscillatore armonico: moto armonico semplice, cenni al moto armonico smorzato e forzato e al concetto di risonanza. Quantità di moto e momento angolare: quantità di moto e teorema dell’impulso. Momento della forza e momento angolare. Il teorema del momento angolare. Legge di gravitazione universale. Leggi di Keplero. Legge di gravitazione di Newton, massa inerziale e gravitazionale. Principio di sovrapposizione degli effetti. Campo gravitazionale generato da una massa. Linee di campo e flusso. Potenziale gravitazionale. Teorema di Gauss per il campo gravitazionale. Campo generato da una distribuzione di massa a simmetria sferica ed altri esempi. DINAMICA dei Sistemi di più particelle e URTI. Sistemi discreti e continui. Forze interne ed esterne. Centro di massa. Quantità di moto di un sistema di punti materiali. Teorema del centro di massa (I equazione cardinale della dinamica) e conservazione della quantità di moto. Momento angolare di un sistema: Teorema del momento angolare (II equazione cardinale della dinamica) e conservazione del momento angolare. Riferimento del centro di massa e teoremi di Koenig. Urti: quantità di moto ed energia cinetica negli urti. Urti elastici e anelastici di I e II specie. DINAMICA e STATICA del Corpo Rigido. Definizione di corpo rigido. Corpo rigido in pura traslazione. Corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso. Momento di inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Energia cinetica di un corpo rigido. Moto di rotolamento senza e con strisciamento. Leggi di conservazione per il moto di un corpo rigido. Condizioni di equilibrio di un corpo rigido. Esempi ed applicazioni. MECCANICA DEI FLUIDI. Pressione. Statica dei fluidi: legge di Stevino. Leggi di Pascal e di Archimede. Dinamica dei fluidi ideali: linee di flusso e tubo di flusso. Portata. Teorema di Bernoulli. Esempi ed applicazioni. Cenni sul moto viscoso. TERMODINAMICA: calorimetria, I principio e gas perfetti. Termometria, trasmissione del calore. Equilibrio termodinamico e variabili di stato. Trasformazioni termodinamiche: reversibili e irreversibili. Trasformazioni adiabatiche, isoterme, isobare e isocore. Primo principio della Termodinamica, energia interna. Calorimetria. Gas perfetti. Cenni alla teoria cinetica dei gas. Calore, lavoro ed energia interna. Applicazioni del I principio ai gas perfetti (relazione di Mayer, trasformazioni isoterme e adiabatiche). TERMODINAMICA: II principio ed entropia. Secondo principio della Termodinamica: enunciati di Kelvin e di Clausius. Macchine termiche e frigorifere. Rendimento ed efficienza. Ciclo di Carnot ed altri cicli. Teorema di Carnot. Temperatura termodinamica. Teorema di Clausius. Entropia.

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P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica, vol. I, seconda edizione, EdiSes editore S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni, M. Villa. Fisica generale - Meccanica e Termodinamica, seconda edizione, Casa Editrice Ambrosiana

Lo studente deve acquisire due tipologie fondamentali di conoscenze: (i) la capacità di risolvere problemi concreti mediante programmi da implementare in un linguaggio di programmazione ed eseguire su un calcolatore; (ii) la capacità di comprendere aspetti quantitativi dell’informatica quali prestazioni, capacità di calcolo, rappresentazione dell’informazione, e l’organizzazione degli elaboratori. Queste capacità vengono applicate alla soluzione di problemi di rilevanza pratica.

L’insegnamento, obbligatorio per tutti gli studenti, si propone un duplice obiettivo: da un lato, introdurre gli studenti alle problematiche legate all’informatica sia dal punto di vista “culturale� che da quello tecnologico. Dall’altro, insegnare l’uso di un linguaggio di programmazione per un elaboratore, quale strumento per la soluzione di problemi reali.

o Teoria [8 ore] + Rappresentazione dell’informazione + Architetture dei sistemi di elaborazione + Architettura software o Problem solving e algoritmi [12 ore] + diagrammi di flusso (flow chart), pseudo-codice per la risoluzione di problemi concreti complessi o Linguaggio Python (40 ore) + Tipi di dato primitivi + Variabili e costanti numeriche + Stringhe e metodi per stringhe + Input e Output di dati numerici e di stringhe + Operatori aritmetici elementari, potenze, funzioni matematiche + Variabili booleane e operatori + Costrutti di controllo di flusso (condizionali e iterativi) + Funzioni e passaggio di parametri + Liste, Insiemi, Dizionari + Strutture complesse (dizionari di insiemi e dizionari di liste) + Lettura e scrittura di file di testo + Gestione delle eccezioni

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• Dispense del corso a cura del docente - Concetti di informatica e fondamenti di Python (Seconda edizione), Cay Horstmann Rance D. Necaise, APOGEO, ISBN 9788891635433, http://www.apogeoeducation.com/concetti-di-informatica-e-fondamenti-di-python.html

Conoscenza della lingua inglese, attraverso l’acquisizione della certificazione IELTS 5.0, che sviluppa le quattro abilità Writing – Listening – Speaking - Reading.

Il Politecnico ha inserito la lingua inglese tra gli insegnamenti obbligatori dei corsi di laurea e richiede il superamento dell’esame IELTS con punteggio 5.0 o certificazione sostitutiva (https://didattica.polito.it/cla/it/certificazioni). A tal scopo il Centro Linguistico d’Ateneo offre una serie di percorsi didattici differenziati sulla base del livello di conoscenza iniziale sia in aula con i CEL sia in autoapprendimento.

Il risultato del test di livello attribuisce un percorso didattico: Beginner: Si consiglia di parlare con un esperto linguistico Elementary: Si consiglia di parlare con un esperto linguistico Pre-Intermediate: Lezioni in aula orientate al livello IELTS 5.0 Objective 5 (o video lezioni) Writing Tutorials Speaking Tutorials Reading Tutorials Listening Tutorials Grammar Tutorials Vocabulary Tutorials Speaking Fluency for IELTS 5.0 Intermediate: Corso IELTS Intensive – videolezioni Writing Tutorials Speaking Tutorials Reading Tutorials Listening Tutorials Grammar Tutorials Vocabulary Tutorials Speaking Fluency for IELTS 5.0 Le attività didattiche sono proposte ciclicamente in corso d’anno. I link di iscrizione sono presenti sul tab Lingue della pagina personale del Portale della Didattica quando il corso/attività è disponibile. Le videolezioni sono accessibili dalla sezione Materiale Propedeutico della pagina personale del Portale della Didattica.

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;
Exam: Written test; Compulsory oral exam;
... Il Politecnico organizza una sessione IELTS al mese (escluso agosto). Per tutte le informazioni sulle sessioni IELTS per gli studenti del Politecnico: https://didattica.polito.it/cla/it/ielts

Beginner: Si consiglia di parlare con un esperto linguistico Elementary: Si consiglia di parlare con un esperto linguistico Pre-Intermediate: Complete IELTS Bands 4 – 5 (Student’s book with answers & CD ROM) Cambridge University Press ISBN 978 0 521 179560 Intermediate: IELTS Trainer Six Practice Tests with answers Cambridge University Press

Comprensione degli argomenti trattati e abilità di calcolo nell’utilizzo dei relativi strumenti matematici introdotti. Capacità di riconoscere ed utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Capacità di costruire un percorso logico, utilizzando gli strumenti introdotti.

L’insegnamento di Analisi Matematica II completa la teoria delle funzioni di una variabile svolta nell’insegnamento di Analisi Matematica I, sviluppando i concetti di serie numerica, serie di potenze e serie di Fourier. Vengono inoltre presentati gli argomenti di base dell’analisi delle funzioni di più variabili: il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili e le sue applicazioni, l’integrazione multipla, curvilinea e di superficie.

Richiami sui vettori. Cenni di topologia dello spazio Euclideo n-dimensionale. Funzioni di più variabili, campi vettoriali. Limiti e continuità . Derivate parziali e direzionali, matrice Jacobiana. Differenziabilità , gradiente e piano tangente al grafico. Derivate seconde, matrice Hessiana. Polinomio di Taylor. Punti critici, massimi e minimi liberi. Cenni su punti critici vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Integrali doppi e tripli e alcune loro applicazioni, quali il calcolo di baricentri e momenti di inerzia . Lunghezza di una curva e area di una superficie cartesiana. Integrali curvilinei e di superficie, circuitazione e flusso di un campo vettoriale. Campi conservativi. Campi centrali. Teoremi di Green, della divergenza (Gauss) e del rotore (Stokes). Definizioni e criteri di convergenza per le serie numeriche. Serie di potenze. Serie di Fourier. Convergenza uniforme. Teorema di esistenza e unicità locale per equazioni differenziali ordinarie, e sue applicazioni agli studi qualitativi delle soluzioni.

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Le note delle leziomi saranno rese disponibili a portale. I testi consigliati saranno comunicati a lezione dal docente titolare dell’insegnamento tra quelli elencati: - T. Apostol, "Calcolo, volume terzo (Analisi 2)", Bollati Boringhieri. - M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, “Analisi matematica 2�, Zanichelli. - C. Canuto, A. Tabacco, "Analisi Matematica II", Springer. - S. Salsa, A. Squellati, “Esercizi di Analisi matematica 2�, Zanichelli. - S. Lancelotti, “Esercizi e quiz di Analisi Matematica II�, Celid. - D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate, CLUT. Ulteriore materiale sarà reso disponibile sul Portale della Didattica.

Al termine dell'insegnamento, lo studente avrà acquisito: - conoscenze di base di elettrostatica, magnetostatica, materiali dielettrici e magnetici, conduzione elettrica, circuiti in corrente continua e relativi elementi circuitali, induzione, campi elettrici e magnetici variabili nel tempo, onde elettromagnetiche; - la capacità di applicare i principi e le leggi fisiche trattate nell'insegnamento alla soluzione di problemi introduttivi (al livello di testi universitari) di elettromagnetismo; - la capacità di identificare i meccanismi elettromagnetici in gioco in un certo sistema fisico o tecnologico, ed esprimere tali meccanismi in forma di equazioni tra le grandezze fisiche rilevanti; - la capacità di comprendere i principi su cui si basano le principali applicazioni ingegneristiche e tecnologiche connesse con i fenomeni elettromagnetici; In generale, l'insegnamento contribuirà alla formazione del corpus di conoscenze e abilità che costituiscono il fondamento delle competenze di un moderno Ingegnere.

L'elettromagnetismo è alla base del funzionamento di moltissimi dispositivi e apparecchi di uso comune, dalle lampade ai forni a microonde, dai televisori agli smartphone, fino ai mezzi di trasporto elettrici. Viviamo immersi in onde elettromagnetiche di ogni tipo, con lunghezze d'onda che vanno dai chilometri ai nanometri e che trasportano l'energia del Sole, ci permettono di vedere, di comunicare, di lavorare, di viaggiare, di essere connessi col mondo, ma possono anche essere dannose per l'organismo. Oggi più che mai, quindi, conoscere le leggi e i fenomeni che chiamiamo collettivamente "elettromagnetismo" è fondamentale per conoscere il mondo che ci circonda e interpretarlo razionalmente. A maggior ragione, tale conoscenza è irrinunciabile per un Ingegnere che si troverà a dover comprendere, analizzare e sfruttare in modo ottimale fenomeni che coinvolgono praticamente sempre l'elettromagnetismo. L'insegnamento di Fisica II si propone di fornire agli studenti conoscenze di base dell'elettromagnetismo, a partire dall'elettrostatica e dalla magnetostatica, per finire con concetti generali sulle onde elettromagnetiche. Pur essendo di livello introduttivo (e quindi incentrato sui concetti generali più che sulle loro applicazioni specifiche nel campo dell'Ingegneria) l'insegnamento fornirà agli studenti le conoscenze e gli strumenti minimi indispensabili per analizzare in modo opportuno le problematiche elettromagnetiche che potranno incontrare nella loro attività professionale, anche illustrando le possibili connessioni con problemi fisici e tecnologici reali.

Elettrostatica nel vuoto e nei mezzi dielettrici (circa 18 ore) Richiami su: legge di Coulomb, campo elettrico, potenziale elettrico, moto di una carica in un campo elettrico uniforme. Distribuzioni discrete e continue di carica. Il dipolo elettrico, forza e coppia su un dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme. Legge di Gauss per il campo elettrico, applicazioni. Condensatori e capacità . Densità di energia del campo elettrico. Dielettrici, polarizzazione della materia. Conduzione e corrente elettrica stazionaria (circa 5 ore) Conduzione, intensità e densità di corrente. Corrente continua. Resistenza e resistori, legge di Ohm, resistività e conducibilità . Modello di Drude per la conduzione elettrica. Potenza elettrica. Effetto Joule. Forza elettromotrice. Circuiti RC. Magnetostatica nel vuoto e nei mezzi magnetici (circa 9 ore) Campi magnetostatici e loro proprietà . Forza agente su una carica in moto all’interno di un campo magnetico. Forza agente su un conduttore percorso da corrente immerso in un campo magnetico. Campo magnetico prodotto da una corrente: legge di Laplace ed applicazioni. Campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente. Dipolo magnetico. Momento meccanico ed energia potenziale di un dipolo magnetico in un campo magnetico applicato. Forza tra conduttori paralleli percorsi da corrente. Legge di Ampère e sue applicazioni. Campi magnetici nella materia: diamagnetismo, paramagnetismo, ferromagnetismo. Campi elettromagnetici dipendenti dal tempo (circa 6 ore) Legge dell'induzione di Faraday-Henry-Lenz e sue applicazioni. Induttanza e autoinduzione. Circuiti RL. Circuiti accoppiati, mutua induzione. Energia immagazzinata nel campo magnetico di una corrente. Densità di energia del campo magnetico. Principio di conservazione della carica elettrica. Legge di Ampère-Maxwell. Equazioni di Maxwell in forma differenziale ed integrale. Onde elettromagnetiche (circa 7 ore) Propagazione delle onde. Onde elettromagnetiche piane, loro deduzione dalle equazioni di Maxwell. Energia e quantità di moto delle onde elettromagnetiche piane, vettore di Poynting e pressione di radiazione. Polarizzazione delle onde elettromagnetiche. Radiazione elettromagnetica di un dipolo elettrico oscillante. Spettro delle onde elettromagnetiche. Esercizi (15 h)

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Il contenuto e la struttura dell'insegnamento seguono il seguente testo (acquistabile anche online): - Mazzoldi, Nigro, Voci, Elementi di Fisica, vol. 2, Elettromagnetismo e Onde, Edizione II, Edises con alcuni eventuali approfondimenti proposti dal docente. Ulteriori testi che possono essere utilizzati sono: - Mazzoldi, Nigro, Voci - Fisica, vol. 2, Elettromagnetismo e Onde, Edises - Serway, Jewett - Fisica per Scienze ed Ingegneria, vol. 2, Edizione IV, Edises - Mencuccini, Silvestrini - Fisica - Elettromagnetismo e ottica, Casa Editrice Ambrosiana, 2017 - Purcell - Electricity and Magnetism (Berkeley Physics Course, Vol. 2) , McGraw-Hill, 1984

• Conoscenza della magnetostatica. - Capacità di applicare la magnetostatica a problemi semplici. - Conoscenza dei principi base dei campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo. - Conoscenza delle equazioni di Maxwell. - Capacità di applicare le equazioni di Maxwell per risolvere problemi elettromagnetici elementari. - Conoscenza dell'ottica ondulatoria come conseguenza delle equazioni di Maxwell. - Conoscenza delle leggi dell'ottica ondulatoria e delle proprietà delle onde elettromagnetiche. - Capacità di applicare le leggi dell'ottica ondulatoria e geometrica in problemi base e in strumenti ottici semplici. - Conoscenza preliminare delle leggi e dei principi della meccanica quantistica. - Capacità di risolvere problemi elementari di meccanica quantistica. - Conoscenza delle statistiche quantistiche. - Capacità di usare le statistiche quantistiche nella descrizione delle proprietà della materia condensata.

Questo insegnamento, collocato nel I semestre del secondo anno, intende fornire le basi teoriche da utilizzare nei corsi di fisica e ingegneria per gli studenti del CdS in Ingegneria Fisica e del percorso Intraprendenti. E' quindi un corso centrale per la futura formazione dell'ingegnere. Il corso è suddiviso in due parti: nella prima (Modulo Elettromagnetismo Classico) sono trattati argomenti fondamentali quali l'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell, l'ottica fisica e ondulatoria. Nella seconda parte (Modulo di Fisica Moderna) verrà affrontato il tema della crisi della fisica classica e della transizione alle basi della fisica moderna, con particolare riguardo alla fisica quantistica ed alle sue implicazioni metodologiche e pratiche.

• Richiami di elettrostatica: forza elettrica, campo e potenziale elettrico; campi magnetostatici e loro generazione; corrente elettrica e legge di Ohm; forze magnetiche su correnti elettriche; leggi di Ampere-Laplace e Biot-Savart; polarizzazione elettrica della materia; campo magnetico nella materia (diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo); campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo; induzione elettromagnetica ( 3,5 CFU) - Equazioni di Maxwell e propagazione di campi elettromagnetici; ottica geometrica ed ondulatoria (interferenza e diffrazione) (2,5 CFU) - Inadeguatezza della fisica classica (descrizione di alcuni esperimenti cruciali e loro interpretazione, necessità di formulazione di una nuova teoria fisica); equazione e rappresentazione di Schrodinger; proprietà degli operatori quantistici un rappresentazione di Schrodinger; autofunzioni e autovalori di un operatore quantistico; misura di una grandezza fisica; principio di indeterminazione (2,0 CFU) - Analisi di problemi quantistici unidimensionali; cenni all'atomo e alla molecola di idrogeno; equazione di Schrodinger per una schiera infinita di buche di potenziale; elementi di meccanica statistica applicata a sistemi quantistici (l'oscillatore armonico); il gas di fotoni e di fononi (distribuzione di Bose-Einstein); la soluzione del problema del corpo nero; calore specifico dei solidi (modello di Einstein); il gas di elettroni (distribuzione di Fermi-Dirac) (2 CFU)

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Modulo Elettromagnetismo Classico: - "Fisica II: Elettromagnetismo - Ottica" Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini - Editore Zanichelli - "Elementi di FISICA Elettromagnetismo e onde" P. MAZZOLDI, M. NIGRO e C. VOCI -II Edizione (ED. EDISES) - Dispense a cura dei docenti del corso Modulo Introduzione alla Meccanica Quantistica e alla Struttura della Materia: - Dispense a cura dei docenti del corso

Al termine dell’insegnamento si chiederà allo studente: 1) di essere in grado di padroneggiare linguaggio di base e le tecniche di ragionamento della Geometria Differenziale; 2) di saper calcolare invarianti di base delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo, come, ad esempio, curvatura e torsione di una curva, curvatura media e Gaussiana di una superficie; 3) di essere in grado, sulla base delle conoscenze acquisite, di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico (tramite definizioni, esempi e dimostrazioni dei risultati principali) gli argomenti trattati durante l'insegnamento.

Questo insegnamento vuole fornire una solida introduzione agli strumenti fondamentali della geometria differenziale, con un focus sullo studio locale e globale di curve e superfici immerse nello spazio tridimensionale. Pensato per studenti del corso di laurea in Ingegneria Matematica e affini, il corso coniuga rigore teorico e motivazioni applicative, preparando lo studente all’uso degli strumenti geometrici in contesti sia ingegneristici che scientifici avanzati.

1) Curve in spazi Euclidei (20 ore) Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con curvatura e torsione assegnate. 2) Superfici in spazi Euclidei (40 ore) Superfici parametrizzate. Superfici regolari e loro spazio tangente. Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi. Spazio tangente e differenziale di una funzione. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gauss e orientabilità . Operatore di forma. Curvatura normale, curvature principali, curvatura media e curvatura di Gauss. Isometrie locali e invarianza isometrica della curvatura di Gauss. Curve geodetiche di una superficie. Integrazione e area di una superficie. Teorema di Gauss-Bonnet.

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• M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, Springer - M. P. Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces - S. Montiel, A. Ros: Curves and Surfaces -Note a cura del docente

Al termine dell'insegnamento si richiederà allo studente di - Conoscere e aver appreso il linguaggio di base e le tecniche di ragionamento propri di questi settori della matematica. - Applicare le conoscenze acquisite alla formalizzazione di semplici problemi algebrici e topologici. - Aver acquisito la capacità di risolvere semplici problemi relativi agli argomenti trattati. - Conoscere la terminologia e i risultati di base necessari per affrontare la consultazione di testi di algebra e topologia.

L’ obiettivo principale dell'insegnamento Istituzioni di Algebra e Geometria è di completare la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti degli insegnamenti di Analisi Matematica che di Geometria. Vengono infatti presentati elementi di algebra e topologia, preceduti da una introduzione riguardante i fondamenti della matematica.

ALGEBRA (5cfu) Corrispondenze e funzioni. Relazioni d’equivalenza e d’ordine. Assioma della scelta e lemma di Zorn. Numerabilita’ di un insieme: cenni sulla cardinalità . Principio di induzione forte e debole. Numeri interi, classi di resto, numeri primi, fattorialità , algoritmo euclideo. Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali: esempi (gruppi abeliani finiti, gruppi di matrici, gruppo diedrale, gruppo simmetrico). Omomorfismi di gruppi. Anelli, sottoanelli e ideali: esempi (numeri interi, anello dei polinomi, anello delle matrici quadrate). Omomorfismi di anelli. Campi e corpi: esempi (Q, R, C, H, O, campo delle funzioni razionali). Campi finiti e infiniti, estensioni algebriche e trascendenti. Cenni di algebra multilineare. TOPOLOGIA (5cfu) Cenni di teoria degli insiemi. Spazi metrici e loro proprietà . Funzioni continue e isometrie. Spazi topologici. Intorni e insiemi chiusi. Spazi di Hausdorff. Topologia indotta. Topologia associata a una metrica. Base di una topologia e basi di intorni. Parte interna, chiusura, derivato e frontiera di un insieme. Insiemi densi. Limiti e chiusura negli spazi metrici. Funzioni continue, funzioni aperte e chiuse, omeomorfismi. Proprietà di separazione. Topologia prodotto. Connessione. Componenti connesse. Prodotto di spazi connessi. Connessione per archi. Compattezza. Prodotto di spazi compatti. Teorema di Heine-Borel e compattezza per successioni. Successioni di Cauchy in spazi metrici, spazi metrici completi e completezza di R e di R^n Topologia quoziente. Spazi proiettivi. Varietà topologiche e superfici.

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;
Exam: Written test; Compulsory oral exam;
... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti sopra elencati, nonché la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla risoluzione di esercizi e alla dimostrazione di semplici enunciati. L’esame è costituito da una prova orale obbligatoria, cui si accede superando una prova scritta della durata totale di 120 minuti. PROVA SCRITTA La prova scritta, è articolata in due parti, una di algebra e una di topologia, ciascuna della durata di 60 minuti. Per ciascuna parte si richiede di affrontare e risolvere degli esercizi (di norma 2 o 3), ciascuno strutturato in vari punti. La prova scritta si intende superata qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 15/30 in ciascuna delle due parti di cui esso si compone. Durante la prova scritta non si possono utilizzare libri di alcun tipo, appunti del corso, strumenti di calcolo e comunicazione. PROVA ORALE L'orale dell’esame deve essere sostenuto nell’appello in cui si è superato lo scritto. La prova orale è anch’essa articolata in due parti, una di algebra e una di topologia. Ciascuna di esse è volta ad accertare una adeguata conoscenza della teoria discussa durante l'insegnamento e include una discussione della corrispondente parte della prova scritta. A conclusione dell’orale, per ciascuna delle parti di cui esso si compone, verrà assegnato un punteggio compreso fra -15/30 e 15/30. VOTO FINALE Per ciascuna delle due parti di algebra e di topologia verrà assegnato un punteggio dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nello scritto e nell’orale di quella parte. L’esame si considera superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 18/30 in ciascuna delle due parti. In tal caso il voto finale sarà ottenuto arrotondando per eccesso la media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due parti.

Per la parte di Topologia M. Ferrarotti, F. Malaspina, Primi Passi nella Topologia, M. Manetti, Topologia, Springer S. Lipschutz, Topologia: teoria e problemi di... Collana Schaum 39. ETAS C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli. Per la parte di Algebra G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Zanichelli, 1996. A. Conte, L. Picco Botta, D. Romagnoli, Algebra, Levrotto e Bella. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di: (i) caratterizzare le grandezze cinematiche fondamentali per la descrizione del moto di sistemi meccanici complessi ad un numero finito di gradi di libertà , stabilire relazioni tra grandezze valutate in sistemi di riferimento diversi (inerziali e non); (ii) studiare le configurazioni statiche di questi sistemi sottoposti all'azione di forze e analizzarne la stabilità ; (iii) calcolare le reazioni vincolari agenti su questi sistemi in condizioni statiche; (iv) scrivere le equazioni differenziali che governano il moto di questi sistemi; (v) studiare opportune approssimazioni del moto di questi sistemi nell'intorno delle configurazioni di equilibrio stabili. Lo studente avrà in tal modo acquisito familiarità con i concetti di lavoro virtuale, potenza, energia cinetica e potenziale, oltre che di dinamica simbolica, che trovano ampia applicazione oltre il perimetro della Meccanica.

L'insegnamento introduce gli studenti alla teoria matematica della meccanica, affrontata con una formalizzazione analitica di fenomeni fisici. I principali argomenti trattati sono la meccanica del corpo rigido e dei sistemi articolati, la meccanica lagrangiana, l'analisi qualitativa del moto e cenni di calcolo perturbativo.

• Cinematica del punto. Traiettoria e legge oraria, velocità , accelerazione. Sistema di coordinate di Frenet. - Sistemi vincolati. Classificazione dei vincoli (olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri, dipendenti e indipendenti dal tempo), coordinate lagrangiane e gradi di libertà , velocità , spostamenti virtuali. - Cinematica del corpo rigido. Vincolo di rigidità , teorema di Poisson e velocità angolare, formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, particolari moti rigidi (traslatorio, rototraslatorio, rotatorio, piano), teorema di Mozzi, centro istantaneo di rotazione per moti piani. - Cinematica relativa e dinamica relativa. - Geometria delle aree e delle masse. Caratteristiche geometriche delle sezioni piane, baricentro, centro di massa, matrice di inerzia, assi principali di inerzia, teorema di Huygens. Esempi di calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane notevoli. - Equazioni cardinali della dinamica. Sistemi di forze, risultante e momento risultante, lavoro e lavoro virtuale di una forza, lavoro di forze su un sistema olonomo, forze generalizzate, lavoro di forze su un sistema rigido, dinamica del punto materiale, postulato delle reazioni vincolari, vincoli ideali, quantità di moto, momento delle quantità di moto, equazioni cardinali della dinamica, momento delle quantità di moto e sua derivata temporale per sistemi rigidi, equazioni di Eulero, equazioni pure del moto, integrali primi del moto. - Statica ed equilibrio. Equazioni cardinali della statica, principio dei lavori virtuali, statica dei sistemi rigidi, statica dei sistemi olonomi, configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, energia potenziale e teorema di stazionarietà del potenziale, stabilità (in senso statico), minimi dell'energia potenziale. - Energia cinetica. Teorema di Koenig, espressione dell'energia cinetica per un sistema rigido e per un sistema olonomo, matrice di massa, potenza di forze, teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia meccanica. - Meccanica lagrangiana. Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi, lagrangiana, integrali primi. - Angoli di Eulero, la trottola di Lagrange. - Piccoli moti. Linearizzazione delle equazioni di Lagrange, pulsazioni e frequenze proprie di oscillazione. - Trattazione lagrangiana per vincoli anolonomi: il pattino su piano inclinato, disco che rotola su un piano. - Un esempio di calcolo perturbativo: la stabilizzazione del pendolo inverso.

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Per la teoria: - P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello. Meccanica Razionale, Springer, 2016. Per gli esercizi: - G.Belli, C.Morosi, E.Alberti "Esercizi di Meccanica Razionale", Politecnica Durante le ore di esercitazione saranno resi disponibili, e parzialmente svolti, ulteriori esercizi sui vari argomenti dell'insegnamento. Sul Portale della Didattica sarà inoltre messa a disposizione degli studenti una raccolta di temi d'esame svolti assegnati agli appelli degli anni passati.

Comprensione degli argomenti trattati e abilità di calcolo nell'utilizzo dei relativi strumenti matematici introdotti. Capacità di riconoscere ed utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Capacità di costruire un percorso logico utilizzando gli strumenti introdotti.

L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, della teoria delle trasformate di Fourier e Laplace, della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue e della teoria probabilistica presentata in maniera formale e rigorosa. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche. L'insegnamento è, inoltre, corredato da molti esempi che offrono spunti per ulteriori approfondimenti.

1. (27 ore) Funzioni di variabile complessa: derivabilità , funzioni olomorfe (o analitiche), condizioni di Cauchy-Riemann, integrali curvilinei in campo complesso. Teorema di Cauchy-Goursat, formule integrali di Cauchy, Serie di Taylor e di Laurent e conseguenze. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (15 ore) Teoria delle distribuzioni: definizione, operazioni fondamentali e distribuzioni notevoli. Derivata distribuzionale. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Supporto di una distribuzione. Prodotto di convoluzione per funzioni e distribuzioni. 3. (18 ore) Trasformate di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni: definizioni, proprietà , anti-trasformate e formule di inversione. Trasformate notevoli. 4. (18 ore) Teoria della misura: spazi di misura e funzioni misurabili. Misura immagine. Integrazione secondo Lebesgue. Teoremi di convergenza monotona e dominata. Misure assolutamente continue. Teorema di Radon-Nikodym. 5. (22 ore) Calcolo delle probabilità : Spazi di probabilità . Spazi finiti e uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza di eventi. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro momenti. Esempi notevoli.

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Il materiale principale è costituito dagli appunti delle lezioni e delle esercitazioni forniti dai docenti, da dispense e da esercizi disponibili in rete. Inoltre, per il modulo di Probabilità si suggeriscono i seguenti testi (che NON vanno intesi come manuali dell'insegnamento, dato che non sono seguiti dal docente, ma come materiale di supporto per eventuali approfondimenti): - P. Cannarsa, T. D'Aprile - Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale – Springer Verlag (2008) - G. B. Folland - Real Analysis: Modern Techniques and their Applications - John Wiley & Sons (1999) - J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials - Springer Verlag (2004) - P. Baldi - Calcolo delle Probabilità - McGraw-Hill (2011) - S. M. Ross – Calcolo delle Probabilità - Apogeo (2013) Infine, per il Modulo di Analisi si menzionano i seguenti testi, da intendersi SOLO ED ESCLUSIVAMENTE come un riferimento culturale e per eventuali approfondimenti (si tratta, infatti, di testi classici, ma molto avanzati, che vanno di gran lunga oltre gli scopi dell'insegnamento e non sono utilizzati dal docente per gli argomenti in programma): - W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw Hill (third edition - 1987) - T. Needham - Visual Complex Analysis - Oxford University Press (1997) - L. V. Ahlfors - Complex Analysis - McGraw Hill (1979) - T. W. Gamelin - Complex Analysis - Springer-Verlag (2001) - D- Mitrea - Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis - Springer (2013) - L. Hormander - The Analysis of partial differential operators I - Springer-Verlag (second edition - 1989) - S. Kesavan - Topics in Functional Analysis and Applications - New Age International (P) Limited, Publishers (1989)

Students are expected 1) to achieve an effective understanding of the fundamental concepts and formal tools of Quantum Mechanics, 3) to develop ability in using them in the study of quantum systems, and 3) to develop a correct approach to the investigation of quantum systems. These achievements are certainly important for subsequent courses such as solid-state and condensed-matter physics, field theory, quantum statistical mechanics, nuclear physics.

The course aims to provide the basic mathematical tools and formalism necessary to obtain a quantum description of physical systems, and to discuss their application in predicting quantum phenomena, effects and properties characterizing systems such as the hydrogen and helium atoms, elementary molecule and matter-radiation models, the electromagnetic field, and systems of identical particles.

1) The Lagrangian and Hamiltonian approaches to classical mechanics. (0.5 cr) 2) The postulates of Quantum Theory. Time evolution of quantum systems. The Eherenfest theorem. The canonical-quantization scheme. (0.5 cr.) 3) The Hilbert space of quantum states. Scalar product, completeness relation. Properties of Hermitian operators and eigenvalue equations. (0.7 cr.) 4) Raising and lowering operators, solution of the harmonic-oscillator problem. The Heisenberg uncertainty relation. Coherent states and semiclassical picture of quantum systems. (0.6 cr). 5) Spectrum and eigenstates of the angular momentum. The two-body problem. The hydrogen atom. (1.0 cr.) 6) Dirac's formulation of quantum states and operators. The Schroedinger and Heisenberg representations of quantum Mechanics. (0.6 cr) 7) The spin operator and spin states. Addition of angular momenta. Time-independent perturbation theory. (0.7 cr) 8) Charged particles in the electromagnetic field. The Zeeman effect for Hydrogen atoms (weak and strong-field limit) (0.8 cr) 9) Symmetric and antisymmetric states of identical particles. Bosons, fermions and symmetrization principle. The exclusion principle. The Helium atom. (0.6 cr)

Modalita di esame: Prova orale obbligatoria;
Exam: Compulsory oral exam;
... The exam is oral and consists of three questions concerning different topics of the course. Each question corresponds to a score of 10 out of 30 marks. The goal, in general, is to test the knowledge of the course program. These questions aim to evaluate the understanding of students concerning 1) the methodology used to quantize classical systems, 2) the significant properties and effects that characterize physical systems as a consequence of the quantization process and 3) the mathematical tools used to develop quantum mechanics. To this end one of the three question is focused on proving/discussing some theorem or general property characterizing quantum systems and the mathematical formalism of quantum mechanics. The other questions are devoted to discuss the quantization of physical systems for some specific case and/or to determine quantum effects and physical properties of interest emerging from this process.

The PDF file containing the notes relevant to the course lectures are available in the web page of this course accessible through the Teaching Portal of Politecnico. Franz Schwabl , Quantum Mechanics, Springer-Verlag 2007 David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley 2005;

• Capacità di razionalizzazione di un problema decisionale: formulazione di criteri di valutazione e vincoli. • Costruzione di modelli matematici di ottimizzazione. • Scelta di un algoritmo esatto o approssimato di soluzione. • Capacità di implementare algoritmi di decisione in Python ed in MATLAB.

Ricerca operativa è un insegnamento di matematica applicata che fa da ponte tra gli insegnamenti di base dei primi tre semestri della laurea e quelli applicativi della laurea magistrale in Ingegneria Matematica. Come tale, esso è un insegnamento di sintesi di contenuti diversi, che spaziano dall’analisi matematica all’algebra lineare, dall’analisi numerica alla teoria delle probabilità , e si articola sia su concetti teorici che su applicazioni a problemi concreti. La ricerca operativa, come suggerisce il nome stesso, mira a ricercare il modo ottimale di operare, ovvero trovare una soluzione che ottimizzi un criterio di valutazione, nel rispetto dei vincoli del problema. A titolo di esempio possiamo cercare il piano di trasporto che minimizza il consumo di carburante, o ricavare i prezzi di un prodotto che massimizzano il profitto dalle vendite. In contesti più complessi, occorre trovare una soluzione di compromesso tenendo conto di molteplici criteri in conflitto tra di loro. Tutto ciò richiede di costruire un modello matematico del problema reale, per poi applicare un algoritmo numerico di soluzione. Parte integrante del processo decisionale sono la raccolta dei dati, l’implementazione in software, l’analisi dei risultati e la validazione del modello. Inoltre, l’insegnamento fornisce concetti di ottimizzazione essenziali negli insegnamenti di statistica e machine learning della laurea magistrale.

Costruzione di modelli di ottimizzazione: • Classificazione dei modelli di ottimizzazione. • Esempi in logistica, finanza, statistica e machine learning, ingegneria, marketing. • Modelli con obiettivi multipli: concetto di soluzione efficiente, goal programming. Concetti geometrici in ottimizzazione: • Convessità di insiemi e funzioni. • Gradienti e subgradienti. • Coni e poliedri. Programmazione non lineare: • Condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione vincolata e loro interpretazione economica. • Teoria della dualità . • Metodi locali di soluzione: funzioni di penalità ; metodi basati sul gradiente e sue varianti (trust region; quasi-Newton); metodi per punti interni; metodi derivative-free. Programmazione lineare: • Algoritmo del simplesso. • Dualità nella programmazione lineare. • Metodi per punti interni. • Analisi di sensitività e suoi limiti. Elementi di complessità computazionale: classi P e NP; problemi NP-completi e NP-hard. Ottimizzazione non convessa: • Programmazione mista intera; algoritmi branch and cut; formulazioni forti e deboli. • Cenni di ottimizzazione globale: metodi deterministici e stocastici; metaeuristiche. • Applicazioni al problema di routing di veicoli (VRP). Esercitazioni su MATLAB (Optimization toolbox e Global optimization toolbox) e su Python.

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Elaborato progettuale in gruppo;
Exam: Written test; Group project;
... CRITERI DI VALUTAZIONE Per la prova scritta (90 minuti, closed book): capacità di formulare modelli di ottimizzazione; comprensione profonda della teoria e degli algoritmi di soluzione; capacità di dimostrare semplici teoremi e di strutturare e analizzare algoritmi di soluzione; valutazione critica delle assunzioni semplificative necessarie. Per gli elaborati di gruppo (valutati dal docente sulla base dei report e del software): documentazione del software prodotto; completezza degli esperimenti computazionali; analisi del tradeoff tempo/prestazioni. I docenti si riservano la facoltà di richiedere un colloquio orale di verifica in caso di sospetta irregolarità nella prova scritta. PUNTEGGI Per la valutazione, 24 punti sono assegnati sulla base dello scritto, 6 sulla base degli elaborati di gruppo (facoltativi, svolti individualmente o in gruppi di massimo tre studenti).

Sarà disponibile il libro di testo del corso: • P. Brandimarte. Ottimizzazione per la ricerca operativa. CLUT, 2022 (in corso di pubblicazione). Ulteriori riferimenti utili sono: • M.Z. Bazaraa, H.D. Sherali, G.M. Shetty. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, (3rd ed.). Wiley, 2006. • P. Brandimarte. Quantitative methods: An introduction for business management. Wiley, 2011. • D.S. Chen, R.G. Batson, Y. Dang. Applied Integer Programming: Modeling and Solution. Wiley, 2011 • P. Toth D. Vigo. Vehicle Routing: Problems, Methods, and Applications (2nd ed.). SIAM, 2016 • P. Williams. Model Building in Mathematical Programming (5th ed.). Wiley, 2013.

Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)Lo studente acquisirà le basi teoriche su spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev e operatori lineari limitati su tali spazi. Tali nozioni forniranno allo studente gli strumenti matematici essenziali per poter comprendere e affrontare problemi matematicamente complessi nel modo corretto. Lo studente sarà capace di applicare le conoscenze acquisite, in particolare nella trattazione di problemi variazionali di equazioni alle derivate parziali.Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)Lo studente acquisirà le basi teoriche su spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev e operatori lineari limitati su tali spazi. Tali nozioni forniranno allo studente gli strumenti matematici essenziali per poter comprendere e affrontare problemi matematicamente complessi nel modo corretto. Lo studente sarà capace di applicare le conoscenze acquisite, in particolare nella trattazione di problemi variazionali di equazioni alle derivate parziali.

Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)L'Analisi funzionale può essere considerata come l'estensione dell'algebra lineare agli spazi vettoriali di dimensione infinita. Tutte le equazioni integrali o differenziali che si presentano sia negli aspetti puri della matematica che in quelli motivati dalle applicazioni possono essere inquadrate come trasformazioni (lineari o non lineari) fra spazi di funzioni, e quindi fra spazi vettoriali di dimensione infinita. Il primo modulo dell’insegnamento di Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali ha lo scopo di affrontare sistematicamente sia lo studio degli spazi di funzioni sia lo studio delle trasformazioni lineari fra di essi. Il secondo modulo dell’insegnamento fornisce un'introduzione agli Spazi di Sobolev, sui cui si fonda la teoria moderna delle Equazioni alle Derivate Parziali, e mostra come i risultati astratti dell'Analisi Funzionale possano essere applicati per trattare Equazioni alle Derivate Parziali.Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)L'Analisi funzionale può essere considerata come l'estensione dell'algebra lineare agli spazi vettoriali di dimensione infinita. Tutte le equazioni integrali o differenziali che si presentano sia negli aspetti puri della matematica che in quelli motivati dalle applicazioni possono essere inquadrate come trasformazioni (lineari o non lineari) fra spazi di funzioni, e quindi fra spazi vettoriali di dimensione infinita. Il primo modulo dell’insegnamento di Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali ha lo scopo di affrontare sistematicamente sia lo studio degli spazi di funzioni sia lo studio delle trasformazioni lineari fra di essi. Il secondo modulo dell’insegnamento fornisce un'introduzione agli Spazi di Sobolev, sui cui si fonda la teoria moderna delle Equazioni alle Derivate Parziali, e mostra come i risultati astratti dell'Analisi Funzionale possano essere applicati per trattare Equazioni alle Derivate Parziali.

Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)MODULO I: Analisi Funzionale Spazio delle funzioni continue su un intervallo: completezza dello spazio C[a,b] rispetto alla norma del massimo, teorema di approssimazione di Weierstrass. Spazi di Banach: definizione, proprieta’ ed esempi. Spazi l^p e spazi L^p. Lemma di Riesz. Compattezza della palla unitaria in spazi normati. Spazi di Hilbert: definizioni e proprieta’, Spazi L^2 e l^2. Insiemi ortogonali e basi ortonormali. Proiezioni ortogonali. Operatori lineari limitati tra spazi normati. Spazio duale e spazio biduale di uno spazio normato. Caratterizzazione del duale degli spazi l^p e L^p. Teorema di Riesz-Frechet. Convergenze debole e debole *. Operatore aggiunto di un operatore limitato tra spazi di Hilbert. Operatori unitari, normali e autoaggiunti. Spettro di un operatore limitato definito su uno spazio di Hilbert: definizione e proprieta’. Operatori compatti: definizione ed esempi. Spettro di un operatore compatto autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. MODULO II: Equazioni alle derivate parziali Introduzione: notazioni, equazioni lineari e non lineari, soluzione in senso classico ed in senso debole. Problemi ben posti. Funzioni armoniche: proprietà e formule di rappresentazione. Convoluzione tra funzioni ed effetto regolarizzante. Distribuzioni: richiami, derivate, convoluzione e soluzioni fondamentali di operatori lineari. Equazione del calore e formule di rappresentazione. Spazi di Sobolev: definizione, proprietà , teoremi di densità , estensioni, tracce, teoremi di immersione continua e compatta; disuguaglianza di Poincaré. Spazi duali; caratterizzazione di H^{-1}. Formulazione debole di problemi ellittici: esistenza, unicità , dipendenza continua dai dati. Significato delle soluzioni deboli e cenni sulla regolarità . Teoria spettrale per operatori ellittici auto-aggiunti: formulazione astratta ed applicazioni (tempo permettendo). Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)MODULO I: Analisi Funzionale Spazio delle funzioni continue su un intervallo: completezza dello spazio C[a,b] rispetto alla norma del massimo, teorema di approssimazione di Weierstrass. Spazi di Banach: definizione, proprieta’ ed esempi. Spazi l^p e spazi L^p. Lemma di Riesz. Compattezza della palla unitaria in spazi normati. Spazi di Hilbert: definizioni e proprieta’, Spazi L^2 e l^2. Insiemi ortogonali e basi ortonormali. Proiezioni ortogonali. Operatori lineari limitati tra spazi normati. Spazio duale e spazio biduale di uno spazio normato. Caratterizzazione del duale degli spazi l^p e L^p. Teorema di Riesz-Frechet. Convergenze debole e debole *. Operatore aggiunto di un operatore limitato tra spazi di Hilbert. Operatori unitari, normali e autoaggiunti. Spettro di un operatore limitato definito su uno spazio di Hilbert: definizione e proprieta’. Operatori compatti: definizione ed esempi. Spettro di un operatore compatto autoaggiunto su uno spazio di Hilbert. MODULO II: Equazioni alle derivate parziali Introduzione: notazioni, equazioni lineari e non lineari, soluzione in senso classico ed in senso debole. Problemi ben posti. Funzioni armoniche: proprietà e formule di rappresentazione. Convoluzione tra funzioni ed effetto regolarizzante. Distribuzioni: richiami, derivate, convoluzione e soluzioni fondamentali di operatori lineari. Equazione del calore e formule di rappresentazione. Spazi di Sobolev: definizione, proprietà , teoremi di densità , estensioni, tracce, teoremi di immersione continua e compatta; disuguaglianza di Poincaré. Spazi duali; caratterizzazione di H^{-1}. Formulazione debole di problemi ellittici: esistenza, unicità , dipendenza continua dai dati. Significato delle soluzioni deboli e cenni sulla regolarità . Teoria spettrale per operatori ellittici auto-aggiunti: formulazione astratta ed applicazioni (tempo permettendo).

Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;
Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)Exam: Written test; Optional oral exam; Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)Exam: Written test; Optional oral exam;
... Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)L’esame è volto ad accertare la conoscenza delle basi teoriche elencate nel programma e la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella soluzione di esercizi teorici e nella trattazione di problemi di analisi funzionale e equazioni alle derivate parziali. L’esame è costituito da una prova scritta eventualmente seguita da una prova orale. PROVA SCRITTA: è comprensiva di quesiti teorici ed esercizi sugli argomenti del programma dei due moduli dell’insegnamento. La durata della prova scritta è di 3 ore. Durante lo scritto non si possono portare in aula libri di alcun tipo o appunti del corso. PROVA ORALE: riguarda gli argomenti del programma e può includere la discussione dello scritto. La prova orale viene effettuata su richiesta del docente o dello studente (in caso di valutazione sufficiente della prova scritta). Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto, in egual misura, del punteggio conseguito sui quesiti di Analisi Funzionale e di Equazioni alle derivate parziali, e dell'esito dell'eventuale prova orale. La votazione massima è di 30/30 e l’esito è considerato sufficiente se è maggiore o uguale a 18/30.Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)L’esame è volto ad accertare la conoscenza delle basi teoriche elencate nel programma e la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella soluzione di esercizi teorici e nella trattazione di problemi di analisi funzionale e equazioni alle derivate parziali. L’esame è costituito da una prova scritta eventualmente seguita da una prova orale. PROVA SCRITTA: è comprensiva di quesiti teorici ed esercizi sugli argomenti del programma dei due moduli dell’insegnamento. La durata della prova scritta è di 3 ore. Durante lo scritto non si possono portare in aula libri di alcun tipo o appunti del corso. PROVA ORALE: riguarda gli argomenti del programma e può includere la discussione dello scritto. La prova orale viene effettuata su richiesta del docente o dello studente (in caso di valutazione sufficiente della prova scritta). Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto, in egual misura, del punteggio conseguito sui quesiti di Analisi Funzionale e di Equazioni alle derivate parziali, e dell'esito dell'eventuale prova orale. La votazione massima è di 30/30 e l’esito è considerato sufficiente se è maggiore o uguale a 18/30.

Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Analisi funzionale)Testi di riferimento: H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS. B. Rynne and M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer. Dispense ed esercizi saranno disponibili sul portale della didattica per gli studenti iscritti all’insegnamento. Ulteriori riferimenti bibliografici verranno suggeriti, all'occorrenza, a lezione.Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali (Equazioni alle derivate parziali)Testi di riferimento: H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. L. C. Evans. Partial Differential Equations, AMS. B. Rynne and M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer. Dispense ed esercizi saranno disponibili sul portale della didattica per gli studenti iscritti all’insegnamento. Ulteriori riferimenti bibliografici verranno suggeriti, all'occorrenza, a lezione.

Al termine dell'insegnamento, le studentesse e gli studenti saranno in grado di: - comprendere la differenza matematica e fisica tra modelli differenziali alle scale microscopica e macroscopica e associare la scala di modellizzazione più appropriata ai fenomeni fisici oggetto di studio; - costruire e/o caratterizzare qualitativamente le soluzioni dei modelli differenziali, studiandone proprietà quali ad esempio la positività , la limitatezza, il comportamento asintotico, la rappresentabilità tramite opportune formule; - fornire spiegazioni e trarre conclusioni fisicamente rilevanti circa il funzionamento dei sistemi oggetto di studio fondate sulle proprietà matematiche delle equazioni differenziali utilizzate per la loro descrizione.

L'insegnamento si propone come un'introduzione ai metodi della Fisica matematica quali strumenti di modellizzazione e analisi matematica rigorosa di fenomeni fisici. Esso si concentra soprattutto sulle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, che sono da un lato il linguaggio in cui è formulata la maggior parte delle leggi della fisica e dell'ingegneria e dall'altro uno dei principali strumenti matematici dell'attuale modellistica nelle scienze socio-economiche e della vita.

1) MODELLI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (28 ore ca.) - Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non - Caratterizzazione delle soluzioni: teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati; rappresentazione della soluzione per i sistemi lineari mediante la matrice esponenziale e la forma canonica di Jordan; esercizi - Comportamento asintotico delle soluzioni: punti di equilibrio, criteri di stabilità dei punti di equilibrio per i sistemi lineari, funzioni di Lyapunov, criterio di stabilità in prima approssimazione per i sistemi non lineari; esercizi 2) MODELLI ALLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (52 ore ca.) - Panoramica generale, esempi classici, condizioni iniziali, condizioni al bordo, ordine di un'equazione differenziale alle derivate parziali, equazioni lineari, quasi-lineari, semi-lineari - Equazione del trasporto lineare e leggi di conservazione scalari in una variabile spaziale: derivazione e significato fisico, metodo delle caratteristiche, formulazione debole, problema di Riemann, onde d'urto e condizione di Rankine-Hugoniot, onde di rarefazione, non unicità della soluzione debole e criterio di entropia, caratterizzazione completa della soluzione di un problema di Riemann con flusso a concavità costante, cenni sul caso di flusso a concavità variabile; esercizi - Equazioni del secondo ordine: classificazione delle equazioni lineari (ellittiche, iperboliche, paraboliche), esempi prototipo: equazione di Poisson, equazione delle onde, equazione del calore - Equazione delle onde: formula di d'Alembert in dimensione 1, regolarità della soluzione del problema di Cauchy sull'intero asse reale, soluzione sulla semiretta positiva con condizione al bordo di Dirichlet, autovalori/autofunzioni dell'operatore di Laplace e soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, metodo dell'energia e unicità della soluzione; esercizi - Equazione del calore: derivazione da un processo microscopico di salti casuali, soluzione fondamentale, formula di rappresentazione mediante la soluzione fondamentale, regolarità della soluzione, proprietà della soluzione dell'equazione in un dominio spaziale limitato con condizioni al bordo di Neumann omogenee, soluzione formale per serie in un dominio spaziale limitato di dimensione qualsiasi, unicità della soluzione; esercizi

Modalita di esame: Prova scritta in aula tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;
Exam: Computer-based written test in class using POLITO platform;
... L'esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti, finalizzata a verificare le conoscenze teoriche delle studentesse e degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente le equazioni della Fisica matematica. La prova è strutturata in due parti: - parte 1: quiz di teoria a risposta chiusa. Per ogni domanda sono proposte 4 risposte, una sola delle quali è corretta. Ogni domanda è valutata 2 punti se la risposta è corretta, 0 punti altrimenti. Eventuali risposte errate non danno luogo a penalizzazioni. - parte 2: esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte vero/falso. Ciascun esercizio comprende 3 domande, ognuna delle quali è valutata 2 punti se la risposta è corretta,−0,5 punti se la risposta è errata, 0 punti se non è fornita alcuna risposta. Il punteggio massimo di ciascun esercizio è 6 punti. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 34. Se il punteggio complessivo è maggiore di 30 si adottano le seguenti conversioni: il punteggio 31 è convertito nel voto 30, i punteggi maggiori di 31 sono convertiti nel voto 30L. Durante l’esame, è consentito utilizzare: - un formulario cartaceo compilato a cura delle studentesse e degli studenti in una singola facciata di foglio A4; - una penna; - alcuni fogli bianchi. Non è invece consentito: - utilizzare qualsiasi dispositivo elettronico diverso da quello mediante il quale è svolto l’esame, incluse calcolatrici programmabili e non; - indossare auricolari, cuffie e simili; - utilizzare libri, quaderni, appunti, dispense.

Benché l'insegnamento non segua un testo specifico, alcuni testi di possibile consultazione sono: 1) per la parte di modelli alle equazioni differenziali ordinarie: - A. Ambrosetti, Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie, Springer, 2012; - V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, 1992; 2) per la parte di modelli alle equazioni alle derivate parziali: - S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2016; - L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. I docenti renderanno disponibili sul Portale della Didattica gli appunti in presa diretta sia delle lezioni sia delle esercitazioni.

Gli studenti che avranno seguito con profitto questo insegnamento saranno in grado di risolvere numericamente i seguenti problemi: risoluzione di sistemi lineari algebrici sparsi e di grandi dimensioni, approssimazione polinomiale algebrica, integrazione numerica, risoluzione di sistemi non lineari, e risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali. In particolare, per risolvere questi problemi, gli studenti utilizzeranno i metodi numerici di base appresi, implementati nativamente o personalmente in ambiente Matlab e, grazie alla conoscenza delle proprietà dei metodi, saranno in grado di fornire un’analisi critica dei risultati ottenuti. Gli studenti acquisiranno inoltre le competenze necessarie per identificare e adottare il metodo più efficiente tra quelli a loro disposizione, al fine di ottenere la soluzione del problema numerico più accurata possibile al minimo costo computazionale.

L'insegnamento ha lo scopo di illustrare e analizzare i metodi numerici di base e le loro caratteristiche, tra cui le condizioni di applicabilità e l'efficienza, sia in termini di complessità computazionale sia di occupazione di memoria. Inoltre, mira a far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere problemi di calcolo numerico, utilizzando o sviluppando programmi, in particolare, in ambiente Matlab.

Durante le lezioni in aula (40 ore) verranno trattati i seguenti argomenti, con il relativo peso in ore. 1. Sistemi lineari (10 ore). Brevi richiami sui metodi diretti e sulle fattorizzazioni di una matrice. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradiente e gradiente coniugato. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Precondizionamento. 2. Approssimazione di funzioni (8 ore). Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta dei nodi di interpolazione e studio della convergenza. Rappresentazione di Newton alle differenze divise. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: definizione e studio della convergenza. Derivazione numerica. 3. Equazioni non lineari (6 ore). Metodi delle secanti e delle tangenti, metodo del punto fisso. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. 4. Integrali definiti su intervalli (6 ore). Formule di quadratura di tipo interpolatorio: formule di Newton-Cotes e formule Gaussiane. Costruzione delle formule e risultati di convergenza. Formule composte: definizione e proprietà di convergenza. 5. Equazioni differenziali ordinarie (10 ore). Riduzione del generico problema a valori iniziali alla forma canonica. Metodi one-step espliciti e impliciti in generale: definizione, consistenza e convergenza. Metodi Runge-Kutta. Metodi multistep lineari espliciti e impliciti: definizione, consistenza e convergenza. Metodi di Adams. Stabilità assoluta dei metodi numerici. Sistemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. Cenni sui metodi alle differenze finite per problemi con valori ai limiti.

Modalita di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula);
Exam: Computer lab-based test; Written test;
... L'esame è composto da due prove: un test informatizzato della durata indicativa di un'ora e una prova scritta della durata di due ore. Il test si svolge in un laboratorio didattico ed è costituito da 5 domande a risposta multipla, in cui si richiede l'uso del software Matlab per risolvere problemi numerici simili a quelli affrontati a lezione e durante le esercitazioni. I punteggi massimi attribuiti alle singole domande vengono riportati nel testo della prova. Al test viene complessivamente assegnato un punteggio massimo di 8 punti. La prova scritta si svolge in un'aula, successivamente al test, ed è composta da 5 domande a risposta aperta. A ciascuna domanda viene attribuito un punteggio massimo, riportato nel testo d’esame, per un totale di 24 punti. Le domande includono definizioni, costruzione, proprietà e applicazione dei singoli metodi numerici, nonché dimostrazioni di risultati teorici. Durante le prove non è consentito utilizzare appunti, testi e strumenti elettronici, ad eccezione del PC in uso per il collegamento alle piattaforme di ateneo. L’esame si intende superato se lo studente ottiene una votazione complessiva non inferiore a 18/30. In caso di mancato superamento, lo studente deve sostenere nuovamente l’esame con entrambe le prove. I punteggi conseguiti nelle prove vengono comunicati tramite il portale della didattica, insieme a una convocazione per eventuali chiarimenti.

G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005. Ulteriore materiale didattico (slide, esercizi e tracce di svolgimento, problemi di carattere applicativo) sarà disponibile sul portale della didattica.

Al termine del corso gli studenti e le studentesse avranno appreso i fondamenti del Calcolo delle Probabilità e della Statistica da un punto di vista matematico rigoroso e avranno imparato ad utilizzare logiche e metodologie utili ai fini della trattazione e modellizzazione dell'incertezza e della variabilità .

L'insegnamento è suddiviso in due parti, fra loro strettamente legate: la prima parte è centrata sul Calcolo delle Probabilità , la seconda sulla Statistica Matematica. Nella prima parte vengono trattati argomenti di Calcolo delle Probabilità , principalmente vettori aleatori e legami fra le componenti, secondo la formalizzazione assiomatica di Kolmogorov. L'utilizzo della teoria della misura consente un approccio più formale nonché la possibilità di affrontare nel seguito argomenti più avanzati. La seconda parte è uno studio delle principali tecniche statistiche fondate su un'impostazione probabilistica. L'approccio è meno formale in quanto si vuole dare un'idea delle principali aree di applicazione.

Calcolo delle probabilità (50 ore): -Teoria della misura su spazi prodotto. -Vettori aleatori. -Trasformazioni di variabili e vettori aleatori. -Funzioni caratteristiche. -Distribuzioni condizionate e valore atteso condizionato. -Convergenza di successioni di variabili aleatorie. -Legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale. Statistica (50 ore): -Distribuzioni normali multivariate. -Statistiche d'ordine. -Simulazione probabilistica. -Distribuzioni campionarie. -Metodi asintotici. -Fondamenti di stima di punto e stima intervallare. -Fondamenti dei test di ipotesi. -Il modello regressivo. I modelli ANOVA e ANCOVA.

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;
Exam: Written test; Optional oral exam;
... La verifica dell’apprendimento avviene attraverso due prove scritte distinte, una per la parte di probabilità ed una per la parte di statistica, che possono essere svolte nello stesso appello o in appelli differenti, e mira ad accertare la capacità a modellizzare semplici problemi dominati dall'incertezza, utilizzando metodologie matematiche rigorose. Ognuna delle due prove scritte ha durata 90 minuti ed è ulteriormente suddivisa in due parti. 1) La prima parte consiste nello svolgimento di esercizi sull'intero programma del corso. Gli esercizi richiedono riflessione ed una ragionata comprensione degli argomenti visti a lezione. I passaggi svolti devono essere ben giustificati dai calcoli o da riferimenti a risultati noti. Punteggio massimo: 16 2) La seconda parte prevede domande di tipo teorico sull'intero programma del corso e potranno essere chieste risposte brevi oppure più dettagliate. Nelle risposte fornite occorre mostrare di essere a conoscenza dei concetti e dei risultati visti a lezione. Punteggio massimo : 18. Nelle prove pratiche (esercizi) sono consentiti formulari preparati dagli studenti (un foglio A4 solo fronte per ciascuna materia) e tavole di distribuzioni fornite dai docenti, mentre nella prove teoriche solo queste ultime sono concesse. L’uso della calcolatrice non programmabile è autorizzato per l’intero esame. L’esame è considerato superato se il punteggio conseguito è ritenuto sufficiente in entrambe le prove (di probabilità e di statistica), ed in tal caso il punteggio finale viene definito come media dei due punteggi distinti ottenuti nelle due prove. La lode viene assegnata, a discrezione dei docenti, solo nel caso in cui il punteggio sia maggiore o uguale a 31. Una prova orale opzionale può essere richiesta dai docenti, nel caso ritengano necessario un approfondimento, o dagli studenti o studentesse che abbiano già superato l’esame nella sua interezza. Questa riguarda l'intero programma dell'insegnamento e può includere la discussione dello scritto. Lo studente o la studentessa deve mostrare di essere a conoscenza dei concetti e dei risultati visti a lezione, con eventuale relativa dimostrazione. Deve essere in grado di fornire esempi quando richiesti e di svolgere brevi esercizi che possono essere proposti dai docenti. La prova orale concorre alla determinazione del voto finale. In particolare, può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.

Il materiale principale è costituito dagli appunti delle lezioni e delle esercitazioni forniti dai docenti, da dispense e da esercizi disponibili in rete. Inoltre, si suggeriscono i seguenti testi, che NON vanno intesi come manuali dell'insegnamento, ma come materiale di supporto per eventuali approfondimenti: J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials - Springer Verlag (2004) P.Baldi - Calcolo delle Probabilità - McGraw-Hill (2011) S.M. Ross – Calcolo delle Probabilità - Apogeo (2013) M. Gasparini - Modelli probabilistici e statistici - CLUT (2014) G. Casella, R.L. Berger - Statistical Inference - Duxbury Press (2002)

I risultati di apprendimento attesi consistono in: • acquisizione dell'autonomia nella gestione di piccoli progetti software • acquisizione dell'autonomia nell'uso di base di sistemi Unix/Linux da terminale • acquisizione di solide basi di programmazione C++; • una conoscenza delle problematiche connesse all'utilizzo del calcolatore per eseguire simulazioni accurate ed efficienti (complessità computazionale degli algoritmi, stabilità , condizionamento della formulazione del problema); • una conoscenza dei principali algoritmi e delle fondamentali strutture di dati dell'informatica; • una conoscenza delle problematiche principali legate alla geometria computazionale. Le abilità che si vogliono trasmettere sono: • scrivere un codice complesso individuale e di gruppo; • collabolare in un team per la risoluzione di un problema computazionale complesso; • sviluppare algoritmi valutando gli aspetti positivi e negativi delle varie soluzioni possibili; • prendere decisioni sulla base di valutazioni oggettive in termini di complessità computazionale, robustezza e semplicità tra le diverse possibili soluzioni implementative Le competenze ottenute alla fine dell'insegnamento sono: • analizzare un problema complesso, valutare le possibili soluzioni implementative e progettare un codice di simulazione per il calcolo scientifico funzionante, modulare ed efficiente.

L'insegnamento si propone di approfondire le conoscenze su linguaggi e tecniche di programmazione, algoritmi e strutture dati utili per il calcolo scientifico. L'insegnamento punta a far acquisire agli studenti: - solide basi di programmazione C++ e di gestione di progetti software; - una conoscenza delle problematiche connesse all'utilizzo del calcolatore per eseguire simulazioni accurate ed efficienti; - una conoscenza dei principali algoritmi e delle fondamentali strutture di dati dell'informatica; - una conoscenza delle problematiche legate alla geometria computazionale applicata all'integrazione numerica e alla risoluzione di equazioni differenziali.

Introduzione al Calcolo Scientifico • Ripasso su condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo numerico. • Cenni sulla Teoria della complessità computazionale Introduzione all'Ingegneria del Software • Cenni sull'esecuzione e sulle performance di un codice ◦ Richiami di architetture degli elaboratori, architettura Von Neumann ◦ Memory bound, compute bound e principali metriche di performance • Programmazione C++ ◦ Linguaggi compilati ed interpretati ◦ Dal sorgente all'eseguibile: preprocessore/compilatore/linker ◦ Introduzione al linguaggio C++ ◦ Basi del linguaggio, strutture di controllo, tipi di dati definiti dall'utente ◦ Allocazione dinamica della memoria, implementazione di semplici strutture dati dinamiche ◦ Libreria standard del C++ (STL) • Introduzione al Version Control ◦ Introduzione a Git • Interazione da terminale con sistemi Unix/Linux • Uso di CMake per la gestione di progetti software Applicazioni del Calcolo Scientifico ◦ Strutture dati avanzate (liste, code, pile, alberi, grafi) ◦ Complessità computazionale, Ricorsione ◦ Algoritmi elementari (ordinamento, attraversamento di alberi e grafi, ricerca di percorsi tra nodi nei grafi) ◦ Strutture dati in C++ • Geometria Computazionale ◦ Introduzione alle classi per il trattamento di oggetti geometrici ◦ Intersezioni ◦ Matrici di Rotazione ◦ Trasformazioni affini, sistemi di riferimento 2D/3D ◦ Quadratura numerica 2D/3D ◦ Geometria computazionale in C++ ◦ C++ - Eigen

Modalita di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria; Elaborato progettuale in gruppo;
Exam: Written test; Compulsory oral exam; Group project;
... L'esame si compone di una prova scritta, una prova orale e della realizzazione di un elaborato progettuale (in gruppo o individualmente). La prova scritta non comporta una valutazione ma costituisce una condizione di accesso alla prova orale, ovvero, solo gli studenti/le studentesse che superano la prova scritta rispondendo correttamente a tutti i quesiti, sono ammessi/e all'orale. La prova scritta si compone di 2/3 domande a risposta aperta che vertono su competenze e conoscenze fondative. La durata dell'esame orale è di circa 30-45 minuti e prevede la discussione di temi trattati durante il corso, la discussione degli elaborati relativi alle esercitazioni settimanali e la discussione del progetto finale. La mancata consegna degli elaborati nei tempi previsti senza giustificazione (è consentito un massimo di 2 giustificazioni) comporta l'impossibilità di conseguire voti superiori a 24/30. In qualunque caso, per sostenere l'esame è necessario aver consegnato la totalità degli elaborati previsti. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. La valutazione massima è 30 e lode.

• Bjarne Stroustrup - A Tour of C++ (seconda edizione) - Addison-Wesley Professional • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein - Introduction to Algorithms - The MIT Press • Andrew S. Tanenbaum, Todd Austin - Structured Computer Organization (sesta edizione) - Pearson • Crescenzi Pierluigi - Gambosi Giorgio - Grossi Roberto - Rossi Gianluca, STRUTTURE DI DATI E ALGORITMI, Progettazione, analisi e programmazione, Editore: PEARSON EDUCATION ITALIA • Monegato Giovanni, METODI E ALGORITMI PER IL CALCOLO NUMERICO, Editore: CLUT • Materiale elettronico fornito dai docenti

La Prova finale del Corso di laurea in Matematica per l’ingegneria ha lo scopo di mostrare e valutare le capacità di elaborazione e sintesi dello studente su un tema di carattere multidisciplinare che utilizzi varie metodologie acquisite durante il Corso di Studi. Per ogni studente è previsto un Tutore di prova finale con il quale lo studente concorda l’argomento da sviluppare. Il Tutore (e l’argomento) vengono di norma scelti dallo studente liberamente in base ad accordi con i docenti. Gli studenti devono fare la richiesta in modalità on-line attraverso un’apposita procedura disponibile nella propria pagina personale del portale della didattica nella sezione denominata “Richiesta Prova Finale” (sotto il carico didattico), rispettando le scadenze per la sessione di interesse pubblicate sul Manifesto degli studi (vedi nota*). La prova finale consiste nella redazione di un elaborato scritto, svolta in modo autonomo dallo studente e nella sua discussione in presenza del relatore e di un correlatore scelto dal relatore sulla base delle metodologie interdisciplinari utili nello svolgere il lavoro di tesi che sono state impiegate dallo studente. Previa richiesta al referente del Corso di Studi, potrà essere autorizzato lo svolgimento della prova finale in lingua inglese. A conclusione del lavoro, l’approvazione del tutore, insieme al superamento di tutti gli esami, consentirà allo studente la partecipazione alla sessione di laurea di riferimento. La proclamazione, in sessione pubblica, avverrà secondo il calendario predisposto dall’Ateneo.

Modalita di esame: Prova orale obbligatoria;
Exam: Compulsory oral exam;