Matematica

Concetti di base che riguardano le successioni e le funzioni di una variabile reale:

• limiti,
• continuità,
• calcolo differenziale ed integrale,
• serie numeriche,
• equazioni differenziali ordinarie.

Preliminari

• Logica elementare. Proposizioni, predicati, quantificatori. Implicazioni e dimostrazioni per assurdo. Negazione di una proposizione.
• Insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano. Insieme delle parti.
• Insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali, complessi.
• Funzioni tra insiemi e loro grafici. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive, invertibili. Funzione inversa. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione.
• Funzioni e funzioni inverse elementari (valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse).
• Funzioni iperboliche e loro inverse.
• Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone.
• Operazioni sui grafici di funzioni reali. Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni.
• Principio di induzione. Fattoriale, coefficienti binomiali, binomio di Newton. Disuguaglianza di Bernoulli.
• Definizione assiomatica dei numeri reali. Assioma di continuità.
• Sottoinsiemi dei reali limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore.

Limiti

• Limite di una successione di numeri reali.
• Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno.
• Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri.
• Teoremi algebrici sui limiti (limite della somma/differenza, del prodotto, del rapporto). Forme indeterminate.
• Criteri della radice e del rapporto per i limiti. Criterio rapporto → radice.
• Successioni monotone. Esistenza del limite delle successioni monotone. Successioni limitate. Il numero e.
• Sottosuccessioni. Relazioni tra il limite di una successione e delle sue sottosuccessioni. Uso di sottosuccessioni per mostrare che un certo limite non esiste.
• Definizione di limite di una funzione. Teoremi algebrici e di confronto per i limiti di funzione.
• Limiti notevoli di funzioni.
• Cambio di variabile nei limiti.
• Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
• Linguaggio degli infinitesimi: o piccolo, O grande, equivalenza asintotica.
• Utilizzo del teorema di de l’Hôpital per il calcolo dei limiti.
• Utilizzo della formula di Taylor per il calcolo dei limiti.
• Successioni per ricorrenza, autonome e non autonome.
• Liminf, limsup, maxlim, minlim per successioni e funzioni. Rivisitazione in termini di liminf e limsup dei principali teoremi sui limiti di successioni e funzioni.
• Successioni di Cauchy e completezza dei numeri reali.

Continuità per funzioni di una variabile

• Linguaggio topologico nella retta reale: intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, frontiera, punti di accumulazione.
• Definizione di funzione continua in un punto ed in un insieme.
• Continuità delle funzioni elementari.
• Teoremi algebrici sulle funzioni continue. Continuità della composizione e dell'inversa.
• Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
• Massimo e minimo di una funzione su un insieme. Punti di massimo e punti di minimo.
• Compattezza per sottoinsiemi della retta (equivalenza tra varie definizioni).
• Teorema di Weierstrass e sue varianti.
• Funzioni uniformemente continue e loro proprietà. Moduli di continuità.
• Teoremi sulle funzioni uniformemente continue: teorema di Heine-Cantor e di estensione.
• Funzioni Lipschitziane ed Hölderiane.
• Funzioni semicontinue inferiormente e superiormente.

Calcolo differenziale in una variabile

• Definizione di derivata e differenziale di una funzione in un punto. Equivalenza tra le due definizioni. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale, della derivata e del differenziale.
• Teoremi algebrici sulle derivate. Calcolo della derivata delle funzioni elementari.
• Legami tra continuità e derivabilità in un punto.
• Derivata della funzione inversa. Calcolo della derivata delle funzioni inverse elementari.
• Derivate di ordine superiore al primo.
• Relazioni tra segno della derivata prima e monotonia.
• Funzioni convesse e concave. Relazioni tra segno della derivata seconda e convessità.
• Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange.
• Teorema di de l'Hôpital. Equivalenti del teorema di de l'Hôpital per le successioni.
• Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.
• Studio di funzione locale e globale, e relative applicazioni.

Calcolo integrale in una variabile

• Integrale di funzioni limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Definizione alla Darboux e alla Riemann. Partizioni di un intervallo. Integrale inferiore e superiore.
• Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale (linearità, monotonia, additività rispetto al dominio di integrazione).
• Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Primitive di una funzione continua. Utilizzo di una primitiva per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari.
• Formula di integrazione per parti. Formula di integrazione per sostituzione.
• Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni razionalizzanti. Accenno all'interpretazione geometrica delle sostituzioni razionalizzanti.
• Integrali impropri: definizione nei due casi di dominio di integrazione non limitato oppure integranda non limitata.
• Criterio del confronto e del confronto asintotico per integrali impropri con integranda a segno costante. Criterio dell'assoluta convergenza per integrali impropri con integranda a segno variabile.
• Criterio di confronto tra serie e integrali e sua giustificazione geometrica.
• Criterio di Dirichlet per integrali impropri oscillanti e per serie numeriche.

Serie numeriche

• Definizione di serie come limite delle somme parziali.
• Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
• Criterio di condensazione.
• Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche.
• Serie a termini positivi: criterio della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Casi limite nel confronto asintotico.
• Criterio di Leibniz (serie a segno alterno).
• Serie assolutamente convergenti e relative proprietà (riordinamento, raggruppamento).
• Prodotto di serie.
• Cenni alle serie di potenze: raggio e intervallo di convergenza.

Equazioni differenziali

• Terminologia: ordine di un'equazione, equazioni in forma normale e/o autonome.
• Problema di Cauchy per un'equazione di ordine n. Teorema di esistenza e unicità. Intervallo massimale di esistenza, tempo di vita, blow-up, break-down.
• Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
• Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
• Equazioni differenziali lineari omogenee, a coefficienti costanti, di ordine arbitrario.
• Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee. Ricerca euristica di una soluzione “per tentativi”. Metodo di variazione delle costanti.
• Sistemi di equazioni differenziali lineari.

Tutta la matematica pre-universitaria, ed in particolare

• Manipolazione di espressioni algebriche (numeriche e letterali).
• Polinomi: radici, divisione con resto, fattorizzazione.
• Potenze, radici e logaritmi.
• Geometria analitica nel piano.
• Trigonometria.
• Risoluzione di equazioni e disequazioni.
• Familiarità con il concetto di dimostrazione.

Durante il corso verranno sviluppate e progressivamente affinate le capacità dello studente di leggere e comprendere un testo di Analisi Matematica, interpretandone correttamente definizioni, teoremi ed esempi. Particolare attenzione sarà dedicata alla capacità di valutare la correttezza logica di una dimostrazione e di riconoscerne la struttura argomentativa. Verranno inoltre potenziate le abilità di problem solving e il pensiero critico, accompagnando lo studente verso la produzione autonoma di dimostrazioni e la loro comunicazione in forma sia scritta che orale, con rigore e chiarezza.

Esame finale.

Test + Prova Scritta + Prova Orale

L'accesso alla Prova Scritta o a quella Orale è subordinato al superamento della prova precedente.

I video e i materiali scritti delle lezioni resi disponibili online, insieme alla raccolta di esercizi (in continuo aggiornamento) presente nell’Archivio Didattico del docente, dovrebbero costituire una base più che sufficiente per raggiungere una preparazione solida in questa materia.

È bene sottolineare, tuttavia, che gli argomenti trattati nel corso appartengono al patrimonio consolidato della matematica da secoli. Di conseguenza, qualsiasi libro su cui lo studente si trovi a proprio agio può essere considerato adatto allo studio: in quest’ottica, una visita in biblioteca può rivelarsi molto utile per individuare il testo più affine al proprio stile di apprendimento. Pur ribadendo che ogni buon manuale può andare bene, si segnalano, a titolo orientativo, i seguenti volumi:

[1] E. Acerbi, G. Buttazzo; Primo corso di Analisi Matematica; Pitagora Editrice.

[2] P. Marcellini, C. Sbordone; Analisi Matematica uno; Liguori Editore.

[3] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa; Analisi matematica 1; Zanichelli.

[4] F. Conti; Calcolo; McGraw-Hill (sostituito, in alcune edizioni, dalla versione ridotta Analisi Matematica — Teoria e applicazioni di F. Conti, P. Acquistapace, A. Savojni).

Lo scopo del corso di Aritmetica e' rendere gli studenti capaci di fare dimostrazioni per induzione, risolvere congruenze e fare calcoli e considerazioni teoriche con i polinomi. Gli studenti dopo aver superato l'esame avranno inoltre una solida conoscenza del calcolo combinatorio, delle proprieta' di base di gruppi anelli e una prima conoscenza della teoria dei campi, con particolare enfasi sui campi finiti.

Induzione, congruenze. Proprietà di base di gruppi anelli e campi; omomorfismi e quozienti. Polinomi, fattorizzazione e lemma di Gauss. Anelli euclidei. Costruzione di estensioni di campi e dei campi finiti

Aritmetica di base e polinomi.

Seguire le lezioni e svolgere man mano gli esercizi del libro di testo. Partecipare ai ricevimenti e alle sedute di tutorato.

Esame scritto e orale

Esame scritto ed orale.

TESTI DI RIFERIMENTO :

Dispense del corso

R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich - Esercizi scelti di Algebra (vol 1) - Springer Italia

L. Childs, Algebra, un'introduzione concreta, ETS Editrice

I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti

Al termine del corso, lo/la studente/ssa avrà acquisito una comprensione approfondita dei concetti fondamentali della meccanica classica e dei principi della misura fisica. In particolare, conoscerà: • Le grandezze fisiche fondamentali, le unità di misura e la loro definizione secondo il Sistema Internazionale. • I principi dell’analisi dimensionale. • I concetti fondamentali della cinematica • I principi fondamentali della meccanica newtoniana (leggi di Newton, principi di conservazione, sistemi di riferimento). • Le leggi del moto di un punto materiali e per sistemi di molti punti materiali . • Le leggi fondamentali della dinamica rotazionale e della statica. • I concetti di forza, energia, lavoro, energia potenziale e quantità di moto. • I concetti di incertezza, errore sperimentale, distribuzioni statistiche semplici (Gauss, uniforme), significato e utilizzo del chi quadro per la valutazione della bontà di un fit. • I fondamenti dell'acquisizione ed elaborazione di dati sperimentali.

PROGRAMMA DEL CORSO

- Grandezze fisiche e calcolo vettoriale

Grandezze fisiche e loro misurazione. Grandezze fisiche scalari e vettoriali. Prodotto scalare e prodotto vettoriale di vettori, triplo prodotto vettoriale, triplo prodotto misto.

- Cinematica del punto materiale

Traiettoria, legge oraria, velocità media e velocità istantanea. Ascissa curvilinea e velocità scalare, accelerazione scalare, accelerazione tangenziale e centripeta. Moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato. Moto di caduta libera dei corpi. Moto circolare.

- I principi della dinamica newtoniana

Concetti di massa e di forza. Principio di inerzia. Sistemi di riferimento inerziali. 2a legge di Newton, 3a legge di Newton. Quantità di moto, impulso di una forza, teorema dell'impulso. Momento angolare, momento di una forza, teorema del momento dell'impulso. Forze elastiche e legge di Hooke. Oscillatore armonico unidimensionale. Oscillatore armonico soggetto a una forza costante. Piccole oscillazioni attorno a una posizione di equilibrio stabile. Vincoli e reazioni vincolari. Vincoli lisci e scabri. Moto di un corpo su un piano inclinato. Fili ideali. Pendolo semplice, isocronismo delle piccole oscillazioni. Forze di attrito statico e dinamico. Forze viscose. Moto di un corpo soggetto a una forza costante in un mezzo viscoso.

- Lavoro ed energia

Lavoro di una forza. Energia cinetica. Teorema delle forze vive. Forze conservative ed energia potenziale. Energia meccanica. Legge di conservazione dell'energia meccanica. Energia meccanica in presenza di forze non-conservative. Esempi di forze conservative. 

- Dinamica dei sistemi di N punti materiali

Centro di massa e quantità di moto totale. 1o teorema del centro di massa. Forze interne ed esterne. 1a equazione della dinamica dei sistemi di punti materiali. 2o teorema del centro di massa. Momento angolare totale. 2a equazione della dinamica dei sistemi di punti materiali. 3o teorema del centro di massa. Sistema isolato. Legge di conservazione della quantità di moto. Legge di conservazione del momento angolare. Relazione tra le leggi di conservazione della quantità di moto e del momento angolare con la 3a legge di Newton. Sistemi fisici continui: densità, centro di massa, quantità di moto, etc. Sistema di riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig per il momento angolare. Lavoro ed energia per un sistema di punti materiali: teorema delle forze vive. Sistema di due corpi. Urti fra due corpi

- Dinamica dei corpi rigidi

Legge di trasformazione della velocità e dell'accelerazione tra due sistemi di riferimento. Corpi rigidi: moti traslatori puri; moti rotatori con asse fisso. Momento di inerzia; teorema di Huygens-Steiner; assi principali di inerzia. Dinamica dei corpi rigidi con asse fisso: momento assiale delle forze esterne. Pendolo fisico. Conservazione del momento angolare assiale. Energia cinetica di un corpo rigido. Lavoro delle forze esterne su un corpo rigido. Rotolamento di una ruota: condizione per il puro rotolamento. Statica dei corpi rigidi.

- Gravitazione

Cenni storici: il sistema aristotelico-tolemaico; Copernico, Tycho Brahe, Keplero. Le tre leggi di Keplero. La legge di gravitazione universale di Newton; massa inerziale e massa gravitazionale. Energia potenziale gravitazionale. Deduzione delle leggi di Keplero dalla legge di gravitazione di Newton. Classificazione delle orbite in base al valore del momento angolare e dell'energia meccanica. Orbite circolari. Calcolo delle orbite a partire dalla legge di gravitazione universale di Newton. Sistemi planetari extrasolari, esempi: Kepler-90; TRAPPIST -1.

- Laboratorio

Misure. Incertezze. Stima delle incertezze. Cifre significative. Discrepanza. Incertezze relative. Propagazione degli errori. Errori casuali. Distribuzione normale. Dati sperimentali e modelli. Metodo dei minimi quadrati. Fit grafico di una retta. Linearizzazione di leggi esponenziali e di potenza. Costruzione di tabelle e grafici di dati. Esperienze di laboratorio.    

Per seguire con profitto il corso, si richiedono:

• Conoscenze di base di algebra, geometria analitica, trigonometria e calcolo differenziale/integrale per funzioni di una variabile.
• Familiarità con i concetti elementari di vettori e operazioni vettoriali.
• Capacità di lettura e comprensione di testi scientifici in lingua italiana e inglese.
• Non è richiesta una precedente formazione specifica in fisica, ma si presume la familiarita` degli argomenti tipici dell’insegnamento di Fisica nella scuola secondaria superiore.

Testi consigliati

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica, volume I, EdiSES.

L. E. Picasso, Lezioni di Fisica Generale, Edizioni ETS Pisa.

J. R. Taylor, Introduzione all'analisi degli errori, Zanichelli.

Lo studente che termina con successo il corso sarà in grado di dimostrare di conoscere i concetti basilari e i fondamenti dei linguaggi di programmazione. A questo scopo viene introdotto illinguaggio C come esempio di linguaggio di programmazione. Al termine del corso gli studenti devono essere in grado di tradurre un metodo astratto di risoluzione di un problema in un programma funzionante e di programmare in C ad un livello intermedio, elaborando algoritmi semplici.

Gli studenti devono inoltre dimostrare di aver acquisito una buona conoscenza della logica proposizionale e del prim'ordine e di alcuni concetti di base della semantca formale dei linguaggi imperativi.

I parte

• Introduzione all'informatica e al pensiero computazionale
• Logica per la programmazione: calcolo proposizionale e calcolo dei predicati del prim'ordine
• Introduzione ai principi della programmazione imperativa. Il concetto di stato.
• Specifiche formali di problemi di programmazione.
• I costrutti linguistici di base di un linguaggio imperativo: assegnamento, sequenza, condizionale, iterazione e loro semantica informale
• Cenni di semantica formale dei linguaggi imperativi
• Semantica assiomatica: triple di Hoare, verifiche di correttezza e sintesi di semplici programmi

II parte

• Introduzione al linguaggio C: variabili ed espressioni aritmetiche.
• Operatori logici in C.
• Tipi di dato primitivi: char, int, long int, float, double
• Istruzioni condizionali: if-else, switch-case.
• Iterazione indeterminata: while, do-while
• Iterazione determinata: for
• Tipi strutturati: array e matrici.
• Stringhe come array di caratteri
• Programmazione modulare: il concetto di funzione e procedura.
• Passaggio dei parametri e prototipi.
• Cenni di programmazione ricorsiva e principio di induzione ben fondata.
• Funzioni ricorsive in C
• Tipo puntatore e allocazione dinamica della memoria.
• Tipi strutturati
• Liste concatenate.
• Accenni agli alberi binari e alberi binari di ricerca con strutture concatenate.

Non sono richieste particolari conoscenze iniziali. Una conoscenza elementare della logica è certamente utile, così come una sufficiente familiarità con le tecniche di dimostrazione.

Lo studente potrà acquisire e/o sviluppare la capacità di pensare in modo algoritmico alla soluzione dei problemi.

• Gli esercizi proposti nei quiz servirannoo per valutare l'apprendimento delle nozioni teoriche di base sulla parte di logica proposizionale e del prim'ordine e di semantica formale dei linguaggi.
• La prova scritta verterà su esercizi per valutare le capacità di problem solving in C, con particolare riferimento alla gestione di sequenze e strutture dinamiche.
• Durante l'eventuale prova orale agli studenti verrà richiesto di saper presentare i principali contenuti del corso e di risolvere semplici esercizi per dimostrare di saper utilizzare i principi appresi.

L'esame è composto da:

• Quiz a risposta chiusa
• Prova scritta
• Eventuale prova orale

La prova scritta consiste in esercizi su tutto il programma del corso, con particolare riferimento alla soluzione di problemi di programmazione in linguaggio C. Se superata, la prova rimane valida per tutti gli appelli dell'anno accademico.

Il superamento delle prove intermedie esonera dalla prova scritta.

L'eventuale prova orale consiste in un colloquio tra il/la candidato/a e il docente, in cui vengono accertate le conoscenze del/la candidato/a sui principali argomenti del corso e le sue capacità nel risolvere problemi teorici e pratici.

Slides presentate durante le lezioni e appunti forniti dal docente

TESTI DI RIFERIMENTO

• S. Ceri, D. Mandrioli, l. Sbattella. Informatica: programmazione McGraw-Hill. In alternativa: D. Mandrioli, G. Cugola, L. Sbattella, P. Cremonesi e S. Ceri. Informatica: arte e mestiere
• J. Hopcroft, J. Ullman. Automi, linguaggi e calcolabilità. Pearson. Addison-Wesley.
• B. W. Kerninghan, D. M. Ritchie. Linguaggio C Pearson.
• Cormen, Leiserson, Rivest, Stein. Introduzione agli algoritmi e strutture dati. McGraw-Hill

BIBLIOGRAFIA DI APPROFONDIMENTO

• A. Bellini, A. Guidi. Linguaggio C, guida alla programmazione. McGraw-Hill.

Lo studente avrà acquisito le conoscenze base della teoria degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari, con alcune applicazioni geometriche fondamentali di base, che sono di fondamento per quasi tutti i corsi successivi.

A grandi linee (con possibili variazioni minori):

• Vettori geometrici:  somma, prodotto esterno, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e scrittura in coordinate; applicazioni (distanze, angoli, aree, volumi); equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.

• Assiomi di campo e di spazio vettoriale. Numeri complessi. Sottospazi, combinazioni lineari, span. Lineare indipendenza. Caratterizzazione delle basi. Ogni spazio vettoriale ha base (dimostrazione nel caso finitamente generato). Algoritmo di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale. Somme e somme dirette. Formula di Grassmann.

• Teoria dei sistemi lineari (teorema di Roche'-Capelli, algoritmo di Gauss, rango, rango per righe=rango per colonne).

• Applicazioni lineari: nucleo, immagine, formula delle dimensioni, matrice associata. Composizione e prodotto righe per colonne. Formula del cambiamento di base (caso generale e caso della similitudine per endomorfismi). SD equivalenza. Invarianti per similitudine.

• Determinante: assiomi, gruppo simmetrico (segno di una permutazione), formula del determinante, sviluppo per righe e per colonne, matrice inversa. Teorema di Binet.

• Autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica e geometrica, caso reale, diagonalizzabilita', criteri di diagonalizzabilita'. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio minimo, caso diagonalizzabile, teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi invarianti, caso diagonalizzabile, criterio di diagonalizzabilita' simultanea. Triangolarizzabilita'. Forma canonica di Jordan.

• Prodotti scalari: matrice associata a un prodotto scalare. Formula di cambiamento di base (congruenza). Sottospazio radicale. Formula della dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Teorema di Lagrange e Gram-Schmidt. Teorema di Sylvester reale e complesso, segnatura. Vettori e sottospazi isotropi. Prodotti hermitiani. Operatori simmetrici ed hermitiani. Operatori ortogonali ed unitari. Teorema di Riesz, operatore trasposto e aggiunto. Teorema spettrale. Triangolarizzazione con matrici unitarie. Matrici e operatori normali.

• Azioni di gruppo. Spazi affini. Classificazione affine e isometrica delle quadriche.

capacita' di ragionamento e deduzione logica: puo' essere d'aiuto aver studiato  Geometria euclidea e geometria analitica nelle scuole superiori.

lo studente acquisirà la capacità di astrazione e di modellizzazione tipiche delle materie scientifiche

domande e interventi in aula, proposizione di esercizi da risolvere

Scritto e orale.

Prevalentemente note scritte dei docenti.

Sito e-learning del corso che raccoglie le lezioni e le esercitazioni.

Diversi libri sono consultabili, anche se non verranno seguiti come libri di testo

(autori: Lang, Martelli, Sernesi, Ciliberto, Abate)

Utilizzo di sistemi GNU/Linux, Realizzazione di testi in LaTeX. Studio tramite software matematico di serie numeriche, funzioni, limiti, integrali, sistemi lineari, autovalori, curve e superfici, aritmetica modulare e altri oggetti matematici.

• Hardware: CPU, Memoria, Cache, Clock e RAM,
• Introduzione al sistema GNU/LINUX: comandi di base, utenti e permessi,
• Cenni al funzionamento della rete: SSH, SCP, RSYNC (Backup),
• GitHub / GitHub Pages / Creazione di Pagine Web con HTML
• LaTeX: creazione di documenti e slide
• Breve introduzione ai software MATLAB/OCTAVE
• Breve introduzione ai CAS
• Sistemi lineari, rappresentazione grafica di curve e sottoinsiemi del piano
• Numeri complessi
• Studio numerico di successioni di numeri reali
• Grafici 2d e 3d
• Polinomi di Legendre e di Chebyshev, implementazione, zeri e radici.
• Introduzione alle Matrici sparse
• Cenni all'Integrazione numerica di funzioni ed ODE

La parte iniziale (riguardante gli argomenti a carattere più informatico) non ha prerequisiti. Per la seconda parte, che contiene argomenti a carattere più matematico e che si svolge nel secondo semestre, una familiarità con il materiale coperto nei corsi del primo semestre

Familiarità con l'utilizzo di software matematico, abitudine a pensare ai risvolti computazionali del materiale coperto negli altri corsi del piano studi. Attitudine all'implementazione di software efficiente.

Le capacità acquisite saranno validate tramite la soluzione di esercizi assegnati periodicamente durante il corso.

La verifica di profitto avviene sulla base della frequenza e della consegna di esercizi assegnati durante il corso. Si tratta di una attività che non dà luogo a voto o giudizio, ma alla sola idoneità.

Appunti forniti dai docenti sul sito web e sul sito di e-learning.

Conoscenze della teoria svolta su gruppi, anelli, campi e teoria di Galois. Conoscenza degli esempi fondamentali della teoria svolta.

Richiami sulla teoria elementare dei gruppi.

Il gruppo degli automorfismi. Automorfismi interni. Prodotti diretti e prodotti semidiretti di gruppi. Azioni di un gruppo su un insieme. Classi di coniugio. Formula delle classi, applicazioni ai p-gruppi e teorema di Cauchy. I teoremi di Sylow.

Gruppi di permutazioni. Classi di coniugio nel gruppo di permutazioni su n elementi. Teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti.

Anelli e sottoanelli, corpi e campi. Anelli commutativi, domini d’integrità e divisori dello zero. Il gruppo delle unità di un anello. Ideali e anelli quoziente. Ideale generato da un sottoinsieme. Operazioni sugli ideali. Omomorfismi tra anelli e teorema di omomorfismo. Campo dei quozienti di un dominio d’integrità.

Anelli euclidei, anelli a ideali principali e anelli a fattorizzazione unica.

L’anello dei polinomi. Lemma di Gauss e fattorizzazione unica dei polinomi a coefficienti in un anello a fattorizzazione unica.

Estensioni di campi. Estensioni finite ed estensioni algebriche. Chiusura algebrica di un campo: esistenza ed unicità. Estensioni normali, gruppi di Galois e corrispondenza di Galois. Calcolo di gruppi di Galois. Cenni sulla risolubilità per radicali e sulle costruzioni con riga e compasso.

Contenuti del corso di Aritmetica

Si raccomanda di seguire le lezioni e le esercitazioni e lo studio individuale durante tutto il semestre.

Esame scritto e orale

Libri di esercizi:  R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich (Springer, 2 volumi).

N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti.
M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
S. Lang, Undergraduate Algebra (2nd Ed.), Springer-Verlag.
A. Machi’, Gruppi, UNITEXT Springer.

Il corso fornisce le conoscenze fondamentali dell'analisi matematica per funzioni di più variabili e in spazi metrici. Lo studente acquisisce i concetti teorici fondamentali relativi alla topologia dello spazio euclideo e degli spazi metrici, alla continuità, ai limiti e al calcolo differenziale in più variabili, inclusi la differenziabilità, la convessità, i criteri i ottimizzazione al primo e secondo ordine, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Vengono apprese le nozioni di convergenza puntuale, uniforme e totale per successioni e serie di funzioni, lo scambio del limite e della derivata con serie e integrali (compreso il teorema di convergenza dominata). Vengono proposti i teoremi di punto fisso di Banach-Caccioppoli, il teorema di Stone-Weiestrass e il teorema di Ascoli-Arzelà. Il programma include inoltre la teoria della misura di Peano-Jordan e dell'integrazione secondo Riemann in più variabili, le formule di riduzione, la formula del cambio di variabile. Viene definito il calcolo di integrali curvilinei e di superficie, la teoria delle forme differenziali e i classici teoremi d'integrazione (Gauss-Green, Stokes e della divergenza). Viene proposto il teorema di Cauchy-Lipschitz di esistenza e unicità locale per i sistemi di equazioni differenziali, esistenza globale, dipendenza continua, studio qualitativo delle soluzioni di equazioni del primo ordine.

È richiesta la padronanza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica 1 e di Geometria 1. In particolare, si presuppone la conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, delle successioni e serie numeriche, della teoria degli spazi vettoriali, del calcolo matriciale e delle trasformazioni lineari.

La verifica delle capacità avviene mediante la valutazione delle prove scritte parziali o della prova scritta finale, nelle quali lo studente deve applicare le tecniche analitiche e le metodologie di calcolo apprese alla risoluzione di esercizi e problemi articolati. Durante la prova orale e lo svolgimento degli esercizi, viene inoltre accertata la capacità di argomentare con rigore logico, selezionare gli strumenti matematici idonei e formalizzare correttamente i passaggi risolutivi.

• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone; Lezioni di analisi matematica due; Zanichelli.
• E. Giusti; Analisi Matematica 2; Bollati Boringhieri.
• E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo; Problemi scelti di Analisi Matematica II; Liguori Editore.
• G. Folland; Real Analysis; Wiley.

Lo scopo del corso è duplice. Da un lato il corso ambisce a stimolare l'interesse sugli aspetti algoritmici dei problemi matematici. Dall'altro vuole creare una base solida di strumenti teorici e di metodi numerici che metta in grado lo studente di risolvere problemi di base in modo algoritmico e che crei una background su cui innestare strumenti computazionali più avanzati. Lo studente che completa il corso con successo sarà in grado di implementare algoritmi numerici in software scientico.

• Analisi degli errori: stabilità e condizionamento numerico
• Algebra Lineare Numerica: Forma normale di SChur, teoremi di Gerschgorin, norme
• Metodi diretti per sistemi lineari
• Metodi iterativi per sistemi lineari
• Equazioni non lineari: iterazioni del punto fisso
• Interpolazione e applicazione all'integrazione numerica
• Metodi a un passo per il problema di Cauchy
• Trasformata discreta di Fourier, FFT e applicazioni
• Ogni argomento prevede anche una sperimentazione numerica

Nozioni di base di algebra lineare e di analisi matematica

Lo studente raggiungerà un "pensiero numerico" dove i concetti di stabilità e condizionamento giocano un ruolo fondamentale e dove la minimizzazione della complessità computazionale è una continua richiesta nel progetto e analisi di metodi numerici.

I criteri di valutazione delle abilità si baseranno sulla implementazione di funzioni riguardanti specifici problemi e sulla risoluzione di esercizi su parti diverse del corso.

L'esame consiste di una parte scritta e una parte orale.

Lo scritto generalmente consiste di due esercizi, di cui uno riguarda l'analisi algoritmica di un problema specifico con implementazione. L'esame è superato se entrambi gli esercizi vengono affrontati in modo sufficiente. Se lo scritto è superato lo studente può accedere all'orale.

L'orale generalmente consiste di due domande su parti diverse del corso. L'esame è superato se lo studente fornisce risposte accettabili a entrambe le domande.

Sono previste prove in itinere, il cui superamente permette l'accesso alla prova orale.

Letture suggerite sono:

D.A. Bini, M. Capovani, O. Menchi, "Metodi numerici per l'algebra lineare", Zanichelli, 1988.
R. Bevilacqua, D.A. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, 1992

Appunti specifici, forniti dai docenti, sono scaricabili dal sito elearning del corso

Introdurre algoritmi (base) e strutture dati per risolvere problemi su seqeuneze, liste, alberi, grafi, efficienti in tempo e/o spazio. Saranno trattate anche tecniche per valutare la complessita' degli algoritmi e dei problemi. Infine, queste tecniche saranno sperimentate mediante implementazione nel linguaggio C++.

Breve introduzione a problemi computazionali: dicidabilita' e trattabilita'(P, NP, NPC, EXP-TIME). Complessita': modelli, dimensione inpute e output, albero decisionale, lower e upper bounds, caso pessimo e medio. Divide-et-impera; relazioni di ricorrenza, teorema fondamentale. Algoritmi su sequenze statice/dinamiche: ricerca e ordinamento. Problema dei matrimoni stabili e sottosequenza di somma massima. Programmazione dinamica: LCS, Partizione e Zaino. Combinazioni e permutazioni. Greedy: Zaino e sue varianti. Rappresentazione e visita di alberi. Dizionari: 2-3 alberi, tabelle hash tables, trie. Algoritmi randomizzati: Quicksort, QuickSelect. Grafi: rappresentazione e visita (DFS e BFS), DAG e ordinamento topologico.

Basi di matematica e di programmazione C.

Gli studenti saranno in grado di valutare l'efficienze degli algoritmi prima della loro implementazione, direttamente dalla loro progettazione. Conoscenza di alcuni problemi difficili, la cui progettazione puo' impattare sulla implamentazione.

Esame scritto e orale.

Esame orale e scritto, e prova di laboratorio per il linguaggio C++.

T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press, third edition, 2009.

Ulteriori riferimenti alla home page del corso.

Conoscenza dei concetti di base della probabilità e della inferenza statistica. In particolare:

• Enunciare le definizioni di probabilità, condizionamento, indipendenza, le relative proprietà e i risultati collegati, con dimostrazioni ed esempi.
• Descrivere i principali esempi di probabilità/variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e le relative proprietà.
• Illustrare i principali strumenti di analisi delle variabili aleatorie e le relative proprietà, con dimostrazioni ed esempi: legge, densità, funzione di ripartizione, leggi congiunte e marginali, indipendenza per variabili aleatorie.
• Enunciare le definizioni di valore atteso e momenti, varianza, covarianza, le relative proprietà e i risultati collegati, con dimostrazioni ed esempi.
• Enunciare i principali teoremi limite, quali legge dei grandi numeri, teorema centrale del limite, con dimostrazioni (ove previsto) ed esempi.
• Illustrare i concetti di base della statistica inferenziale e le relative proprietà, con dimostrazioni ed esempi: campione, stimatore, in particolare stimatore di massima verosimiglianza, esempi notevoli.
• Enunciare le definizioni di regione di fiducia e test di ipotesi, le relative proprietà, con dimostrazione, e gli esempi notevoli.

Parte I: probabilità, condizionamento ed indipendenza

• Spazio campionario, eventi, esempi. Corrispondenza tra operazioni/relazioni logiche e insiemistiche. Sigma-algebre. Definizioni storiche di probabilità: classica, frequentista, soggettivista. Definizione assiomatica di probabilità. Proprietà elementari della probabilità. Continuità della probabilità per successioni monotone. Sigma-subadditività.
• Modello uniforme, esempi. Modellizzazione di sequenze di esperimenti. Combinatoria: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, esempi. Modelli uniformi per estrazioni.
• Probabilità condizionata: definizione, significato, proprietà di probabilità. Regola della catena per la probabilità condizionata. Formula della partizione. Formula di Bayes. Esempi tipici di applicazioni. Rappresentazione ad albero per sequenze di esperimenti, esempio.
• Indipendenza di due eventi: definizione, significato, esempi. Prime proprietà dell'indipendenza. Indipendenza per famiglia di eventi: definizione, significato. Indipendenza a due a due non implica indipendenza collettiva, esempio. Indipendenza per prove ripetute, esempi. Schema di Bernoulli.

Parte II: Variabili aleatorie discrete

• Probabilità su spazi discreti, densità discreta: definizione, grafico a barre. Caratterizzazione e calcoli con densità discreta.
• Esempi notevoli di probabilità discrete: uniforme, binomiale, geometrica, binomiale negativa, ipergeometrica, Poisson come limite di binomiale per eventi rari. Esempi.
• Variabili aleatorie (v.a.) discrete: definizione, significato, esempi. Legge di una v.a.: definizione, significato, esempio. Densità discreta di una v.a.. V.a. indicatrice. Densità discreta come frequenza relativa sulla popolazione. Costruzione canonica di una v.a.. Composizione e operazioni con v.a.. Uguaglianza q.c. e uguaglianza in legge: definizioni, relazioni, stabilità per composizione.
• Legge congiunta e leggi marginali: definizioni, significato, densità congiunta e densità marginali. Densità e leggi marginali da densità e legge congiunta. Esempio e controesempio al viceversa. Indipendenza di v.a.: definizione per famiglia finita e infinita, significato, relazione con indipendenza di eventi, indipendenza di indicatrici. Criterio di indipendenza tramite densità discreta congiunta. Esempi, in particolare: estrazioni con e senza rimpiazzo, modello di Ising. Stabilità dell'indipendenza per composizione e indipendenza di gruppi di v.a., esempio. Modello di prove ripetute.
• Valore atteso: definizione, significato. Calcolo di valore atteso tramite densità discreta, dipendenza dalla legge. Esempi. Proprietà del valore atteso. Valore atteso di v.a. notevoli. Indici di centralità: valore atteso, mediana. Differenza tra valore atteso e mediana, esempi.
• Momenti: definizione, esempio. Disuguaglianza di Markov e controllo delle code tramite i momenti. Varianza e deviazione standard: definizione, significato, esempio. Proprietà della varianza, in particolare scaling. Varianza di v.a. notevoli. Disuguaglianza di Chebyshev.
• Valore atteso per vettori aleatori tramite densità discreta congiunta. Valore atteso di prodotto di v.a. indipendenti. Covarianza: definizione, proprietà. Varianza della somma di v.a., in particolare nel caso v.a. non correlate. Esempio: passeggiata aleatoria simmetrica. Coefficiente di correlazione: definizione, proprietà. Retta di regressione: definizione, significato, calcolo. Indipendenza implica non correlazione, controesempio al viceversa.
• V.a. i.i.d., esempio: n prove ripetute. Media campionaria. Legge dei grandi numeri (LGN) debole: enunciato, dimostrazione. Estensione a caso v.a. non correlate. Esempi. Argomento di scaling per la media campionaria. Teorema centrale del limite (TCL/TLC): enunciato, universalità. LGN e TCL per frequenza relativa campionaria. Calcolo numerico dell'integrale gaussiano, probabilità di oscillazione entro 3 sigma, esempio.

Parte III: Variabili aleatorie generali

• Sigma-algebra dei boreliani. Misura di Lebesgue su R. Criterio di unicità di Dynkin (solo enunciato). Funzione di ripartizione (FdR) per probabilità sulla retta reale: definizione, proprietà. Bigezione tra probabilità su R e FdR. Calcolo delle probabilità di intervalli e di punti tramite FdR. FdR per probabilità discrete su R, esempi. Probabilità continue. Probabilità assolutamente continue su R: definizione, significato della densità. Caratterizzazione e unicità della densità. Legame tra densità e FdR, densità come derivata di FdR. Relazioni tra probabilità discrete, continue e assolutamente continue, esempi.
• Esempi notevoli di probabilità assolutamente continue: densità uniforme, esponenziale, Gamma, gaussiana standard e gaussiana generica.
• Variabili aleatorie generali. Legge di una v.a., v.a. discrete e assolutamente continue. Richiamo su costruzione canonica, uguaglianza q.c. e in legge. Composizione di v.a..
• Definizione di valore atteso per v.a. non-negativa e per v.a. integrabile. Richiamo sulle proprietà del valore atteso. Dipendenza del valore atteso dalla legge (solo enunciato). Valore atteso di v.a. notevoli. Varianza di v.a. notevoli.
• Misura di Lebesgue su R^n (cenno). Probabilità assolutamente continue su R^n. Caratterizzazione della densità in R^n. Vettori aleatori in R^n. Legge congiunta e leggi marginali: definizione. Leggi marginali da legge congiunta. Densità marginali da densità congiunta (per vettore assolutamente continuo). Esempio di vettore non assolutamente continuo con marginali assolutamente continue. Indipendenza per v.a. assolutamente continue: criterio tramite densità.
• Valore atteso per funzioni di vettori assolutamente continui. Valore atteso di prodotto di v.a. indipendenti. Richiamo su covarianza, coefficiente di correlazione, retta di regressione, varianza della somma.
• Composizione di v.a. discrete e (assolutamente) continue. Formula di cambio variabili per diffeomorfismi di v.a. assolutamente continue. Densità della somma di due v.a. Applicazioni: riproducibilità di binomiali, Poisson, Gamma. Invarianza delle gaussiane per trasformazioni affini e standardizzazione. Calcolo di probabilità e valori attesi per v.a. gaussiane tramite FdR e standardizzazione, proprietà notevoli delle gaussiane. Relazione tra momenti e varianza per una gaussiana. Riproducibilità delle gaussiane.

Parte IV: statistica inferenziale

• Modello statistico parametrico: definizione, significato, esempi. Campione i.i.d. Statistica e stimatore: definizione, significato. Esempi notevoli: media campionaria, varianza campionaria. Stimatore corretto: definizione, significato, esempi notevoli. Stimatore asintoticamente corretto. Stimatore consistente: definizione, significato, esempi notevoli. Rischio quadratico di uno stimatore: definizione, significato.
• Funzione di verosimiglianza e stimatore di massima verosimiglianza: definizioni, significato, esempi. Modello esponenziale: definizione, esempi. Consistenza dello stimatore di max verosimiglianza nei modelli esponenziali.
• Regione di fiducia: motivazione, definizione, significato. Quantili: definizione, esempi. Intervallo di fiducia per la media di una popolazione normale, con varianza nota. Dipendenza dell'intervallo dai parametri. Metodo della statistica pivotale per trovare intervalli di fiducia. Regioni di fiducia asintotiche: definizione. TCL con stimatore consistente della varianza. Intervalli di fiducia asintotici per la media di una popolazione di Bernoulli.
• Test statistici. Elementi principali dei test. Esempi notevoli. Test di ipotesi unilateri, lemma di Neyman-Pearson.

Lo studente deve avere padronanza degli argomenti degli insegnamenti di analisi, aritmetica e algebra lineare del primo anno di corso. Sono utili alcuni argomenti di analisi due al secondo anno, ad esempio gli integrali multipli.

La capacità dello studente di modellizzare e risolvere problemi elementari sarà verificata principalmente, ma non esclusivamente, nella prova scritta, dove viene tipicamente richiesta la risoluzione di alcuni esercizi. La capacità di comprensione e di elaborazione di ragionamenti probabilistici e statistici sarà verificata principalmente, ma non esclusivamente, nella prova orale, in cui può essere proposto un piccolo esercizio o uno sviluppo teorico ulteriore rispetto al corso.

L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale, che devono essere superate entrambe; il voto finale è la sintesi delle valutazioni sulle due prove. La prova scritta può essere eventualmente rimpiazzata da prove intermedie scritte svolte durante il corso.

La prova scritta consiste nella risoluzione in dettaglio di 2, 3 o 4 problemi, sviluppati su più quesiti.

La prova orale consiste in un colloquio con alcune domande da parte del docente. Lo scopo del colloquio è verificare la conoscenza dei risultati e delle loro dimostrazioni, dei concetti e delle definizioni principali, la padronanza di tali concetti attraverso esempi illustrativi e la capacità di sviluppare ragionamenti di natura probabilistica e statistica.

Testo principale, fortemente consigliato in particolare per gli esempi: Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità. Un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni, seconda edizione, Springer, 2021. Altro testo: P. Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, seconda edizione, McGraw-Hill, 1998.

Lo studente che completa il corso con successo sarà capace di padroneggiare spazi proiettivi e coordinate omogenee, avrà una buona conoscenza della topologia generale. Sarà capace di calcolare il gruppo fondamentale di spazi topologici non troppo complicati, e conoscerà le relazioni tra gruppo fondamentale e teoria dei rivestimenti. Infine otterrà una conoscenza di base della teoria delle funzioni olomorfe in una variabile complessa.

Geometria proettiva. Spazi proiettivi. Sottospazi, trasformazioni proiettive, proiettività. Carte affini. Il birapporto.

Topologia generale. Spazi topologici e applicazioni continue. Sottospazi, prodotti, quozienti. Assiomi di separazione. Assiomi di numerabilità. Compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi di Baire.

Un primo approccio alla topologia algebrica: omotopia, spazi contrattili, deformazioni. Il gruppo fondamentale. Teorema di Seifert-Van Kampen. Teoria dei rivestimenti. Il rivestimento universale. Rivestimenti regolari. Monodromia. Azione del gruppo fondamentale sul rivestimento universale.

Funzioni olomorfe di una variabile complessa: definizioni, esempi. 1-Forme differenziali a valori complessi. Teorema di Cauchy. Teorema dei residui. Lemma di Schwarz. Principio del massimo.

Spazi vettoriali, applicazioni lineari, applicazioni diagonalizzabili e triangolabili, prodotti scalari. Coniche a quadriche affini. Insiemi e relazioni di equivalenza. Teoria della derivazione e dell'integrazione in una variabile reale.

Lo studente dovrà essere in grado di discutere di matematica sia con i propri compagni sia con il docente in maniera rigorosa ed espressiva.

• Esame finale scritto e orale.
• 2 prove in itinere.

Le regole d'esame specifiche sono disponibili sulla pagina e-learning del corso.

Prova scritta

Prova orale

Prove in itinere

TOPOLOGIA GENERALE, GRUPPO FONDAMENTALE E RIVESTIMENTI:

M. Manetti, "Topologia".

Esercizi di topologia generale si possono trovare anche in testi dedicati all'argomento, come:

Checcucci, Vesentini, Tognoli, "Lezioni di Topologia Generale", o

Dugundji, "Topology", disponibile online qui: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf

Esercizi su varie parti del corso si trovano anche nel libro

De Fabritiis, Petronio: "Esercizi svolti e complementi di topologia e geometria".

VARIABILE COMPLESSA:

H. Cartan, "Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables".

GEOMETRIA PROIETTIVA:

E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria Proiettiva - Richiami di teoria ed esercizi svolti".

Alla fine del corso lo studente dovrà conoscere le strutture di base dell'algebra commutativa e le loro proprietà ed essere in grado di applicare tali conoscenze ai vari ambiti della matematica (per esempio alla geometria algebrica). Dovrà inoltre essere in grado di comprendere ed elaborare enunciati e dimostrazioni riguardanti gli specifici argomenti del corso.In particolare lo studente dovrà acquisire conoscenze di strumenti e metodologie riguardanti: ideali, successioni esatte, moduli, prodotti tensoriali, localizzazione, decomposizione primaria, anelli e moduli noetheriani e artiniani, basi di Gröbner e calcolo su anelli di polinomi.

teoria degli anelli commutativi: ideali, ideali primi e massimali, elementi nilpotenti e anelli quoziente. Anelli PID e UFD, anelli locali e anelli di polinomi; il Teorema degli zeri di Hilbert (Hilbert Nullstellensatz).

Teoria dei moduli su anelli commutativi: proprietà fondamentali, prodotti tensoriali e anelli noetheriani. Ideali monomiali e basi di Gröbner..

Introduzione alla teoria degli anelli non commutativi: moduli su anelli non commutativi, algebre di gruppo e interpretazione dei moduli come rappresentazioni.

Una buona conoscenza dell'aritmetica e delle strutture di base dell'algebra (gruppi e campi). In particolare, aver sostenuto con successo gli esami di Aritmetica e Algebra 1.

Lo studente sarà in grado di trattare in maniera rigorosa i concetti presentati nel corso e di risolvere esercizi e problemi non banali ad essi collegati.

Esame scritto e orale

L'esame consiste in:

• prova scritta
• prova orale

Durante la prova scritta lo studente deve mostrare la propria conoscenza svolgendo esercizi che richiedono l'applicazione dei risultati presentati nel corso. Durante la prova orale lo studente deve dimostrare la propria padronanza degli argomenti del corso esponendo correttamente definizioni, teoremi e dimostrazioni, evidenziando la propria comprensione degli argomenti.

S. Lang "Algebra"

M. Artin "Algebra" (2nd edition)

M.F. Atiyah - I.G. Macdonald "Introduction to Commutative Algebra"

A. Bandini - P. Gianni - E. Sbarra "Esercizi di Algebra Commutativa", Pisa University Press, 2022

Al termine dell'insegnamento lo studente accrescerà le proprie conoscenze teoriche ed operative nei seguenti ambiti dell'Analisi Matematica avanzata:

• Teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue in R^d e teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (convergenza monotona, Fatou, dominata e dipendenza da parametri).
• Proprietà topologiche e di completezza degli spazi delle funzioni integrabili L^p e degli spazi di Hilbert.
• Teoria della convergenza per le serie di Fourier in spazi classici e in L^2(-pi,pi).
• Analisi della Trasformata di Fourier in L^1(R) e L^2(R) e cenni al caso in piu' variabili.
• Fondamenti teorici e metodi analitici per la risoluzione delle classiche equazioni alle derivate parziali (Equazione del calore, delle onde e di Laplace).
• Fondamenti della teoria di Sturm Liouville.

È necessaria una buona conoscenza dei contenuti di base dei corsi di analisi e geometria dei primi due anni.

Serviranno in particolare le nozioni fondamentali di algebra lineare, topologia in spazi metrici, derivate e

integrali di Riemann anche per funzioni in più variabili (formula di cambio di variabile negli integrali multipli e teorema di

Fubini), convergenza uniforme e totale per successioni e serie di funzioni, teorema della divergenza.

L'esame è composto da una prova scritta ed una prova orale.

• Prova Scritta: Durata 2-3 ore. Consiste nella risoluzione autonoma di 3-4 esercizi volti a valutare le capacità operative e di calcolo (es. verifica di integrabilità/passaggio al limite, calcolo di trasformate/serie di Fourier, risoluzione di EDP per separazione delle variabili). Il punteggio minimo per l'ammissione all'orale è di 18/30.
• Prova Orale: Colloquio orale sugli aspetti teorici e sulle dimostrazioni del programma. Valuta il rigore logico-formale, l'assimilazione dei concetti fondamentali e la capacità di effettuare collegamenti tra le diverse sezioni del corso.

La prova scritta e quella orale vanno sostenute nella stessa sessione.

Note e dispense di esercitazione messe a disposizione dal docente sulla pagina web del corso e sul canale Microsoft Teams.

Alcuni degli argomenti del corso sono coperti dai seguenti testi (si noti tuttavia che la presentazione proposta in questi testi differisce a volte

significativamente da quella data a lezione, e alcuni argomenti non vengono affatto trattati):

R. Courant e F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Volume 2. Interscience Publishers, John

Wiley & Sons, 1974.

A.N. Kolmogorov e S.V . Fomin. Introductory real analysis. Dover Publications, New York, 1975.

Traduzione italiana: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Editori Riuniti, Roma,

2012.

T.W. Körner. Fourier analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

W. Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill 1974. Traduzione italiana: Analisi reale e

complessa, Boringhieri, 1974.

Lo studente che completa con successo il corso conoscerà i metodi numerici per risolvere problemi di algebra lineare compresi i metodi avanzati per i sistemi lineari ed il calcolo degli autovalori di matrice. Lo studente sarà anche a conoscenza della modellazione e del trattamento numerico di diversi problemi derivanti da alcune applicazioni di scienza, tecnologia, matematica e ingegneria.

Metodi alle differenze finite. Metodi numerici per il calcolo degli autovalori. Metodi numerici per il calcolo della SVD (decomposizione ai valori singolari). Metodi numerici per problemi minimi quadrati. Metodi numerici iterativi per sistemi lineari e l'approssimazione di selezionati autovalori.

Nozioni di base di Algebra lineare (sia teorica che numerica) e di Calcolo.

Gli studenti raggiungeranno una sensibilità numerica in cui i concetti di stabilità e condizionamento numerici giocano un ruolo fondamentale, e dove minimizzare la complessità computazionale è una condizione richiesta nella progettazione e nell'analisi degli algoritmi numerici.

I criteri di valutazione delle competenze si basano sull'implementazione delle funzioni di Matlab / Octave (o di un altro linguaggio per il calcolo scientifico) relative a problemi specifici e sulla capacità degli studenti di dimostrare la loro conoscenza dei contenuti del corso principale utilizzando la terminologia appropriata.

L'esame consiste di una parte scritta e di una parte orale.

La lettura consigliata include:

• D.Bini, M.Capovani, O. Menchi, "Metodi numerici per l'algebra lineare", Zanichelli 1988.
• J. Demmel, "Algebra lineare numerica applicata", SIAM 1997.

Appunti dei docenti sono disponibili sul sito del corso.

Lo studente conoscerà i risultati principali dell'analisi complessa di una variabile, dai teoremi sulle successioni di funzioni olomorfe al teorema di uniformizzazione di Riemann, dai teoremi di Runge sull'approssimazione di funzioni olomorfe ai teoremi di Weierstrass e Mittag-Leffler sulla costruzione di funzioni globali a partire da dati locali. Inoltre lo studente conoscerà le basi dell'analisi complessa di più variabili, inclusa un'introduzione alle funzioni plurisubarmoniche e ai domini pseudoconvessi.

Complementi di analisi di una variabile complessa: Topologia compatta-aperta e topologia della convergenza uniforme sui compatti. Convergenza di successioni di funzioni olomorfe (Teorema di Weierstrass). Compattezza nello spazio delle funzioni olomorfe (Teorema di Stieltjes-Osgood-Montel; Teorema di Vitali). Teoremi di Hurwitz. Lemma di Schwarz. Automorfismi del disco unitario, del semipiano, del piano complesso, della sfera di Riemann. Distanza di Poincaré. Teorema di Wolff-Denjoy. Teorema di uniformizzazione di Riemann. Teoremi di Runge sull'approssimazione di funzioni olomorfe, con applicazioni. Teoremi di Mittag-Leffler e di Weierstrass sulla costruzione di funzioni globali a partire da dati locali.

Introduzione all'analisi di più variabili complesse:

Definizione ed esempi. Condizioni di Cauchy-Riemann e conseguenze. Principio del prolungamento analitico. Formula integrale di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy. Principio del massimo. Teoremi di Weierstrass, Montel e Vitali. Teorema di estensione di Hartogs. Domini di olomorfia. Domini convessi e pseudoconvessi. Funzioni plurisubarmoniche. Problema di Levi e sua soluzione.

Analisi Matematica in una e più variabili. Topologia. Gruppo fondamentale. Le basi di analisi complessa in una variabile.

Lo studente affinerà ulteriormente le proprie abilità nel seguire, verificare ed elaborare autonomamente ragionamenti matematici di media difficoltà, in particolare nel campo dell'analisi complessa.

L'esame orale finale comprenderà anche la presentazione di dimostrazioni di teoremi di analisi complessa, in modo da verificare le abilità dimostrative acquisite dallo studente.

Esame orale finale con svolgimento di breve seminario su un argomento a scelta dello studente fra una dozzina di temi proposti dal cocente, seguito da alcune domande sui contenuti del programma.

• R. Narasimhan: Complex analysis in one variable, Birkhäuser

• W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill

• R. Narasimhan: Several complex variables, University of Chicago Press

• S.G. Krantz: Function theory of several complex variables, Wiley

• R.C. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall

• Note del docente su una variabile complessa

Al termine del corso gli studenti dovranno avere una buona padronanza di alcuni concetti fondamentali del Calcolo delle Variazioni.

Il programma verterà sugli argomenti classici del Calcolo delle Variazioni, prevalentemente in una dimensione. Verranno principalmente trattati gli argomenti seguenti:

• Esempi significativi del Calcolo delle Variazioni 
• Equazione di Eulero-Lagrange
• Condizioni di minimalità: campi di estremali, condizioni di Weierstrass
• Funzioni assolutamente continue e loro proprietà
• Teorema di esistenza di Tonelli 
• Teorema di esistenza in spazi di Sobolev
• Fenomeno di Lavrentiev
• Cenni di Gamma-convergenza

I corsi fondamentali di Analisi dei primi due anni della laurea triennale.

Il corso non segue in maniera precisa alcun testo particolare, ci sono tuttavia vari ottimi testi o dispense che trattano gli argomenti del corso. Ad esempio: 

• Appunti di Calcolo delle Variazioni, C. Mantegazza et al.
• Introduction to the Calculus of Variations, B. Dacorogna 
• Gamma-Convergence for Beginners, A. Braides

Al termine del corso lo studente dovrebbe avere acquisito una solida conoscenza delle nozioni di base della geometria algebrica su un campo algebricamente chiuso, quali: varietà affini e quasi-proiettive, morfismi e mappe razionali, spazio tangente e dimensione, geometria delle curve piane, morfismi di Veronese, morfismi di Segre, Grassmanniane, scoppiamento di punti nel piano.

Spazi affini e proiettivi. Varietà affini e quasi-proiettive. Nullstellensatz. Grassmanniane. Morfismi e applicazioni razionali (mappa di Veronese, trasformazione di Cremona standard del piano proiettivo). Prodotto di varieta' quasi proiettive (chiusura universale delle varieta' proiettive, scoppiamenti del piano affine. Mappe birazionali e campo delle funzioni razionali di una varieta' irriducibile. Dimensione di una varietà quasi-proiettiva, spazio tangente di Zariski, punti singolari. Curve piane, teorema di Be'zout, legge di gruppo sulle cubiche piane.

Conoscenze di base di algebra lineare, algebra commutativa e topologia, quali vengono normalmente acquisite durante i primi due anni del corso di laurea triennale in matematica.

Lo studente comprenderà e saprà applicare i concetti e i risultati di base della geometria algebrica.

Colloquio orale per verificare la capacità di collegare le varie nozioni e di applicarle ad esempi particolari.

L'esame consiste in una prova orale. Il candidato dovrà sostenere un colloquio con due docenti, durante il quale gli sarà richiesto di:

• esporre argomenti del programma, impostando autonomamente il discorso e utilizzando linguaggio e terminologia adeguati

• impostare, e talora portare a termine, la risoluzione di problemi inerenti agli argomenti del corso.

Si raccomandano i seguenti testi:

1) I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1, (Second edition), Springer (1994).

2) M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press (1988).

3) F. Flamini, A first course in algebraic geometry and algebraic varieties, Essential Textbooks in Mathematics, World Scientific Publishing Co., 2023

Gli studenti acquisiscono la conoscenza di elementi di base della Meccanica Celeste e la capacità di utilizzarli per comprendere argomenti più avanzati.

Richiami di teoria dei sistemi dinamici e di meccanica analitica (sistemi lagrangiani e hamiltoniani).

Problema dei 2 corpi: formulazione del problema, riduzione al problema di Keplero, integrabilità, orbite, elementi kepleriani, problema inverso.

Problema dei 3 corpi ristretto circolare: formulazione del problema, moto del terzo corpo, integrale di Jacobi, punti di Lagrange, criterio di stabilità di Hill.

Maree: potenziale mareale, forze di marea, effetti mareali, attrito delle maree.

Corpi estesi e potenziale gravitazionale.

Cenni di determinazione orbitale: formulazione matematica, orbite preliminari (metodi di Gauss e Laplace), correzione differenziali.

Conoscenze di algebra lineare, analisi matematica e fisica generale.

Saranno fornite dispense dal docente.

Testi di riferimento:

Roy: Orbital motion;

Murray, Dermott: Solar System Dynamics;

Battin: An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics.

Lo studente conoscerà le basi della teoria assiomatica degli insiemi, nella formalizzazione di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta (ZFC); conoscerà il ruolo della teoria ZFC nei fondamenti della matematica; conoscerà la formalizzazione di tutte le nozioni di base in matematica all'interno della teoria ZFC. Inoltre, lo studente conoscerà risultati e metodi fondamentali propri della teoria degli insiemi, incluse le più comuni forme equivalenti dell'assioma di scelta, le basi dell'aritmetica ordinale e cardinale, l'induzione e la ricorsione transfinita. Infine, lo studente avrà appreso alcune applicazioni dei risultati sopra descritti che si estendono al di fuori della teoria degli insiemi.

Teoria assiomatica di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta ZFC. Formalizzazione dei fondamenti della matematica. Formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta. Aritmetica dei numeri cardinali e ordinali. Induzione e ricorsione transfinita. Cenni sui modelli di ZFC.

Anche se non richieste come prerequisito, alcune conoscenze di base di aritmetica, analisi, e algebra lineare, saranno di aiuto.

Lo studente imparerà ad esprimere con precisione proprietà matematiche facendo uso del formalismo della teoria degli insiemi.

Metodi: esercizi da risolvere a casa + esame scritto + esame orale.

Si valuta l'abilità dello studente di discutere gli argomenti trattati nel corso con proprietà di linguaggio. Lo studente deve dimostrare abilità di applicare i metodi insegnati.

Esercizi risolti a casa + Esame scritto + Esame orale

Hrbacek-Jech, Introduction to Set Theory. Ulteriori testi suggeriti: Stoll, Set Theory and Logic; Kunen, Set Theory; Jech, Set Theory; Levy, Basic Set Theory.

Gli studenti che completano il corso con successo devono avere familiarità con le nozioni fondamentali della topologia algebrica: i gruppi di omologia, coomologia e di omotopia dei spazi topologici, e loro applicazioni.

• Omologia singolare: costruzione e proprietà di base. Applicazioni classiche.
• CW-complessi, omologia cellulare.
• Gruppi di omotopia: costruzione e proprietà di base. Approssimazione cellulare. Gruppi di omotopia delle sfere.
• Anello di coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré ed applicazioni.

I contenuti degli insegnamenti dei corsi di Geometria 2 ed Algebra 1.

È consigliato aver seguito Algebra 2, o almeno avere dimestichezza con concetti come moduli su PID e prodotti tensoriali.

Lo studente dovrà essere in grado di discutere di argomenti di topologia algebrica sia con i propri compagni sia con il docente in maniera rigorosa ed espressiva.

La soluzione dei problemi per casa certificherà la capacità di risolvere esercizi illustrando la teoria. L'esame orale certificherà la conoscenza della teoria e delle sue applicazioni ad esempi fondamentali.

Esercizi per casa ed esame orale.

• Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European mathematical Society, 2008.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge, 2000.
• W. Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980
• Spanier, Algebraic Topology, Springer, 1966
• Hilton, Stammbach, A course in homological algebra, Springer, 1971

Equazioni alle derivate parziali come modelli matematici di sistemi fisici; classificazione delle EDP, ordine dell'equazione, equazioni lineari e non lineari; metodo delle caratteristiche per le equazioni di primo ordine; formulazione distribuzionale e nozioni di base della teoria delle distribuzioni; soluzioni fondamentali delle EDP lineari a coefficienti costanti; funzioni di Green, propagazione delle onde in una, due e tre dimensioni, il nucleo del calore e la diffusione, il nucleo e il potenziale newtoniano; problemi al contorno ellittici e problemi degli autovalori; separazione delle variabili, problema di Sturm-Liouville e funzioni speciali; questioni relative ai problemi non lineari.

Il corso offre un'introduzione approfondita alla teoria delle equazioni alle derivate parziali. Partendo dalla derivazione di diverse equazioni fondamentali dai principi fisici alla base di questi modelli matematici, il corso proseguirà con l'analisi dei problemi di esistenza, unicità e ben postezza di diversi tipi fondamentali di equazioni alle derivate parziali che si presentano nelle scienze fisiche, concentrandosi sulle tecniche per ottenere soluzioni esplicite a tali equazioni. In particolare, il corso tratterà: - Le equazioni alle derivate parziali come modelli delle scienze fisiche: derivazione e classificazione - Il metodo delle caratteristiche - Distribuzioni in R^N, distribuzioni temperate, trasformata distribuzionale di Fourier - Soluzione fondamentale per problemi lineari: equazione del calore, equazione di Laplace ed equazione delle onde - Problemi al valore iniziale in R^N, propagazione delle onde, diffusione - Teoria di Sturm-Liouville, separazione delle variabili, problemi degli autovalori - Funzioni di Bessel, funzioni sferiche - Problemi al valore iniziale e al contorno - Problemi non lineari

Funzioni di più variabili, formule di Gauss-Green, elementi di teoria delle equazioni differenziali ordinarie, spazi C^k e proprietà di base della misura e degli integrali di Lebesgue, la trasformata di Fourier. I contenuti descritti sopra sono presenti nei corsi di Analisi I, Analisi II e Analisi III.

Partecipazione a lezioni frontali e svolgimento degli esercizi a casa.

Il corso seguirà principalmente il seguente testo: - Equations of Mathematical Physics, di V. S. Vladimirov, 1985 (disponibile in italiano), insieme alla collezione di esercizi: - A Collection of Problems on the Equations of Mathematical Physics, a cura di V. S. Vladimirov, 1986. Altri testi dello più o meno stesso livello: - Partial Differential Equations: Analytical Solution Techniques, by J. Kevorkian, 2010, - Partial Differential Equations: An Introduction, by W. A. Strauss, 2008. Per ulteriori approfondimenti: - Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory, by S. Salsa, 2008, - Partial Differential Equations, by L. C. Evans, 2010.

Il corso si prefigge di fornire allo studente le basi dell'elettrodinamica classica, partendo dalle equazioni dell'elettrostatica fino a raggiungere le equazioni di Maxwell. Nello sviluppo del corso si toccheranno svariate applicazioni che includono: materiali conduttori, materiali dielettrici, correnti, materiali con proprietà magnetiche, ed onde elettromagnetiche. Un oobbiettivo del corso è anche quello di far capire come lo sviluppo dell'eletrodinamica abbia influenzato enormemente lo sviluppo della matematica e della fisica del novecento. Lo studente imparerà inoltre a svolgere esercizi usando metodi ed approssimazioni appropriate.

• Elettrostatica: legge di Coulomb. Campo elettrico, legge di Gauss, teorema di Stokes, potenziale elettrostatico, prima e seconda equazione di Maxwell nel caso statico. Equazioni di Poisson e Laplace. Campo elettrico di varie distribuzioni di carica. Sviluppo in monopolo/dipolo/etc. Energia del campo elettrico e di una distribuzione di carica. I conduttori. Metodi di soluzione dei problemi di elettrostatica dei conduttori. Accenno a campo elettrico nella materia: dielettrici, polarizzazione. Correnti stazionarie: legge di Ohm, effetto Joule, resistenze, correnti, capacità, condensatori.
• Magnetismo: legge di Biot-Savart, legge di Ampere, forza di Lorentz. Campo magnetico di varie configurazioni tipiche di circuiti. Dipolo magnetico, sviluppo in multipoli. Energia del campo magnetico e di un sistema di circuiti, induttanza e mutua induttanza. Accenno a campo magnetico nella materia e ferromagnetici. Circuiti tipici RL, RC, RLC. Legge di Faraday. Forza elettromotrice indotta, generatori di corrente. Corrente di spostamento. Terza e quarta equazione di Maxwell.
• Elettrodinamica: onde elettromagnetiche nel vuoto, polarizzazione, onde nella materia (cenni), riflessione e rifrazione, interferenza, diffrazione (cenni), potenziale scalare e vettore, simmetria relativistica (cenni) e di gauge, irraggiamento.

I prerequisiti principali sono Fisica 1 ed Analisi 2. I principali teoremi saranno richiamati nel corso.

Comprensione della natura sia fisica che matematica delle equazioni dell'elettrodinamica.

Esami scritti e orali:

L'esame è scritto e orale con un numero di appelli determinato dal calendario delle attività didattiche. Ci saranno anche due prove in itere durante il corso (di due ore ciascuna, la partecipazione è consigliata e le date verranno comunicate nella prima lezione). I compitini permettono di partecipare direttamente all'orale. Più informazioni saranno date durante la prima lezione del corso.

"Lezioni di Fisica Generale 2" di L. Picasso (edizioni ETS)

Per approfondimenti (e per testi che usano le stesse unità di misura che useremo nel corso):

• Jackson, Classical Electrodynamics
• Griffiths, Introduction to Electrodynamics
• Mencuccini, Silvestrini, Fisica II (Elettromagnetismo-Ottica)
• Mazzoldi, Nigro, Voci, Elettrostatica e ottica geometrica

Lo studente completerà la conoscenza della fisica classica e verrà introdotto alle due importanti rivoluzioni fisiche del XX secolo: relatività e fisica quantistica.

(a) Termodinamica: termologia, sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia, interpretazione statistica
(b) Elettromagnetismo ed introduzione alla relatività speciale: trasformazioni di gauge, potenziali ritardati, principi della relatività speciale, trasformazioni di Lorentz, quadrivettori, dinamica relativistica
(c) Introduzione alla fisica moderna: crisi della fisica classica, problema del corpo nero, struttura atomica, principi e concetti della meccanica quantistica

Meccanica, elettromagnetismo, analisi matematica.

Lo studente acuirà la propria capacità di tradurre in risposte numeriche concrete a problemi definiti la teoria appresa, e potrebbe acquisire interesse per la fisica comprendendone l'unità e lo sviluppo storico moderno.

Le capacità verranno verificate durante le prove scritte in itinere e in sede di esame.

L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituibile dalle prove in itinere) ed un colloquio orale a discrezione dello studente e del docente.

Qualsiasi testo di fisica classica a livello universitario, ad esempio (piccole parti di):

Fermi - Termodinamica (per la parte a)

Griffiths - Introduction to electrodynamics (per la parte b)

Feynman - La fisica di Feynman (vol. I per la parte a, vol. II per la parte b, vol. III per la parte c)

Griffiths - Introduction to quantum mechanics (primi capitoli, per la parte c)

Lo studente che supererà l'esame avrà maturato una solida conoscenza delle prime nozioni di geometria differenziale di curve e superfici, e delle nozioni fondamentali di topologia differenziale per varietà immerse. Conoscerà inoltre i risultati fondamentali della teoria del grado in ogni dimensione e padroneggerà alcune applicazioni (il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di (non) pettinabilità delle sfere e il Teorema di Poincaré-Hopf).

1. Curve: supporto, parametrizzazione, riparametrizzazione, lunghezza d'arco. Curve regolari e biregolari. Orientazione di spazi vettoriali e prodotto vettore. Riferimento di Frenét, curvatura, torsione. Teorema fondamentale delle curve.
2. Richiami su mappe lisce tra aperti di spazi Euclidei. Mappe lisce tra sottoinsiemi generici di spazi Euclidei. Cono e spazio tangente. Differenziale. Varietà, parametrizzazioni locali, carte, atlanti. Caratterizzazione locale di immersioni e sommersioni. Gruppi di Lie. Topologia di alcuni gruppi di matrici. Orientabilità (con particolare attenzione al caso delle ipersuperfici).
3. Teoria metrica delle superfici. I e II forma fondamentale, mappa di Gauss, curvature e direzioni principali, curvatura normale di curve, curvatura di Gauss. Locali isometrie e grandezze intrinseche. Simboli di Christoffel. Teorema Egregium. Campi lungo curve e derivata covariante. Flusso di campi vettoriali e parametrizzazioni ortogonali. Geodetiche: definizione, esistenza e unicità locali. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Teorema di Gauss-Bonnet locale e globale.
4. Teoria del grado e applicazioni: Diffeomorfismi locali e rivestimenti. Teorema fondamentale dell'algebra. Classificazione delle 1-varietà. Lemma di Sard (senza dimostrazione). Omotopie e isotopia. Teorema di non retrazione. Teorema di Brower. Grado intero: definizione e proprietà. Pettinabilità delle sfere. Definizione di indice per zeri isolati di campi vettoriali. Lemma di Hopf. Fibrato normale e intorno tubolare. Teorema di Poincaré-Hopf.

Topologia generale. Calcolo in una e più variabili.

Lo studente che completerà il corso in maniera soddisfacente avrà sviluppato la capacità di dialogare sui contenuti del corso sia con i propri compagni sia con il docente utilizzando un linguaggio adeguato alla materia, ovvero conciso, rigoroso ed espressivo.

Metodi:

Esame scritto finale.

Esame orale finale.

Per superare l'esame scritto lo studente dovrà risolvere esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. mostrando di avere sviluppato le capacità sopra citate. Per superare l'esame orale lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni; dovrà inoltre essere in grado di applicare tali risultati per risolvere semplici esercizi.

Per superare l'esame, ogni studente dovrà superare sia un esame scritto nel quale è richiesta la risoluzione di esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo, sia un esame orale che verte sulla teoria generale delle varietà e sugli elementi di topologia differenziale trattati nel corso.

M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"

T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", disponibile all'url http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf

J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"

V. Guillemin, A. Pollack, "Differential Topology"

Al termine del corso lo/la studente/ssa conosce:

• le nozioni fondamentali della logica del primo ordine (linguaggi, strutture, soddisfacibilità, conseguenza logica);
• le nozioni fondamentali della teoria delle funzioni calcolabili e le applicazioni alla logica matematica;
• il Teorema di completezza di Gödel e le sue conseguenze (correttezza e completezza dei calcoli formali, compattezza);
• il Teorema di incompletezza di Gödel e i concetti di coerenza logica e verità in una struttura;
• la tecnica delle interpretazioni tra teorie;
• i teoremi di Löwenheim–Skolem (alto e basso) e le applicazioni;
• la costruzione degli ultraprodotti e i principali usi modellistici.
• esempi e criteri per decidibilità/indecidibilità di varie teorie;

• Logica del primo e del secondo ordine. Potere espressivo e limitazioni: ragioni per una scelta.
• Sintassi e semantica della logica del primo ordine.
• Strutture, teorie, modelli, conseguenza logica.
• Teorie complete..
• Regole di inferenza. Principio del terzo escluso. Logica classica e intuizionista.
• Teorema di completezza di Gödel.
• Teorie formali per l'aritmetica: teoria di Robinson, aritmetica di Peano, aritmetica di Presburger.
• Tecniche semantiche: compattezza, teoremi di Löwenheim–Skolem, ultraprodotti, isomorfismi parziali.
• Funzioni calcolabili.
• Teoremi di incompletezza.
• Interpretazioni tra teorie. Esempi classici: Aritmetica di Peano, Teoria degli insiemi, teorie algebriche.
• Teorie decidibili e indecidibili.

• Formali: nessuno.
• Consigliati: aver seguito "Elementi di teoria degli insiemi”; dimestichezza con argomenti di base (relazioni, funzioni, ordinali/cardinali); dimestichezza con le strutture matematiche di base: numeri interi, numeri reali. 

Il corso promuove:

• rigore logico e precisione formale;
• autonomia nello studio e nella comprensione di testi tecnici;
• correttezza e chiarezza nella comunicazione matematica;
• attitudine alla riflessione critica sui fondamenti della matematica.

Durante l’orale: risoluzione guidata di brevi esercizi o idee di dimostrazione; discussione critica di esempi/controesempi.

Colloquio finale (circa 30 minuti) su tutto il programma con:

• definizioni ed enunciati principali;
• discussione di una o più dimostrazioni;
• esercizi e applicazioni;

Criteri: correttezza, padronanza del linguaggio, capacità di collegamento e di risoluzione di problemi.

• Dispense del docente.
• Enderton: A Mathematical Introduction to Logic
• Barwise, Handbook of Mathematical Logic

Al termine del corso si conoscono i principali aspetti teorici dell’aritmetica elementare da un punto di vista superiore, con particolare riferimento alla costruzione e alle proprietà dei principali insiemi numerici, alla divisibilità e alla teoria elementare dei numeri. Si conoscono differenti approcci alla dimostrazione di risultati fondamentali dell’aritmetica, cogliendone gli aspetti matematici e didattici.

Si sviluppa un atteggiamento critico e riflessivo nei confronti dell'aritmetica elementare, riconoscendone la ricchezza teorica e didattica.

Si sviluppa inoltre la disponibilità a confrontare differenti approcci matematici, a discutere criticamente dimostrazioni e strategie risolutive e a comunicare la matematica in modo rigoroso ed efficace.

Le capacità acquisite sono verificate attraverso la prova scritta e la successiva prova orale.

Lo sviluppo e il monitoraggio delle capacità saranno perseguiti in itinere attraverso la discussione di problemi, il confronto tra diverse strategie risolutive, l'analisi critica di dimostrazioni e la lettura e discussione di testi matematici.

L'esame consiste in una prova scritta, seguita da una prova orale.

La prova scritta è finalizzata principalmente alla verifica delle conoscenze e delle capacità relative ai contenuti matematici del corso, della capacità di affrontare problemi, argomentare le strategie risolutive adottate e analizzarle criticamente.

La prova orale approfondisce gli aspetti teorici, metodologici e didattici affrontati durante il corso. In alternativa alla modalità tradizionale, una parte della prova orale potrà consistere nella presentazione e discussione critica di un testo scientifico concordato con il docente.

Testi utilizzati: Autori vari. Numbers. Springer. Courant R., Robbins H. Che cos'è la matematica. Bollati Boringhieri. Euclide. Elementi (con particolare riferimento ai Libri VII-IX). Kline M. Storia del pensiero matematico. Einaudi. Villani V. Cominciamo da zero. Pitagora. Durante il corso saranno inoltre utilizzati articoli, dispense e altro materiale didattico che saranno resi disponibili sulla piattaforma del corso.

Al termine del corso, lo studente avrà acquisito:

-) Conoscenze relative a diverse presentazioni assiomatiche della geometria euclidea, in particolare quelle di Euclide, Hilbert e Choquet.

-) Conoscenza degli enunciati trattati a lezione e delle relative dimostrazioni.

-) Conoscenza delle relazioni tra gli enunciati all'interno e tra i diversi sistemi assiomatici.

-) Conoscenza generale dei sistemi assiomatici delle geometrie non euclidee e dei teoremi affrontati nel corso.

Introduzione agli Elementi di Euclide. Analisi dettagliata dell'intero libro I. 

Argomenti scelti di geometria piana tratti da altri libri.

La geometria solida. Argomenti scelti dai libri XI, XII, XIII.

L'assiomatizzazione di Hilbert della geometria euclidea.

L'assiomatizzazione di Choquet.

Le isometrie del piano e dello spazio dal punto di vista sintetico.

Cenni alle geometrie non euclidee. 

Conoscenze di base di geometria euclidea elementare del piano e dello spazio.

Capacità di produrre e analizzare semplici dimsotrazioni.

Lo studente avrà maturato un atteggiamento riflessivo e critico e sviluppato conoscenze e abilità per orientarsi adeguatamente intorno a questioni fondazionali della geometria elementare.

Le capacità saranno valutate attraverso una prova scritta che includerà esercizi, problemi e brevi dissertazione, una prova orale che partirà dalla discussione della prova scritta.

L'esame prevede un prova scritta che includerà esercizi, problemi, richieste di dimostrazion e brevi dissertazione, una prova orale che partirà dalla discussione della prova scritta.

Gli Elementi di Euclide (a cura di A. Frajese, UTET, 1970).

I Fondamenti della geometria di Hilbert.

L'insegnamento della gometria di Choquet.

R. Harthshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2010.

La rivoluzione non euclidea di Troudeau.

Dispense del docente.

M. J. Greenberg, Euclidean and non-Euclidean Geometries, Freeman and Company, 2007.

Il corso si propone di presentare gli argomenti principali della Meccanica Classica, nella sua formulazione newtoniana e lagrangiana.

Meccanica Newtoniana:

• sistemi meccanici,
• quantita' dinamiche principali,
• moti centrali e problema di Keplero,
• moti relativi e velocita' angolare,
• equazioni cardinali,
• sistemi vincolati: vincoli olonomi e anolonomi, vincoli ideali,
• il corpo rigido: cinematica rigida, operatore di inerzia, assi e momenti principali di inerzia.
• moti per inerzia, descrizione di Poinsot.

Meccanica Lagrangiana:

• principio dei lavori virtuali,
• principio di D'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange,
• lagrangiane equivalenti,invarianza delle equazioni di Lagrange per cambianento di coordinate,
• integrali primi e simmetrie, teorema di Noether,
• riduzione di Routh,
• equilibri e stabilita': configurazioni di equilibrio, teorema di Lagrange-Dirichlet.
• piccole oscillazioni attorno a un equilibrio stabile: frequenze proprie e modi normali,
• angoli di Eulero e formulazione lagrangiana per il moto dei corpi rigidi.

Algebra lineare, Geometria, nozioni di calcolo differenziale ed integrale.

Lo studente potrà acquisire e sviluppare tecniche di modellizzazione matematica di problemi fisici.

Durante il corso, saranno svolte diverse esercitazioni con l'obiettivo di mostrare agli studenti diversi esempi di modellizzazione di equazioni dell moto di sistemi meccanici.

• L'esame è composto da una prova scritta ed una prova orale.
• La prova scritta consiste in uno o piu' esercizi da risolvere, che si svolge in un'aula normale; la durata della prova e' di 3 ore e, una volta superata, la prova essa rimane valida per gli appelli della stessa sessione. Durante la prova scritta non e' ammesso l'uso di libri o note del corso.
• La prova scritta è superata se il punteggio ottenuto e' maggiore o uguale a 18/30. Tuttavia, risultano ammessi all'orale con riserva anche gli studenti che hanno conseguito 16/30 o 17/30.
• La prova orale consiste in un'interrogazione alla lavagna, o su foglio, nella quale lo studente dovra' dimostrare di aver appreso la parte teorica e pratica del corso.
• La prova orale è superata se il candidato avra' dimostrato di aver acquisito sufficiente dimestichezza con gli argomenti e le tecniche oggetto del corso.

• G. F. Gronchi: Lezioni di Meccanica Razionale, con esercizi svolti. Pisa University Press 2025
• V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics
• G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli: Appunti di Meccanica Razionale

Gli studenti acquisiranno conoscenze riguardanti i principali metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e le loro proprietà fondamentali. Inoltre, svilupperanno la capacità di trattare equazioni di evoluzione che derivano dalla modellizzazione matematica di fenomeni reali selezionando gli algoritmi più adatti per risolverli e di riflettere in modo critico sui risultati delle simulazioni numeriche da loro effettuate.

Tra i metodi studiati, gli studenti saranno in grado di selezionare ed analizzare quelli che meglio approssimano le soluzioni di sistemi dinamici ed, in generale, equazioni differenziali ordinarie che presentano caratteristiche particolari.

• Metodi ad un passo, Eulero esplicito/implicito, metodi Runge-Kutta (RK).
• Consistenza, stabilità e convergenza; il teorema di equivalenza per metodi ad un passo.
• Regione di stabilità e funzione di stabilità.
• Metodi di quadratura interpolatoria.
• Costruzione di metodi RK impliciti tramite collocazione.
• Caratterizzazione della stabilità per IRK di collocazione.
• Metodi lineari a più passi (LMM), definizione e proprietà.
• Metodi di Adams, BDF.
• Consistenza, stabilità e convergenza per metodi LMM.
• Prima e seconda barriera di Dahlquist.
• Metodi che preservano le strutture di un problema: metodi simmetrici, reversibili, metodi simplettici per sistemi Hamiltoniani.

È necessaria la conoscenza dei principali risultati teorici riguardanti le equazioni differenziali ordinarie e delle nozioni fondamentali di analisi numerica.

Al termine del corso, lo/a studente/essa sarà in grado di scegliere un metodo numerico, analizzarne l'accuratezza e studiare l'affidabilità delle approssimazioni da esso fornite.

• P. Deuflhard, F. Bornemann, Scientific Computing with Ordinary Differential Equations, Springer, New York, 2002.
• U. M. Ascher, L. R. Petzold, Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, 1998.
• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations Wiley, 2016.
• E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, Nonstiff problems, Springer, 1993.
• E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Stiff and Differential-Algebraic problems, Springer, 1996.
• G. H. Golub, G. Meurant, Matrices, moments and quadrature with applications, Princeton University Press, 2009.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics, Springer, 2010.

L'insegnamento si prefigge l'obiettivo di far conoscere i prinicipali aspetti teorici ed i principali algoritmi risolutivi dei problemi di ottimizzazione nonlineare in dimensione finita.

Classificazione dei problemi di ottimizzazione. Ottimizzazione non lineare: funzioni e insiemi convessi, massimi e minimi locali e globali, elementi di analisi convessa e calcolo sottodifferenziale, condizioni di ottimalità necessarie o sufficienti, del primo e del secondo ordine, anche per problemi vincolati. Teoria della dualità non lineare.

Metodi e algoritmi risolutivi per problemi non vincolati (gradiente, Newton, sottogradiente) e vincolati (linearizzazione, gradiente proiettato, penalizzazione).

Algebra lineare. Nozioni di base di topologia. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.

Lo studente potrà acquisire sensibilità nell'utilizzo di algoritmi risolutivi di problemi di ottimizzazione nonlineare, diventando consapevole della differenza tra algoritmo con dimostrazione matematica di "convergenza" ed algoritmo euristico.

Attraverso l'esame finale.

L'esame finale prevede prova scritta ed orale.

A.Carpignani-M.Pappalardo, Theory and Methods of Optimization, Unitext N.175, SPRINGER.

Lo studente al termine del corso avrà acquisito conoscenze di base su alcuni elementi di teoria della misura di interesse per la probabilità, sui principali teoremi limite e sulla teoria delle catene di Markov.

Richiami di teoria della misura e loro reinterpretazione nel contesto probabilistico. Indipendenza di variabili aleatorie, lemmi di Borel-Cantelli e Legge 0-1 di Kolmogorov. Convergenza di variabili aleatorie e convergenza di probabilità, criterio di Prohorov. La funzione caratteristica e legame con la convergenza in legge. Teoremi limite: leggi dei grandi numeri e Teoremi limite centrale. Speranza condizionale e sue proprietà. Catene di Markov.

Lo studente deve avere padronanza degli argomenti di base della probabilità quali quelli forniti dal corso di "Elementi di Probabilità e Statistica", così come di elementi dei corsi di analisi e algebra lineare del biennio.

Il corso permetterà di affrontare problemi semplici di natura probabilistica.

La capacità dello studente di risolvere semplici problemi sugli argomenti del corso sarà verificata attraverso un test scritto. Nella prova orale sarà verificata la capacità di comprensione, di dimostrazione e di elaborazione degli argomenti analizzati.

L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di al più 3-4 problemi, sviluppati su più quesiti, in forma dimostrativa.

La prova orale consiste in un colloquio che prevede tipicamente tre domande, volte a verificare la conoscenza dei risultati illustrati nel corso e delle loro dimostrazioni, dei concetti e delle definizioni principali, e la padronanza di tali concetti attraverso esempi illustrativi.

Gli argomenti del corso sono tratti dalle seguenti opere, che sono letture raccomandate:

• Note del docente
• Durrett, Probability theory and examples, Wadsworth & Brooks/Cole Statistics/Probability Series, Brooks/Cole Publishing Company, 1991.
• J. Norris, Markov chains, Cambrindge University Press.

Il corso presenta i principali aspetti teorici e pratici relativi alla definizione e alla risoluzione di modelli matematici di ottimizzazione per problemi reali. In particolare, vengono introdotte proprietà matematiche di base e alcune delle principali tecniche algoritmiche per la risoluzione di tre grandi famiglie di problemi di ottimizzazione: i problemi di Programmazione Lineare, i Problemi di Flusso su Rete e i problemi di Programmazione Lineare Intera.

Problemi e modelli (4 ore)

• Problemi decisionali, di ottimizzazione e di esistenza
• Esempi di problemi di ottimizzazione

Programmazione Lineare (PL) (16 ore)

• Problemi e modelli di PL
• Geometria della PL: poliedri e loro rappresentazione
• Teoria matematica della dualitàP
• Algoritmo del simplesso primale e sua interpretazione geometrica
• Teorema degli scarti complementari
• Algoritmo del simplesso duale e sua interpretazione geometrica

Problemi di flusso su rete (16 ore)

• Problemi e modelli di PL su reti
• Cammini minim
• Flusso massimo
• Flusso di costo minimo

Programmazione Lineare Intera (PLI) (24 ore)

• Problemi e modelli di Ottimizzazione Combinatoria e di PLI
• Tecniche di modellazione
• Tecniche di dimostrazione di ottimalità
• Algoritmi euristici
• Tecniche di rilassamento
• Algoritmi enumerativi

Prova scritta seguita da una prova orale. La prova scritta dura un'ora e trenta minuti, consta di tre esercizi, e copre tutti gli argomenti trattati durante il corso. Durante la prova scritta non è possibile consultare libri o appunti.

I contenuti della prova d'esame sono quelli presentati durante l'anno accademico a cui si riferisce l'appello, anche per gli studenti che avessero seguito il corso in anni precedenti.

La prova orale viene effettuata nello stesso appello della prova scritta, normalmente nei giorni immediatamente successivi a quelli di pubblicazione dell'esito della prova scritta.

Appunti di Ricerca Operativa e prove d'esame (con e senza svolgimento) sono disponibili sulla pagina web del corso:

http://didawiki.di.unipi.it/doku.php/matematica/ro/start

Testi di consultazione consigliati:

1. F.S. Hillier, G.J. Lieberman, "Introduzione alla ricerca operativa", Franco Angeli, Milano (1999)
2. Massimo Pappalardo, Mauro Passacantando, "Ricerca Operativa", Plus, 2012

Gli studenti avranno acquisito i concetti base della teoria dei Sistemi Dinamici, e in particolare saranno in grado di comprendere il comportamento qualitativo delle soluzioni di un sistema.

1. Sistemi dinamici continui.

• Definizioni di base ed esempi: punti fissi, orbite periodiche. Comportamento asintotico delle orbite.
• Sistemi lineari, soluzioni e forme normali, sottospazi invarianti.
• Definizioni di stabilità; stabilità lineare; funzioni di Lyapunov; funzioni limitanti.
• Varietà invarianti; sistemi piani.

2. Sistemi dinamici discreti.

• Definizioni di base ed esempi: punti fissi, orbite periodiche. Comportamento asintotico delle orbite.
• Stabilità: punti fissi e periodici, attrattivi e repulsivi.
• Introduzione ai sistemi caotici: esistenza di infinite orbite periodiche; horseshoe; dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali; entropia topologica.

Gli argomenti che fanno parte dei programmi dei corsi del primo biennio.

Agli studenti sarà richiesto sia il rigore negli enunciati e nelle dimostrazioni che la capacità computazionale nella soluzione di un problema specifico.

Saranno assegnati esercizi sugli argomenti svolti, per consentire allo studente di verificare il proprio livello di comprensione.

Esame scritto e orale.

P. Glendinning, “Stability, instability and chaos”, Cambridge University Press

G.C. Layek, “An introduction to dynamical systems and chaos”, Springer

Note del docente.

Lo studente al termine del corso avrà acquisito conoscenze di base sulla teoria statistica degli stimatori, dei test statistici, dell'inferenza Bayesiana, dei modelli lineari, e di alcuni elementi del metodo Monte Carlo e del statistical learning.

Introduzione ai modelli statistici. Teoria degli stimatori. Stime intervallari. Teoria dei test statistici. Inferenza Bayesiana. Vettori Gaussiani. Modelli lineari. Elementi di metodo Monte Carlo. Introduzione allo statistical learning.

La capacità dello studente di formulare e risolvere, rigorosamente o numericamente, problemi statistici sarà verificata attraverso la redazione di una relazione che discute un problema di natura statistica. La capacità dello studente di padroneggiare i concetti principali, include le loro eventuali verifiche, sarà verificata attraverso un colloquio orale.

Gli argomenti del corso sono tratti dalle seguenti opere, che sono letture raccomandate:

•  Casella, George, and Berger, Roger, Statistical inference, CRC Press, 2024.
•  Robert, Christian, and Casella, George, Monte Carlo statistical methods, Springer, 2013.
•  James, Gareth, et al, An introduction to statistical learning, Springer, 2023.

Conoscenze della teoria classica e degli esempi principali sui campi di numeri (anello degli interi, discriminante, fattorizzazione degli ideali, gruppi delle classi di ideali, gruppo delle unità)

Richiami di teoria di Galois. Corrispondenza di Galois. Gruppi di

Galois delle estensioni ciclotomiche e dei campi finiti.

Estensioni intere di un anello. Norma e traccia. Struttura additiva

dell'anello degli interi di un campo dei numeri. L'anello degli

interi dei campi quadratici.

Discriminante di una $n$-upla di elementi algebrici. Cambi di base

e relazioni fra i discriminanti. Basi intere dei campi ciclotomici.

Basi intere costruite mediante polinomi valutati in un generatore

intero.

Domini di Dedekind. Gruppo degli ideali frazionari e gruppo delle

classi di ideali. Fattorizzazione unica degli ideali nei domini

di Dedekind.

Indice di ramificazione e grado di inerzia dei primi nelle

estensioni. Formula di connessione con il grado dell'estensione.

Il caso delle estensioni di Galois. Teorema di Kummer sullo

spezzamento dei primi nelle estensioni. Spezzamento dei primi

nei campi quadratici e nei campi ciclotomici.

Estensioni di Galois: gruppi di decomposizione e gruppi di inerzia.

Estensioni massimali non ramificate ed estensioni massimali in

cui un primo si spezza completamente. Applicazioni ai campi

ciclotomici: legge di reciprocità quadratica.

Automorfismo di Frobenius per i primi non ramificati.

Caratterizzazione dei primi ramificati come quelli che dividono

il discriminante del campo.

Teorema del corpo convesso di Minkowski. Finitezza del gruppo

delle classi di ideali e determinazione della costante di Minkowski.

Finitezza dell'insieme dei campi di numeri che ha un discriminante

assegnato. Teorema delle unità di Dirichlet.

Contenuti di Aritmetica e Algebra1

Segure le lezioni e completare la preparazione con studio individuale durante tutto il semestre

Dispense presenti sulla pagina web

D. Marcus, Number Fields, Springer Verlag 1977.

W. Narckiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers, Springer 2004.

P. Samuel, Theéorie Algebrique des Nombres, Hermann, Paris 1971.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito i risultati fondamentali di teoria della misura, partendo dalla costruzione di misure e dalla teoria dell’integrazione astratta, per poi proseguire con operazioni sulle misure, interazione tra misure e topologia, anche in un contesto infinito-dimensionale. L'obiettivo è fornire una base rigorosa per studi successivi in analisi reale e funzionale, probabilità, calcolo delle variazioni e teoria geometrica della misura.

Lo studente potrà verificare le proprie capacità affrontando le questioni del corso, mediante quesiti teorici, costruzione di esempi, controesempi e completamento di passaggi dimostrativi. Il docente potrà fornire un riscontro durante le lezioni e il ricevimento, senza che questo concorra alla formazione del voto d’esame. La verifica approfondita avverrà mediante l'esame di profitto.

L'esame consiste in una prova orale sugli argomenti del corso. La prova è incentrata su definizioni, enunciati e dimostrazioni. Potrà essere inclusa anche la discussione di esercizi, tipicamente quelli assegnati durante il corso. Opzionalmente lo studente può esporre un singolo risultato aggiuntivo, non svolto interamente a lezione, ma inerente alla sezione di “Complementi” del programma. In tal caso il risultato dovrà essere concordato con il docente. Il superamento dell’esame richiede la conoscenza di tutte le definizioni del programma, di tutti i risultati del corso formulati come enunciati rigorosi e delle idee dimostrative relative ai teoremi strutturali. Le qualità che concorrono al raggiungimento di 30/30 sono la chiarezza, la precisione e l'efficienza espositiva, la padronanza degli argomenti, la capacità di rispondere alle domande sui dettagli dimostrativi richiesti dal docente e la capacità di risolvere esercizi. L’esposizione del risultato aggiuntivo, nelle modalità sopra descritte, costituisce una condizione necessaria solo per l’eventuale attribuzione della lode.

Il corso non segue un unico testo. Le seguenti monografie nel loro insieme contengono gli argomenti del programma e sono suggerite per lo studio e la consultazione. • L. Ambrosio, G. Da Prato, A. Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, Pisa, 2011. • V. I. Bogachev, Measure Theory, Volumi I-II, Springer, Berlin-Heidelberg, 2007. • J. Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag, collana Graduate Texts in Mathematics, vol. 92, 1984. • J. Diestel, J. J. Uhl, Vector Measures, American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs, 1977. • L. C. Evans, R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, revised edition, Textbooks in Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. • K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, second edition, John Wiley & Sons, Chichester, 2003. • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley & Sons, New York, 1999. • P. R. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, New York, 1950; ristampa Springer, Graduate Texts in Mathematics 18. • H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, fourth edition, Pearson Prentice Hall, Boston, 2010.