Dispense VERIFICATO
Lezione 1 lezioni 19-20 prof: Möseneder Frajria Pierluigi
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Di cosa parla
- Una curva è una funzione \( r: I \rightarrow \mathbb{R}^m \), dove \( I \) è un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \); se \( m = 2 \) si parla di curve piane, mentre se \( m = 3 \) si parla di curve nello spazio.
- Esempi di curve: una curva che traccia un tratto di parabola è definita da \( r(t) = (t, t^2) \), e una curva che traccia una circonferenza di raggio 1 è definita da \( r(t) = (\cos t, \sin t) \).
- Componenti di una curva: in generale una curva piana è definita da \( r(t) = (x(t), y(t)) \); in forma vettoriale si può scrivere \( r(t) = x(t)i + y(t)j \). Analogamente, una curva nello spazio è definita da \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \).
- Sostegno di una curva: l'immagine di \( r \) è il sostegno della curva; per esempio, la retta di equazione \( x = y \) è il sostegno delle curve \( r(t) = (t, t) \) e \( r(t) = (t^3, t^3) \).
- Parametrizzazione: un sottoinsieme \( A \) di \( \mathbb{R}^n \) viene parametrizzato dalla curva \( r \) se \( A \) è il sostegno di \( r \); per le rette si usa l'equazione parametrica, mentre per le circonferenze si usa \( r(t) = (x_0 + R\cos(\omega t), y_0 + R\sin(\omega t)) \).
- Curve continue e differenziabili: una curva è continua se le sue componenti sono continue, e differenziabile se le sue componenti sono derivabili.
- Vettore tangente: se la curva \( r(t) = (x(t), y(t)) \) è differenziabile in \( t_0 \), allora il vettore \( r'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0)) \) è detto vettore tangente a \( r \) in \( t_0 \).
- Retta tangente: se una curva è differenziabile in \( t_0 \) e \( T = r'(t_0) \neq 0 \), la retta tangente passa per \( p_0 = r(t_0) \) con vettore direzione \( T \); la retta ortogonale è la retta normale alla curva in \( p_0 \).
- Curve regolari: una curva si dice regolare se è differenziabile e il vettore tangente è diverso da zero in ogni punto.
- Lunghezza d’arco: per calcolare la lunghezza dell'arco di una curva regolare \( r \) si approssima con spezzate via via più fitte, e la lunghezza dell'arco è il limite delle somme di Cauchy della funzione \( \parallel r'(t) \parallel \).
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