Domande d'esame VERIFICATO
Analisi matematica - Teoria
38 visualizzazioni
33 download
★ 3,5 (1)
Di cosa parla
- Limiti:
- Teorema di unicità del limite: Afferma che se il limite di una funzione in un punto esiste, esso è unico. La dimostrazione è spesso per assurdo.
- Teorema della permanenza del segno: Stabilisce che se il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0 è l ≠ 0, allora la funzione f(x) ha localmente lo stesso segno di l in un intorno del punto x0.
- Teorema del confronto (o dei carabinieri): Se una funzione f(x) è compresa tra due funzioni h(x) e g(x) (ovvero h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)) e i limiti di h(x) e g(x) in un punto x0 sono entrambi uguali a l, allora anche il limite di f(x) in x0 è l.
- Funzioni Continue:
- Definizione di Funzione Continua: Una funzione f(x) è continua in un punto x0 se il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale al valore della funzione nel punto, ovvero f(x0).
- Teorema degli zeri (di Bolzano): Se una funzione f è continua su un intervallo chiuso [a, b] e i valori f(a) e f(b) hanno segni opposti (f(a)f(b) < 0), allora esiste almeno un punto x0 nell'intervallo aperto (a, b) tale che f(x0) = 0.
- Teorema dei valori intermedi (di Bolzano): Se una funzione f è continua su un intervallo chiuso [a, b], allora assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Questo significa che la funzione è suriettiva sull'intervallo [f(a), f(b)].
- Teorema di Weierstrass: Afferma che una funzione continua su un insieme chiuso e limitato (o intervallo compatto) ammette sempre un massimo e un minimo assoluti all'interno di tale insieme.
- Teorema di Bolzano-Weierstrass (per insiemi): Ogni sottoinsieme infinito e limitato dei numeri reali possiede almeno un punto di accumulazione.