Domande d'esame VERIFICATO
Domande d’esame
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Di cosa parla
Questo syllabus per Analisi Matematica 1 presenta un programma dettagliato e completo, essenziale per la preparazione degli studenti. Il contenuto include:
- La Retta Reale R: Copre la relazione d'ordine e di equivalenza, la definizione di insiemi separati e contigui, il calcolo di massimi e minimi di un sottoinsieme, estremi superiori e inferiori (sup e inf) e la loro caratterizzazione. Vengono inoltre trattate le proprietà del modulo di un numero reale e la retta reale estesa, inclusa la relazione d'ordine e la definizione di sup e inf per insiemi non limitati, con la definizione di limite all'infinito.
- Numeri Complessi: Include la definizione, le diverse forme (algebrica, trigonometrica ed esponenziale), il modulo e l'argomento di un numero complesso, e le radici n-esime.
- Funzioni Reali di Variabile Reale: Analizza la limitatezza, sup, inf, max e min di una funzione, le relative definizioni e proprietà, e le funzioni monotone con i loro limiti.
- Successioni Reali: Tratta la definizione, il limite di una successione, le proprietà del limite (unicità, teorema dei due carabinieri) e i limiti delle successioni monotone.
- Il Numero e: Include la verifica che la successione (n+1/n)^n è crescente e limitata.
- Limiti di Funzioni: Esamina i punti di accumulazione, interni, di frontiera e la chiusura di un insieme. Approfondisce la caratterizzazione del limite mediante successioni, il limite di una restrizione, i limiti destri e sinistri, i teoremi sui limiti (località, limitatezza, permanenza del segno, limite della composizione), il confronto di infinitesimi e infiniti, e la verifica del limite notevole sin(x)/x per x→0.
- Continuità: Include la definizione e le proprietà della continuità, la continuità della composizione. Vengono definiti gli insiemi connessi e compatti in R e presentati i teoremi sulle funzioni continue in tali insiemi.
- Continuità della Funzione Inversa: Tratta la monotonia della funzione inversa e la sua continuità.
- Funzioni Esponenziale e Logaritmo: Copre le funzioni uniformemente continue e il teorema di prolungamento, nonché la costruzione della funzione esponenziale e della sua inversa con le relative proprietà.
- Derivazione: Definizioni e teoremi sulla derivazione, inclusa la continuità, la derivabilità del prodotto, del quoziente, della composizione e dell'inversa.
- Teoremi di Derivazione Aggiuntivi: Tratta la retta tangente a un grafico e le derivate di ordine superiore. Approfondisce i punti critici, massimi e minimi (relativi e assoluti) e la loro relazione. Include i Teoremi di Rolle, Cauchy e del valor medio, e la relazione tra funzioni monotone e il segno della derivata.
- Teoremi di De L'Hopital: Studio delle forme indeterminate e enunciato dei teoremi in tutti i casi.
- Formula di Taylor: Con il resto di Peano.
- Funzioni Convesse: Definizione, ruolo del segno della derivata seconda e identificazione dei punti di flesso.
- Integrazione: Include l'Integrale secondo Riemann (definizione e proprietà come linearità, monotonia, additività) e l'integrale definito (definizione e teorema della media integrale).
- Integrale Definito e Primitive: Definizione di primitive, integrale definito e indefinito. Viene trattato il teorema fondamentale del calcolo integrale e le tecniche di integrazione per parti e per sostituzione per entrambi i casi.
- Integrale Generalizzato: Definizione per il caso di integrando non limitato e integrazione su semiretta, con le condizioni sufficienti di integrabilità.