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Riassunto: Si esaminano matrici e sistemi dinamici lineari invarianti nel tempo, calcolando autovalori e autovettori, stabilità dei sistemi, valori iniziali per ottenere output sinusoidali, stabilità con parametri incerti e equilibrio di un sistema meccanico.
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- Calcolare autovalori e autovettori della matrice A = \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)
- Evaluare i valori costante ! tali che il sistema lineare invarianto nel tempo sia asintoticamente stabile; per ! = 0.5, calcolare il valore di stato in equilibrio libero e forzato corrispondente a una step unitaria.
- Determinare l'initial statex0 tale che quando l'input èu(t) = 4sin(t), la uscita sia una funzione sinusoidale del tempo t per il sistema lineare e invarianto nel tempo ˙x = -x + 5u, y = 3x.
- Discutere la stabilità del sistema lineare e invarianto nel tempo caratterizzato dalla matrice A = \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & k \end{bmatrix}\), dove k è un parametro sconosciuto.
- Discutere la stabilità del sistema lineare e invarianto nel tempo con equazione ˙x = x + u, alimentato con l'inputu(t) = 1 - 2e-t, t ≥ 0; discutere se il moto forzato è previsto per divergere e calcolarlo.
- Per un sistema di massa (M=1), molla (FK=x3) e amortizzatore (D=1) soggetto a una forza input costante Fu=1, calcolare la posizione d'equilibrio \(\bar{x}\) e discuterne la stabilità.
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