Appunti VERIFICATO
Frattali
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Di cosa parla
- Analisi delle Serie Temporali: I segnali biologici, con la loro variabilità e dinamiche complesse (biforcazioni), richiedono un approccio oltre i metodi parametrici (media, varianza). Le serie temporali permettono di studiare la dinamica, individuare trend, ciclicità e prevedere andamenti futuri.
- Obiettivi Principali: Stimare le caratteristiche invarianti del sistema, ricostruire lo stato, determinare il determinismo, trovare la dimensione frattale e l'esponente di Lyapunov, e ridurre il rumore.
- Ricostruzione dello Stato (Manè-Takens): Per identificare un attrattore in un sistema caotico, si usa la tecnica dell'embedding time-lag. Il vettore di stato è ricostruito da una serie di uscite ritardate. La dimensione di embedding 'm' si può stimare con il metodo dei False Neighbors.
- Determinazione di 'tau' (embedding lag): Si cerca il primo zero dell'autocorrelazione o il primo minimo della funzione di Mutua Informazione.
- Determinismo/Caos: Test delle ipotesi basati su dati surrogati permettono di rigettare l'ipotesi di un processo stocastico stazionario. Una variazione significativa della mutua informazione indica un processo deterministico.
- Dimensione Frattale: Caratteristica di self-similarity dove il comportamento si ripete su scale diverse, con dimensioni non intere (es. Cantor set, curva di Von Koch). Si calcola usando la dimensione box counting (dB), la dimensione di correlazione (dC) o la dimensione di Lyapunov (dL).
- Esponente di Lyapunov (L1): Caratterizza la dinamica del sistema. La formula di Kaplan-Yorke relaziona la dimensione frattale con gli esponenti di Lyapunov.
- Riduzione del Rumore: È fondamentale per le serie temporali. La matrice di covarianza e i suoi autovalori principali possono rappresentare la potenza del segnale utile.
- Self-Similarity e Esponente H: Un processo self-similar ha caratteristiche specifiche nella potenza spettrale (1/fβ) e nella varianza. L'esponente H (tra 0 e 1) distingue tra rumore bianco (H=0), moto browniano (H=0.5) e segnale persistente (H=1).
- Detrended Fluctuation Analysis (DFA): Metodo per calcolare l'esponente H. Consiste nel dividere il segnale in slot temporali, calcolare una linea di regressione e la sua fluttuazione. Esempi applicativi nella camminata e nell'analisi della frequenza cardiaca (HRV) mostrano come H possa indicare stati fisiologici o patologici.