Appunti VERIFICATO
lezione 4
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Di cosa parla
- I segnali tempo-continuo sono analizzati in relazione ai sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI), fondamentali per la loro trattabilità matematica, anche se i sistemi reali sono spesso approssimazioni LTI.
- Un sistema LTI è caratterizzato da linearità (principio di sovrapposizione: la combinazione lineare di ingressi produce la stessa combinazione lineare di uscite) e invarianza temporale (un ingresso ritardato produce un'uscita ritardata della stessa entità).
- La Delta di Dirac (impulso) è un operatore matematico chiave, definito come una funzione infinita a t=0 e zero altrove, con integrale unitario. La sua proprietà di campionamento (sifting property) è cruciale.
- La risposta impulsiva ha(t) = T{δ(t)} definisce completamente un sistema LTI.
- L'uscita ya(t) di un sistema LTI è data dalla convoluzione dell'ingresso xa(t) con la risposta impulsiva ha(t): ya(t) = ∫ xa(τ) ha(t-τ) dτ. Questo dimostra l'interdipendenza tra ingresso, sistema e uscita.
- La Trasformata di Laplace è introdotta tramite le autofunzioni esponenziali complesse (A est), che, applicate a un sistema LTI, producono un'uscita della stessa forma, scalata da un fattore Ha(s) (la Trasformata di Laplace della risposta impulsiva, detta funzione di trasferimento).
- Le condizioni per l'esistenza della Trasformata di Laplace per un segnale x(t) includono: x(t)=0 per t<0, continuità a tratti ed essere di ordine esponenziale (limt→∞ |x(t)|e-σt = 0 per un certo σ).
- La regione di convergenza (ROC) della Trasformata di Laplace è un semipiano destro (σ > σc), dove σc è l'ascissa di convergenza.
- Nel dominio di Laplace, l'uscita di un sistema LTI è il prodotto della trasformata dell'ingresso e della funzione di trasferimento: Ya(s) = Xa(s) Ha(s).
- La Trasformata di Fourier è un caso particolare della Trasformata di Laplace, ottenuta ponendo s = jΩ, a condizione che l'asse immaginario sia incluso nella ROC della trasformata di Laplace (ovvero σc < 0).
- La Trasformata di Fourier permette l'analisi armonica, rappresentando un segnale come sovrapposizione di armoniche sinusoidali, ed esiste per segnali a energia finita (∫ |xa(t)|2 dt < ∞).