Appunti VERIFICATO
Dimostrazione teorema spettrale
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Di cosa parla
- Il Teorema Spettrale Reale stabilisce che per ogni spazio euclideo V di dimensione finita e per ogni endomorfismo autoaggiunto f: V → V, esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di f.
- Questo teorema ha come corollario che una matrice simmetrica A è sempre diagonalizzabile ortogonalmente, ovvero esiste una matrice ortogonale C (Cᵀ=C⁻¹) tale che CᵀAC sia una matrice diagonale.
- La dimostrazione del Teorema Spettrale si basa su un lemma fondamentale: se un endomorfismo f è simmetrico e un sottospazio W di V è f-invariante (cioè f(W) ⊆ W), allora anche il suo complemento ortogonale W⊥ è f-invariante (cioè f(W⊥) ⊆ W⊥). Inoltre, la restrizione di f a W⊥ è ancora un endomorfismo simmetrico su W⊥.
- Il lemma permette di procedere per induzione sulla dimensione dello spazio: una volta trovato un autovettore v₁, il teorema può essere applicato al complemento ortogonale di Span{v₁}, che ha dimensione inferiore.
- Il passaggio cruciale è dimostrare l'esistenza di almeno un autovalore. Questa si ottiene considerando la forma quadratica φ̂(v) = <f(v), v> definita sullo spazio V.
- Si restringe la funzione φ̂ alla sfera unitaria S = {v ∈ V : ||v|| = 1}. Poiché S è un insieme chiuso e limitato (quindi compatto) in uno spazio euclideo, e φ̂ è una funzione continua, per il Teorema di Weierstrass φ̂ ammette un punto di minimo (o massimo) su S.
- Sia v₁ un punto della sfera unitaria dove φ̂ raggiunge il suo minimo. Per dimostrare che v₁ è un autovettore, si considera una curva parametrica γ(t) = (cos t)v₁ + (sin t)w, dove w è un vettore unitario ortogonale a v₁. Questa curva rimane sulla sfera unitaria e γ(0) = v₁.
- Poiché t=0 è un punto di minimo per la funzione composta φ̂(γ(t)), la derivata di φ̂(γ(t)) rispetto a t calcolata in t=0 deve essere nulla.
- Sfruttando la simmetria di f e le proprietà di ortogonalità, si calcola la derivata e si ottiene che 2<f(v₁), w> = 0. Questo implica che f(v₁) è ortogonale a tutti i vettori w nel complemento ortogonale di v₁.
- Di conseguenza, f(v₁) deve essere parallelo a v₁, cioè f(v₁) = λv₁ per qualche scalare λ. Ciò dimostra che v₁ è un autovettore di f, con autovalore λ = φ̂(v₁).