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teoria analisi matematica
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Un sottoinsieme è limitato se ha un massimo e minimo. I maggioranti e minoranti definiscono supremo (massimo) ed infimo (minimo). L'assioma di completezza garantisce l'esistenza dell'estremo superiore per insiemi limitati superiormente. La densità dei razionali suggerisce la presenza tra due reali di un razionale. Il modulo di x è |x|. Teorema della induzione: se P(1) e P(n) implica P(n+1), allora P(n) è vera per ogni n.
Una relazione è un sottoinsieme di X × Y, una funzione è una relazione dove ogni x ha un y unico. Funzioni principali: suriettiva, iniettiva, biunivoca; composizione e inversa. Estremi superiori ed inferiori definiscono limitatezza.
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- Un sottoinsieme X è limitato superiormente (inferiormente) se esiste un numero reale K tale che x < k (x > k) per ogni x ∈ X; è limitato se è sia limitato superiormente che inferiormente.
- Dati un sottoinsieme X e un numero reale k, k è maggiorante di X se k ≥ x per ogni x ∈ X; k è il massimo di X se k ∈ X e k è un maggiorante di X (k = max X); k è minorante di X se k ≤ x per ogni x ∈ X; k è il minimo di X se k ∈ X e k è un minorante di X (k = min X).
- Il supremo (inframondo) di X, indicato con sup X (inf X), è l'elemento più piccolo (grande) dei maggioranti (minoranti) di X.
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