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lezione 10
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Lezione 10 tratta le equazioni cartesiane di piani e rette. Un piano può essere descritto da una sua retta perpendicolare all'origine o da un punto e un vettore perpendicolare al piano, con l'equazione \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\). Due piani sono paralleli se i loro vettori normali sono proporzionali. Si introducono le relazioni tra posizioni relative di piani e soluzioni dei sistemi lineari, con una proposizione sulle possibili configurazioni (paralleli, coincidenti o intersecati in una retta). Per le rette, si espongono equazioni parametriche e cartesiane, con esempi di conversioni. Il metodo del fascio di piani viene introdotto per rappresentare
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- Equazioni cartesiane di piani: Un piano può essere descritto da una sua equazione cartesiana della forma \(ax + by + cz = d\), dove \(a, b, c\) non sono tutti nulli. Questo può essere derivato utilizzando un punto sul piano e un vettore perpendicolare al piano.
- Posizioni relative di piani: Due piani possono essere paralleli e distinti (rk(A) = 1, rk(A|B) = 2), coincidenti (rk(A) = 1 = rk(A|B)), o si intersecano in una retta (rk(A) = 2 = rk(A|B)).
- Equazioni parametriche e cartesiane di rette: Una retta può essere rappresentata sia con equazioni parametriche che con equazioni cartesiane. Le equazioni cartesiane dipendono dalla scelta dei piani utilizzati per descrivere la retta.
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