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Le operazioni elementari di riga permettono di trasformare un sistema lineare in uno equivalente con matrice ridotta per righe. Due sistemi sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Le operazioni elementari includono: sommare una riga a un multiplo di un'altra, moltiplicare una riga per una costante non nulla e scambiare due righe. Ogni matrice è equivalente per righe ad una matrice ridotta per righe. Il rango di una matrice è il numero di righe contenenti entrate non nulle in una sua forma ridotta, indipendentemente dalle operazioni elementari eseguite.
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- Definizione 4.1 (Sistemi equivalenti): Due sistemi di equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
- Esempio 4.2: Un sistema lineare è trasformato in un nuovo sistema con matrice ridotta per righe, mantenendo le stesse soluzioni attraverso operazioni elementari di riga.
- Definizione 4.3 (Operazioni elementari di riga e matrici equivalenti per righe): Sono definite tre operazioni elementari di riga che trasformano una matrice in un'altra equivalente per righe.
- Proposizione 4.4: Ogni matrice è equivalente per righe a una matrice ridotta per righe (fortemente) ridotta per righe.
- Esempio 4.5 e 4.6: Esempi di trasformazione di matrici in forme ridotte per righe utilizzando operazioni elementari di riga.
- Definizione 4.8 (Rango di una matrice): Il rango di una matrice è il numero di righe contenenti entrate non nulle in una forma ridotta per righe equivalente, indicato con rk(A).
- Esempio 4.10: Esempi di calcolo del rango di matrici.
- Esempio 4.11: Calcolo del rango di una matrice a parametri variabili, con differenti risultati a seconda del valore del parametro k.
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