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Riassunti di Meccanica dei Corpi Continui
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Di cosa parla
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Concetti Fondamentali:
- Un punto materiale identifica una porzione infinitesima di un corpo, la cui posizione X in una configurazione indeformata si sposta a x in una configurazione deformata, generando uno spostamento u(X) = x - X.
- La tensione meccanica (stress) è definita come forza per unità di area (σ = F/Ao), mentre la deformazione (strain) come variazione di lunghezza relativa (ε = ΔL/Lo).
- Il Modulo di Young (E = σ/ε) e la Rigidezza (K = F/L) quantificano la capacità di un materiale e di un corpo di opporsi alla deformazione.
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Cinematica dei Corpi Continui:
- Il campo degli spostamenti descrive come tutti i punti del corpo si muovono, differenziando traslazioni rigide, rotazioni e deformazioni effettive.
- Il gradiente di deformazione (F = δx/δX) trasforma elementi lineari e volumetrici dalla configurazione indeformata a quella deformata. Il suo determinante J = det(F) = dv/dV indica la variazione di volume.
- Il tensore delle deformazioni (ε), componente simmetrica del gradiente di spostamento, descrive dilatazioni/contrazioni (termini diagonali) e distorsioni angolari (termini fuori diagonale).
- Vengono inoltre considerate la velocità di deformazione e le accelerazioni, con formulazioni Euleriane e Lagrangiane.
- La decomposizione polare (F = RU = VR) permette di separare il movimento in una rotazione rigida (R) e una deformazione pura (U o V), fondamentale per analizzare il comportamento dei tessuti.
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Principi di Conservazione:
- La conservazione della massa è espressa dalle relazioni ρ⁰dV = ρdv e ρ⁰ = Jρ, con formulazioni differenziali sia Euleriane che Lagrangiane.
- Il bilancio delle forze e la conservazione della quantità di moto sono descritti da equazioni di campo che includono le forze esterne, interne e le azioni inerziali.
- La conservazione del momento della quantità di moto implica la simmetria del tensore di stress di Cauchy (σ = σᵀ).
- Il teorema delle forze vive collega il lavoro delle sollecitazioni alla variazione di energia cinetica e al lavoro delle tensioni interne di deformazione.
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Tensori di Stress:
- Il tensore di stress di Cauchy (σ) rappresenta lo stress nella configurazione deformata (attuale).
- I tensori di stress di Piola-Kirchhoff sono utilizzati per descrivere lo stress rispetto alla configurazione indeformata.
- Il 1° tensore di Piola-Kirchhoff (P) lega le forze nella configurazione attuale alle aree nella configurazione di riferimento; non è generalmente simmetrico (P = J σ Fᵀ).
- Il 2° tensore di Piola-Kirchhoff (S) lega le forze e le aree entrambe nella configurazione di riferimento; è simmetrico (S = JF⁻¹σF⁻ᵀ) ed è energia coniugata al tensore di deformazione di Green-Lagrange, rilevante per la modellazione dei tessuti che subiscono grandi deformazioni.