Dispense VERIFICATO
Capitolo 1
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Di cosa parla
- Il capitolo introduce i numeri complessi per superare le limitazioni algebriche dei numeri reali, definendo l'unità immaginaria
i(i² = -1). - I numeri complessi sono espressi come
z = x + iy, conxparte reale eyparte immaginaria, e sono dotati di operazioni di somma e prodotto che preservano le proprietà fondamentali dei reali. - Viene esplorata la rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano (corrispondenza biunivoca con
R²), introducendo il modulo|z|e la coniugazione complessaz*(riflessione rispetto all'asse reale). - Si definiscono le coordinate polari (modulo e argomento) e la funzione
cis(φ) = cosφ + i sinφ, dimostrando che il prodotto di numeri complessi implica la moltiplicazione dei moduli e la somma degli argomenti. - Vengono illustrate le potenze e le radici
n-esime di un numero complesso, evidenziando che le radici dell'unità formano un poligono regolare nel piano. Si conclude cheCè un corpo algebricamente chiuso (Teorema Fondamentale dell'Algebra). - La topologia in
Cè definita basandosi sulla topologia prodotto diR × R, rendendolo uno spazio metrico completo (le successioni di Cauchy convergono) e uno spazio vettoriale normato (spazio di Banach). Viene notato cheCnon possiede un ordinamento totale. - Vengono trattate le serie di potenze, definendo la convergenza, il raggio di convergenza (calcolabile con il criterio di Hadamard) e le sue proprietà (convergenza totale su dischi interni). Si studiano la convergenza uniforme e totale delle serie di funzioni e i teoremi sulla differenziazione e integrazione termine a termine.
- Il capitolo culmina con la definizione della funzione esponenziale complessa
exp(z) = Σ z^n/n!, dimostrandone la convergenza assoluta in tuttoC, la continuità, la differenziabilità (exp'(z) = exp(z)) e la fondamentale formula di addizionee^(w+z) = e^w e^z. - Viene introdotta la formula di Eulero (
e^(it) = cos(t) + i sin(t)) come base per la definizione rigorosa delle funzioni trigonometriche complesse (cos(z)esin(z)), evidenziandone la periodicità e le formule di addizione.
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