Dispense VERIFICATO
Capitolo 6
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Di cosa parla
- Fondamenti della Teoria Spettrale in Dimensione Finita:
- Introduce autovalori (λ) e autovettori (x) per operatori lineari A (Ax = λx).
- Spiega l'equazione caratteristica det(A - λI) = 0 per determinare gli autovalori.
- Definisce gli autospazi (Mk) e la loro dimensione legata alla molteplicità dell'autovalore.
- Si concentra sugli operatori normali (NN† = N†N), che includono operatori autoaggiunti (A†=A) e unitari (U†U=I).
- Proprietà chiave degli operatori normali: autovettori distinti sono ortogonali, autovalori di operatori autoaggiunti sono reali, autovalori di operatori unitari hanno modulo unitario.
- Descrive la decomposizione spettrale per operatori normali in dimensione finita: N = Σ λk Pk, dove Pk sono proiettori ortogonali.
- Definisce le funzioni di un operatore normale f(N) = Σ f(λk) Pk.
- Autovalori e Spettro in Dimensione Infinita:
- Evidenzia le sfide in dimensione infinita (es. assenza del determinante) che portano alla mancanza di autovettori "propri" per molti operatori.
- Analizza l'operatore di posizione X (Xf(x) = xf(x)) e l'operatore di momento P (Pf = -id): non hanno autovettori L²-integrabili.
- Introduce il concetto di autovalori generalizzati: λ è generalizzato se esiste una successione (un) di vettori di norma non nulla tale che (A - λI)un → 0.
- Definisce lo spettro σ(A) come l'insieme degli autovalori generalizzati, suddividendolo in: spettro puntuale (autovalori propri), spettro continuo (operatore risolvente esiste ma è illimitato), spettro residuo (dominio del risolvente non denso). Gli operatori normali non hanno spettro residuo.
- Esempi: L'operatore X ha spettro continuo [a,b] su L²([a,b]); l'operatore P ha spettro continuo R su L²(R); l'operatore Lz (momentum angolare quantizzato) ha spettro puntuale Z.
- Autovettori Generalizzati e Distribuzioni:
- Per trovare autovettori generalizzati è necessario estendere lo spazio di Hilbert H a uno spazio vettoriale più ampio.
- Mostra come le funzioni approssimate per X e P non convergano a vettori in L²(R), ma a funzionali lineari, come la delta di Dirac (δλ). La delta di Dirac è interpretata come un "autofunzionale" dell'operatore X.
- Introduce lo spazio di Schwartz S(R): funzioni indefinitamente derivabili a decrescenza rapida.
- Definisce le distribuzioni temperate (S') come i funzionali lineari e continui su S(R), che costituiscono il duale topologico di S.
- Distinzione tra distribuzioni regolari (rappresentabili da funzioni tramite integrale) e singolari (come la delta di Dirac, che non lo sono).
- Spiega la convergenza debole per le distribuzioni: Tn → T se (Tn, φ) → (T, φ) per ogni φ ∈ S.
- Conclude con il concetto di spazi di Hilbert equipaggiati, dove S(R) ⊂ L²(R) ⊂ S'(R), fornendo un quadro per estendere l'analisi spettrale a operatori illimitati e per definire le funzioni di tali operatori.
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